Динамическое поведение электродвигателя с некулоновской моделью сухого трения в нагрузке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.5

Хлайнг Мьйо Вин

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ С НЕКУЛОНОВСКОЙ МОДЕЛЬЮ СУХОГО ТРЕНИЯ В НАГРУЗКЕ

Известно, что предъявляемые к электроприводам повышенные требования в отношении точности воспроизведения управляющего сигнала, изменяющегося с малыми («ползучими») скоростями, нередко приводят к автоколебаниям, проявляющимся в прерывистом перемещении рабочего органа. Считается, что причиной возникновения автоколебаний является наличие отрицательного участка характеристики внешнего трения. На примере электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой возникновение автоколебаний демонстрируется и объясняется характеристикой внешнего трения без отрицательного участка, но с превышением сил трения покоя над силами трения движения при страгивании рабочего органа с места. Целью исследования являлось установление причинно-следственной связи между параметрами электродвигателя, нагрузки и параметрами трения в нагрузке и возникновением того или иного динамического поведения. Исследование было осуществлено методом точечных отображений на фазовой плоскости математической модели электродвигателя в окрестности состояния равновесия. Результаты исследования представлены в виде «разбиения» пространства параметров электродвигателя с нагрузкой на области качественно различного динамического поведения. Результаты аналитического исследования подтверждены вычислительным экспериментом.

Ключевые слова: электродвигатель с жестко присоединенной нагрузкой, некулоновская модель сухого трения, внешнее трение, автоколебания, математическая модель, точечное отображение, разбиение пространства параметров.

Введение

Задачи автоматизации судового энергетического оборудования характеризуются широким использованием в составе систем автоматического управления электроприводов различного назначения. Наиболее часто электропривод используется в качестве исполнительного устройства, преобразующего подводимый электрический сигнал в угловую скорость вращения (или угол поворота) приводного электродвигателя. С валом электродвигателя связан рабочий орган объекта управления, являющийся для электродвигателя нагрузкой и образующий с электродвигателем исполнительный механизм электропривода.

В ряде случаев к электроприводам предъявляют повышенные требования в отношении точности воспроизведения управляющего сигнала, изменяющегося с малыми («ползучими») скоростями. Однако при этом нередко наблюдаются автоколебания, проявляющиеся в относительно быстрых, чередующихся с остановками, перемещениях рабочего органа, что является нежелательным проявлением работы электропривода.

Известно, что сухое трение в подвижной части любого технического устройства может вызывать автоколебательный режим. Исключительное внимание к подобным режимам объясняется тем, что автоколебания являются помехой в работе большого количества приборов: измерительных и автоматических устройств, приводных двигателей, исполнительных механизмов и пр.

Автоколебания, возникающие из-за наличия сухого трения, называются фрикционными. Фрикционным автоколебаниям посвящено достаточно много работ. В ряде известных классических работ [1, 2] причину возникновения автоколебаний видят в отрицательном участке характеристики внешнего трения. Он появляется в том случае, когда существующее в устройстве вязкое трение не может компенсировать «отрицательность» сухого трения: оно превалирует над вязким трением. В последнее время появился ряд работ [3, 4], показывающих на известных примерах с маятником Фроуда» [3] и тормозной колодкой [4], что причиной возникновения фрикционных автоколебаний может стать превышение сил трения покоя над силами трения движения - некулоновская модель сухого трения.

В нашем исследовании на примере электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой демонстрируется и объясняется возникновение фрикционных автоколебаний характеристикой внешнего трения с превышением сил трения покоя над силами трения движения при страгива-нии (начале движения) ротора электродвигателя.

Целью исследования является установление причинно-следственной связи между параметрами электродвигателя, параметрами нагрузки, параметрами трения в нагрузке и возникновением качественно различного динамического поведения электродвигателя. Решением данной задачи является нелинейный анализ, для успешного проведения которого необходимым условием является содержательная математическая модель исследуемого явления - возникновения фрикционных автоколебаний в электродвигателе с жестко присоединенной нагрузкой. Модель должна достоверно отражать его динамическое поведение и учитывать (с точки зрения целей исследования) основную физически значимую особенность закона сухого трения - превышение сил трения покоя над силами сухого трения при движении. Необходимым и достаточным условием успешного теоретического исследования служит выбор метода исследования, позволяющего провести достаточно полное аналитически строгое исследование модели в соответствии с поставленной целью, получить об изучаемом явлении новую информацию и выработать допускающие обобщения концепции.

Для решения поставленной задачи был выбран метод точечных отображений, относящийся к эффективным методам исследования динамических систем [5].

