МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПОДСИСТЕМЫ ЧАСТОТНО-ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Сок

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПОДСИСТЕМЫ ЧАСТОТНО-ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

МОКРИНСКИЙ Дмитрий Викторович

Сведения об авторе:

адъюнкт филиала Военной академии ракетных войск стратегического назначения, г. Серпухов, Россия,РтИ:пМокппзкП991@таП.ги

АННОТАЦИЯ

Предлагается математическая модель функционирования подсистемы частотно-фазовой синхронизации, на основе контура цифровой фазовой автоподстройки частоты и адаптивного эквалайзера, реализующую полосу захвата и удержания достаточную для удовлетворения заданным требованиям по помехоустойчивости в условиях воздействия сильных ионосферных возмущений. Используя общий вид передаточной функции для замкнутого контура синхронизации в 2-области, были введены типовые звенья схемы фазовой автоподстройки частоты, а также, дополнительный элемент, в виде адаптивного фильтра - эквалайзера. При этом математической моделью для адаптивного эквалайзера послужил линейный сумматор с фиксированными во времени весовыми коэффициентами. На основе аналитического анализа передаточных функции описываемой системы, путем оценки их устойчивости через отображения импульсных характеристик в установившемся режиме, при реакции на типовые возмущения, в виде: мгновенного скачка фазы, мгновенного скачка частоты и линейного ухода частоты, обосновывается выбор порядка контура цифровой фазовой автоподстройки частоты и предлагается модель, реализующая требуемую полосу захвата и удержания, без задействования системы поиска частоты и перестройки генератора управляемого напряжения. Основу подхода составляет перестройка пропорционального коэффициента усиления петлевого фильтра, в зависимости от значения мгновенного ухода частоты в канале связи, и как следствие, функционирование подсистемы частотно-фазовой синхронизации с установившейся фазовой ошибкой не превышающей допустимого значения. Путем регулирования максимального остаточного фазового смещения на выходе подсистемы, предлагается реализация эффективного режима работы перспективного модуля повышения помехоустойчивости радиоприемного комплекса, функционирующего в декаметровом диапазоне распространения радиоволн и построенного по технологии программно-конфигурируемого радио, с фиксированным вкладом в общую вероятность битовой ошибки остаточным фазовым смещением подсистемы частотно-фазовой синхронизации. Описаны допущения и ограничения модели, основными из которых являются: невозможность учета стохастической динамики системы; инвариантность к типу модуляции передаваемого сигнала и невозможность учета специфики используемого протокола информационного обмена и, как следствие, структуры информационного пакета.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: синхронизация; фазовая автоподстройка частоты; адаптивный эквалайзер; передаточная функция; петлевой фильтр; уход частоты.

Для цитирования: Мокринский Д.В. Математическая модель функционирования подсистемы частотно-фазовой синхронизации // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2020. Т. 12. № 1. С. 32-43. Сои 10.36724/2409-5419-2020-12-1-32-43

Введение

Известно, что декаметровый канал (ДКМВ) характеризуется целым комплексом негативных эффектов, существенно осложняющих качественное детектирование принимаемого сигнала. В частности, канал связи характеризуется наличием аддитивной помехи (математически описывается аддитивным белым гаусовским шумом [1]) и мультипликативной помехи (характеризующей непостоянство комплексного коэффициента передачи канала связи) [2-3]. Еще одним фактором, вносящим критический вклад в качество приема, является наличие динамически изменяющегося во времени ухода частоты [4]. Уход частоты может быть связан с движением передатчика и приемника относительно друг друга, а также с равномерным подниманием или опусканием отражающей области ионосферы (под действием восходящих и нисходящих потоков воздуха) в течении ограниченного интервала времени. Во втором случае будет иметь место классический эффект Доплера, т.е. изменение частоты принимаемого сигнала. По оценке П. Грина и М. П. Долуханова [5] значения максимального ухода частоты (частоты замираний) де-каметровой (ДКМВ) линии связи во время ионосферных возмущений может достигать 100 Гц. Сама по себе задача компенсации ухода частоты в канале связи не является неразрешимой, основные подходы описаны в классических трудах теории фазовой синхронизации [4,6,7], на современном этапе для цифровых систем связи предлагаются адаптированные классические методы, основанные на реализации цифрового (програмно-реализованного) контура фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Тем не менее, задача компенсации ухода частоты в условиях наличия замираний в канале связи, является не столь изученной. В частности, в отечественной литературе, типовыми подходом является построение систем стабилизации частоты для ДКМВ канала связи, на основе ФАПЧ. Важной особенностью таких систем является узкая полоса захвата и удержания частоты (30-40 Гц). Для возможности функционирования приемного устройства при более значительных уходах частоты реализуется схема поиска частоты, основанная на перестройке опорного генератора контура ФАПЧ [8]. В случае, если поиск частоты и соответствующая перестройка опорного генератора происходят во время приема информационного пакета, это приведет к возникновению неустранимых ошибок приема, что существенно скажется на помехоустойчивости в целом. Таким образом, переход от схем поиска частоты к схемам, с расширенной полосой захвата и удержания частоты, позволит повысить помехоустойчивость доведения информации в условиях сильных ионосферных возмущений. Актуальной является задача разработки математической модели функционирования системы частотно-фазовой синхронизации, реализующую полосу захвата и удержания достаточную для

