CC BY
45
УДК 517.977.5
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ С ЖЕСТКО ПРИСОЕДИНЕННОЙ ИНЕРЦИОННОЙ НАГРУЗКОЙ
Хлайнг Мьйо Вин, В.Н. Шамберов
На рассмотрение выносятся результаты исследования динамической модели электродвигателя с жестко присоединенной инерционной нагрузкой и сухим трением. Сухое трение в нагрузке моделируется по некулоновской идеализации, при которой учитывается не только наличие отрицательного участка в характеристике трения, но и превышение сил трения покоя над силами трения движения. Исследование проводится методом точечных отображений в фазовом пространстве модели. Результаты исследования представляются в виде разбиения пространства параметров электродвигателя с нагрузкой на области качественно различного его динамического поведения
Ключевые слова: электродвигатель, некулоновская модель сухого трения, трение покоя, трение движения, математическая модель, разбиение пространства параметров
1. Введение. Рассматривается математическая модель электродвигателя заданная следующим описанием:
1) уравнение электрического равновесия
L• 1я =-R • 1я -ip • Ce • Q + U
2) уравнения механического равновесия J • Q = 0, если Q = 0
(1а)
и M - J • Q - < M
тр.0 ;
J • Q = M - Мтр дв. (q), если Q ф 0, или если Q = 0 и M - J • Q- > M,
где Мтр.дв. (Q)
= k • Q + МСЛр.дВ. (Q),
Мслр.дв.(а) = M(Q)^ Sign(Q),
M = iр • См • Iя, J = i2 • J3 + JE>
(16)
кт -k'<
dM
тр.дв.
dQ
< кт.
Модель относится к моделям логико-динамического класса [1 - 5] с некулоновской моделью сухого трения [2, 3]. В модели обозначено:
1) переменные состояния: 1я , а - ток якоря и угловая скорость поворота нагрузки соответственно;
2) переменная М - момент, приложенный непосредственно к нагрузке; 3) параметр J - характеризует инерционность ротора электродвигателя (Jэ) с жестко присоединенной нагрузкой (Jн); к^ > 0 -параметр, характеризующий величину вязкого тре-
ния; к' > 0 - параметр, характеризующий максимальную «отрицательность» характеристики сухого трения; ip- передаточное число редуктора; J • 0. -
предыстория (предыдущее значение момента инерции на момент определения последующего); 4) Мтр.дв.( а ) = МВЛР.( а ) + Мс.тр.дВ.( а ) - момент сил трения (вязкого и сухого) при движении; Мв тр ( а ) = ктр • а - момент сил вязкого трения;
M,
с.тр.дв
. ( Q ) = М( Q ) • Sign( Q ) - момент сил сухого трения при движении, где M(ß) - положительно вогнутая убывающая функция (рис. 1); 5) параметры трения: М^д - момент сил трения покоя;
М-ф ост - момент сил сухого трения при остановке (М^р ост < М^р о ); М^р т;п - минимальный момент сил сухого трения при движении, при этом
.min. .ост.
(рис. 1).
Рис. 1а. Характеристика внешнего трения при движении (превалирование сухого трения над вязким трением)
Хлайнг Мьйо Вин - СПбГМТУ, аспирант, e-mail: [email protected]
Шамберов Владимир Николаевич - СПбГМТУ, канд. техн. наук, профессор, e-mail: [email protected]
Мтр.дв.(°) к^П + М^)
к > к' М тр. о ст. м Тр. ПИП. -к')
-М тр. тт. -М Тр. ОСТ.
Аг<^(к)
Рис. 1б. Характеристика внешнего трения при движении (превалирование вязкого трения над сухим трением)
2. Эспериментально-теоретическая часть.
Линеаризовав уравнения динамики (1-а, б) в окрестности состояния равновесия: П = Пст, М(и, Пст) = Мтр дв. (Пст) в соответствии с характеристическим полиномом линеаризованных уравнений
J • р2 +
R
+ —
L
¿•Я L
dM
тр.дв.
ап
Пс
Р1+
1р • се • см
Я
тр.дв
ап
Пс
(р)
представим структуру разбиения пространства параметров электродвигателя с нагрузкой по типу состояний равновесия (рис. 2).
Рис. Р. Структура разбиения пространства параметров по типу состояния равновесия
Рис. 3а. Фрагмент фазового портрета с состоянием равновесия «Устойчивый фокус»
Рис. 3б. Фрагмент фазового портрета с состоянием равновесия «Устойчивый узел»
Рис. 3в. Фрагмент фазового портрета с состоянием равновесия «Неустойчивый фокус»
+
0
+
Р
м(и, п) =
1р • сМ и-1р • се • см п и
Рис. 3г. Фрагмент фазового портрета с состоянием равновесия «Неустойчивый узел»
Рис. 3д. Фрагмент фазового портрета с двумя состояниями равновесия «Седло» - «Устойчивый узел»
Рис. 3е. Фрагмент фазового портрета с двумя состояниями равновесия «Седло» - «Неустойчивый узел»
Примечание. Состояние равновесия определяется пересечением графиков
Я Я
.дв. (П) = ктр • П + Мс.тр.дв. (П)
в точке П = ПСт, м(и, Пст) = М^. (Пст).
Появление на фазовой плоскости устойчивого предельного цикла относительно состояния равновесия типа «Устойчивый фокус» связано с - раздвоением (бифуркацией) полуустойчивого цикла на два цикла: внутреннего - неустойчивого и наружного - устойчивого (рис. 4а,б).
