CC BY
107
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
УДК 519.71
К. Л. Куликовский, Д. В. Великанов
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНИРУЮЩЕГО ЗОНДА
Аннотация. Разработана математическая модель, описывающая движение планирующего зонда в водной среде. Принято предположение о малости скоростей изменения управляющих параметров, позволяющее пренебречь влиянием присоединенных масс и моментами инерции.
Ключевые слова: планирующий зонд, крен, дифферент, изменение плавучести, угол атаки, планирование, радиус, скорость, траектория.
Abstract. The authors have developed a mathematical model describing the motion of a gliding probe in the aquatic environment. It has been concluded that the rate of change of control parameters is so small that it is possible to neglect the influence of added mass and moments of inertia.
Key words: gliding probe, roll, trim, change of buoyancy, angle of attack, gliding, radius, speed, trajectory.
Введение
Во многих отраслях промышленности стоит проблема более глубокого и подробного изучения и использования Мирового океана. Так, например, в рыбной промышленности требуется определение положения и отслеживание перемещения планктоновых полей, мест скопления рыбы и путей миграции крабов. В добывающих отраслях, в частности нефтяной и газовой, необходим постоянный контроль за состоянием подводных объектов: трубопроводов, буровых платформ и других инженерных сооружений. Поиск и разработка новых месторождений полезных ископаемых также невозможны без подробного изучения дна Мирового океана. Для энергетической промышленности важным является определение тепловых потоков, которые позволят создавать новые дешевые источники энергии. Океанологам необходимо составлять более точные карты солености, температуры и течений Мирового океана, которые будут использованы в том числе при составлении более точных прогнозов погоды.
Использование отдельных зондирующих устройств в целях исследования океана требует высоких временных и финансовых затрат. Выходом из сложившейся ситуации является создание дешевых и мобильных информационно-измерительных систем (МИИС), которые способны функционировать длительное время без участия человека. Каждая МИИС - это комплекс измерительной и коммуникационной аппаратуры, установленной на аппарате-носителе.
Использование в качестве аппарата-носителя автономных зондов, снабженных движительной установкой, является нецелесообразным при построении МИИС, поскольку время их автономной работы в среднем составляет 6-8 ч [1], вследствие чего они требуют наличия судна сопровождения.
Наиболее подходящим для решения перечисленных выше задач является планирующий зонд (ПЗ). У него отсутствует движительная установка, что существенно увеличивает время его автономной работы. Однако принцип движения, исключающий применение движителей, делает невозможным применение математических моделей движительных аппаратов, что обусловливает необходимость создания специальных математических моделей движения ПЗ в водной среде.
1. Описание движения ПЗ в водной среде
Движение зонда в вертикально-продольной плоскости осуществляется за счет изменения плавучести. Крылья, жестко закрепленные на корпусе, работают как крылья планера при создании дифферента на нос или корму, что обеспечивает движение по горизонтали.
Поскольку плавучесть Р изменяется за счет закачки в аппарат забортной воды (балластной жидкости), то она определяется по формуле
р = g = ( - — + ть))) , (1)
где то - приведенная масса ПЗ; т - водоизмещение ПЗ; тн - постоянная масса ПЗ; тъ - масса балластной жидкости; g - ускорение свободного падения.
Рассмотрим проекции сил, действующих на планирующий зонд в установившемся режиме, на вертикально-продольную (рис. 1) и вертикальноперпендикулярную (рис. 2) плоскости. Для обозначения сил и углов, показанных на рис. 1 и 2, введем следующие обозначения: е - угол наклона траектории; 0 - угол дифферента; а - угол атаки; у - угол крена; V - вектор скорости; Ь -
подъемная сила; О - сила лобового сопротивления, где ^ = ——— - цен-
Л
тробежная сила, тПЗ = —н + тъ - полная масса ПЗ; Л - радиус траектории. Предположим, что ПЗ имеет ненулевые крен и дифферент, и найдем зависимости, описывающие перемещение ПЗ в пространстве.
Рис. 1. Проекции действующих на ПЗ сил на продольно-вертикальную плоскость
Рис. 2. Проекции действующих на ПЗ сил на вертикально-перпендикулярную плоскость
Для нахождения таких зависимостей воспользуемся общепринятыми предположениями об идеальности жидкости, о малости приращения угловых кинематических параметров и отсутствии течений [2].
Углы наклона траектории, дифферента и атаки связаны между собой зависимостью
е = 0-а. (2)
Для нахождения угла наклона траектории через угол крена спроецируем силы на ось X:
В С08(е) = Ь С08(у) 8т(е). (3)
Заметим, что подъемная сила Ь и сила лобового сопротивления В могут быть определены по следующим формулам:
рУ 2/3у 2
Ь =^--------Сь (а); (4)
рУ 2/3у2
В =^-2------Св (а), (5)
где р - плотность воды; V - объем вытесненной аппаратом жидкости; V -
скорость аппарата; Сь (а) и Св (а) - безразмерные гидродинамические коэффициенты.
При малых углах атаки для безразмерных гидродинамических коэффициентов справедливы приближенные соотношения [3]:
Сь (а) = Сь0(а) + Сьа|а|; (6)
Св (а) = СВ0(а) + СВа . (7)
Подставим формулы (4) и (5) в уравнение (3), выразим безразмерные
гидродинамические коэффициенты Сь (а) и Св (а) через зависимости (6) и (7) и решим получившееся уравнение относительно угла атаки а . Получим:
= Св0 -ВсПЛЫтИИ),
■ Сь«(е)ссв<7) - Св н
ап = СВ0 -СЬ0<е(е)с0^(Т) (при погружении). (8)
п -Сь18(е)с08(у) + Св ’ w
Заметим, что угол атаки не зависит от скорости, а зависит только от геометрической формы аппарата и угла наклона траектории. При этом угол
дифферента, с помощью которого мы управляем углом атаки, может быть
найден из соотношения (2).