Теоретический анализ

В качестве динамической модели электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой примем следующее аналитическое описание:

1) уравнение электрического равновесия:

Ь• 4 = -Я• /я -/р • се • Я + и ; (1а)

2) уравнения механического равновесия (с учетом сухого трения в нагрузке):

J ■ ft = 0, если ft = 0 и \М - J ■ ftj< M тр.0;

J ■ ft = M - M (ft), если ft Ф 0, или если ft = 0 и M - J ■ ft |> M,

тр.дв. V /

(1б)

где Mтр.дв (ft) = ктр ■ ft + Мтр.ост sign (ft), M = ip ■ cM ■ Iя, J = ip ■ J э + J н, • = d/dt - изображение

производной по Ньютону.

В структурном виде модель представлена на рис. 1, 2.

| Мтр.даф)

Мтр.дв(П) Мтр .ост

arctg(fcrp)

Мтр

*о

tor

a

a

1 15 м

Г Г 4

Механическая часть электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой

Принятый закон внешнего M трения при движении

•ф-

Ja

Мтр..дв(а)

ЛЭ

Ja

-о

a

t г a tr

1 j

Рис. 1. Структурная математическая модель электродвигателя с нагрузкой

В модели (1а), (1б) и на рис. 1, 2 обозначено: и - входное напряжение (управляющий сигнал); /я, ft, 0 - ток якоря, угловая скорость и угол поворота нагрузки соответственно; см, се - параметры, передаточные коэффициенты электродвигателя по току и по скорости; М - момент, приложенный непосредственно к нагрузке; Ь, Я - параметры, характеризующие индуктивное и ак-

a

е

0

0

е

2

тивное сопротивления обмотки ротора соответственно; J = ip • Jэ + Jн - параметр, характеризующий приведенную к нагрузке инерционность ротора электродвигателя (J э) с присоединенной нагрузкой (Jн); Мтр.дв(Q) = Мвтр (Q) + Мстрдв(Q) - момент сил трения при движении; Мв.тр (Q) = ктр • Q - момент сил вязкого трения; Мс.тр.дв(Q) = Мтр.ост • sign (Q) - момент сил сухого трения при движении; М тр 0 - момент сил трения покоя; Мтр ост - параметр, момент сил сухого трения при остановке (М ст < М 0); ктр - параметр, характеризующий величину вязкого трения; ip - передаточное число редуктора; J • Q _ - предыстория (предыдущее значение инерции на момент определения последующего значения).

П Мтр.о М,р.дв(П)

J_J

М

Рис. 2. Структура алгоритма функционирования логического элемента в модели

Модель относится к моделям логико-динамического класса. Логическая часть в модели отражена логическим элементом ЛЭ с заданным алгоритмом функционирования (рис. 2).

Состояниям равновесия (статике) будет соответствовать точка пересечения (рис. 3) механической характеристики электродвигателя

М = V^и _1р ^С ^См Q R R

с характеристикой внешнего трения

Мтр.дв (П) = ктр • Q + Мтр.ост sign(Q), при Q > 0.

(2)

(3)

Рис. 3. Статические характеристики электродвигателя

Координаты точки пересечения М = Мст, О = Ост определяются совместным решением уравнений (2) и (3).

В силу присутствия сухого трения, при Q 0 = 0 установившееся движение электродвигателя может возникнуть только при > M тр 0 • R/ip • см , однако при Q 0 ф 0 движение будет существовать и при \и\ > Mтр.ост • R/ip • см (рис. 3).

Согласно теории бифуркации на плоскости [5] появление устойчивого предельного цикла связано с раздвоением (бифуркацией) полуустойчивого цикла (рис. 4).

Рис. 4. Бифуркация на фазовой плоскости (М, О) модели электродвигателя с нагрузкой

Уравнение движения относительно состояния равновесия, например, в переменных состояния ДМ , ДМ , будет определяться следующим выражением:

] -ДМ + [ ктр + ^) ДМ +^'С' К'ктр ДМ = 0, (4)

где ДМ = М - Мст.

Для принятой модели состояния равновесия всегда устойчивы («устойчивый узел» или «устойчивый фокус»). При выполнении условия

(Ь - ктр - ] - Я )2 < 4 - Ь - ] - /р2 - се - См (5)

состояние равновесия - «устойчивый фокус», при невыполнении - «устойчивый узел».

Для сокращения числа параметров введем два обобщенных параметра: В = ] - Я/Ь,

Н - м - с/рад , и С = гр - се - см/я , Н - м - с/рад . Умножим выражение (4) на параметр ] и произведем «масштабирование» времени т = ?// (где т - «новое» время), в результате получим уравнение движения в следующем виде:

ДМ + (ктр + В)ДМ + В(ктр + С) - ДМ = 0,

где • = й/йт - изображение производной по масштабированному времени.

