Математическая модель движения семян по семяпроводу Текст научной статьи по специальности «Физика»

ности был выше и составлял, например, 70 %, то при использовании более качественных семян он несколько снизится. Поэтому в таком случае решающее значение имеет показатель массы прибыли.

Оценить на основе точно установленных показателей эффективность разрабатываемых сегодня адаптивных технологий возделывания льна-долгунца, в которых набор операций и материальных средств для их выполнения зависит от особенностей земельных участков и погодных условий, не представляется возможным. Дело в том, что в каждом отдельном случае условия производства и, следовательно, затраты, различны, а результаты несопоставимыми.

Для обеспечения более высокой эффективности такого рода технологий необходимо на стадии их разработки изыскивать предпосылки для увеличения урожайности и качества продукции, а также снижения ее ресурсоемкости. К их числу можно, например, отнести совместное использование в пространственном аспекте более качественных производственных ресурсов; смещение периода уборки на более ранние сроки в целях повышения качества продукции и сокращения потребности в технических средствах; применение ресурсосберегающих технологических операций и технических средств для их выполнения.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ СЕМЯН ПО СЕМЯПРОВОДУ

В.10. МОЛОФЕЕВ, кандидат технических наук ВНИПТИМЛ

В ходе анализа технологических процессов, осуществляемых при посеве мелкосеменных культур, мы проведели теоретическое исследование процесса высева семян, которое основывалось на статистической природе потока семян при движении по семяпроводу в гравитационном поле земли, а также законах равнораспределения энергии при их взаимодействии.

Рассмотрим движете семян после выноса их катушечным высевающим аппаратом из бункера в семяпровод. На основании теоремы об изменении импульса материальной точки можно записать

—mV, = F, dt 1 ' '•

(1)

необходимо исходить из статистической природы движения семян. Рассмотрим механическую систему из #семян. Ее состояние характеризуется набором значений координат г = <7;, ^ ... цм и сопряженных им импульсов р =рр р^... рж Множество точек г образует пространство конфигураций К(г), а множество точек р — пространство импульсов К(р). Совокупность обоих пространств К(г)хК(р) называется фазовым пространством К(г,р). Состояние системы характеризуется точкой в фазовом пространстве.

Пусть / — некоторая функция, отражающая распределение координат и импульсов в фазовом пространстве системы из N частиц. Составим полную производную от нее по времени:

#=¥.+у dt dt

" 3/ Э/ 4

—Яі+—Рі dq, dp,

(3)

где f, — главный вектор внешних сил действующих на частицу, V, — вектор скорости частицы; т. — масса. Просуммировав по i члены в уравнении (1), д ля N семян получим

(2)

Усредняя выражение (2) по N запишем его в виде

—P = F

dt

Когда F - 0, то (d/dt)P = 0, что означает динамическое равновесие системы и сохранение средней величины импульса Р = const в отсутствии действия внешних сил, по крайней мере в течение времени пребывания семян в семяпроводе даже при наличии столкновений между собой и стенками семяпровода.

В случае, когда F Ф 0 такого равновесия не будет, так как внешнее поле изменяет среднюю скорость движения семян.

Для изучения совместного действия сил гравитации и соударений при перемещении по семяпроводу

Подставим сюда вместо 4. и р. их выражения из уравнений Гамильтона [1]. р. = дН/Э?.; 4, = дН/др;,.

Тогда вместо уравнения (3) можем записать

Э/ ЭЯ Э/ ЭЯ

(4)

/-1 За, Ър, др, Э?(

\ /

Заменив в (4) сумму скобками Пуассона для величин/и Н[ 2]:

Э/ ЭЯ Э/ ЪНЛ

1-І

dq, Ър, dp, dq,

= if,H)

, получим выражение

(5)

В соответствии с теоремой Лиувиля [3] о сохранении фазового объема при движении механической системы, состоящей из //частиц, вдоль фазовой траектории, можно положить:

= 0.

Тогда вместо (5) запишем

й№ + (Г, Н)= 0. (6)

Из этого уравнения следует, что функция распределения должна выражаться только через такие комбинации переменных и р., которые с течением времени остаются постоянными. Таким свойством обладают интегралы движения.