удовлетворения заданным требованиям по помехоустойчивости в условиях воздействия сильных ионосферных возмущений.

Математическая модель

Формальная постановка задачи

Исходные данные:

1. Протокол ДКМВ связи HDL: заданные форматы пакетов вида (1):

Fr = {fri } i = 1 nFr >

(1)

2. Подсистема адаптивной фильтрации с параметрами (2):

Fa (Fa_ type' Fa_ n ' Fa_m )'

(2)

где ¥а 1уре — тип алгоритма адаптивной фильтрации; ¥а п, — определяют порядок адаптивного эквалайзера (АЭ) (количество прямых и обратных ветвей);

3. Подсистема частотно-фазовой синхронизации с параметрами (3):

FPLL -\Kd, FPLL Filt, FPLL NCO },

(3)

где Ка—коэффициент усиления фазового детектора; ¥р11 т — определяет параметры петлевого фильтра (4):

FPLL Filt - {FPLL Filt order, G1, G2 }, (4)

где F

PLL Filt order

— порядок ПФ;

Ох — пропорциональный коэффициент усиления ПФ; 02 — интегральный коэффициент усиления ПФ; ¥р11 ксо—определяет параметры генератора управляемого напряжением (ГУН)(5):

FPLL_NCO ~ {Knco } ,

(5)

где Кксо — коэффициент усиления ГУН;

4. Заданный тип модуляции (манипуляции) сигналов: ¥т;

5. Заданный тип канала связи (6):

FC -\FC AWGN, FC Fad, FC D },

(6)

где Ес шоы — параметры аддитивной помехи значения отношения сигнал-шум на входе демодулятора); ¥с — параметры мультипликативной помехи, определяемые (7):

FC _ Fad = {FC _ Fad _ type,1 ,Wci, Tic }i = 1,1, (7)

Где FC_Fad_yPe — ™п ^^З^Щ

I — количество задержанных лучей;

Ж — мощность задержанного луча относительно

основного;

Т. — задержка луча относительно основного; FCD — параметры доплеровского ухода частоты, определяемые (8)

H(z) = I h(n)z

(10)

где переменная г-комплексная.

Передаточная функция (ПФ) системы в общем виде определяется (11) [10]:

FC D ={D.T,Q. T

(8)

где О.Т — величина скачка частоты;

— величина скорости ухода частоты; 6. Заданные характеристики приемного устройства: частота дискретизации принимаемого сигнала /1).

Необходимо научно обосновать выбор конфигурации параметров подсистемы частотно-фазовой синхронизации Е , обеспечивающей повышение помехоустойчивости связи, с заданным Fr, Еа, Еш, Ес /

Показателем помехоустойчивости, как интенсивности проявления данного свойства, примем вероятность битовой ошибки в установившемся режиме на выходе демодулятора радиоприемного цифрового устройства Еь. Таким образом необходимо обосновать (9):

FPLL : Eb (fpll ) < Eb ( Stand ) >

(9)

где Е^апО) — вероятность битовой ошибки в установившемся режиме для системы частотно-фазовой синхронизации функционирующей со схемой поиска частоты. При:

F = const, F -

r 7 a

const, F = const, F = const, L = const.

m C 'J D

Использование г-преобразования для анализа контуров синхронизации

Основными математическими подходами для описания систем частотно-фазовой синхронизации являются: анализ систем во временной области (решение дифференциальных и интегральных уравнений); анализ систем в ^-области (на основе преобразований Лапласса); анализ систем в г-области (для дискретных систем) [9].

Учитывая специфику исследуемой системы, а именно практическое приложение для цифровых систем связи, и ее высокий порядок, для исследования используется математический аппарат г-преобразований.

