Математическая модель конвективного теплообмена потока охлаждающей жидкости, двигающегося вдоль поверхности нагретого металлического цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.24:519.63

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПОТОКА ОХЛАЖДАЮЩЕЙ жидкости, двигающегося вдоль поверхности НАГРЕТОГО МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА

1 МАКАРОВ С. С., 1,2КАРПОВ А. И., 3МАКАРОВА Е. В.

1Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34 Удмуртский государственный университет, 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7

АННОТАЦИЯ. В работе приводится математическая модель конвективного теплообмена потока охлаждающей жидкости, двигающегося вдоль поверхности нагретого металлического цилиндра. Математическая модель охлаждения приведена в двухмерной нестационарной постановке, учитывающей осесимметричность течения потока охлаждающей среды относительно продольной оси цилиндра. Для решения системы уравнений использован метод контрольного объема. Параметры поля течения рассчитаны алгоритмом SIMPLE. Для итерационного решения систем линейных алгебраических уравнений использован метод Гаусса-Зейделя с нижней релаксацией. Проведены расчеты по определению величины расчетного шага по радиусу, при котором имеет место адекватное описание гидродинамических и тепловых расчетных параметров, полученных по предлагаемой модели и эмпирическими данными при распределении параметров в ламинарном пограничном слое на пластине. Приведены результаты численных расчетов параметров конвективного теплообмена при начальной температуре нагрева цилиндра, характерной для низкотемпературных тел, на поверхности которых, процесс охлаждения происходит без кипения жидкости. Определены значения температур нагретого цилиндра по линейному и радиальному направлениям при охлаждении потоком охлаждающей жидкости со скоростями, характерными для ламинарного движения. Анализируется интенсивность изменения температуры поверхности металлического цилиндра в зависимости от скорости потока воды и времени процесса охлаждения.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: математическая модель, охлаждение, нагретый металлический цилиндр, теплообмен, поток воды, численный расчет, параметрический анализ.

ВЕДЕНИЕ

В работе [1] авторами приведено численное решение задачи охлаждения потоком воды и воздуха высокотемпературного сплошного металлического цилиндра. При этом охлаждающие потоки жидкости считаются квазистационарными. Проведенные тестовые расчеты подтвердили правильность построение модели и достоверность результатов исследований. В работе [2] приведены результаты математического моделирования охлаждения нагретых под закалку осесимметричных металлических заготовок из конструкционной легированной стали квазистационарными потоками охлаждающей среды. В дальнейшем, рассмотрен случай обтекания поверхности высокотемпературного цилиндра нестационарным одномерным потоком воды в направлении продольной оси [3]. В работе [4] рассмотрена математическая модель охлаждения полой металлической заготовки цилиндрической формы продольными квазистационарными потоками воды. Приведен алгоритм численного решение задачи и результаты расчетов параметров теплообмена цилиндра и потока среды. Определение температур охлаждаемого цилиндра производилось с учетом времени релаксации тепловых напряжений и внутренних источников тепла, вызванных полиморфными превращениями. Результаты расчетных параметров теплообмена цилиндра и потока среды в зависимости от геометрии, теплофизических свойств и времени процесса получены, как и в работах отечественных авторов, на основе критериальных зависимостей по определению условий теплоотдачи. Критериальные уравнения традиционно используют для построения расчетных моделей движения потоков жидкости в нагреваемых каналах теплоэнергетического оборудования [5], охлаждения высокотемпературного металла [6], классических работах [7 - 9] и современных работах по теплообмену [10].

В современных зарубежных работах как экспериментальной направленности [11], так посвященных численным решениям [12], в качестве замыкающих соотношений используются зависимости по определению коэффициента теплоотдачи. В работах [13 - 15], приводятся результаты построения и исследования математических моделей процесса охлаждения металлических тел, нагретых до высоких температур, в которых тепловой поток на границе нагреваемого тела известен [13], или определяется уравнением Ньютона-Рихмана [14, 15]. В работах по численному моделированию теплового состояния сталей и исследованию влияния интенсивности охлаждения на структуру материала в систему уравнений входят замыкающие зависимости в виде тепловых граничных условий третьего рода [16].

Настоящая работа является продолжением исследований авторов статьи и посвящена построению математической модели задачи конвективного теплообмена потока охлаждающей среды и металлического цилиндра при начальной температуре нагрева, характерной для низкотемпературных тел [17], на поверхности которых процесс охлаждения происходит без кипения жидкости.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сплошной металлический цилиндр радиусом гт и длиной Ь охлаждается продольно движущимся в направлении оси х потоком воды с начальной скоростью и0. Толщина слоя натекающей воды г1 — гт. Над слоем воды находится слой воздуха, толщиной га — г1. Физическая схема расчетной области приведена на рис. 1.

