Математическая модель изменения объемной теплоемкости дорожной одежды с асфальтобетонными покрытиями в процессе эксплуатации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 625.83

М. А. ЗАВЬЯЛОВ А. М. ЗАВЬЯЛОВ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ

ОБЪЕМНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ ДОРОЖНОЙ ОДЕЖДЫ С АСФАЛЬТОБЕТОННЫМИ ПОКРЫТИЯМИ В ПРОЦЕССЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ_

Приводится математическая модель процесса изменения объемной теплоемкости дорожной одежды с асфальтобетонными покрытиями. Величина объемной теплоемкости является базовым параметром ;-ля определения значений термодинамических потенциалов, характеризующих состояние дорожной одежды и позволяющих назначать научно обоснованные сроки ремонтных работ.

Рассматривая дорожную одежду как термодинамическую, инженерно-геологическую систему 11 ], состояние которой характеризуется термодинамическими потенциалами, такими как: Е — энергия Гиббса; Р — энергия Гельмгольца или свободная энергия; Н — энтальпия, следует отметить, что будут справедливы следующие соотношения [2]:

+ (1) р=(/-Т5, (2)

Н=и + рУ, (3)

здесь состояние системы определяется также температурой Т, давлением р, объемом V, внутренней энергией и и энтропией 5.

В процессе строительствадорожной одежды с асфальтобетонными покрытиями и на начальном этапе ее эксплуатации отрицательная вариация (уменьшение) энтропии происходит как за счет снижения температуры (остывания) слоев дорожной одежды, так и вследствие уменьшения величины ее объемной теплоемкости при уплотнении. Действительно, вариацию энтропии можно записать в виде

<1$ = Сг{Т,р)^1 (4)

где Сг — объемная теплоемкость,р — средняя плотность дорожной одежды.

Интегрируя уравнение (4) в пределах от Т0 до Тк, где Т0, Тк — соответственно, средняя температура слоев дорожной одежды в начале и конце строительства, получим

+ '¡Сг{Т,р)^1 (5)

та 1

здесь 50 и — значения энтропии в начале и конце строительствадорожной одежды. Очевидно, что второе слагаемое в формуле (5) при описанных выше условиях будет величиной отрицательной, поскольку Т0 > Тк, то есть имеем

)с,{Т.р£< о, (6)

<5,,. (7)

На начальном этапе эксплуатации дорожной конструкции происходит процесс доуплотнения слоев дорожной одежды, в результате чего величина Су (Г, р) — уменьшается, это ведет при условии постоянства температуры или незначительных колебаниях ее величины к дальнейшему уменьшению энтропии, по завершении этого этапа энтропия начинает нарастать. Интегрируя уравнение (4) в пределах от Тк до 7 — текущего значения температуры, получим

5 = ^ + (8)

Представим величину объемной теплоемкости дорожной одежды как некоторую линейную комбинацию феноменологических коэффициентов / исходя из линейного закона — постулата о линейном соотношении потоков и сил [3]:

Сг(Т,р) =0,Т+ р2р, (9)

Подставляя выражение (9) во второе слагае-мое формулы (8) и интегрируя, получим

^ = Р,{Т-Тк)+Ргр\п~ (10)

'к

Формула (10) получена на основании допущения, что плотность материалов дорожной одежды не зависит от незначительных колебаний температуры.

Уравнение для локального производства энтропии 0=с15/сН, где ( — время, в инженерно-геологической системе с учетом закона диссипации [4] можно задать в виде

9 = Тй, (11)

где $ — локальная диссипативная функция. Найдем теперь, исходя из формулы (10), выражение величины производства энтропии.