2-преобразование дискретной последовательности к(п), обозначенное как Н(г) определяется (10):

H (z) =

Y (z) X (z)

N

т

k=0

T b(k) z-k

1 -T a(k)z

k=0

-k

(11)

Линеаризованная модель контура ЦФАПЧ, в приближении малых фазовых углов, изображена на (рис. 1), где ф(г) и у(г) — г-образы ф(п) и у(п) (входных отсчетов и отсчетов с выхода ГУН), описывается передаточной функцией (ПФ) (12) [9]:

Ha( z) =

z) -j2PKdN (z) F (z)

z) 1 + 4lPKdN (z) F (z)'

(12)

где Ер11 КсО — полностью определяется Ы(г) — ПФ ГУН; Ери рш — полностью определяется Е(г) — ПФ петлевого фильтра;

Кс1—коэффициент усиления фазового детектора; 2р — квадрат амплитуды принимаемого сигнала.

В совокупности, вышеописанные параметры определяют конфигурацию подсистемы частотно-фазовой синхронизации Ерьь.

Рис. 1. Линеаризованная модель цифрового контура ФАПЧ

Согласно рис. 2, ГУН работает в дискретном времени.

n

п=-ю

Рис. 2. Принцип функционирования цифрового ГУН

Существенным отличием от аналогового ГУН является переход от непрерывного времени к дискретному, что влечет за собой замену интегрирования в выражении — суммированием. Запишем выражения для текущего значения фазы ГУН (13):

¥(«) = KNCO Z e(m)> m=0

(13)

Выражению (13) соответствует разностное уравнение (14):

V(n) = KNCO x e(n -1) + V(n -1),

(14)

Полученное разностное уравнение (14) соответствует передаточной характеристике цифрового ГУН

N (z) = -

K

NCOz

K

NCO

1 - z -

z -1

(15)

На рис. 3 изображена структурная схема петлевого фильтра второго порядка, его ПФ ^Х) имеет вид:

F (z) = G +

1 - z -

(16)

где 01 — пропорциональный коэффициент усиления петлевого фильтра;

02 — интегральный коэффициент усиления петлевого фильтра.

Очевидно, для получения ПФ петлевого фильтра первого порядка (17) приравняем интегральный коэффициент к нулю (02= 0), тогда из (16):

F (z) = Gj,

(17)

Также, как и для аналоговых систем синхронизации ПФ ошибки фазы определяется выражением (18):

He (z) = 1 - Hc (Z),

(18)

Из (12), с учетом (15-18), получаем ПФ по ошибке для контура второго порядка:

He (Z) =-

(z -1)2

(19)

(г -1)2 +41РКаКЖ0 (^ (г -1) + G2 г)' Введем обозначение:

к =^2РКёКНС0, (20)

Перепишем (20) в соответствии с (19):

He (z) = -

(z -1)2

(z -1)2 + Ki(Gi( z -1) + G2 z )'

(21)

Для получения Н (Х) для контура ФАПЧ первого порядка примем интегральный коэффициент усиления петлевого фильтра равным нулю 02 = 0, тогда из (21):

И =-

z -1

z -1 + K1G1

(22)

Реакция ПФ контуров первого (22) и второго (21) порядка на типовые возмущения известна и описана [7,11,12] краткий анализ приведен в таблице.

Из табл. следует, что контуры второго порядка имеют ряд существенных преимуществ по сравнению с контурами первого порядка. Наиболее значимые это: отсутствие ограничения на величину полосы захвата и удержания, а также наличие второго порядка астатизма, и как следствие возможность компенсации более высокодинамичных возмущений. Между тем существенным недостатком типовых систем ФАПЧ является отсутствие механизма выравнивания амплитудно-частотной характеристики канала связи при воздействии замираний в канале связи. Типовым решением, в таком случае, является использование в схеме синхронизации адаптивного фильтра (эквалайзера) (рис. 4).

2

Рис. 3. Структурная схема петлевого фильтра первого и второго порядков

Таблица

Реакция ПФ контуров ФАПЧ первого и второго порядков на типовые возмущения

Область захвата и область удержания Значение фазовой ошибки в установившемся режиме, при воздействии типовых возмущений

Фазовый сдвиг Частотный сдвиг Линейный уход частоты

ФАПЧ первого порядка Ограничена Нулевая ошибка Постоянная ошибка Линейный рост ошибок

ФАПЧ второго порядка Не ограничена Нулевая ошибка Нулевая ошибка Постоянная ошибка

Рис. 4. Переход к схеме с адаптивным эквалайзером

Исследование контура синхронизации, с адаптивным эквалайзером в цепи обратной связи

АЭ представляет собой линейный фильтр с изменяемыми коэффициентами. В общем случае выходной сигнал фильтра определяется соотношением (23) [13-14]:

Y(*) = |Е -п I хт*1 +

V п=0 )\ к=-от )

+ {ъъп2-п¥ £ утг¥ А(*)X(*) + Y(*)В(*),

V п=1 )К к=-от )

у(к1) = h х,

(23)

где h=h(k) — вестовые коэффициенты фильтра;

х=х{к) — комплексные отсчеты сигнала на входе

приемника;

«Н» — эрмитово сопряжение.

