Математическая модель комбинированного планирования для многостадийной производственной системы на основе гибкого цеха поточного производства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМБИНИРОВАННОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ДЛЯ МНОГОСТАДИЙНОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ГИБКОГО ЦЕХА ПОТОЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА

В.Н. Кострова, В.А. Шендрик

В статье рассматривается задача интеграции планирования технологических процессов производства и процессов технического обслуживания средств производства. Представлена математическая модель комбинированного планирования для гибкого цеха поточного производства

Ключевые слова: теория расписаний, краткосрочное планирование, дискретные производственные системы

Решение задач повышения эффективности управления производством является актуальным для современных предприятий. Эффективная организация процессов планирования производства является одним из ключевых факторов для повышения общей эффективности производства.'

На предприятиях машиностроительной, приборостроительной, радиоэлектронной промышленности преобладают дискретно-непрерывные и дискретные технологические процессы. Результатом дискретных технологических процессов являются отдельные изделия. Информация о состоянии процесса производства имеет дискретный характер. Для приборостроительной и радиоэлектронной промышленности распространенными являются серийные и мелкосерийные объемы заказов, характерен высокий уровень автоматизации и использование на предприятиях гибких автоматизированных производственных систем [1].

Основными задачами краткосрочного планирования на уровне цеха являются планирование технологических процессов (ТП) и планирование процессов технического обслуживания (ТО) средств производства.

Процессы производства изделий и процессы ТО являются процессами, конкурирующими за один и тот же вид ресурсов. При этом решение задач планирования данных процессов происходит в существенной степени независимо друг от друга. Наиболее распространенным подходом является в первую очередь составление графика технологических процессов, который далее выступает в роли ограничения при решении задачи планирования и оптимизации стратегии ТО средств производства [3,4].

Одним из направлений повышения эффективности управления на уровне цеха является интеграция планирования технологических процессов и процессов ТО средств производства, комплексная оптимизация формируемых комбинированных графиков.

В современном производстве широко используются автоматизированные средства планирова-

Кострова Вера Николаевна - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732)20-56-16 Шендрик Валентин Анатольевич - ВГТУ, аспирант, тел. 8-908-13-766-13

ния. Для разработки автоматизированных средств необходимо построение соответствующих математических моделей, описывающих структуру производственной системы и позволяющих формализовать процесс решения задачи планирования.

В силу указанных особенностей перечисленных видов производств, для решения задачи комбинированного планирования в краткосрочном периоде на уровне цеха, применим аппарат теории расписаний [2].

Далее представлена модель комбинированного планирования для многостадийной производственной системы, организованной по принципу гибкого цеха поточного производства.

В общем виде, производственная система представляет собой последовательную цепь из 5 стадий, каждая из которых является блоком Ь из тЬ идентичных обрабатывающих машин. Таким образом, задача комбинированного планирования в общем случае описывается в следующем виде.

Дано 5 производственных стадий, каждая стадия состоит из блока тЬ параллельных обрабатывающих машин. Требуется запланировать для обработки в данной системе п работ. Каждая работа должна последовательно пройти каждую из 5 стадий в направлении от 1-й стадии к 5 -й, работы имеют дискретную длительность, кратную минимальной дискретной временной единице. Размеры промежуточных буферов между стадиями неограниченны. Машины подвержены выходу из строя. Вероятность выхода машины из строя зависит от возраста машины, который складывается из суммы длительностей обработанных машиной работ, при этом ожидаемое значение количества поломок машины за т единиц времени задается некоторой

функцией Е(N(т)).

Данная функция может быть задана исходя из имеющейся нормативной документации, накопленной статистики эксплуатации оборудования или с использованием аппарата теории надежности. Каждый период работы машины разбивается на целое число минимальных временных единиц, таким образом, что любая операция, выполняемая машиной, может занимать не менее одного временного блока и на одном временном блоке может происходить не более одного события выхода машины из строя.

Вероятность очередного выхода машины из строя не зависит от событий выхода из строя, происходивших в предыдущие моменты, так как каждое событие аварийного ремонта только восстанавливает работоспособность машины, т.е. переводит ее в состояние, предшествовавшее событию выхода из строя. Вероятность выхода машины из строя зависит только от ее возраста. При этом N (0 )-0,

так как в начальный момент времени машина находится в работоспособном состоянии.

В случае аварийного выхода машины из строя проводится аварийный ремонт стоимостью cr и длительности tr, приводящий машину в состояние

эквивалентное состоянию до выхода из строя.

