CC BY
19
УДК 536.24:519.63
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОХЛАЖДЕНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОТОКОМ ВОДЫ
1,2макаров с. с., 1,3карпов а. и., 2макарова е. в.
1Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34 Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7
Удмуртский государственный университет, 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1
АННОТАЦИЯ. В работе приводится математическая модель конвективного теплообмена потока охлаждающей жидкости, двигающегося вдоль поверхности нагретого металлического цилиндра. Математическая модель охлаждения приведена в двухмерной нестационарной постановке, учитывающей осесимметричность течения потока охлаждающей среды относительно продольной оси цилиндра. Для решения системы уравнений использован метод контрольного объема. Параметры поля течения рассчитаны алгоритмом SIMPLE. Для итерационного решения систем линейных алгебраических уравнений использован метод Гаусса-Зейделя с нижней релаксацией. Приведены результаты численных расчетов параметров конвективного теплообмена при начальной температуре нагрева цилиндра, характерной для высокотемпературных тел, на поверхности которых, процесс охлаждения происходит с кипением жидкости. Определены значения температур нагретого цилиндра по линейному и радиальному направлениям при охлаждении потоком охлаждающей жидкости со скоростями, характерными для турбулентного режима движения. Анализируется интенсивность изменения температуры поверхности металлического цилиндра в зависимости от скорости потока воды и времени процесса охлаждения.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: математическая модель, охлаждение, нагретый металлический цилиндр, теплообмен, поток воды, турбулентный режим, численный расчет, параметрический анализ.
ВЕДЕНИЕ
В работе [1] приведено численное решение задачи охлаждения потоком воды и воздуха высокотемпературного сплошного металлического цилиндра. При этом охлаждающие потоки жидкости считаются квазистационарными. Проведенные тестовые расчеты подтвердили правильность построения модели и достоверность результатов исследований. В работе [2] приведены результаты математического моделирования охлаждения нагретых под закалку осесимметричных металлических заготовок из конструкционной легированной стали квазистационарными потоками охлаждающей среды. В дальнейшем рассмотрен случай обтекания поверхности высокотемпературного цилиндра нестационарным одномерным потоком воды в направлении продольной оси [3]. В работе [4] рассмотрена математическая модель охлаждения полой металлической заготовки цилиндрической формы продольными квазистационарными потоками воды. Приведен алгоритм численного решения задачи и результаты расчетов параметров теплообмена цилиндра и потока среды. Определения температур охлаждаемого цилиндра производились с учетом времени релаксации тепловых напряжений и внутренних источников тепла, вызванных полиморфными превращениями. Результаты расчетных параметров теплообмена цилиндра и потока среды в зависимости от геометрии, теплофизических свойств и времени процесса получены, как и в работах отечественных авторов, на основе критериальных зависимостей по определению условий теплоотдачи.
В работе [5] рассмотрена математическая модель конвективного теплообмена металлического цилиндра при начальных температурах нагрева, характерных для низкотемпературных тел [6], по поверхности которых движется сплошной поток охлаждающей среды при ламинарном режиме течения. Охлаждение происходит без кипения жидкости.
Интерес представляет исследование влияния скорости течения сплошного потока на интенсивность отвода тепла от нагретых поверхностей. Как известно, увеличение скорости приводит к турбулизации потока и, как следствие, изменяется картина течения и теплообмена. Современные теоретические положения построения математических моделей турбулентных течений изложены в отечественных работах [7 - 13]. Из зарубежных работ следует выделить [14 - 19].
Очевидно, что максимально строгим методом моделирования турбулентности является прямое численное моделирование (DNS). Однако, численная реализация требует значительных вычислительных ресурсов вследствие необходимости использования максимально высокого сеточного разрешения. Менее затратные методы моделирования крупных вихрей (LES) и применение уравнений Навье-Стокса, осредненных по Рейнольдсу (RANS) основаны на использовании полуэмпирических моделей турбулентности и приведенных констант.