и0

О

вода

Рис. 1. Физическая схема расчетной области

При разработке математической модели приняты предположения:

- течение воды и воздуха считается ламинарным и осесимметричным относительно продольной оси цилиндра;

- слои воды и воздуха не перемешиваются, при этом на границе имеет место теплообмен и условия сопряжения по скорости;

- в слое воды, около нагретой поверхности цилиндра процесс парообразования отсутствует;

- воздух описывается уравнением состояния идеального газа. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Система уравнений в газожидкостной среде Гт < г < га имеет вид: _Эи _ Эи _ Эи Эр Э _Эи 1 Э _Эи Эt Эх Эг

+—т—+—гт , Эх Эх Эх г Эг Эг

_Эу _ Эу _ Эу Эр Э _Эу 1 Э _Эу _ V р—+ри—+ру— = ——+—т—+—гт— Эt Эх Эг Эг Эх Эх г Эг Эг г

(1) (2)

др + дМ + 1 d(rPv) = (3)

dt dx r dr

__dT __ d(pu) __dT d тдТ 1 d jdT

pc--+ pcu —--- + pcv— = —1--1---rl —; (4)

dt Эх dr Эх Эх r dr dr

Теплофизические параметры воды и воздуха на границе определяются выражением:

Р = Г Л +(1 - Y )Г,; c,1,m, p = f (Т);

Г =

Г Г

1 a1 l

-, где Г ={c ,1, m}, Га ={ca la ,Ma }, Г1 = fe ,1ц , Hi }•

Г аУа + Г, (1 - Уа

Уравнение энергии для металлического цилиндра 0 < г < гт имеет вид:

ЪТт Э Л ЭГт + 1 Э Л э^

Эt Эх Эх г Эг Граничные условия:

х = 0: 0 < г < г ,

dr

(5)

rm < r < ri ■.

r < r < ra,

x = L : 0 < r < r

rm < r < ra

r = 0: 0 < x < L

r=r

dT = 0;

dx

T = T 0, u = u 0, v = 0;

dU = 0, ^ = 0, dT = 0;

dx dx dx T = T •

1 Jm0'

dT = 0, dU = 0, ^ = 0;

dx dx dx

— = 0,

dr

-1 ^ = -1 OIl, Tm = T, u = 0, v = 0;

m l ^ ? m ? ? ?

dr dr

ЭТ Эи пЭу г = га — = 0, — = 0, — = 0,

Эг Эг Эх

где с - удельная теплоемкость, Дж/(кг-град); р - плотность, кг/м3; Л - теплопроводность, Вт/(м-град); ¡л - динамическая вязкость, Па-с; р - давление, Па; Т- температура, К; t - время, с; г - радиальная координата, м; х - продольная координата, м; Ь - длина расчетной области, м; и - компонента скорости по х, м/с; V - компонента скорости по г, м/с; У - объемная концентрация. Индексы: т - металл; I - жидкость; а - воздух.

МЕТОД РЕШЕНИЯ

Систему уравнений (1) - (5) решается методом контрольного объема. Параметры поля течения и температур рассчитаны алгоритмом SIMPLE [18]. Для итерационного решения систем линейных алгебраических уравнений использован метод Гаусса-Зейделя с нижней релаксацией:

Ф

(к+1)

) + a

I + b

— Ф

(к)

где а < 1 - коэффициент нижней релаксации, имеющий постоянное значение во всей расчетной области для соответствующей переменной Ф ; к - номер итерации, п = к, если

Ф(к;+1) еще не вычислено, п = к +1 в обратном случае; р - расчетный контрольный объем;

', 1

a, b — параметры системы алгебраических уравнений.

p

p

a

p

Для ускорения сходимости итерационного процесса используется последовательный обход узлов сетки в четырех направлениях [19] (рис. 2).

7 А

4 ^

/ 2

1 'у/

3

—^ I

Рис. 2. Порядок обхода узлов сетки расчетной области

1 - I = 0... N,7 = 0... N.; 2 - I = N ...0, 7 = N. ...0; 3 - I = .0,] = 0... N.; 4 - / = 0... ,] = N ...0

Проведем оценочные расчеты по определению величины максимально допустимого расчетного шага по радиусу, при котором имеет место адекватное описание гидродинамических и тепловых расчетных параметров, полученных по предлагаемой модели и эмпирическими данными при распределении параметров в ламинарном пограничном слое на пластине.