Для планового ремонта машины используется перечень из г видов предупредительных ремонтов, каждый стоимостью cpj и длительности tpj, , = 1,2,...,г . Каждый из г видов ремонтов улучшает состояние машины (уменьшает возраст) на некоторое количество единиц e(cpj), вплоть до возврата

машины в состояние новой.

Каждая работа характеризуется показателями: pj - длительность обработки работы у , wj - вес

работы у , й) - крайний срок обработки работы у ,

У = 1,2,...,п.

Обозначим количество работ в очереди машины к стадии Ь как п{Ьк ]. Пусть

1, если работа у выполняется 1-й на машине к стадии Ь;

0, в противном случае.

Ь = 1,2,...,5; к = 1,2,...,тЬ; , = 1,2,...,п[Ьк]; (1)

[Ь,к р

у = 1,2,..., п;

Пусть Р[Ьк,] означает время обработки ,-й работы в очереди к - й машины стадии Ь , W[4>k, ] -вес , - й работы в очереди к - й машины стадии Ь , й?[Ьк,-] - крайний срок обработки ,-й работы в

очереди к - й машины стадии Ь , д[Ьк, ] - , - ю

работу в очереди к - й машины стадии Ь .

’[4,к,,] 1 Р 1Х[Ь,к,,,.]; ^4,к,,] 1 ^Х[4,к,,,у];

У =1

у=1

[4,к,

л=! 4

у=1

];(2)

Ь = 1,2,...,5; к = 1,2,...,тЬ; , = 1,2,...,п{Ь к] Пусть У[4к,] - переменная, означающая принятие решения о проведении предупредительного ремонта:

1, если ремонт и проводится на к - й машине стадии Ь перед , - й

к ,,,и] ) N

работой в очереди 0, в противном случае

У[4

(3)

Ь = 1,2,...,5;к = 1,2,...,т4;, = 1,2,...,п, и = 1,2,..., г ;

Пусть а[Ь,к,,-1] - возраст машины к стадии Ь непосредственно перед обработкой , - й работы в очереди машины к стадии Ь (после проведенного предупредительного ремонта, если он имел место), а[к1 ] - возраст машины к стадии Ь после выполнения , - й работы в очереди машины к стадии Ь . Тогда:

а[Ь,к,,-1] = тах I ° а{Ъ к,,-!] -Х е(сри )У[

[4,к ,/,и ]

а[Ь,к ,1 ] = а[4,к ,'-1] + Р[Ь,к ,1 ];

Ь = 1,2,...,5; к = 1,2,...,т.; , = 1,2,...,п.

(4)

Пусть С[Ьк(] означает фактическое время окончания обработки , - й работы в очереди к - й машины стадии Ь . Ожидаемое значение

с :

[4,М •

Е [С[4,к,,] ] = таХ [ 1 | 1 tpuy[4,k,l,u ] + Р[Ь,к,1] +

+W[4,k,1] tг I Е

N ([Ь,к,1 ] )]- Е N (Ь,к,1 -1] )]

Е

с

[4-1,к *,,*]

Е

с

[4-1,к']

(5)

Р[4,к,,] + М’[4,к,^г ( Е [ N ([4,к,,] )]-Е [ N (а[4, к ,,-1] )]) при к* = тй(Ь -1, у*);

,* = ой(Ь -1,к*,у*);у* = уЬ(Ь,к,1); к' = тй(Ь -1, у ),' = ой(Ь -1,к', у'); у' = уЬ(Ь, к,,);

Ь = 1,2,...,5;к = 1,2,...,т4;, = 1,2,...,п[4к];

Где уЬ(Ь, к,,)- возвращает номер работы исходного списка работ, выполняемой , - й в очереди к - й машины стадии Ь , тй(Ь, у)- номер машины на которой обрабатывается работа у на стадии Ь , ой(Ь,к,у) - номер, который занимает работа у в очереди машины к стадии Ь ,.

Пусть Т[4к1 ] означает фактическое время запаздывания обработки , - й работы в очереди к - й машины стадии Ь относительно крайнего срока обработки.

Т[4,к,] = тах(0, С[4,к,,] - й[4,к,] ) ,

Е [Т[4,к,1 ] ] = тах(0, Е [С[4,к,1 ] ] - й[4,к,1 ] ) (6)

Пусть Яс означает суммарные затраты на ремонты оборудования.