Рис. 4а. Полуустойчивый предельный цикл на фазовом портрете
|Устойчивый предельный цикл]
Рис. 4б. Раздвоение (бифуркация) полустойчивого предельного цикла на фазовом портрете при состоянии равновесия «Устойчивый фокус»
3. Теоретический анализ. Таким образом, возникновению фрикционных автоколебаний соответствует существование на фазовой плоскости полуустойчивого предельного цикла. Полуустойчивый предельный цикл существует, если существует фазовая траектория, выходящая из точки 1 с
координатами М(^) = М^.о , а(^) = 0 и входящая
в точку 2 с координатами М^) = Мост, а(t2) = 0 (см. рис. 4-а)
Для определения достаточных условий отсутствия автоколебаний при состоянии равновесия
«Устойчивый фокус» примем | | = к - к',
введем обобщенные параметры А = к - к (Н • м • с/рад), В = J • Я/Ь > 0 (Н • м • с/рад),
С = 1р • се • см//я > 0 (Н • м• с/рад), произведем
масштабирование времени t = J • т (где т - «новое» время) и в результате получим характеристический полином (2) в следующем виде
р2 + (А + В) • р1 + В • (А + С) • р0.
(3)
Уравнения движения, например при а > 0, в достаточно малой окрестности состояния равновесия на основе полученного полинома (3) можно представить в виде
ДМ + (А + В) • ДМ + В • (А + С) • ДМ = 0. (4)
Уравнение искомой фазовой траектории, полученной по (4) при А + В > 0, А + С > 0 и
2
(А - В) < 4 • В • С будет следующим
ционных автоколебаний на малых «ползучих» скоростях перемещения нагрузки [1]. Причиной возникновения фрикционных автоколебаний считалось наличие отрицательного участка в характеристике трения (рис.1). Результаты аналитического исследования, представленные в данной работе показывают, что автоколебания могут возникать и при отсутствии отрицательного участка. Причиной их появления является превышения сил трения покоя над силами трения движения.
Рис. 5. Искомая фазовая траектория
[дМа2) - а • ДМ^2 )]2
в2 • [ДМ^2)]2 _
[дМ^) - а • ДМ(^)]2 + в2 • [ДМ(^)]2
ехр
где а = —
ехр
А + В
2
2а , в • ДМ0-2)
в ДМ^2) - а • ДМ(t2)
2^а 11гс1й в • )
в ДМ^) - а • ДМ(^)
в =
+ т[4 • В - (А - В)2
2
(5)
Подставив в (5) координаты точек 1 и 2 (рис.5), получим уравнение граничной поверхности, отделяющей в пространстве параметров область, где возможны фрикционные автоколебания при состоянии равновесия типа «Устойчивый фокус» от области, где подобные автоколебания не возможны (рис. 6).
4. Заключение. Одной из проблем эксплуатации следящих электроприводов, к которым предъявляются повышенные требования по точности позиционирования, является возникновение фрик-
Рис. 6. Фрагмент разбиения пространства параметров для
А + В > 0, А + С > 0 , (А - В)2 < 4ВС, С = 40 Н • м • с/рад
Литература
1. Шамберов В.Н. Фрикционные автоколебания в механических системах (еще раз о маятнике Фроуда) //Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики: Вестник Нижегородского государственного университета им. Лобачевского, Р011, №4(5), с. Р610 -Р611.
Р. Шамберов В.Н. Влияние сухого трения на устойчивость работы машин // Проблемы машиноведения: точность, трение и износ, надежность, перспективные технологии. СПб: Наука, Институт проблем машиноведения РАН, Р005, с. Р56 - Р73.
3. Шамберов В.Н. Влияние сухого трения на возникновение автоколебаний в машинах (аналитическое исследование) // Акустические проблемы большого города. Конверсионные вопросы: Труды ЦНИИ им. акад.
А.Н. Крылова. Выпуск 15(Р99) - СПб.: ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова , Р003. - С. 1Р5 - 13Р.
4. Хлайнг Мьйо Вин. Моделирование и исследование динамики электропривода с инерционной нагрузкой и сухим трением //Актуальные проблемы морской энергетики: материалы 4-ой Всероссийской межотраслевой научно-технической конференции, Санкт-Петербург, 1Р - 13 февраля Р015 г. - СПб. Р015. С. 190 - 191.
5. Хлайнг М.В., Шамберов В.Н. Моделирование и исследование динамики электропривода с сухим трением внагрузке // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. трудов VIII Международной научной конференции, Воронеж, Р1 - Р6 сентября, Р015 г. - Воронеж. Р015. С. 374 - 377.
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет (Кораблестроительный институт)
THE ELECTRO-MOTOR MATHEMATIC MODEL WITH HARD-CONNECTED
INERTIAL LOAD
Hlayng Myo Win, V.N. Shamberov
The results of investigation of electro-motor (with hard-connected inertial load and dry friction) dynamical model are brought in to consideration. Dry friction in the load is modeled according to non-Coulomb idealization. It considers not only the presence of negative friction, but also the excess of state friction over the movement friction. The research is carried out by the point transform method in the model's phase space. The results of the investigation are represented as "partition" of parameters' space into the areas of its qualitatively different dynamic behavior
Key words: electro-motor, non-Coulomb dry friction model, state friction, movement friction, mathematic model of the electro driver, partition" of parameters' space of the electro driver