Упрощенная структурная схема АЭ, представлена на рис. 5а. Для нахождения ПФ АЭ, представим его в виде линейного сумматора (рис. 5б) [15], в таком случае выражение для выходного сигнала:

L L

ук = ^ апхк-п +Т ЬпУк - п, (24)

Запишем г-преобразование выражения (24):

от Ь от ь

У(*) = I I ОЛ—п^—к + 11 ьпук—к, (25)

Из (25,26) ПФ АЭ для рекуррентного алгоритма запишется в виде (27-28):

Н ( 2 ) =

Y(2) _ А(2)

X(2) (1 - В(2) )

Н(2) =1 + ю2-1- 2 + ю

1 -Щ2

(27)

(28)

1 -ю,

Учитывая, что АЭ выполняет функцию обратной идентификации системы (рис. 6), в процессе адаптации АЭ стремится преобразовать х(п) для обеспечения наилучшего приближения по заданному критерию выходного сигнала у(п) к входному сигналу неизвестной системы с!(п-П) [14,16].

у(п) = d' (п - D),

(29)

к=—от п=0

к=—от п=1

Рис. 5. Упрощенная структурная схема адаптивного эквалайзера: а — в общем виде; б — в виде линейного сумматора

Тогда по теореме о задержке из (29), получим выражение (30):

Y( z) = D( z) z -

(30)

В таком случае ПФ АЭ неизвестной системы перед обучением имеет вид (31):

V (z) = ^ H (z), D(z)

(31)

ПФ АЭ и неизвестной системы в установившемся режиме:

V (z) = ^ H (z) = Uо H (z); Uо = 1, (32)

X(z) D(z)

Выражение (32) верно, с учетом допущения:

Допущение 1: По завершении процесса адаптации АЭ полностью идентифицирует неизвестную систему и компенсирует искажения АЧХ канала связи (рис. 6).

Запишем ПФ типовых возмущений в канале связи [9]: ПФ скачка фазы:

Не1 =

ПФ скачка частоты:

Не2 =

A6z z -1

D.Tz

(z -1)2

ПФ линейного ухода частоты:

He3 =

QT 2 z (z +1) 2( z -1)3 '

(33)

(34)

(35)

D

Рис. 6. Схема адаптивного рекурсивного фильтра

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

Выражения (21,22), с учетом (28) будут иметь вид:

Неа1

z - 1

z -1 + К

^ z + ю0 ^

(36)

н

(2 -1)2

еа 2

(^ -1)2 + К

^ 2 + Ю0 ^

2 - 1) + G12)

(37)

Тогда ПФ ошибки контура ФАПЧ первого порядка (36), с включенным АЭ, при воздействии типовых возмущений (33-35) будут иметь вид:

Нч>11 = Не1Неа1,

Нч>12 = Не 2 Нва\'

Н»13 = Не3 Неа1 ,

(38)

(39)

(40)

Импульсные характеристики ПФ (38-40) и начальные условия их расчета, приведены на рис. 7 [17-18]:

Из анализа импульсных характеристик (рис. 7): при введении в контур синхронизации АЭ — сохраняются качественные характеристики типового ФАПЧ первого порядка (табл.). Наблюдается астатизм первого порядка, изменения претерпевает лишь динамика переходного процесса [19-20].

Импульсные характеристики ПФ (41-43) и начальные условия их расчета, приведены на (рис. 8):

Анализ (рис. 8) показывает: в общем случае контур второго порядка с АЭ, при воздействии типовых возмущений, не устойчив. Вариация начальных параметров дает устойчивые решения только при аномально низких значениях интегрального коэффициента усиления петлевого фильтра 0< 0,01, что приводит к невозможности физической реализации подобной системы [10,21].

На основании анализа ПФ (38-43), обоснованным является выбор первого порядка петлевого фильтра ФАПЧ для реализации в качестве элемента подсистемы частотно-фазовой синхронизации на базе АЭ.