В настоящей работе модель движения потока сплошной среды дополнена уравнениями, определяющими связь между тензором напряжений Рейнольдса и параметрами осредненного течения. В качестве модели турбулентности выбрана к — w модель турбулентности, в которой решаются два дополнительных уравнения для транспорта кинетической энергии турбулентности к и удельной скорости диссипации энергии турбулентности w.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Сплошной металлический цилиндр радиусом rm и длиной L охлаждается, продольно движущимся в направлении оси х, потоком воды с начальной скоростью u0. Толщина слоя натекающей воды rl — rm. Над слоем воды находится слой воздуха толщиной ra — rl. Физическая схема расчетной области приведена на рис. 1.
При разработке математической модели приняты предположения:
- течение воды и воздуха считается осесимметричным относительно продольной оси цилиндра, режим течения турбулентный;
- параметры в направлении г изменяются непрерывно, при этом на границе между водой и воздухом выполняются условия сопряжения по скоростным и тепловым параметрам;
- в воде, у поверхности цилиндра имеет место процесс парообразования;
- пар считается насыщенным и описывается уравнением состояния идеального газа, плотность пара значительно меньше плотности жидкости;
- испарение считается равновесным, давление пара однородно по объему и равно давлению в жидкости;
- воздух описывается уравнением состояния идеального газа.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Система уравнений в газожидкостной среде гт < г < га имеет вид:
_Эи _ Эи _ Эи Эр Э /_ \ди 1 Э /_ \Эи
+ри—+ру— = —(м+Мт г (М+Мт , (1)
Эt Эх Эг Эх Эх Эх г Эг Эг
_Эу _ Эу _ Эу Эр Э / чЭу 1 Э / чЭу / ч V р — + ри — + ру— = —+ — (м + Мт + г(М+Мт )^--\Ц + Мт )—г, (2)
Эt Эх Эг Эг Эх Эх г Эг Эг
г
ЭР + Э(Ри) + 1 Э(гРу) = 0 (3) Эt Эх г Эг
_ЭТ _ ЭТ _ ЭТ Э 0 \ЭТ 1 Э 0 \ЭТ .
Рс + + рсу — = v (1 +1 + г 1 +1 к--т & , (4)
Эt Эх Эг Эх Эх г Эг Эг
рК + ри К + ру к = ту. (5)
Эt Эх Эг
Здесь и далее по тексту обозначение операций осреднения по Рейнольдсу (как и, V и т.д.)
опущено, а символ ( ) используется для эффективных параметров многокомпонентной среды.
Модель турбулентности типа к — а Уилкокса [11]:
— Эк _ Эк _ Эк Э /_ \Эк 1 Э /_ \Эк „ ,
р — + ри — + ру— = — (ц + °кМт + г(М + ®к№т Ь" + О — рЬ ак, (6)
Эt Эх Эг Эх Эх г Эг Эг
— Эа _ Эа _ Эа Э ,— \Эк 1 Э /_ \Эк а„ п 2
Р^7 + Ри^Г + РУ^Г = ^\М+°аМт + г \М + °аМт )^т + ат ° — РЬа , (7)
дt Эх Эг Эх Эх г Эг Эг к
а = -, Ь = 0,09, ск = 0,5, оа = 0,5, Ь = 0,075, О = мтГ— + —] , 9 ^ Эг Эх)
Мт =Р, 1 = М, Ргт = 0,9 [12]. а Ргт
Эффективные теплофизические параметры среды определяются следующим образом: р= ГТ + (1 — Ту )Г 2, где Г = {р};
область (вода - пар) гт < г < г1: Г2 = {р}; область (воздух - пар) Т1 < г < га: Г2 ={ра}; Р = р/ят, р = р, ра}, Л = {Л, };
Г =-Г-, где Г = {с,1,м}, Гу = {су,1 ,М„};
г(1—Ту)+гТ: у
область (вода - пар) тп < г < г1: Га1 = {с1,11 ,м }; область (воздух - пар) г1 < г < га: Га1 = {са ,1а ,Ма};
на границе сред (вода - воздух) г = г1 : Г = {с,1,м} определяется через Га1;
удельная массовая скорость парообразования, находится из уравнения теплового баланса:
пV = (~Р~сЛт*)А ,
где приведенный поток тепла определяется следующим соотношением: * Г0, если т ^ + А/ )< = |[т(t + М) — тп ^)УAt, если т^ + Лt)> тп ^) = тах[т); т^, ], Лt - шаг по времени.