Поскольку состояние равновесия устойчиво, то, согласно правилу чередования, внутренний предельный цикл будет неустойчивым, а наружный цикл - устойчивым. Область притяжения состояния равновесия ограничена неустойчивым предельным циклом, вся остальная фазовая плоскость является областью притяжения устойчивого предельного цикла (см. рис. 4).

Таким образом, возникновению фрикционных автоколебаний соответствует наличие на фазовой плоскости полуустойчивого предельного цикла, который существует, если существует фазовая траектория, выходящая из точки 1 с координатами М= Мтр.0, О = 0 и входящая

в точку 2 с координатами М(?2) = Мост, О(г2) = 0 (см. рис. 4). Как показал предварительный анализ [6-8], такая фазовая траектория возможна только при состоянии равновесия типа «устойчивый фокус», т. е. при выполнении условия (5) или условия

(ктр - В)2 < 4 • В • С .

(6)

Уравнением фазовой траектории для уравнения (4) при выполнении условия (6) будет

[ДМ(г2) - а • ДМ (г2)] + в2 [ДМ {г2)] [ДМ(?1) - а • ДМ (^ )]2 + р2 [ДМ (ц )]2

ехр

ехр

2 • а в • ДМ (г2) -агСе У2'

в ё

ДМ(?2) - а • ДМ ()

2 • а в • ДМ (^) -агае

в

ДМ(?1) - а • ДМ (^)

(7)

где а:

Г о п 0,5

= -0,5 • (ктр + В), в = + 0,5 • [4 • В - (ктр - В)2 ] (рис. 5)

Рис. 5. Фазовая траектория

Для осуществления точечного отображения точки в 1 в точку 2 (рис. 5) согласно уравнению фазовой траектории (7) необходимо подставить в (7) координаты этих точек.

В результате получим уравнение граничной поверхности, отделяющей в пространстве параметров электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой область, где подобные фрикционные автоколебания присутствуют при выполнении условия (6) (состояние равновесия типа «устойчивый фокус»), от области, где подобных автоколебаний быть не может.

Граничная поверхность будет определяться следующим трансцендентным уравнением

С • ехр

2 • (ктр + В) ^4 • В • С - (ктр - В)

-аг^

^4 • В • С - (ктр - В)

ктр + В

= В • ехр

2 • (ктр + В)

^4 • В • С - (ктр - В)2

аг^

А

4 • В • С - (ктр - В)

2 • В • С + ктр • В - ктр2

Л

+ 2 • п

(8)

Структура «разбиения» пространства параметров электродвигателя, осуществленная по уравнению (8), представлена на рис. 6.

2

2

2

Б = JRß

Рис. 6. Структура разбиения пространства параметров ктр, В = ] • Я/Ь, С = гр • се • см /Я модели электропривода с жестко присоединенной нагрузкой

Вычислительный эксперимент

Для численного примера возьмем электродвигатель ДПР-72 со следующими паспортными данными: ин = 27 В - номинальное напряжение питания; Мн = 0,04 Н • м - номинальный вращающий момент двигателя; /ян = 1,00 А - номинальный ток в обмотке якоря; пн = 4500 об/мин - номинальная частота вращения; Тэ = 0,01 с - электрическая постоянная времени электродвигателя; Тм = 0,015 с - электромеханическая постоянная времени электродвигателя.

По паспортным данным рассчитаем необходимые параметры электродвигателя: Я = 7,7 Ом - активное сопротивление якоря; Ь = 0,077 Гн - индуктивное сопротивление якоря; се = 0,041 В • с/А - коэффициент передачи по скорости; см = 0,04 Н • м/А - коэффициент передачи по току; /э = 3,2 10-8 Н• м• с2/рад - параметр, характеризующий инерционные свойства ротора электродвигателя.

Допустим, к ротору двигателя через редуктор (гр = 620) присоединена нагрузка с параметрами:

]н = 0,028 Н • м • с2/рад - характеризует инерционные свойства нагрузки; ктр = 6 Н • м • с/рад - характеризует сопротивление перемещению нагрузки (вязкое трение). Тогда параметр J = г2 • /э + /н = 0,04 Н • м • с2 /рад . Обобщенные параметры: В = ] • ЯЬ = 4 Н • м • с/рад ,

С = гр • се • см/я = 80 Н • м • с/рад.