Перепишем уравнение (39) в виде (44):

Аналогично, для контура второго порядка из (37) с учетом (33-35):

Нм>21 = Не1 Неа2,

Нм>22 = Не2 Неа 2,

Н»23 = Не3 Неа 2,

(41)

(42)

(43)

Нм>12 = Не 2 Неа1 ~

{ ПТг Л (^ - 1)2

г-1

г -1 + К

-юп

-ю1

(44)

Введем обозначение:

К = =у[2РКаКЖ0^,

(45)

к z-®1 )

К 2-®1 У

Рис. 7. Импульсные характеристики контура первого порядка

Рис. 8. Импульсные характеристики контура второго порядка

значение О система уравнений примет вид (46):

Q1Tz (z -1)2

(г -1)2

z -1

z -1 + K1

z + ю0 z - Ш1

z-1

z -1 + K1

z + ю0 z — Ш1

Gii

При этом параметр К из выражения (45) — называет- ного значения частоты О. существует квазиоптимальное ся общим усилением контура [7,9].

Рассмотрим поведение системы с фиксированным частотным сдвигом [22] при вариации общего усиления контура. Реакция системы для скачков частоты величиной 1 и 10 Гц приведены на рис. 9.

Из рис. 9 видно, что для каждого конкретного значения частотного сдвига существуют квазиоптимальные значения общего усиления контура ФАПЧ которое минимизирует фазовую ошибку Лф на выходе системы. Исходя из этого предлагается минимизация фазовой ошибки путем регулирования общего усиление контура. Типовым решением [9], в таком случае, является использование пропорционального коэффициента усиления О1, в качестве параметра регулирования.

Пусть в канале связи возможен скачек с частоты О1 ^ V у 2 - ^ + к

на частоты О . О. учитывая, что для каждого мгновен-

Аф ^ 0

Аф^ 0

(46)

(z — 1)2

z-1

z + ю0

Аф^ 0

Рис. 9. Реакция системы на скачек частоты при различных значениях общего усиления контура

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

Пусть в канале связи происходит линейный уход частоты от 0 до/ тах. Разделим весь диапазон ухода частоты на N дискретных интервалов. В каждом интервале (47):

f < f < f

■'(т-1) тах _ ■> т ■>т

0 < т < N,

(47)

система функционирует с О1т, выбранным таким образом, что суммарная фазовая ошибка выбранного интервала Лф не превосходит требуемого значения Лф<Лфшах. В таком случае, система уравнений, примет вид (48):

Регулируя пропорциональный коэффициент петлевого фильтра можно добиться того, чтобы ошибка фазы

в установившемся режиме не превышала требуемого значения. В итоге мы получаем систему, которая на выходе имеет, в общем случае, ненулевую фазовую ошибку. Влияние остаточной фазовой ошибки на конечную вероятность битовой ошибки Еь для различных типов модуляции хорошо изучено и описано в [1,2,23].

Таким образом обосновывается формальная постановка задачи исследования (9), а именно уменьшение Еь за счет перерегулирования общего усиления контура синхронизации О1 (в зависимости от значения мгновенного ухода частоты в канале связи) для удовлетворения заданным требованиям по помехоустойчивости в условиях воздействия сильных ионосферных возмущений.

0 — /1 < /1шах ^ Не1 =

( пт л

V у

z -1

z -1 + К

z + ю.

а

Аф < Афш

/1шах — /2 < У2шах ^ Не2

V у

z -1

z -1 + К

z + Ю.

а

12

Аф < Афш

(48)

V z-®1

V z-Ю1

/(N-1)тах - /Ы < /Ы тах ^ НеЫ =

(z -1)2

z-1

z -1 + К

Юл

z -Ю,

АФ < АФ„

а,

Заключение

Предложенная математическая модель имеет следующие основные особенности: наличие в схеме синхронизации АЭ, позволяет бороться с мультипликативными помехами; возможность перестройки пропорционального коэффициента петлевого фильтра, позволяет осуществлять мягкую адаптацию системы к уходу частоты в канале связи, без перестройки ГУН и задействования схемы поиска частоты.

Модель имеет следующие допущения и ограничения: Допущение 1. По завершении процесса адаптации АЭ полностью идентифицирует неизвестную систему и компенсирует искажения АЧХ канала связи.

В следствие допущения 1 — не учитываются параметры мультипликативной помехи в канале связи: ¥с

Ограничение 1. Математическая модель не учитывает стохастическую динамику системы (¥с ля,О., собственные фазовые шумы).

Ограничение 2. Математическая модель не учитывает типа модуляции принимаемого сигнала: ¥т.

Ограничение 3. Математическая модель не учитывает количественные характеристики АЭ: ¥.

Ограничение 4. Математическая модель не учитывает специфику используемого протокола: ¥г.

Научная новизна заключается в том, что математически описана система частотно-фазовой синхронизации на базе ФАПЧ и АЭ, при этом, благодаря перестройке пропорционального коэффициента петлевого фильтра, решена проблема узости полосы захвата и удержания контура, а также, нарастания фазовой ошибки при линейном уходе частоты в канале связи.

