ДИНАМИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТРЕХКООРДИНАТНЫМ МАНИПУЛЯТОРОМ, РАБОТАЮЩИМ В УГЛОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Информатика, вычислительная техника и управление

DOI 10.25987/^ТО.2019.15.2.001 УДК 621.865(075.8)

ДИНАМИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТРЕХКООРДИНАТНЫМ МАНИПУЛЯТОРОМ, РАБОТАЮЩИМ В УГЛОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

В.А. Медведев

Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия

Аннотация: определены теоретические задачи, которые необходимо решить для управления современным быстродействующим роботом с малым энергопотреблением. Разработана расчетная схема трехкоординатного манипулятора с угловой системой координат. Проведен анализ методов формирования динамических моделей манипуля-ционных механизмов роботов. Получены выражения для кинетической и потенциальной энергии в соответствии с расчетной схемой трехкоординатного манипулятора, работающего в угловой системе координат. На основе аппарата Лагранжа проведен вывод уравнений движения трехкоординатного манипулятора с угловой системой координат в дифференциальной и векторной формах записи. Получено решение прямой и обратной задачи кинематики для рассматриваемого трехкоординатного манипулятора, которое может быть использовано при кинематическом управлении манипулятором в декартовой системе координат. Рассмотрен теоретический подход, предусматривающий формирование полной динамической модели манипуляционного механизма робота в процессе управления. Определена схема формирования управляющих воздействий на исполнительный механизм при динамическом управлении манипулятором. Разработана структура микропроцессорной системы динамического управления трехзвенным манипулятором с угловой системой координат

Ключевые слова: робот, трехкоординатный манипулятор, динамическая модель, динамическое управление, угловая система координат

Введение

Промышленные роботы являются неотъемлемой частью современных гибких производственных систем и робототехнических комплексов, выполняя как вспомогательные, так и основные технологические операции.

Характеристики и параметры промышленных роботов определяются как исполнением механической части (манипулятора), так и конкретной реализацией систем управления роботами.

Микропроцессорная реализация системы управления робота позволяет более чем в два раза снизить энергопотребление относительно системы, построенной на микросхемах малой и средней степени интеграции [1].

Повышение производительности роботизированного производства напрямую зависит от увеличения быстродействия применяемых роботов. При высоких скоростях движения звеньев манипулятора необходимо в полной мере учитывать и использовать в составе управляющей структуры динамическую модель манипуляционного механизма, что определяет необходимость ее разработки.

© Медведев В.А., 2019

При планировании движения рабочего органа манипулятора в декартовом пространстве и его отработке возникает также необходимость в решении прямой и обратной задач кинематики.

Постановка задачи

Расчетная схема манипулятора с угловой системой координат приведена на рис. 1. Звено 1 имеет массу т\ и момент инерции J\ относительно оси вращения Ох2. Через т2, т3 и т обозначены, соответственно, массы звеньев 2, 3 и рабочего органа. Длины звеньев обозначены А, ¡2, 13, расстояния от центров масс ть т2, т3 до центров сочленений - ¡0Ь ¡02, ¡03.

Рассматриваемый манипулятор имеет три вращательные кинематические пары. Вектор обобщенных координат манипулятора состоит из углов поворота в сочленениях звеньев 1, 2, 3:

Ч = [<Р1,<Р2,Ы

Задача состоит в получении динамической модели трехкоординатного манипулятора с угловой системой координат, решении прямой и обратной задач кинематики для трехкоорди-натного манипулятора, разработке структуры системы динамического управления трехзвен-ным манипулятором.

Рис. 1

Методы исследования

В работе [2] рассмотрены динамическая модель манипулятора "РЦМА-560", построенная на основе метода Ньютона-Эйлера, динамическая модель исполнительного привода постоянного тока и моделирование робота в среде МА1ЪАВ.

Метод Ньютона-Эйлера позволяет автоматически сформировать динамическую модель манипулятора с произвольной системой координат [3], т.е. является универсальным. В то же время необходимость в преобразовании координат для определения кинематических параметров звеньев манипулятора на каждом интервале дискретности является недостатком метода Ньютона-Эйлера при расчете управляющих воздействий в реальном масштабе времени.

При управлении манипулятором динамическую и кинематическую модели целесообразно формировать на основе его конкретной расчетной схемы, используя аппарат Лагранжа. Это позволяет избежать преобразования координат при расчетах, существенно сокращая время вычислительного цикла.