По полученным значениям параметров (ктр = 6 , В = 4, С = 80) электродвигатель находится в области наличия фрикционных автоколебаний (см. рис. 6). Допустим, на практике установлено, что страгивание двигателя происходит при V = 2,7 В, а для поддержания движения

необходимо V > 1,2 В. Тогда Мтр.0 = 8,7 Н • м , Мтр.ост = 3,86 Н • м. Произведем вычислительный

эксперимент - численное интегрирование исходных уравнений (1а), (1б) с учетом полученных значений параметров, входящих в уравнения движения. Результаты численного интегрирования исходных уравнений в виде графиков представлены на рис. 7 и 8, а-г.

и = 3,0 В

Град/с

Оп

О(0

и

Мт2.0 = 8,7 Н ■ м М.,р.ост = 3,86 Н ■ м ктр = 6 Н ■ м ■ с/рад В = 4 Н ■ м ■ с/рад С = 80 Н ■ м ■ с/рад

б-оЕ-ог

0,45 >

Град

9(0

0.3

............0.15

Рис. 7. Фрикционные автоколебания в модели электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой

Существуют следующие пути, позволяющие не допустить возникновения фрикционных автоколебаний в электродвигателе даже при наличии сильного сухого трения в нагрузке:

- увеличение параметра ктр, например, до значения ктр = 6 Н - м - с/рад (см. рис. 5 и 8, а).

На практике этого можно добиться, установив на валу двигателя «крыльчатку» - устройство, которое помимо охлаждения оборудования дополнительно будет создавать вязкое трение;

- увеличение параметра 1, например, до значения 1 = 0,07 Н ■ м ■ с /рад - В = 7 Н ■ м ■ с/рад (см. рис. 5 и 8, б). На практике этого можно добиться, установив на валу электродвигателя маховик;

- уменьшение параметра 1, например, до значения 1 = 0,005 Н - м - с2/рад -В = 0,5 Н - м - с/рад (см. рис. 5 и 8, в). На практике это требует замены существующей нагрузки более легкой, что трудно осуществимо;

- уменьшение параметра гр (передаточное число редуктора), например, для значения

гр = 520, при этом С = 60 Н - м - с/рад (см. рис. 5 и 8, г), что приведет к изменению выходной скорости электродвигателя с редуктором, что не всегда допустимо.

а

б

в

г

Рис. 8. Отсутствие фрикционных автоколебаний в модели электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой

Графики переменных физических величин ЗДО - скорости вращения нагрузки и 0(г) - угла поворота нагрузки, представленные на рисунках 7 и 8, а-г, получены численным интегрированием уравнений динамики (1а), (1б). Графики подтверждают результаты теоретического анализа, представленного в виде диаграммы разбиения пространства параметров на области качественно различного динамического поведения электродвигателя (см. рис. 6).

Заключение

Представленная структура «разбиения» пространства параметров электродвигателя с нагрузкой позволяет понять и оценить влияние каждого параметра на динамическое поведение электродвигателя и при этом легко рассчитать значения параметров, при которых возникнет тот или иной режим.

В тех случаях, когда по условиям эксплуатации электродвигателей необходимо учитывать сухое трение, полученные результаты позволяют сформировать новые концепции учета сухого трения в динамических моделях электродвигателей, что значительно упростит их проектирование, настройку и эксплуатацию.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. 915 с.

2. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний / Л. И. Мандельштам. М.: Наука, 1972. 470 с.

3. Шамберов В. Н. Фрикционные автоколебания в механических системах (еще раз о маятнике Фро-уда) / В. Н. Шамберов // Вестн. Нижегород. гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (5). С. 2610-2611.

4. Шамберов В. Н. Фрикционные автоколебания в механических системах (еще раз о тормозной колодке) / В. Н. Шамберов // Тр. IX Всерос. науч. конф. им. Ю. И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г.). Нижний Новгород: Наш дом, 2012. С. 997-1002.

5. Баутин Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. М.: Наука, 1990. 488 с.

6. Хлайнг М. В. Моделирование и исследование динамики электропривода с инерционной нагрузкой и сухим трением / М. В. Хлайнг // Тр. Санкт-Петербург. гос. мор. техн. ун-та. 2015. Вып. 3. С. 41-49.

7. Хлайнг М. В. Моделирование и исследование динамики электропривода с сухим трением в нагрузке / М. В. Хлайнг, В. Н. Шамберов // Сб. тр. VIII Междунар. науч. конф. «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» (Воронеж, 21-26 сентября 2015 г.). Воронеж, 2015. С. 374-377.