Поскольку полевые взаимодействия между семенами отсутствуют, то выражение (6) можно рассматривать в шестимерном фазовом пространстве одной частицы с функцией распределения/(х, у, г; Рх, /у О и Гамильтонианом Н(х, у, г;рх, /у рТогда уравнение (6) запишется так:

д/__д/дг д/ др

Э* Эг Э* др д( . (7)

Члены

^ д?д( Зр д(

представляют локальные изменения функции /, вызванные неизвестными движениями семян в одночастичном фазовом пространстве, или оператор Лиу-виля для одной частицы [4], где Н =р2/2т + Еп(г ).

Так как /Ы = V, а др/д( = дтУ/сИ = тдУ/д! = та, вместо уравнения (7) получим

Э/ Эг дУ

(8)

дг ' дУ х

— V — — а -г дг 2 д V.

Взаимодействия семян между собой могут приводить к резким изменениям их состояния, что обусловлено кратковременностью ударов. В этом случае 2тV = ЕуМ =>ЛУ/(А1 «1) = 2Еу/т = а~2и нарушается равновесное распределение семян по сечению семяпровода.

Неравновесное состояние системы частиц, в отсутствии внешних сил, стремится к равновесию. Предполагая, что изменение любого динамического параметра системы частиц при малом его отклонении от равновесного состояния пропорционально разности мгновенного значения какого-либо параметра функции распределения /(г, р, 0 и его равновесного распределения //Г, р~) уравнение (8) можно записать в виде

У- н У - /-/о

дг~ ‘дУ~ х > (9)

где т — время релаксации, за которое величина отклоненного параметра уменьшится в е раз.

Считая время релаксации т однозначной характеристикой процесса восстановления равновесия системы, уравнение (8) с учетом зависимости (9) можно преобразовать к виду

Э/- Уд/ л

Э* дг “ дУ X (Ю)

Это выражение — кинетическое уравнение Больцмана [5]. Оно отражает изменение во времени состояния системы частиц /(г, р , 1)(1г с1У в элементе объема одной частицы, происходящее вследствие движения семян и столкновений между ними.

Поскольку нас интересует равновесное состояние, в которое система перейдет после окончания процесса релаксации, то, полагая д//Ш = 0 в уравнении (10), получим

Направляя ось Zвдоль оси семяпровода, а ось X перпендикулярно ей по направлению движения посевного агрегата, уравнение (11) для потока семян по семяпроводу запишется в виде ¥ _ /~/о

т , (12)

где К, — скорость движения семян в направлении оси 2Г; <Г — ускорение, вызванное внешним полем в направлении оси Z.

Выражение (12) — линейное неоднородное уравнение в частных производных относительно переменных У1 и г.

Задача Коши для уравнения (12) состоит в следующем: требуется найти решение, которое при г-г0 обращается в функцию гр(х, у, т) своих аргументов. Известно [6], что каждое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка находится в тесной связи с системой обыкновенных дифференциальных уравнений — системой характеристических функций. Решение последнего строится из решений такой системы. Дляуравнения (12) она имеет вид: с£ _ <1У'_ сН

К «, " (/■-/<> • (13)

Как показано в работе [7], для частиц, подчиняющихся классическим законам, решение подобной системы задается функцией:

1р = / = Лехр

■Р

гтУг

+ Щг)

(14)

у/

(11)

где/— распределение Максвелла-Больцмана, а А и $ — постоянные, которые определяются значением распределения энергии полного числа семян.

Коэффициент А можно найти из условия нормировки

^Гс1г= 1, (15)

где 2) — область допустимых значений координат и импульсов в фазовом пространстве.

Чтобы определитьпостоянную /3 вычислим с помощью функции (15) значение х составляющей кинетической энергии частицы. Для этого представим Е в виде суммы

Е(У,7)=Ех + Е+Е1,,

где Ех — кинетическая энергия, приходящаяся на перемещение частицы в направлении оси х.

Каждая составляющая полной энергии зависит только от одного аргумента Ех = тУ2/2, где т — масса частицы.

Подставляя значение Ех в (15) и интегрируя по всей области допустимых значений координат и импульсов при фиксированной скорости V, получаем

^тах

х 1<?Е*йух= 1, (16)

^тш

где А' — постоянный коэффициент.