Продифференцировав по времени, выражение (10) и сгруппировав, будем иметь:

«И.

dt

Т dt

Т„ dt

(12)

Умножая обе части равенства (12) на величину Г, согласно формуле (11), можно записать

9 = (&Т + /Ы—+ /?2Г1п—^ V l 2 7 dt Тк dt ■

(13)

r^ + qp + {m-9) = О,

(14)

dT

rS-m „ -е' dt + C

J И

(15)

U =

a„ ...a

(22)

и J

По условию форма записи уравнения (21) заведомо положительна, а значит, диагональные элементы матрицы (а. ) и все ее главные миноры должны быть также больше нуля, то есть

an>0, ..., ап > 0,

А также

Представим равенство (13) в виде обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

ai\> ап аг„ап

>0,...,

■аи

а1\- ..а„

>0

(23)

(24)

Тогда общим решением этого линейного дифференциального уравнения первого порядка будет следующее выражение:

где С - const.

Для того чтобы проинтегрировать выражение, стоящее под знаком интеграла, необходимо установить зависимости температуры, скорости изменения температуры и диссипативной функции от времени, иначе говоря, получить следующие функциональные выражения:

т -/,(/). (181

f-/,W. (.7,

.3 = /,(')• (18)

Зависимость (16), исходя из периодического, сезонного характера изменения температуры, целесообразно интерпретировать тригонометрическим рядом

G ^

T = -^-+Y1{a„cosnt + bnsinnt)i (19)

¿ nal

где коэффициенты a0, an и b() — находятся по формулам Фурье; л = 1, 2, 3, ...

Скорость изменения температуры dT/ dt в формуле (17) функционально можно описать с одной стороны как производную функции по времени, воспользовавшись выражением (19), а с другой — линейной зависимостью от коэффициента температуропроводности а

dT/dt = каа, (20)

здесь ка — согласующий коэффициент, имеющий размерность °С/м2.

Зависимость (18) можно получить основываясь на указанном выше постулате о линейном соотношении потоков и сил. В частности, уравнение для локальной диссипативной функции можно записать в матричной форме [5] (X,

......X.ta,} ; (21)

где (ст.) — матрица фе^но^енологических коэффициентов:

Кроме того, собственные коэффициенты (когда i = j), как следует из неравенства (23), всегда положительны. Знаки же перекрестных коэффициентов (когда i устанавливаются посредством неравенства (24).

Феноменологические коэффициенты зависят только от физического состояния и структуры данной инженерно-геологической системы. Как было показано Л. Онзагером [3], феноменологические коэффициенты подчиняются еще одному важному постулату — соотношениям взаимности:

at=afi. (¿,7=1,2.....Л. (25)

Смысл взаимоотношений взаимности (25) заключается в том, что во взаимодействиях различных природных процессов имеется определенная симметрия — сопряжение.

Величины коэффициентов а0 зависят друг от друга и могут быть определены опытным путем. При этом метод выявления связи между ними и определение независимых коэффициентов базируется на свойстве инвариантности локальной диссипативной функции.

Свойство инвариантности можно применить, например, при определении коэффициентов /7, и рг в выражении (13), получив два значения диссипативной функции в фиксированные моменты времени, а затем, представляя эту функцию в виде (21), в линейной или квадратичной форме.

Вывод. Построена в общем виде математическая модель изменения объемной теплоемкости дорожной одежды с асфальтобетонными покрытиями в процессе эксплуатации. Данная математическая модель представлена алгоритмом (9) — (25).

Библиографический список

1. Завьялов М.А., Завьялов A.M. Энергетический баланс дорожного покрытия // Известия вузов. Строительство. — 2005, - №6. - С. 61-64.

2. Королев В. А. Термодинамика грунтов. - М: Иэд-во МГУ, 1997. - 168 с.

3. Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. — М.: Иэд-во МГУ, 1989. - 240 с.

4. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. — М.: Изд-во Иностр. лит., 1960. — 127 с.

5. Гуров К. П, Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы). — М.: Наука, 1978. - 128 с.

ЗАВЬЯЛОВ Михаил Александрович, докторант ОмГТУ.

ЗАВЬЯЛОВ Александр Михайлович, проректор по научной работе СибАДИ.

Дата поступления статьи в редакцию: 07.02.06 г. ©Завьялов М.А.,Завьялов A.M.