5 тЬ ”\.4,к ] , ,

о=Е К ]=ХЁХ]ХсриУ[4.

4=1 к=1 ,=1 I и=1

[4,к.

]С, (Е[N(к,])]- Е[N(а[4,к,,-1] )^)}

(7)

Показатели общего взвешенного ожидаемого времени выполнения работ, общего взвешенного ожидаемого времени запаздывания обработки работ соответственно выражаются как:

тз п5,к]

02 =11 ^5,к,,] Е (С[5,к,,] ) (8)

к=1 ,=1

т5 п 5, к ]

03 = Х15,к,]Е(5,к,]) (9)

к=1 ,=1

Пусть ов = (, о2, о3). Оптимизационная задача планирования формулируется как ов ^ тш при соблюдении условий

5 ть п тЬ

Х[Ь£,,,у] = 5 , 1 Х[Ь,к,,,у] = 1 Х[4,ку] = !;

4=1 к=1 у'=1 к =1

г

1 У[4,к,,>] = 1;Ь = 1,2,...!5; к = и— т4;

и=1

I = I,2,...,п[4к]; (10)

Решение задачи составления расписания в соответствии с данной моделью приведет к созданию более эффективного комбинированного графика технологических процессов и процессов обслуживания средств производства. Представленные показатели позволяют в явной форме учесть многие прямые и непрямые потери на производстве, обработать критичные задачи более оперативно. При расчете производственных потерь, вследствие аварийных выходов оборудования из строя, учитывается вес обрабатываемых работ, что позволяет оптимизировать время обработки важных работ и периоды наименее вероятного выхода машины из строя. Оптимизация расписания по данным показателям позволяет сформировать максимально сжатый производственный график.

Оптимизация комбинированных графиков технологических процессов и процессов ТО средств производства по нескольким конкурирующим критериям позволяет более эффективно использовать доступные производственные ресурсы.

Рассмотренный подход к краткосрочному планированию на уровне цеха имеет значительную вычислительную сложность, которая возрастает при более детальном и близком к практическим задачам описании модели планирования, однако позволяет тесно интегрировать решение задач планирования технологических процессов и процессов

ТО средств производства, с последующей оптимизацией.

Кроме того, учитывая краткосрочный характер составления графиков и вероятные возможности декомпозиции и разделения производственной системы на независимые составляющие, возможно создание достаточно эффективных автоматизированных программных средств краткосрочного планирования. Для поиска решений в рамках рассмотренной модели в приемлемые временные сроки возможно создание эффективных алгоритмов, основанных в частности на применении эволюционно-генетических методов.

Существует значительное количество работ, посвященных созданию эффективных генетических алгоритмов как для решения задач всевозможных видов, построенных на основе теории расписаний, так и для решения задач многокритериальной оптимизации [5].

Применение программных средств, построенных на основе подобных моделей и алгоритмов, может являться эффективным на предприятиях радиоэлектронной и приборостроительной промышленности в случае, когда возникает необходимость провести на одном и том же оборудовании ряд технологических процессов для различных изделий, в разной степени восприимчивых к состоянию производственной системы. При этом автоматически могут быть совмещены моменты проведения плановых операций ТО производственного оборудования и начало обработки технологических процессов, в большей степени восприимчивых к состоянию оборудования, чем другие ТП.

Литература

1. Головицына М.В. Проектирование автоматизированных технологических комплексов. - М:МГОУ, 2001 г. - 236 с.

2. Танаев В.С., Шкурба В.В. Введение в теорию расписаний. - М.: Наука, 1975 г. - 256 с.

3. H. Wang, H. Pham., Reliability and Optimal Maintenance. - Springer, 2006 г. - 345 c.

4. M. L. Pinedo., Planning and scheduling in manufacturing and services. - Springer, 2006 г. -506c.

5. A. Konak, D.W. Coit, A.E. Smith. Multiobjective optimization using genetic algorithms: A tutorial // Reliability Engineering and System Safety, 91, 2006 г., с 992-1007.

Воронежский государственный технический университет A COMBINED MAINTENANCE AND PRODUCTION PLANNING MATHEMATICAL MODEL FOR A FLEXIBLE FLOW SHOP PRODUCTION SYSTEM V. N. Kostrova, V. A. Shendrik

The article deals with the problem of integration of production and maintenance planning in manufacturing. A mathematical model for combined production and maintenance planning in a flexible flow shop environment is presented

Key words: scheduling theory, short-range planning, discrete manufacturing