Значение /5 — определяется из следующих соображений. Каждая частица, выходя из высевающего аппарата, обладает потенциальной энергией, равной mgZ, где Z — высота высевающего аппарата отно-

сительно нижней точки семяпровода. Так как в семяпроводе находится /Участии, то общая энергия системы частиц будет равна

Е = NamgZ,

где а — коэффициент, учитывающий потери при соударениях.

Согласно закону равнораспределения на каждую степень свободы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия. Поэтому, если считать, что полная энергия системы частиц распределяется пополам между кинетической и потенциальной, то средняя энергия, приходящаяся на ^составляющую одного зерна, будет равна

Ех = (ат§г)/12.

Следовательно, максимальная энергия отличается от средней в /2Аграз, а максимальный импульс отличается от среднего в ^12Ы раз. Учитывая, что максимальный импульс во много раз превышает среднее значение составляющей по оси X, можно пределы изменения переменных для интеграла от функции (16) заменить на бесконечные.

РтГ2

тУ

2 dV= 1

Интеграл в левой части — это интеграл Пуассо-на, который равен [7] л/яЬгф, откуда А' = ^т/2п.

Поэтому плотность распределения вероятностей составляющей скорости по оси X выражается как

/,Ж)=

Пользуясь этой формулой, найдем среднее значение Ё г

- } тУ2 [{йп ^

Ех = ----------е

* J 7: V

dV,.

(17)

U(r)

= lmgr’ 1 о,

4 ч-к(г)

Ale 2Е’ dV dr =■= 1

(19)

Пользуясь независимостью проекций скоростей Vх, V , V7 перепишем (19) в виде от 7 =7 (х, у, zj

яГІ/

Ґ z mV}

mv;

Aje 1T dVx*je 11 dV/je 1T dV2*

(20)

*

Г(*.ул)

IT

dxdydz = 1

Последнее выражение можно решить, если использовать значение интеграла Пуассона и формулу (18) для потенциальной энергии.

ЛЕ

dV=-

т

т

о и

°° У(х,У,г)

j е гв‘ dxdydz = J1 dxdydz = у

о V

поскольку при движении по сошнику потенциальная энергия U(x,y,z) уменьшается, а кинетическая 2Е s возрастает, то всегда в сошнике можно выбрать такую точку, где

U(x,y,z) , exp----—- = 1

2 Е

Тогда вместо выражения (19) можно записать

3 ,2

А

nEs

т

V -1, откуда А =-------—

(21)

Подставляя (21) в функцию распределения (14)

получим

__ 2 V 2тг

После его интегрирования получим

Е* = гЩ=Е'-

Из физического смысла ясно, что/3 величина отрицательная, в противном случае исходный интеграл будет расходиться, поэтому:

М-р

Таким образом, р — величина обратная кинетической энергии. Теперь плотность распределения можно представить в виде

/ =

т

тсЕ.

- 1 (пУ1 . mVy . мК/

гв.

U(x,yj)

(22)

у{тУУ2+и(г^

У =/(?,у,2,Гх,Гу,У,)=Ае гЕ- , где А — постоянная, определенная из условия нормировки.

Перед вычислением А рассчитаем потенциальную энергию семян в объеме семяпровода V в виде

для г внутри V; для? внеУ.

Анализ формулы (22) позволяет сделать вывод, что формирование потока семян семяпроводом определяется размерами сошника, массой и размерами семян, а также средней кинетической энергией, приходящейся на одно зерно. Из нее же можно получить плотность распределения семян по поперечному сечению сошника. Так как кинетическая и потенциальная энергии зависят от разных переменных, то вместо выражения (22) можем записать, учитывая, что объем сошника К=з/

У(г.У*)

(23)

1

/і =~е

S

Л =

т

яЕ.

1 (тГ? | тУ* | ту? Л

2£,| 2 ' 2 ' 2 I

(24)

(18)

Запишем условия нормирования для функции распределения (15)

При изменении угла наклона сошника относительно вертикальной оси вертикальную силу, вызванную гравитационным полем можно разложить на две составляющие: mgsin^p — для горизонтальной и mgcos<p — для вертикальной.

Тогда для потенциальной энергии в плоскости сечения сошника, например, по оси X 1!(х)=х mgsin<p,

а по оси Z и(?)=Ё.

6

Подставляя эти значения в формулу (23) получим

для поперечного сечения сошника

(25)

Из формулы (25) следует, что при <р=0 распределение частиц по поперечному сечению равномерно. В случае если <рфО, то при малых х и достаточно большом значении величины ^ также можно считать распределение равномерным.