Вывод уравнений движения манипулятора с угловой системой координат

Уравнения Лагранжа для рассматриваемого трехкоординатного манипулятора имеют вид:

d_ dt

V дф, V Yj У

V дфi V Yj У

V дфi

V Yj У

= Мф i, j = 1, 2, 3 , (1)

где W - кинетическая энергия манипулятора; П - потенциальная энергия манипулятора;

М $ - моменты, развиваемые электроприводами в сочленениях вращательного типа.

Звено 1 участвует только во вращательном движении по координате щ, поэтому его кинетическая энергия определяется из выражения

Wi( Ф i) = Ji ф 2/2.

(2)

Звенья 2 и 3 совершают сложные движения. Обозначим через V2, V3 и V значения линейных скоростей точек, в которых сосредоточены массы т2, т3 и т. Тогда для определения кинетической энергии звеньев 2, 3 и груза т запишем следующие выражения:

W2 = Ш2У22/2 = Ш2 £ x)2/2,

s=1

W3 = Шз¥З2/2 = тз ¿ х2з/2,

s=1

3

Wm = т¥2/2 = тXx?/2, s = 1, 2, 3.

(3)

m X xs

s=1

Квадрат скорости точки m2 определяется из уравнения:

V22 = /022( Ф 2cos2 (Р2 + ф 2). (4)

Декартовы координаты xs3 точки т3 определяются из выражения:

x 13= [/ 2' cos ( 2 - / 03- cos( ( 2 + ( 3)] • sin ( 1,

x 23= / 2' sin р2- / 03' sin (р2+ р3) + /1 , (5) x33= [/ 2' cos р2- / 03' cos( (( 2 + р3)] • cos р 1. Дифференцируя xs3 по времени, получим: x 13= [-/2ф2 ' sin р2+ /03(рр2 + Ф3) ' sin(p2 + р3)]' sin р 1+ + [/2' cos р2-/03' cos(p 2+ р3)]' cos р1 ф 1,

x 23= / 2 Р 2 ' cos р 2- / 03(Р 2 + Р 3) ' cos( V 2 + V 3), (6)

JC33= [-/2ф2 ' sin р2+ /03(р)2 + Ф3)' sin(р2 + р3)]' cos р 1--[/2' cos р2-/03' COS(р 2+ р3)]' sin р1 ф 1. Квадрат скорости точки т3

Гз2 = x 132 + x 232 + x зз2. (7)

Подставляя в (7) выражения для определения скоростей x 13, x 23 и x 33 из (6), после ряда тригонометрических преобразований получим следующее уравнение:

V32 = /22[ ф 2 + cos2 р2 ф 2] + /032[( ф 2+ Р з)2 +

+ cos2( р2 + рз) ф 2] - 2/2/03[cos рз ф 2 ( ф 2 +

+ ф з) + cos р2^( р2 + рз) ф 2]. (8)

Аналогичным образом выводится выражение для квадрата скорости точки т, имеющее следующий вид:

V 2 = /22[ ф 2 + cos2 р2 ф 2] + /з2[( ф 2+ Р з)2 + + cos2( р2 + рз) ф 2] - 24/3[cos рз Ф 2 ( Ф 2 +

+ рр з) + cos P2COS( р2 + рз) ф2]. (9)

+

Кинетическая энергия W манипулятора определяется из выражения

W = W + W2 + W3 + Wm. (10)

На основе уравнений (2)^(4), (8)^(10) получаем следующее выражение для кинетической энергии манипулятора:

W = J1 ф 2/2 + m2lo22( ф 2 cos2 ( + ф 2)/2 +

+ тз{122[ ф 2 + cos2 (р2 ф Í2] + 1оз2[( ф 2+ Ф з)2 +

+ cos2( р>2+ ррз) Ф ?] - 2l2lo3[cos ррз ф 2 ( ф 2+ Ф з) +

+ cos (2cos( (2 + (з) (?2]}/2 + m{l22[ ф2 + + cos2 (2 ф J] + 1з2[( ф 2 + Ф з)2 + cos2( (2+

+ (з) ФI2] - 2^[cos (3 Ф 2 ( ф 2 + Ф з) +

+ cos (2cos( ( + (з) (?2]}/2. (11)

Частные производные от кинетической энергии по производным от обобщенных координат:

dW / дф1 = ф1^1 + (m2l022 + ml2 + m/^cos2 (2 + (тз102з + +m/2)cos2 ((2 + (з) - 2l2 (тз10з + ml^cos^cosfa + (з)],

д W / д ф2 = ф2 (m2l022 + ml22 + m3/22) + (ф2 + фз) х

2 2 (12)

х (m3/03 + ml3) - (2ф2 + фз)/2 (m3/03 + ml3) cos (з, v '

dW / д фз = (ф2 + фз )(m3/023 + m/32) - ф2/2 (mз10з + + m/3)cos (з.