Величины локального числа Нуссельта и местного коэффициента трения, согласующиеся с экспериментальными данными, для случая продольно обтекаемой поверхности пластины стационарным потоком несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами, определим как в [20]:

а664 (6)

с х =

2 '

т

2 ' РС

= 0,332 Яе12 Рг13

Чх

ЯиЛ

ь

(Тт - Т):

(7)

(8) (9)

где Яех = и¥х/у1 - число Рейнольдса, определяемое по скорости на внешней границе пограничного слоя для текущего значения продольной координаты х; и¥ - скорость потенциального течения потока; У1 - кинематическая вязкость; Рг - число Прандтля; сх - коэффициента трения; т - напряжение трения; Ыих - число Нуссельта, - удельный тепловой поток.

Рассмотрим поток воды с температурой Т1 = 20 °С, натекающий с начальной скоростью и0 = 1 м/с, на нагретую поверхность с постоянной температурой Тт = 90 °С. Теплофизические параметры воды взяты при средней температуре Т = (Т{ + Тт)/2 .

Согласно расчетной зависимости (6) значение местного коэффициента трения при

Ь ® 0,5 м стабилизируется и составляет

-/х

:0,98 -10"

при заданных условиях

Яе0 5 = 4,5 -105. Напряжение трения находим из (7) т = 0,48 Па. Локальное число Нуссельта

2

из (8) равно Ыи0 5 = 440,26, а тепловой поток из (9) д0 5 = 37 кВт/м .

х

Так как т = щ —

\ Эг у

то для расчета по модели величины градиента скорости примем:

Эи Эг

и12 и11

Аг

, тогда т = щ

( и12 -

и,-

Аг

, где и11 , и12 - значение продольных скоростей в

первой и второй расчетных узлах по радиусу в жидкости; Аг - величина расчетного шага по радиусу расчетной сетки между первым и вторым узлами в жидкости; щ1 - динамическая вязкость воды.

Аналогично, примем для расчета по модели величины удельного теплового потока

( т_ - Т

1 ЭТ

запись вида: -

1

Аг

где Тт - температура поверхности цилиндра;

Т1 - температура в первом расчетном узле жидкости на расстоянии расчетного шага Аг от

последнего расчетного узла по радиусу металла.

На рис. 3, а приведены результаты расчета напряжение трения т, на рис. 3, б -удельный тепловой поток ^ при задаваемых значениях Аг, м на расстоянии Ь ® 0,5 м от

3 5

начала контакта потока с поверхностью, в диапазоне от 10 до 10 м. Индекс 1 - значения, полученные при решении уравнений (6) - (9), 2 -значения, полученные при решении уравнений (1) - (5). Расчетное время t = 1 с. Шаг по времени Аt = 0,01 с.

0,5 0,45 0,4

го

- 0,35 Р

0,3 0,25 0,2

/

Т| 1/

V Т-2

35,2

30,2

25,2

20,2

ш

15,2

10,2

5,2

0,2

10"

1(Г

10" Дг. I

У

\С|2

Аг, м

а)

б)

Рис. 3. К выбору расчетного шага по радиусу

Из полученных результатов можно сделать вывод, что шаг интегрирования по радиусу должен быть Аг <10-5 м.

Для дальнейших расчетов примем сетку N. х = 376 Х1000, имеющую сходящийся профиль на границах металл-жидкость, жидкость-воздух с размерами граничных ячеек 10-5 Х10-5 м при г = гт и г = г{.

В области течения гт < г1 < га будем производить сквозной счет гидродинамических и тепловых параметров потока жидкости и воздуха. Рассчитанное температурное поле в области металла 0 < г < гт сопрягается на границе г = гт через граничные условия с температурным полем потока.

ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ

г =г.

г=г.

т

г=г

т

Для примера, рассмотрим охлаждение сплошного металлического цилиндра гт = 0,05 м, г{ = 0,06 м, га = 0,16 м, Ь = 0,5 м, Тт0 = 90 °С, продольным потоком воды

Т10 = 20 °С. Начальная температура воздуха Та0 = Т10 . Теплофизические параметры сред приняты согласно [21, 22].