Уравнение энергии для металлического цилиндра 0 < г < гт имеет вид:
Этп Э . Этп 1 Э . Этп
р с —п = —1 —п +--г1 —п . (8)
Эt Эх Эх г Эг Эг
Граничные условия: х = 0: 0 < r < г
rm < r < r
Г < r < ra
х = L : 0 < r < r
r < r < r
m a
0: 0 < х < L
r = r
— = 0;
Эх
T = Т10, u = u0, v = 0;
du = 0, 5v = 0, Эт = 0, Эх Эх Эх
Ш = 0, dw= 0
Эг Эг T = T •
1 1 m0 '
ЭТ = 0, Эи = 0, * = 0,
Эх Эх Эх
Эк = 0, W = 0; Эг Эг
— = 0;
Эг
ЭТ —ЭТ -1 —m = -1—, Tm = Т, u = 0, v = 0, m Эг Эг
k = 0, w = 6M ■
r=r
PbDri '
— = 0, ^ = 0, ^v = 0,
a Эг Эг Эх
дк = 0, 3w= 0,
r r
с - удельная теплоемкость, Дж/(кг • град); р - плотность, кг/м3; 1 - теплопроводность, Вт/(м • град); m - динамическая вязкость, Па • с; p - давление, Па; Т - температура, К; t - время, с; r - радиальная координата, м; х - продольная координата, м; L - длина расчетной области, м; u - компонента скорости по х; v - компонента скорости по r, м/с; Y - объемная концентрация, Q - удельная теплота испарения, Дж/кг; к - кинетическая энергия турбулентности, м2/с2 ; w - удельная скорость диссипации, 1/с. Индексы: m - металл, I - жидкость, a - воздух, v - пар, 0 - начальное значение, ^ - параметры насыщения, Т - параметр турбулентности.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Система уравнений (1) - (8) решается методом контрольного объема. Параметры поля течения и температур рассчитаны алгоритмом SIMPLE [20]. Для итерационного решения систем линейных алгебраических уравнений использован метод Гаусса-Зейделя с нижней релаксацией. Для ускорения сходимости итерационного процесса используется последовательный обход узлов сетки в четырех направлениях [21]. Для проведения расчетов примем сетку N}- х Nf = 1187 х 1000, имеющую сходящийся профиль на границах металл -
жидкость, жидкость - воздух с размерами граничных ячеек 10-6 х 10-6 м при r = rm и r = r,. В области течения rm < r, < ra будем производить сквозной счет гидродинамических и тепловых параметров потока жидкости и воздуха. Рассчитанное температурное поле в области металла 0 < r < rm сопрягается на границе r = rm через граничные условия с температурным полем потока.
r
ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ
Для примера, рассмотрим охлаждение сплошного металлического цилиндра гт = 0,02 м, г1 = 0,03 м, га = 0,05 м, Ь = 0,3 м, Тт0 = 350 °С, продольным потоком воды
Т0 = 20 °С. Начальная температура воздуха Та0 = Т0. Теплофизические параметры сред приняты согласно [22, 23]. Материал цилиндра сталь 30ХГСН2А.
На рис. 2 приведены результаты изменения температуры поверхности цилиндра вдоль оси при г = гт. Начальная скорость потока воды и0: 1, 5 и 10 м/с. Время расчета I = 10 с. Решается система уравнений (1) - (8). Шаг по времени & = 0,01 с.