Производные от кинетической энергии W по обобщенным координатам:

dW / д ( = 0, dW / д(2 = -ф12{(m2/022 + m^2 + m/22)sin 2 (2 + + (m3/023 + m^sin^^ + (з)] - 2(m3/2/03 + m/2/3) х

х sin(2(2 + (з)}/2, (1з)

д W / д (з = -ф 2{ (m3/023 + m/32) sin[2((2 + (з)]/ 2 -- /2 cos (2 (m3/03 + m/3) sin((2 + (з)}+ф 2(ф2 + фз) х х (m3/03 + m/з )/2 sin (з.

Выражение для потенциальной энергии П манипулятора имеет вид:

П = m1g/M + m2g(h + /02 sin (2) +

+ mзg(/l + /2sin (2 - /0з sin ( (2 + (з)] +

+ mg[/1 + /2sin(2 - ^sin ( (2 + (з)]. (14)

Производные от потенциальной энергии П по обобщенным координатам:

дП / д (1 = 0,

дП / д(з - g(m3/03 + m/3)cos((2 + (з),

дП / д(2 = g(m2/02 + m3/2 + m/2)cos (2 -- g (m4oз + m/з) cos((2 + (з).

(15)

Подставляя в систему (1) выражения для частных производных (12), (1з) и (15), после проведения операции дифференцирования по времени, выполнения ряда тригонометрических преобразований и введения обозначений, получим следующие уравнения динамики манипулятора с угловой системой координат:

A(1 ((2 , (з ) Ф1 + В(1 (( 2 , (Pз, Ф^ Ф 2 , Фз) = М

A 2 ((з ) Ф2 + А(23 ((з ) Фз + В(2 ((2 , (Pз, Фl, Ф 2 , Фз) +

+ (з) = (16)

АзФз + А(32 ((з )Ф>2 + В(3 ((2 , (^Ф^ Ф2) + + С (з((2, (з) = М (з.

В системе (16) приняты следующие обозначения:

А(1 ((2, (з) = J1 + (m2/022 + m/22 + m3/22) cos2 (2 + + (m3/023 + m/2) cos2 ((2 + (з) - 2/2 (m3/03 + m/3) х х cos (2 cos( (2 + (3),

B(1 (2 , (^ Фl, Ф2 , Фз) = Ф1{ (m2/02 + m/2 + m3/2 ) х х sin2(2 • ф2 - (m3/023 + m/32)sin[2((2 + (з)](ф2 + + фз) + 2/2 (m3/03 + m/3) [sin(2 (2 + (3) • ф2 + cos (2 х х sin((2 + (3) • Фз}, A(2 ((3) = m2/022 + m3/22 + m/22 + m3/023 + m/32 -

- 2 cos (3/2 (m3/03 + m/3),

A(23(3) = m3/03 + m/32 - /2 cos (з • (m3/03 + m/3),

В(2 ((2 , (3, Ф1, Ф2, Фз) = (2 Ф2 + Фз)/2 sin (3 • Фз х х (m3/03 + m/3) + ф 2{ (m2/022 + m3/2 + m/22) sin(2(2) + + (m3/023 + m/32) sin[2((2 + (3)] - 2(m3/2/03 + m/2/3) х х sin(2(2 + (3)}/2,

(3) = g(m2/02 + m3/2 + m/2)cos (2 -- g (m3/03 + m/3)cos((2 + (3),

Аз = m3/03 + m/з2,

A(32((3) = m3/023 + m/32 - /2 cos (з • (m3/03 + m/), B(3 ((2 , (^ Фl, Ф2 ) = Ф 2{ (m3/023 + m/32 ) sin[2(C2 +

+ (3)]/ 2 - /2 (m3/03 + m/3)cos (2 • sin((2 + (3)} -

- ф2 (m3/03 + m/3 )/2 sin (3,

С(3 (( 2 , (з) = -g(m3/03 + m/3 ) cos( (2 + (з) .