8. Хлайнг М. В. Математическая модель с жестко присоединенной инерционной нагрузкой / М. В. Хлайнг, В. Н. Шамберов // Вестн. Воронеж. гос. техн. ун-та. 2015. Т. 11, № 5. С. 67-72.

Статья поступила в редакцию 23.01.2016

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Хлайнг Мьйо Вин — Россия, 190008, Санкт-Петербург; Санкт-Петербургский государственный морской технический университет; аспирант кафедры «Судовая автоматика и измерения»; lunnat86@gmail.com.

Hlaing Myo Win

DYNAMIC BEHAVIOR OF POWER ENGINE WITH NON-COULOMBIC MODEL OF DRY FRICTION DURING LOADING

Abstract. It is known that the increased requirements to the drives for the fidelity of the control signal, changing at low ("creeping") speeds, often lead to self-oscillations, which manifest themselves in an intermittent movement of the working body. It is believed that the cause of oscillations is the presence of the negative characteristics of the area of friction. By the example of the electric motor with rigidly attached load, the occurrence of self-oscillations is demonstrated and explained with the characteristics of friction without the negative area, but exceeding the static friction forces over the forces of friction in the movement of the breakaway of the working unit from its place. The aim of the study was to establish a causal relationship between the parameter of the electric motor, load and parameters of friction when loaded and the occurrence of this or that dynamic be-

havior. The study was carried out by the method of point mappings on the phase plane of the mathematical model of the motor in the vicinity of the equilibrium state. The results of the study are presented in the form of "splitting" of the space of the motor parameters with the load into the units of qualitatively different dynamic behavior. The results of the analytical studies are confirmed with the computational experiments.

Key words: motor with rigidly attached load, non-Coulombic model of dry friction, sliding friction, self-oscillations, mathematical model, point mapping, splitting of the space parameters.

REFERENCES

1. Andronov A. A., Vitt A. A., Khaikin S. E. Teoriia kolebanii [Theory of oscillations]. Moscow, Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematicheskoi literatury, 1959. 915 p.

2. Mandel'shtam L. I. Lektsiipo teorii kolebanii [Lectures on theory of oscillations]. Moscow, Nauka Publ., 1972. 470 p.

3. Shamberov V. N. Friktsionnye avtokolebaniia v mekhanicheskikh sistemakh (eshche raz o maiatnike Frouda) [Frictional self-oscillations in mechanical systems (on Fraud's pendulum)]. Vestnik Nizhegorodskogo gosudarstvennogo universiteta im. N. I. Lobachevskogo, 2011, no. 4 (5), pp. 2610-2611.

4. Shamberov V. N. Friktsionnye avtokolebaniia v mekhanicheskikh sistemakh (eshche raz o tormoznoi ko-lodke) [Frictional self-oscillations in the mechanical systems (on brake shoe)]. Trudy IX Vserossiiskoi nauchnoi konferentsii im. Iu. I. Neimarka «Nelineinye kolebaniia mekhanicheskikh sistem» (Nizhnii Novgorod, 24—29 sentiabria 2012 g.). Nizhny Novgorod, Nash dom, 2012. P. 997-1002.

5. Bautin N. N., Leontovich E. A. Metody ipriemy kachestvennogo issledovaniia dinamicheskikh sistem na ploskosti [Methods and ways of qualitative studies of the dynamic systems on the plane]. Moscow, Nauka Publ., 1990. 488 p.

6. Khlaing M. V. Modelirovanie i issledovanie dinamiki elektroprivoda s inertsionnoi nagruzkoi i sukhim treniem [Modeling and studying the dynamics of the drive with inertia load and dry friction]. Trudy Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo morskogo tekhnicheskogo universiteta, 2015, iss. 3, pp. 41-49.

7. Khlaing M. V., Shamberov V. N. Modelirovanie i issledovanie dinamiki elektroprivoda s sukhim treniem v nagruzke [Modeling and studying the dynamics of the drive with dry friction when loaded]. Sbornik trudov VIIIMezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii «Sovremennye metody prikladnoi matematiki, teorii upravleniia i komp'i-uternykh tekhnologii» (Voronezh, 21-26 sentiabria, 2015 g.). Voronezh, 2015. P. 374-377.

8. Khlaing M. V., Shamberov V. N. Matematicheskaia model' s zhestko prisoedinennoi inertsionnoi na-gruzkoi [Mathematical model with rigidly attached inertia load]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2015, vol. 11, no. 5, pp. 67-72.

The article submitted to the editors 23.01.2016

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Hlaing Myo Win — Russia, 190008, Saint-Petersburg; Saint-Petersburg State Marine Technical University; Postgraduate Student of the Department "Ship Automation and Measurements"; lunnat86@gmail.com.