Если при движении частиц по семяпроводу полная энергия механической системы убывает а<1, то отклонение/(х,у) от плотности равномерного распределения увеличивается, если же а >7, то наблюдается обратная картина.

На основе разработанной математической модели процесса движения частиц по семяпроводу получены

функции распределения семян по поперечному сечению семяпровода и сошника и распределения интервалов между семенами в месте установки датчиков высева, что позволило разработать алгоритм контроля качества высева мелкосеменных культур, а также построить структуру и основные элементы устройства контроля качества работы высевающих систем зерновых и льняных сеялок.

Изготовлен опытный образец устройства, проведены предварительные испытания переоборудованного посевного агрегата. Экономический эффект от его использования связан с возможностью в реальном времени оценить качество посева (расход семян, забивание сошников, глубину заделки семян) и при необходимости скорректировать выявленные нарушения. Это обеспечивает снижение расхода семян при посеве на

4 % благодаря возможности корректировки положения высевающих катушек и повышение урожайности до

5 % в результате более равномерного распределения семян по площади поля и глубине заделки.

Литература.

1. Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В А. Теоретическая механика. — М.: Колос, 2000.

2. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. — Главная ред. физ.-мат. лит. изд. Наука, — М., — 1970.

3. Ландау Л., Лившиц Е. Статистическая физика. Государственное изд. техн.-теорет. лит. Москва, 1940.

4. Ноздрев В.Ф., СенкевичАА. Курс статистической физики. — М.: Высшая школа , 1969.

5. Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике, пер. с англ. под ред. И А. Квасникова. Изд. Мир. Москва, 1965.

6.Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966.

7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Технико-теоретическая литература, 1953.

РАЗДЕЛЬНАЯ УБОРКА ЛЬНА: ВЛИЯНИЕ ОБОРАЧИВАНИЯ НА РАСТЯНУТОСТЬ СТЕБЛЕЙ И ПОТЕРИ СЕМЯН

М.М. КОВАЛЕВ, кандидат технических наук

В.И. ДМИТРИЕВ, инженер

ВНИПТИМЛ

М.М. РУСАКОВА, агроном

ВНИИЛ

Решение проблемы увеличения сбора, и улучшения качества льнопродукции, наряду с повышением урожайности льняного поля, зависит от применяемой технологии и сроков проведения уборочных работ. На сегодняшний день наиболее прогрессивна разработанная во ВНИПТИ механизации льноводства комбинированная уборка льна-долгунца, базирующаяся на научно-обоснованном сочетании комбайнового и раздельного способов [1]. При ее реализации очень важное влияние на конечные результаты оказывает продолжительность нахождения разостланных для дозревания растений лент в поле и их оборачивание. Воздействие этих факторов на потери семян и растянутость стеблей в ленте на поздних посевах льна уже изучалось [2]. Однако результатов исследований, проведенных при полном соблюдении технологии выращивания и уборки, до сих пор не было. В нашем опыте посев льна осуществлялся в

первой декаде мая 2005 г., а теребление — в фазе ранней желтой спелости в середине августа.

Метеорологические условия во время эксперимента характеризовались следующими параметрами. В конце 3-ей декады августа стояла неустойчивая дождливая погода. Осадков выпало 11,1 мм, в результате чего сельскохозяйственные работы проводились с перерывами. Среднедекадная температура воздуха составляла 14,5°С (на 0,8°С выше среднемноголетнего показателя), относительная влажность воздуха — 76,4 %.

Сентябрь и первая декада октября в целом выдались благоприятными для выполнения сельскохозяйственных работ. Было всего 4 дождливых дня с общей суммой осадков 23,2 мм, причем наибольшее их количество зафиксировано 17 сентября (20,4 мм), а всего за этот месяц выпало 22,8 мм, что на 33 мм меньше среднемноголетних значений.

Среднемесячная температура воздуха в сентябре составила 12,3°С (на 2,5°С выше среднемноголетней), относительная влажность воздуха — 78,4 %.

В первой декаде октября осадков не было, средняя минимальная температура воздуха понизилась до 9,7°С, а его относительная влажность составила 74 %.

Поверхность почвы в августе и первой декаде сентября была слабо увлажненной, во 2-ой, 3-ей дека-