Векторная форма записи системы уравнений (16) имеет вид

A(q) q + B(q, q) + C(q) = P, (18)

где A(q), q - матрицы инерционных параметров и ускорений;

B(q, q ) - вектор, учитывающий взаимовлияние координат;

(17)

С- вектор гравитационных сил; Р - вектор обобщенных сил. Матрицы А(4), q, Р, В(q, q) и С(#) определяются следующим образом:

AMi^ P3) 0 0 " Ф 1 "

^(q)= 0 Ар2( P3) Ap 23(P3) , ф = Ф 2

_ 0 Ap32( P 3) Ар3 _ _Ф 3 _

P =

M M M

р1

р 2

р 3

, ^ (q, q )

C (q) =

Bp 1 ( P 2 , Pз, Ф^ Ф 2 , Ф 3) Вр 2 ( P 2 , P3, PV Ф 2 , Ф 3) Вр 3 ( P 2, P3, Ф^ Ф 2 )

0

, (19)

^ 2 ( р 2 , Р 3)

Ср3р 2, Р3)_

Следует отметить, что независимо от кинематической схемы манипулятора его динамическая модель всегда может быть представлена в виде уравнения (18). На основе этого векторного уравнения формируется система динамического управления манипулятором.

Решение прямой и обратной задач кинематики для манипулятора с угловой системой координат

Согласно расчетной схеме рассматриваемого манипулятора, приведенной на рис. 1, прямая задача кинематики решается в следующем виде:

x 1= [/ 2' cos р 2- / 3' cos( р 2 + р 3)] ' sin р 1,

x 2 = / 2' sin р 2- / 3' sin (р 2 + р 3) + / j, (20)

x 3 = [/ 2' cos р 2 - / 3' cos^ 2 + р 3)]' cos р х.

Дифференцируя (20) по времени, получим уравнения кинематики для скоростей

x 1= [-/ 2 Ф2 ' sin р 2+ / 3(Ф2 + Ф 3) ' 2 + р 3)]' sin р 1+

+ [/ 2' cos р 2- / 3' cos(р 2+ р 3)]' cos р 1 р) 1,

x) 2 = / 2 рр2 ' cos р 2- / 3(р) 2 + р) 3) ' cos(р2 + р 3), (21) xx3= [-/2ф2 ' sin р 2+ /3(р)2 + Ф 3) 'sin(р2 + р 3)]' cos р 1- [/ 2' cos р 2- / 3' cos(р 2+ р 3)]' sin р 1 ф 1.

Введем обозначения для обобщенных координат: q1=р1, q2= р2, q3=р3. Тогда выражения (20) записываются в виде матричного уравнения:

[/2 cos q2 - /3 cos(q2 + q3)]sin q: X = F(^)= /2sinq2 -/3 sin(q2 + q3) + /1 . (22) [/2 cos q2 - /3 cos(q2 + q3)]cos qY Из первого и третьего уравнений системы

(20) получим

р i= arctg

(23)

Обобщенные координаты р2 и р3 можно выразить из треугольников, соответствующих верхней части рис. 1 и представленных на рис. 2.

Рис. 2. Схема для определения обобщенных координат (р2 и р3

Величины отрезков, изображенных на рис. 2, определяются из уравнений:

I AB | = /2, |BC I = /3, I CD | = Х2 - li,

I AD I =V х i2 + X32 . Из треугольника ACD находим

(24)

I AC I = ^|AD|2 + |CD|2 = Jx i2+ x 2 + (x 2 -11):

, |CD| р2 = arctg^-j = arctg

AD

.VX1

(25)

(26)

Из треугольника ABC в соответствии с теоремой косинусов определяем углы (р2 и

|ab|2 + |AC|2- |BC|2

2 |ab| |ac|

р2'' = arccos

= arccos

12-132 +(х 2-11 )2 + x 2 + x 2

р3 = arccos

arccos

212-д/ (x 2 -11)2 + x 2 + x2

AB|2 + |BC|2- |AC| 2 |AB| |BC|

12 +12- [(x 2-11)2+x 2 + x 2]

(27)

21213

(28)

Таким образом, для обобщенных координат р2 и р3 из выражений (26)^(29) имеем

-1

2 1 1

р2 = arctg

У

х2 + х2

+ arccos

12-12+ (х 2 -11)2 + x 2+ x 2

212-д/ (х 2 -11)2 + x2 + x

р3 = arccos

12+12- [(х 2-11)2 + x 2 + x 2]

27^

(29)

(30)

Уравнения (23), (29) и (30) позволяют решить обратную задачу кинематики для перемещений.