350
300
О
1-" 250
200
150
0
Т1, Т5, Т10 - температура, рассчитанная при и0: 1 м/с, 5 м/с и 10 м/с Рис. 2. Температура по длине поверхности цилиндра на начальном участке
На рис. 3 приведены результаты изменения температуры по радиусу цилиндра в расчетной точке, расположенной по центру ( х = 0,15 м).
350
340
330 320
О,
^ 310 300 290
280
0.01 0.015 0.02
г, м
Рис. 3. Температура в центре по радиусу цилиндра
\т.
10
.0
0.018
0.036 0.054
V л,г
Видно, что за расчетное время при увеличении скорости с 1 м/с до 10 м/с температура поверхности цилиндра снижается на начальном участке быстрее, в среднем на 20 %, и по мере продвижения потока по поверхности цилиндра составляет 10 % (см. рис. 2). По радиусу (см. рис. 3) температура снижается по мере роста скорости потока, и максимальное отличие имеет на поверхности при г ® 0,02 в среднем на 3 %.
На рис. 4 приведены изменения расчетных значений температуры поверхности, в центре (х = 0,15 м) металлического цилиндра по времени. Согласно постановке задачи (см. рис. 1), в начальный момент времени вдоль всей нагретой поверхности цилиндра, с температурой Тт0 находится вода с начальной температурой Т0. Вследствие чего за
непродолжительный момент времени, порядка 0,1 мс, температура поверхности снижается и составляет 280 - 295 °С.
По мере прогрева верхних слоев поверхности за счет тепла заготовки, сопровождающийся движением жидкости и процессом парообразования, наблюдается возрастание температуры поверхности, определяемое энергетическим балансом системы, и дальнейшее ее снижение с интенсивностью пропорциональной скорости охлаждающего
Т - температура, рассчитанная с учетом модели турбулентности;
Т[ - температура, рассчитанная без учета модели турбулентности Рис. 4. Температура поверхности цилиндра по времени (х = 0,15 м)
Как видно из результатов расчета, при увеличении скорости охлаждающего потока воды в 10 раз, температура в расчетной точке поверхности цилиндра за расчетное время снижается примерно на 10 °С.
При применении модели турбулентности меняется профиль температур поверхности охлаждаемого цилиндра по времени. В силу интенсификации процессов теплообмена наблюдается рост температуры на начальном временном интервале и последующим монотонным снижением температуры с интенсивностью пропорциональной скорости охлаждающего потока воды.
Сопоставляя значения температур, получаемых за расчетное время при учете турбулентности Т1 и без такового Т[, видно, что учет турбулентности приводит к увеличению теплового потока на поверхности вследствие турбулентного переноса и более интенсивному снижению температуры.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
С использованием математической модели получены численные результаты изменения температур металлического цилиндра, охлаждаемого потоком воды, двигающимся вдоль нагретой поверхности. Приведены результаты численных расчетов параметров конвективного теплообмена при начальных температурах нагрева, характерных для высокотемпературных поверхностей, на которых процесс охлаждения происходит с кипением жидкости. Определены значения температур нагретого цилиндра по линейному и радиальному направлениям при охлаждении потоком охлаждающей жидкости со скоростями, характерными для турбулентного режима течения. Приведен анализ интенсивности изменения температуры поверхности металлического цилиндра по времени процесса охлаждения в зависимости от значения скорости потока воды.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-08-04034). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Липанов А. М., Макаров С. С. Численное решение задачи охлаждения потоком воды и воздуха высокотемпературного сплошного металлического цилиндра // Машиностроение и инженерное образование. 2014. № 1. C. 36-41.
2. Макаров С. С., Чекмышев К. Э., Храмов С. Н., Макарова Е. В. Математическое моделирование охлаждения при закалке осесимметричных металлических заготовок // Вестник ИжГТУ имени М.Т. Калашникова. 2014. Вып. 3 (63). С. 38-43.