На рис. 4 приведены результаты изменения температуры поверхности цилиндра вдоль оси при г = гт. Начальная скорость потока воды и0: 0,1; 0,5 и 1 м/с. Время расчета X = 10 с. Решается система уравнений (1) - (5). Шаг по времени А: = 0,01 с.

Ь, м

Рис. 4. Температура по длине поверхности цилиндра при г = гт

На рис. 5 приведены результаты изменения температуры по радиусу цилиндра в расчетной точке, расположенной по центру.

О 1-"

г, м

Рис. 5. Температура в центре по радиусу цилиндра

Видно, что за расчетное время при увеличении скорости с 0,1 до 1 м/с температура поверхности цилиндра снижается на начальном участке быстрее, в среднем на 22 %, и по мере продвижения потока по поверхности цилиндра составляет 7 % (см. рис. 4). По радиусу (см. рис. 5) отличие температуры меньше, и составляет на поверхности при г ® 0,05 в среднем 6 %.

На рис. 6 приведены изменения расчетных значений температуры поверхности, в центре цилиндра, за время X = 10 с при начальной скорости потока воды и0 = 0,1; 0,5 и 1 м/с.

То,1

/ То,5

/

Т1

I 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 I, с

Рис. 6. Температура поверхности в центре цилиндра по времени

Как видно из результатов расчета, при увеличении скорости охлаждающего потока воды в 10 раз, температура поверхности в центре цилиндра за расчетное время снижается примерно на 4 °С.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С использованием математической модели конвективного теплообмена получены численные результаты изменения температуры металлического цилиндра, охлаждаемого потоком воды, двигающимся вдоль нагретой поверхности. Оценено максимально допустимое значение расчетного шага по радиусу, при котором имеет место адекватное описание гидродинамических и тепловых расчетных параметров, полученных по предлагаемой модели и эмпирическими данными при распределении параметров в ламинарном пограничном слое на пластине. Приведены результаты численных расчетов параметров конвективного теплообмена при начальной температуре нагрева цилиндра, характерной для низкотемпературных тел, на поверхности которых процесс охлаждения происходит без кипения жидкости. Определены значения температур нагретого цилиндра по линейному и радиальному направлениям при охлаждении потоком охлаждающей жидкости со скоростями, характерными для ламинарного движения. Приведен анализ интенсивности изменения температуры поверхности металлического цилиндра по времени процесса охлаждения в зависимости от значения скорости потока воды.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-08-04034).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Липанов А. М., Макаров С. С. Численное решение задачи охлаждения потоком воды и воздуха высокотемпературного сплошного металлического цилиндра // Машиностроение и инженерное образование. 0014. № 1. С. 36-41.

0. Макаров С. С., Чекмышев К. Э., Храмов С. Н., Макарова Е. В. Математическое моделирование охлаждения при закалке осесимметричных металлических заготовок // Вестник ИжГТУ имени М.Т. Калашникова. 0014. Вып. 3(63). С. 38-43.

3. Макаров С. С., Чекмышев К. Э., Макарова Е. В. Математическая модель охлаждения цилиндрической заготовки одномерным нестационарным потоком воды // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 0014. № 4(007). С. 196-000.

4. Липанов А. М., Макаров С. С. Численное решение задачи охлаждения полых металлических заготовок цилиндрической формы продольными потоками воды // Химическая физика и мезоскопия. 0014. Т. 16, № 4. С. 504-509.

5. Лабунцов Д. А., Ягов В. В. Механика двухфазных систем. М. : Изд-во МЭИ, 0000. 374 с.

6. Лабейш В. Г. Жидкостное охлаждение высокотемпературного металла. Л. : Изд-во Ленинградского университета, 1983. 172 с.

7. Кутателадзе С. С., Стырикович М. А. Гидродинамика газожидкостных систем. М. : Энергия, 1976. 296 с.

8. Исаченко В. П., Курнышев В. И. Струйное охлаждение. М. : Энергоатомиздат, 1984. 216 с.

9. Дорфман А. Ш. Теплообмен при обтекании неизотермических тел. М. : Машиностроение, 1982. 192 с.

10. Мазо А. Б. Основы теории и методы расчета теплопередачи. Казань : Изд-во Казанского университета, 2013. 144 с.

11. Hasan H. S., Peet M. J., Jalil J. M., Bhadeshia H. Heat Transfer Coefficient During Quenching of Steel // Heat and Mass Transfer, 2011, vol. 47, no. 3, pp. 315-321.