Решение прямой и обратной задачи о положении может использоваться при формировании кинематического алгоритма управления манипулятором [4].

Динамическое управление манипулятором

В системе динамического управления математическая модель динамики манипулятора непосредственно включается в структуру системы управления. В работе [5] описан подход, предусматривающий формирование полной динамической модели робота в процессе управления, т.е. вычисление вектора обобщенных сил в соответствии с уравнением (18) при использовании векторов измеренных значений обобщенных координат ч(0 и скоростей Ч (/) робота. Робот является асимптотически устойчивым в окрестности номинальной траектории, если вектор обобщенных сил

Р^) = АШ){ Ч зад(0 + К0 [Чзад(0 - Ч«] +

+ К1[ Ч зад(0 - Ч Ш + БШ Ч (0) + с(ч(0), (31)

где К0 - матрица размером пхп коэффициентов обратной связи по положению;

К1 - матрица размером пхп коэффициентов обратной связи по скорости.

Схема формирования управляющих воздействий на исполнительный механизм, построенная в соответствии с выражением (31), приведена на рис. 3. Схема вычисляет вектор Р(/) обобщенных сил в соответствии с уравнением (31); вектор 1(/) управляющих токов рассчитывается на основе вектора Р(/) с учетом параметров кинематических передач.

В схеме учитываются взаимовлияние звеньев [матрица Б(ч, Ч )], гравитационные силы [матрица С(ч)], изменение моментов инерции при движении манипулятора [в матрице А(ч)].

Структура системы управления манипулятором

Микропроцессорная система динамического управления манипулятором, работающим в угловых координатах, формируется в соответствии с функциональной схемой, показанной на рис. 4.

Рис 3

Рис. 4

На рис. 4 приняты следующие обозначения элементов схемы:

УВМ - управляющая вычислительная машина;

МСД - модуль связи с датчиками;

МВВ - модуль ввода-вывода;

ИТ1^ИТп - источники тока координат робота, п = 1, 2, 3;

М1^Мп - исполнительные двигатели;

ДС1^ДСп - датчики скоростей;

Р1-Рп - редукторы;

ИМ1^ИМп - исполнительные механизмы координат робота;

ДП1^ДПп - датчики перемещений.

На траектории перемещения манипулятора в соответствии с требуемым технологическим процессом выделяется ряд опорных точек. Промежуточные значения координат между опорными точками рассчитываются в результате интерполяции траектории с помощью кубических сплайнов [6, 7].

УВМ через модуль связи МСД получает информацию с датчиков ДП1^ДП п о положениях координат, с датчиков ДС1^ДСп о скоростях двигателей, и на основе этой информации вырабатываются коды сигналов задания токов.

МВВ преобразует коды в аналоговые сиг-

налы изт1^изтп, которые поступают на источники тока ИТ1^ИТ«. Обмотки якорей исполнительных двигателей М1^М« питаются заданными токами, что обеспечивает отработку требуемых перемещений координат.

Заключение

Результаты выполненной работы следующие.

1. Разработана расчетная схема трехкоор-динатного манипулятора с угловой системой координат.

2. Проведен вывод уравнений движения рассматриваемого трехкоординатного манипулятора в дифференциальной и векторной формах записи.

3. Получено решение прямой и обратной задачи кинематики для трехкоординатного манипулятора, работающего в угловой системе координат.

4. Определена схема формирования управляющих воздействий на исполнительный механизм при динамическом управлении манипулятором.

5. Разработана структура микропроцессорной системы динамического управления манипулятором с угловой системой координат.

Литература

1. Медведев В.А. Энергосберегающая система управления робота "PM-01"// Альтернативная и интеллектуальная энергетика: материалы Междунар. науч.-практ. конф. Воронеж: ВГТУ, 2018. С. 252-253.

2. Медведев В.А., Петренко В.Р., Кузовкин А.В. Моделирование исполнительной системы робота PUMA-560 в среде MATLAB // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2011. Т. 7. № 12.3. С. 4-6.