При этом, для ухода от указных ограничений и допущений, а также в целях перехода от качественного анализа функционирования системы к количественной оценке необходим переход от математической модели к имитацион-

ной, и далее, к полунатурному и натурному моделированию. Также необходима разработка методик и алгоритмов перестройки пропорционального коэффициента усиления петлевого фильтра.

Литература

1. Прокис Дж. Цифровая связь: пер с англ. М.: Радио и связь, 2000. 800 с.

2. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. М.: Радио и связь, 2000. 520 с.

3. Ахмадеев Р. Р., Вилков С. В., Ляхов А. В., Пашинцев В. П. Влияние ионосферы на обнаружение сигналов в низкочастотных системах спутниковой связи // Материалы LXIX международной научно-практической конференции «Радиоэлектронные устройства и системы для инфокоммуникационных технологий» (Москва, 07 декабря 2014 г.). Москва, 2014. С. 235-238.

4. Gardner F.M. Phaselock Techniques. 2nd Edition. New York: John Wiley and Sons, 1979.189 p.

5. Долуханов М. П. Флуктационные процессы при распространении радиоволн. М.: Связь, 1971. 187 с.

6. Shayan Y. R., Le-Ngoc T. All Digital Phase-locked loop: concepts, design and application // IEE Proceedings F — Radar and Signal Processing. 1989. Vol. 136. No. 1. Pp. 25-36.

7. Шахгильдян В. В., Ляховский А. А. Фазовая автоподстройка частоты. М.: Связь, 1966. 336 с.

8. Пашинцев В. П. Принципы построения трактов радиоприёмников систем военной связи. М.: МОРФ, 1998. 259 с.

9. Stephens R. Phase-Locked Loops for Wireless Communications. Digital, Analog, and Optical Implementations. 2nd Edition. New York: Kluwer Academic Publishers, 2002. 434 p.

10. ЛайонсР. Цифровая обработка сигналов: пер с англ. 2-е издание. М.: Бином, 2006. 652 с.

11. Шахтарин Б. И. Синхронизация в радиосвязи и навигации. М.: Гелиос АРВ, 2007. 256 с.

12. Kudrewicz J., Wasowicz S. Equations of Phase-locked loops. London: Word Scientific Publishing Co. Pte.Ltd., 2007. 235 p.

13. ДжиганВ.И. Адаптивная фильтрация сигналов: теория и алгоритмы. М.: Техносфера, 2013. 528 с.

14. Солонина А. И. Цифровая обработка сигналов в зеркале Matlab. СПб.: БВХ-Петербург, 2018. 560 с.

15. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов: пер с англ. М.: Радио и связь, 1989. 436 с.

16.МокринскийД.В., ЛебедевД.А. Оценка и границы применимости адаптивных LMS и RMS эквалайзеров для протокола типа MIL-STD-188-110A // Материалы XVII Российской научно-технической конференции «Новые информационные технологии в системах связи и управления» (Калуга, 04 июня 2018 г). Калуга, 2018. С. 34-38.

17. Щербаков В. С., Руппель А. А., Глушец В. А. Основы моделирования систем автоматического регулирования и электротехнических систем в среде Matlab и Simulink. Омск: СибАДИ, 2003.160 с.

18. Giordano A.A., Levesque A.H. Modeling of Digital Communication System Using Simulink. NewJersey: Hoboken, 2015. 404 p.

19. Мокринский Д. В. Особенности переходных процессов ЦФАПЧ с динамической перестройкой коэффициентов пропорционально-интегрирующего фильтра // Информатика, вычислительная техника и управление. 2018. № 9. С. 122-126.

20. Purkayastha B. B., Sarma K. K. Digital Phase Locked Loop based Signal and Symbol Recovery System for Wireless Channel. New York: Heidelberg 2015. 254 p.

21. Цимбал В. А., Мокринский Д.В., Парфентьев А.А. Оценка эффективности работы систем частотно-фазовой синхронизации в условиях многолучевого распространения сигнала // Материалы 21-й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение (DSPA-2019)» (Москва, 16 мая 2019 г.). Москва, 2019. С. 327-331.

22. Шиманов С.Н., Мокринский Д.В., Бекренев С. А. Исследование системы частотно-фазовой синхронизации на базе адаптивного RLS эквалайзера и программно-реализованного контура ФАПЧ при наличии стационарного частотного сдвига в канале связи // Материалы международной конференции «Радиоэлектронные устройства и системы для инфокоммуника-ционных технологий (REDS-2019)» (Москва, 12 апреля 2019 г.). Москва, 2019. С. 206-210.