12. Barglik J., Arendarska J., Dolega D., Smagor A. Numerical Modeling of Induction Hardening of Steel Bodies // International Scientific Colloquium «Modeling for Electromagnetic Processing», Hannover, 2008, pp. 111-116.

13. Babu K., Prasanna Kumar T.S. Mathematical Modeling of Surface Heat Flux During Quenching // Metallurgical and Materials Transactions B, 2010, vol. 41, no. 1, pp. 214-224.

14. Hakberg В., Hogberg T. Mathematical Model for Hardening of Steel // Materials Science and Engineering, 1978, vol. 35, no. 2, pp. 205-211.

15. Isukapalli B. Sankar, K. Mallikarjuna Rao, A. Gopala Krishna. Prediction of Heat Transfer Coefficient of Steel Bars Subjected to Tempcore Process Using Nonlinear Modeling // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010, vol. 47, no. 9, pp. 1159-1166.

16. Fasano A., Homberg D., Panizzi L. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences // Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2009, vol. 19, pp. 2101-2126.

17. Мастрюков Б. С. Теплофизика металлургических процессов. М. : МИСИС, 1996. 268 с.

18. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М. : Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

19. Безуглый В. Ю., Беляев Н. М. Численные методы теории конвективного тепломассообмена. Киев-Донецк : Вища школа, 1984. 176 с.

20. Теория тепломассообмена / под ред. А. И. Леонтьева. М. : Высшая школа, 1979. 495 с.

21. Вукалович М. П. Теплофизические свойства воды и водяного пара. М. : Машиностроение, 1967. 160 с.

22. Сорокин В. Г., Гервасьев М. А. Стали и сплавы. Марочник. Справочное издание. М. : Интермет Инжиниринг, 2001. 608 с.

MATHEMATICAL MODEL OF CONVECTIVE HEAT TRANSFER COOLANT FLOW MOVING ALONG THE SURFACE OF THE HEATED METAL CYLINDER

:Makarov S. S., 1,2Karpov A. I., 3Makarova E. V.

institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia

2Udmurt State University, Izhevsk, Russia

3Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia

SUMMARY. The paper presents a mathematical model of convective heat transfer coolant flow, moving along the surface of the heated metal cylinder. Mathematical model of cooling is given in a two-dimensional non-stationary formulation, taking into account the axisymmetric flow of the cooling fluid flow relative to the longitudinal axis of the cylinder. To solve a system of equations used by the control volume method. the flow field parameters calculated algorithm SIMPLE. For the iterative solution of systems of linear algebraic equations of the method of Gauss-Seidel with lower relaxation. The calculations to determine the magnitude of the calculated step along the radius in which there is an adequate description of hydrodynamic and thermal design parameters obtained by the proposed model and empirical data in the distribution of the parameters in the laminar boundary layer on a plate. The results of numerical calculations of the parameters of convective heat transfer at the initial temperature of the cylinder heat, characteristic of the low-temperature bodies, on their surface, the cooling process occurs without boiling liquid. The values of a heated cylinder temperatures in a linear and radial direction while cooling the flow of coolant at speeds typical of laminar flow. Analyzes the intensity change of the surface temperature of the metal cylinder, depending on the water flow rate and time of cooling.

KEYWORDS: mathematical model, cooling the heated metal cylinder, heat transfer, water flow, numerical calculation, parametric analysis.

REFERENCES

1. Lipanov A. M., Makarov S. S. Chislennoe reshenie zadachi ohlazhdenija potokom vody i vozduha vysokotemperaturnogo sploshnogo metallicheskogo cilindra [The numerical solution of the problem of cooling flow of air and water of high temperature solid metal cylinder]. Mashinostroenie i inzhenernoe obrazovanie, 2014, no. 1, pp. 36-41.

2. Makarov S. S., Chekmyshev K. Je., Hramov S. N., Makarova E. V. Matematicheskoe modelirovanie ohlazhdenija pri zakalke osesimmetrichnyh metallicheskih zagotovok [Mathematical modeling of cooling during quenching axisymmetric metal blanks]. VestnikIzhGTUimeniM.T. Kalashnikova, 2014, vol. 3(63), pp. 38-43.

3. Makarov S. S., Chekmyshev K. Je., Makarova E. V. Matematicheskaja model' ohlazhdenija cilindricheskoj zagotovki odnomernym nestacionarnym potokom vody [Mathematical model of cooling cylindrical workpiece dimensional unsteady flow of water]. Nauchno-tehnicheskie vedomosti SPbGPU, 2014, vol. 4(207), pp. 196-202.