3. Медведев В.А., Новиков А.А. Моделирование динамики манипулятора с произвольной кинематической схемой // Анализ и проектирование средств роботизации и автоматизации: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 1999. С. 139-142.

4. Хапкина И.К. Синтез управления роботами с использованием вектора скорости // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 9. Ч. 1. С. 186-192.

5. Зенкевич С.Л. Основы управления манипуляци-онными роботами: учебник для вузов. М.: МГТУ, 2006. 480 с.

6. Медведев В.А. Разработка и исследование системы управления манипулятором "PUMA-560"// Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве: труды Междунар. науч.-техн. конф. Воронеж: ВГТУ, 2017. С. 311-315.

7. Медведев В.А. Микропроцессорная система управления манипулятором "PUMA-560"// Вестник Воронежского государственного технического университета. 2017. Т. 13. № 3. С. 34-38.

Поступила 28.02.2019; принята к публикации 22.03.2019 Информация об авторах

Медведев Владимир Алексеевич - канд. техн. наук, доцент кафедры электропривода, автоматики и управления в технических системах, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: va.medved60@yandex.ru, тел. 8(473)243-77-20, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-3509-2190

DYNAMIC CONTROL OF THREE-COORDINATE MANIPULATOR, OPERATING IN THE ANGULAR COORDINATE SYSTEM

V.A. Medvedev Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

Abstract: the theoretical problems that need to be solved to control a modern high-speed robot with low power consumption are determined. A calculation scheme of a three-coordinate manipulator with an angular coordinate system is developed. The analysis of methods of formation of dynamic models of manipulation mechanisms of robots is carried out. Expressions for kinetic and potential energy in accordance with the calculated scheme of the three-coordinate manipulator operating in the angular coordinate system are obtained. Based on the Lagrange apparatus, the equations of motion of a three-coordinate manipulator with an angular coordinate system in differential and vector forms of recording are derived. The solution of the direct and inverse kinematics problem for the considered three-coordinate manipulator, which can be used for kinematic control of the manipulator in the Cartesian coordinate system, is obtained. The theoretical approach providing for the formation of a complete dynamic model of the robot's manipulation mechanism in the control process is considered. The scheme of formation of control actions on the actuator under dynamic control of the manipulator is determined. The structure of microprocessor system of dynamic control of three-link manipulator with angular coordinate system is developed

Key words: robot, three-axis manipulator, dynamic model, dynamic control, angular coordinate system

References

1. Medvedev V.A. "Energy-saving control system of the robot "PM-01"", Proc. of the International scientific-practical conference: "Alternative and intellectual energetic" (Al'ternativnaya i intellektual'naya energetika: materialy Mezhdunar. nauch.-prakt. konf.), Voronezh, VSTU, 2018, pp. 252-253.

2. Medvedev V.A., Petrenko V.R., Kuzovkin A.V. "Modelling of executive system of robot PUMA-560 in matlab environment", The Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2011, vol. 7, no. 12-3, pp. 4-6.

3. Medvedev V.A., Novikov A.A. "Simulation of dynamic behavior of the manipulator with the any cinematic scheme", The interuniversity collection of papers: The analysis and designing of means of a robotics and automations (Analiz i proektirovanie sredstv robotizatsii i avtomatizatsii: mezhvuz. sb. nauch. tr.), Voronezh, VSTU, 1999, pp. 139-142.

4. Khapkina I.K. "Synthesis of robot control using the velocity vector", News of Tula State University. Technical Science (Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie nauki.), 2013, vol. 9, part 1, pp. 186-192.

5. Zenkevich S.L. "Basics of manipulative robots control: textbook for universities" ("Osnovy upravleniya manipulyatsion-nymi robotami: uchebnik dlya vuzov"), Moscow, MSTU, 2006, 480 p.

6. Medvedev V.A. "Development and research of a control system by manipulator "PUMA-560"". Proc. of the International scientific-technical conf.: New technologies in scientific research, design, management, production (Novye tekhnologii v nauchnykh issledovaniyakh, proektirovanii, upravlenii, proizvodstve: trudy Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf.), Voronezh, VSTU, 2017, pp. 311315.

7. Medvedev V.A. "Microprocessor control system for "PUMA-560" manipulator", The Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2017, vol. 13, no. 3, pp. 34-38.

Submitted 28.02.2019; revised 22.03.2019

Information about the author

Vladimir A. Medvedev, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: va.medved60@yandex.ru, tel. 8(473)243-77-20