3. Макаров С. С., Чекмышев К. Э., Макарова Е. В. Математическая модель охлаждения цилиндрической заготовки одномерным нестационарным потоком воды // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2014. № 4 (207). С. 196-202.
4. Липанов А. М., Макаров С. С. Численное решение задачи охлаждения полых металлических заготовок цилиндрической формы продольными потоками воды // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, № 4. С. 524-529.
5. Макаров С. С., Карпов А. И., Макарова Е. В. Математическая модель конвективного теплообмена при взаимодействии потока охлаждающей жидкости, двигающегося вдоль поверхности нагретого металлического цилиндра // Химическая физика и мезоскопия. 2016. Т. 18, № 1. С. 32-40.
6. Мастрюков Б. С. Теплофизика металлургических процессов. М. : МИСИС, 1996. 268 с.
7. Липанов А. М. Теоретическая гидромеханика ньютоновских сред. М. : Наука. 2011. 551 с.
8. Фрик П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Пермь : ПГТУ, 1998. Ч. I. 108 с.
9. Фрик П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Пермь : ПГТУ, 1999. Ч. II. 136 с.
10. Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование турбулентных течений : Учебное пособие. СПб. : БГТУ, 2001. 108 с.
11. Гарбарук А. В. Течение вязкой жидкости и модели турбулентности: методы расчета турбулентности : Конспект лекций. СПб. : СПбГПУ, 2010. 127 с.
12. Гарбарук А. В., Стрелец М. Х., Шур М. Л. Моделирование турбулентности в расчетах сложных течений. СПб. : Изд-во Политехнического университета, 2012. 88 с.
13. Волков К. Н., Емельянов В. Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. 368 с.
14. Launder B. E., Spalding D. B. Lectures in mathematical models of turbulence. London, New York: Academic Press, 1972. 169 c.
15. Launder B. E., Spalding D. B. The numerical computation of turbulent flows // Computational Methods of Applied Mechanical Engineering, 1974, vol. 3, pp. 269-289.
16. Reynolds W. C. Computation of Turbulent Flows // Annual Review of Fluid Mechanics, 1976, vol. 8, pp. 183-208.
17. Spalart P. R. and Allmaras S. R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows. Technical Report AIAA-92-0439, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1992. 22 c.
18. Spalart P. R. Strategies for Turbulence Modelling and Simulation // International Journal of Heat and Fluid Flow, 2000, vol. 21, pp. 252-263.
19. Wilcox D. C. Formulation of the k-omega Turbulence Model Revisited // AIAA Journal, 2008, vol. 46, no. 11, pp. 2823-2838.
20. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М. : Энергоатомиздат, 1984. 152 с.
21. Безуглый В. Ю., Беляев Н. М. Численные методы теории конвективного тепломассообмена. Киев-Донецк : Вища школа, 1984. 176 с.
22. Вукалович М. П. Теплофизические свойства воды и водяного пара. М. : Машиностроение, 1967.
160 с.
23. Стали и сплавы. Марочник / под ред. В.Г. Сорокина, М.А. Гервасьева. М. : Интермет Инжиниринг, 2001. 608 с.
24. Лабейш В. Г. Жидкостное охлаждение высокотемпературного металла. Л. : Изд-во Ленинградского университета, 1983. 172 с.