4. Lipanov A. M., Makarov S. S. Chislennoe reshenie zadachi ohlazhdenija polyh metallicheskih zagotovok cilindricheskoj formy prodol'nymi potokami vody [The numerical solution of the problem of cooling the hollow cylindrical metal blanks form longitudinal water flow]. Himicheskaja fizika i mezoskopija, 2014, vol. 16, no. 4, pp. 524-529.

5. Labuncov D. A., Jagov V. V. Mehanika dvuhfaznyh sistem [Mechanics of two-phase systems]. Moscow: MPEI Publ., 2000, 374 p.

6. Labejsh V. G. Zhidkostnoe ohlazhdenie vysokotemperaturnogo metalla [Liquid-cooled high-temperature metal]. Leningrad: LU Pabl., 1983, 172 p.

7. Kutateladze S. S., Styrikovich M. A. Gidrodinamika gazozhidkostnyh sistem [The hydrodynamics of gas-liquid systems]. Moscow: Jenergija Publ., 1976, 296 p.

8. Isachenko V. P., Kurnyshev V. I. Strujnoe ohlazhdenie [Jet cooling]. Moscow: Energoatomizdat Publ., 1984, 216 p.

9. Dorfman A. Sh. Teploobmenpri obtekanii neizotermicheskih tel [Heat transfer in non-isothermal flow of bodies]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1982, 192 p.

10. Mazo A. B. Osnovy teorii i metody rascheta teploperedachi [Basic theory and methods of calculation of heat transfer]. Kazan': Kazan. University Publ., 2013, 144 p.

11. Hasan H. S., Peet M. J., Jalil J. M., Bhadeshia H. Heat transfer coefficient during quenching of steel. Heat and mass transfer, 2011, vol. 47, no. 3, pp. 315-321.

12. Barglik J., Arendarska J., Dolega D., Smagor A. Numerical Modeling of Induction Hardening of Steel Bodies. International Scientific Colloquium «Modeling for Electromagnetic Processing», Hannover, 2008, pp. 111-116.

13. Babu K., Prasanna Kumar T.S. Mathematical Modeling of Surface Heat Flux During Quenching. Metallurgical and Materials Transactions B, 2010, vol. 41, no. 1, pp. 214-224.

14. Hakberg В., Hogberg T. Mathematical Model for Hardening of Steel. Materials Science and Engineering, 1978, vol. 35, no. 2, pp. 205-211.

15. Isukapalli B. Sankar, K. Mallikarjuna Rao, A. Gopala Krishna. Prediction of Heat Transfer Coefficient of Steel Bars Subjected to Tempcore Process Using Nonlinear Modeling. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010, vol. 47, no. 9, pp. 1159-1166.

16. Fasano A., Homberg D., Panizzi L. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2009, vol. 19, pp. 2101-2126.

17. Mastrjukov B. S. Teplofizika metallurgicheskihprocessov [Thermophysics of metallurgical processes]. Moscow: MISIS Publ., 1996, 268 p.

18. Patankar S. Chislennye metody reshenija zadach teploobmena i dinamiki zhidkosti [Numerical methods for solving problems of heat transfer and fluid dynamics]. Moscow: Jenergoatomizdat Publ., 1984, 152 p.

19. Bezuglyj V. Ju., Beljaev N. M. Chislennye metody teorii konvektivnogo teplomassoobmena [Numerical methods of the theory of convective heat and mass transfer]. Kiev-Donetsk: Vishha shkola Publ., 1984, 176 p.

20. Teorija teplomassoobmena [Heat and mass transfer]. Pod. red. A. I. Leont'eva. Moscow: Vyssh. shkola Publ., 1979, 495 p.

21. Vukalovich M. P. Teplofizicheskie svojstva vody i vodjanogo para [Thermal properties of water and steam]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1967, 160 p.

22. Sorokin V. G., Gervas'ev M. A. Stali i splavy. Marochnik [Steel and steel alloys]. Moscow: Intermet Inzhiniring Publ., 2001, 608 p.

Макаров Сергей Сергеевич, кандидат технических наук, заведующий лабораторией термодеформационных процессов ИМ УрО РАН, e-mail: ssmakl5@mail. ru

Карпов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией физико-химической механики ИМ УрО РАН, заведующий кафедрой вычислительной механики УдГУ, e-mail: karpov@,udman. ru

Макарова Елена Валерьевна, кандидат технических наук ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, e-mail: evmak7@yandex. ru