23. Артеменко А.А., Мальцев А.А., Рубцов А.Е. Влияние неточности оценивания фазы несущей на вероятность битовых ошибок в М-КАМ системах передачи данных // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2007. № 2. С. 81-87.

MATHEMATICAL MODEL OF A PHASE-FREQUENCY SYNCHRONIZATION SYSTEM

DMITRI V. MOKRINSKI,

Serpuhov, Russia, [email protected]

KEYWORDS: synchronization; phase locked loop; adaptive equalizer; Transmission function; loop filter, frequency care.

ABSTRACT

A mathematical model is proposed for the functioning of the phase-frequency synchronization system, based on the digital phase-locked loop and an adaptive equalizer, which implements a capture and hold band sufficient to satisfy the given requirements for noise immunity under the influence of strong ionospheric disturbances. Using the general form of the transfer function for a closed synchronization loop in the z-domain, typical links of the phase-locked loop were introduced, as well as an additional element in the form of an adaptive filter - equalizer. The mathematical model for the adaptive equalizer was a linear adder with time-fixed weighting coefficients. Based on the analytical analysis of the transfer functions of the described system, by assessing their stability through the display of impulse response in the steady state, when responding to typical disturbances, in the form of an instantaneous phase step, instantaneous frequency step and frequency ramp, the choice of the order of the digital phase-locked loop and a model is proposed that implements the required capture and retention band without involving the frequency search system and tuning the controlled voltage generator. The basis of the approach is the adjustment of the proportional gain of the loop filter, depending on the value of the instantaneous frequency step in the communication channel, and as a result, the functioning of the frequency-phase synchronization subsystem with a steady-state phase error not exceeding the permissible value. Phase shift at the output of the subsystem, it is proposed to implement an effective operating mode of a promising module for increasing the noise immunity of the modem complex, operating in the decameter wavelength range of the radio waves and constructed using software-configured radio technology, with a fixed contribution to the total probability of bit error by the residual phase shift of the subsystem frequency phase synchronization. The assumptions and limitations of the model are described, the main of which are: the impossibility of taking into account the stochastic dynamics of the system; invariance to the type of modulation of the transmitted signal and the inability to take into account the specifics of the used information exchange protocol and, as a consequence, the structure of the information package.

REFERENCES

1. Proakis J. G. Digital Communications. 3rd Edition McGraw-Hill, 1995. 928 p.

2. Feher K. Wireless Digital Communications: Modulat: Modulation and Spread Spectrum Applications. NY, Prentice Hall PTR, 1995. 544 p.

3. Akhmadeev R. R., Vilkov S. V., Lyakhov A.V., Pashintsev V. P. Vlijanie ionosfery na obnaruzhenie signalov v nizkochastotnyh sistemah sputnikovoj svjazi [The influence of the ionosphere on the detection of signals in low-frequency satellite communications systems]. Materialy LXIX mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii "Radiojelektronnye ustrojstva i sistemy dlja infokommunikacionnyh tehnologij" [Proceedings of the LXIX international scientific-practical conference "Radio-electronic devices and systems for infocommu-nication technologies" (Moscow, on December 7, 2014]. Moscow, 2014. Pp. 235-238. (In Rus)

4. Gardner F. M. Phaselock Techniques. 2nd Edition. New York: John Wiley and Sons, 1979, 189 p.

5. Dolukhanov M. P. Fluktacionnye processy pri rasprostranenii ra-diovoln [Fluctuation processes in the propagation of radio waves]. Moscow: Svjaz, 1971. 187 p. (In Rus)

6. Shayan Y. R., Le-Ngoc T. All Digital Phase-locked loop: concepts, design and application. IEE Proceedings F - Radar and Signal Processing. 1989. Vol. 136. No. 1. Pp. 25-36.

7. Shahgildyan V. V., Lyakhovsky A.A. Fazovaja avtopodstrojka chas-toty [Phase locked loop]. Moscow: Svjaz, 1966. 336 p. (In Rus)

8. Pashintsev V. P. Principy postroenija traktov radioprijomnikov sistem voennoj svjazi [The principles of constructing radio paths of military communications systems]. Moscow: MO RF, 1998. 259 p. (In Rus)

9. Stephens R. Phase-Locked Loops for Wireless Communications. Digital, Analog, and Optical Implementations. 2nd edition. New York: Kluwer Academic Publishers, 2002.443 p.

10. Lyons R. G. Understanding Digital Signal Processing. New Jersey: Prentice HALL Professional Technical Reference, 2004. 684 p.