NUMERICAL SIMULATION OF COOLING METAL CYLINDER TURBULENT FLOWS OF WATER
1'2Makarov S. S., 1,3Karpov A. I., 2Makarova E. V.
institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia
2Udmurt State University, Izhevsk, Russia
3Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Development of mathematical models and study the features of the processes of heat exchange, associated with the choice of hydrodynamic and thermal flow parameters of the media to create the required cooling rate of heated metal bodies is a priority direction of scientific theoretical and practical research. Development of mathematical models, numerical algorithm for solving the dual problem and their own implementation, will allow for immediate verification and correction algorithms model and bills allowing for the cooling process of hot metal body fluid flows. The paper presents a mathematical model of convective heat transfer coolant flow, moving along the surface of the heated metal cylinder. Mathematical model of cooling is given in a two-dimensional non-stationary formulation, taking into account the axisymmetric flow of the cooling fluid flow relative to the longitudinal axis of the cylinder. To solve a system of equations used by the control volume method. the flow field parameters calculated algorithm SIMPLE. For the iterative solution of systems of linear algebraic equations of the method of Gauss-Seidel with lower relaxation. The results of numerical calculations of the parameters of convective heat transfer during initial heating cylinder temperature characteristic of high bodies, on their surface, the cooling process occurs with the boiling liquid. The values of a heated cylinder temperatures in a linear and radial directions with a stream of cooling the coolant at speeds typical for turbulent flow regime. Analyzes the intensity change of the surface temperature of the metal cylinder, depending on the water flow rate and time of cooling.
KEYWORDS: mathematical model, cooling the heated metal cylinder, heat transfer, water flow, the turbulent regime, numerical calculation, parametric analysis.
REFERENCES
1. Lipanov A. M., Makarov S. S. Chislennoe reshenie zadachi ohlazhdenija potokom vody i vozduha vysokotemperaturnogo sploshnogo metallicheskogo cilindra [Numerical solution of the problem of cooling solid metal cylinder with water and air flow]. Mashinostroenie i inzhenernoe obrazovanie [Engineering and Engineering Education], 2014, no. 1, pp. 36-41.
2. Makarov S. S., Chekmyshev K. Je., Hramov S. N., Makarova E. V. Matematicheskoe modelirovanie ohlazhdenija pri zakalke osesimmetrichnyh metallicheskih zagotovok [Mathematical Modeling of Cooling During Quenching of Axially Symmetric Metal Blanks]. Vestnik IzhGTU imeni M.T. Kalashnikova [Bulletin of Izhevsk State Technical University named after MT Kalashnikov], 2014, no. 3 (63), pp. 38-43.
3. Makarov S. S., Chekmyshev K. Je., Makarova E. V. Matematicheskaja model' ohlazhdenija cilindricheskoj zagotovki odnomernym nestacionarnym potokom vody [Mathematical model of cylindrical blank cooling by one-dimensional non-stationary water stream]. Nauchno-tehnicheskie vedomosti SPbGPU [Scientific and technical statements STU], 2014, no. 4(207), pp. 196-202.
4. Lipanov A. M., Makarov S. S. Chislennoe reshenie zadachi ohlazhdenija polyh metallicheskih zagotovok cilindricheskoj formy prodol'nymi potokami vody [Numerical solution of the cooling of hollow cylindrical metal blanks form of a longitudinal flow of water]. Himicheskaja fizika i mezoskopija [Chemical Physics and mezoskopiya], 2014, vol. 16, no. 4, pp. 524-529.
5. Makarov S. S. Karpov A. I. Makarova E. V. Matematicheskaya model konvektivnogo teploobmena pri vzaimodeistvii potoka ohlajdayuschei jidkosti dvigayuschegosya vdol poverhnosti nagretogo metallicheskogo cilindra [Mathematical model of convective heat transfer coolant flow moving along the surface of the heated metal cylinder]. Himicheskaja fizika i mezoskopija [Chemical Physics and mezoskopiya], 2016, vol. 18, no. 1, pp. 32-40.
6. Mastrjukov B. S. Teplofizika metallurgicheskih processov [Thermophysics of metallurgical processes]. Moscow: MISIS Publ., 1996. 268 p.
7. Lipanov A. M. Teoreticheskaya gidromehanika nyutonovskih sred [Theoretical Fluid Newtonian fluids]. Moscow: Nauka Publ., 2011. 551 p.
8. Frik P. G. Turbulentnost: modeli ipodhodi. Kurs lekcii [Turbulence: models and approaches. Lecture course]. Perm: PGTU Publ., 1998, part. I. 108 p.
9. Frik P. G. Turbulentnost: modeli ipodhodi. Kurs lekcii [Turbulence: models and approaches. Lecture course]. Perm: PGTU Publ., 1999, part II. 136 p.
10. Belov I. A., Isaev S. A. Modelirovanie turbulentnyh techenij: Uchebnoe posobie [Simulation of turbulent flows: Textbook]. St. Petersburg: BGTU Publ., 2001. 108 p.
11. Garbaruk A. V. Techenie vyazkoj zhidkosti i modeli turbulentnosti: metody rasechta turbulentnosti. Konspekt lekcij [The flow of a viscous fluid and turbulence models: methods rasechta turbulence. Lecture notes]. St. Petersburg: SPbGPU Publ., 2010. 127 p.
12. Garbaruk A. V., Strelets M. Kh., Shur M. L. Modelirovanie turbulentnosti v raschetah slozhnyh techenij [Modeling of turbulence in the calculation of complex flows]. St. Petersburg: Politechnical University Publ., 2012. 88 p.
13. Volkov K. N., Emel'yanov V. N. Modelirovanie krupnyh vihrej v raschetah turbulentnyh techenij [Large-eddy simulation of turbulent flows in the calculations]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2008. 368 p.
14. Launder B. E., Spalding D. B. Lectures in mathematical models of turbulence. London, New York: Academic Press, 1972. 169 p.
15. Launder B. E., Spalding D. B. The numerical computation of turbulent flows. Computational Methods of Applied Mechanical Engineering, 1974, vol. 3, pp. 269-289.
16. Reynolds W. C. Computation of Turbulent Flows. Annual Review of Fluid Mechanics, 1976, vol. 8, pp. 183-208.
17. Spalart P. and Allmaras S. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows. Technical Report AIAA-92-0439, American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1992. 22 p.
18. Spalart P. R. Strategies for Turbulence Modelling and Simulation. International Journal of Heat and Fluid Flow, 2000, vol. 21, pp. 252-263.
19. Wilcox D. C. Formulation of the k-omega Turbulence Model Revisited. AIAA Journal, 2008, vol. 46, no. 11, pp. 2823-2838.
20. Patankar S. Chislennye metody reshenija zadach teploobmena i dinamiki zhidkosti [Numerical methods for solving problems of heat transfer and fluid dynamics]. Moscow: Jenergoatomizdat Publ., 1984. 152 p.
21. Bezuglyj V. Ju., Beljaev N. M. Chislennye metody teorii konvektivnogo teplomassoobmena [Numerical methods of the theory of convective heat and mass transfer]. Kiev-Donetsk: Vishha shkola Publ., 1984. 176 p.
22. Vukalovich M. P. Teplofizicheskie svojstva vody i vodjanogopara [Thermal properties of water and steam]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1967. 160 p.
23. Stali i splavy. Marochnik. Pod red. V. G. Sorokina, M. A. Gervas'eva [Steel and steel alloys. Grade]. Moscow: Intermet Inzhiniring Publ., 2001. 608 p.
24. Labejsh V. G. Zhidkostnoe ohlazhdenie vysokotemperaturnogo metalla [Liquid-cooled high-temperature metal]. Leningrad: Leningrad University Publ., 1983. 172 p.
Макаров Сергей Сергеевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник ИМ УрО РАН, доцент кафедры ТДУИжГТУ имени М.Т. Калашникова, e-mail: ssmakl5@mail. ru
Карпов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией физико-химической механики ИМ УрО РАН, заведующий кафедрой вычислительной механики УдГУ, e-mail: karpov@udman. ru
Макарова Елена Валерьевна, кандидат технических наук, ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, e-mail: evmak7@yandex. ru