11. Shakhtarin B. I. Sinhronizacija v radiosvjazi i navigacii [Synchronization in radio communications and navigation]. Moscow: Gelios ARV, 2007.256 p. (In Rus)

12. Kudrewicz J., Wasowicz S. Equations of Phase-locked loops. London: Word Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2007. 235 p.

13. Dzhigan V. I. Adaptivnaja fil'tracija signalov: teorija i algoritmy [Adaptive signal filtering: theory and algorithms]. Moscow: Tehnos-fera, 2013.528 p. (In Rus)

14. Solonina A. I. Cifrovaja obrabotka signalov vzerkale Matlab [Digital signal processing in the Matlab mirror]. St-Petersburg: BVH-Peter-burg [BVH-Petersburg], 2018. 560 p. (In Russian)

15. Widrow B., Stearns S. Adaptive signal processing. New Jersey: Prentice-Hall, 1985. 492 p.

16. Mokrinski D. V., Lebedev D. A. Ocenka i granicy primenimos-ti adaptivnyh LMS i RMS jekvalajzerov dlja protokola tipa MIL-STD-188-110A [Evaluation and applicability limits of adaptive LMS and RMS equalizers for a protocol of the MIL-STD-188-110A type]. Materialy XVII Rossijskoj nauchno-tehnicheskoj konferencii "Novye informacionnye tehnologii v sistemah svjazi i upravlenija" [Proceeding of the XVII Russian Scientific and Technical Conference "New Information Technologies in Communication and Control Systems", Kaluga, June 04, 2018]. Kaluga, 2018. Pp. 34-38. (In Rus)

17. Scherbakov V. S., Ruppel A. A., Glushets V. A. Osnovy mode-lirovanija sistem avtomaticheskogo regulirovanija i jelektrotehnich-eskih sistem v srede Matlab i Simulink [Fundamentals of modeling automatic control systems and electrical systems in the environment of Matlab and Simulink]. Omsk: SibADI, 2003.160 p. (In Rus)

18. Giordano A.A. Levesque A. H. Modeling of Digital Communication System Using Simulink. NewJersey: Hoboken, 2015. 404 p. (In Rus )

19. Mokrinsky D. V. Peculiarities of transient processes of a DPLL with dynamic tuning of coefficients of a proportionally integrating filter // Informatika, vychislitel'naja tehnika i upravlenie [Informatics, computer engineering and control]. 2018. No. 9. Pp. 122-126. (In Rus)

20. Purkayastha B. B., Sarma K. K. Digital Phase Locked Loop based

Signal and Symbol Recovery System for Wireless Channel. New York: Heidelberg 2015. 254 p.

21. Tsimbal V. A., Mokrinsky D.V., Parfentiev A.A. Ocenka jeffek-tivnosti raboty sistem chastotno-fazovoj sinhronizacii v uslovijah mnogoluchevogo rasprostranenija signala [Performance evaluation of frequency-phase synchronization systems in the conditions of multipath signal propagation]. Materialy 21-oj mezhdunarodnoj konferencii "Cifrovaja obrabotka signalov i ee primenenie (DSPA-2019)" [Proceedings of the 21st international conference "Digital signal processing and its application (DSPA-2019)", Moscow, on May 16, 2019] Moscow, 2019. Pp. 327-331. (In Rus)

22. Shimanov S. N., Mokrinsky D. V., Bekrenev S. A. Issledovanie siste-my chastotno-fazovoj sinhronizacii na baze adaptivnogo RLS jekva-lajzera i programmno-realizovannogo kontura FAPCh pri nalichii stacionarnogo chastotnogo sdviga v kanale svjazi [The study of the frequency-phase synchronization system based on the adaptive RLS equalizer and the software-implemented PLL circuit in the presence of a stationary frequency shift in the communication channel]. Materialy mezhdunarodnoj konferencii "Radiojelektronnye ustrojstva i sistemy dlja infokommunikacionnyh tehnologij (REDS-2019)" [Proceedings of the international conference "Radio-electronic devices and systems for infocommunication technologies (REDS-2019)", Moscow, on April 12 2019] Moscow, 2019. Pp. 206-210. (In Rus)

23. Artemenko A. A., Maltsev A. A., Rubtsov A. E. Effect of the carrier-phase estimation error on the bit-error rate in M-QAM data transmission systems. Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod. 2007. No. 2. Pp.81-87. (In Rus)

INFORMATION ABOUT AUTHOR:

Mokrinski D.V, Postgraduate student of the Serpukhov branch of the military academy of missile forces of styrategic purpose.

For citation: Mokrinski D.V. Mathematical model of a phase-frequency synchronization system. H&ES Research. 2020. Vol. 12. No. 1. Pp. 32-43. doi: 10.36724/2409-5419-2020-12-1-32-43 (In Rus)