Скорость перемещения аппарата может быть найдена из уравнения, полученного путем проецирования всех действующих на ПЗ сил на ось У (рис. 1):
т0§ = В 8т(е) + Ь С08(у) С08(е) . (9)
С учетом выражений (4)-(8) получим
V =
V
2т>§ (10)
рУ а[(Св0 + Сва)8т(е) + (СЬ0 + Сь |а|)с08(у)с08(е)]
В приведенной формуле для большего удобства изложения использована переменная т0. Параметр, который непосредственно меняется системой изменения плавучести ть, может быть найден из соотношения (1).
Смена курса аппаратом производится путем создания крена на соответствующую сторону, в результате чего появляется составляющая подъемной силы, направленная перпендикулярно движению, а также противодействующая ей центробежная сила (рис. 2):
тП^ = Ь 8ш(у)с08(е) . (11)
К
Решая данное уравнение (11) относительно радиуса К, получим
К =_______________2тПЗ____________ (12)
р V 2/3а(Сь 0 + Сь |а| )8ш(у)с08(е)
Далее необходимо рассчитать траекторию движения зонда, при этом будем опираться на предположение о том, что изменения параметров движения ПЗ происходят с достаточно малой скоростью такой, что можно пренебречь моментами инерции и присоединенными массами.
2. Расчет траектории движения ПЗ
Рассмотрим движение ПЗ по дуге (рис. 3) (пунктиром обозначено первоначальное положение планирующего зонда).
За некоторый период времени ^ = [0; Т1], двигаясь со скоростью и, ПЗ пройдет путь, на котором скорость, угол атаки и другие параметры остаются постоянными. Это расстояние будет равно длине описанной им дуги с некоторым радиусом К и центральным углом Дф, выраженным в радианах. Запишем это соотношение и выразим из него Дф:
уґ = ЯДф, (13)
откуда
Д® = —. (14)
Я
Заметим, что изменение курса аппарата за время ґ1 будет равно Дф. При этом изменение курса за промежуток времени Т = пи с периодом измерения ґи будет определяться выражением
ф = 2 Дф, (15)
/=1
где п - число измерений.
Найдем пройденное ПЗ расстояние (см. рис. 3). Заметим, что в начальный момент времени ( = 0) планирующий зонд находится в начале системы координат ХУХ, ось X совпадает с продольной осью аппарата, ось У находится в плоскости несущих поверхностей ПЗ и перпендикулярна оси X, а ось Х направлена в соответствии с правой системой координат. В момент времени Т1 зонд будет иметь в системе ХХ координаты:
X = Я18іи(Дф1); (16)
Х = Я [1 - 0С8(Дф1)]. (17)
На рис. 4 изображен ПЗ в момент времени Т2. За время ґ2 = [Т1; Т2] он прошел некоторое расстояние по дуге с радиусом Я2 и центральным углом
ДФ2.
В результате поворота ПЗ за время Т1 образовалась новая система координат ХХ', повернутая относительно ХХ на угол фі и смещенная на расстояние Х1 и Х1 по соответствующим осям. В системе координат Х'Х' в момент времени Т2 координаты ПЗ (аналогично (16) и (17)) будут равны:
Х1= Я2 8іи(Дф2); (18)
Х1= Я2 [1 -0С8(Дф2)]. (19)
Для перехода к системе координат ХХ воспользуемся матрицей поворота, тогда с учетом смещения получим координаты зонда в момент времени Т2:
Х2 = Я2 8Іп(Дф2)е08(ф1) - Я2 [1 - 008(Дф2)]8Іп(ф1) + Х1; (20)
Х2 = Я2 8Іп(Дф2 ) 8Ш(ф) + Я2 [1 - 008(Дф2 )] О08(ф1) + ХЬ (21)
Координата по оси У может быть найдена по рис. 1 из выражения
Уп = упҐп 8Іп(єп ) + Уп-1 . (22)
С учетом формул (15)-(22) запишем уравнение, описывающее движение ПЗ в пространстве для п дискретных отсчетов с периодичностью ґи:
п
Хп = 2Я [®1п(Дфі)ес8(фм)-(1 -С08(Дфі))8Іп(фі-1)]; (23)
І=1
Уп = 2уі1і 8Іп(єі); (24)
і=1
п
Хп = 2 Яі [®Іп(Дфі) 8Іп(фі-1) + (1 - С08(Дфі))С08(фі-1)] . (25)
І=1
3. Математическое моделирование движения ПЗ
Используя (8), (10), (12), (14), (15), (23)-(25), построим траекторию движения ПЗ (рис. 5). В качестве характеристик модели возьмем оценочные значения характеристик ПЗ. Безразмерные гидродинамические коэффициенты для разрабатываемой конструкции ПЗ примем равными С00 = 0,214, Са = 32,2, Сь = 4,6, СЬ0 = 11,76. Объем ПЗ примем V = 0,0628 м3, массу тПЗ = 50 кг, период измерения ґи = 100 с.
Рис. 5. Временные диаграммы и траектории, описывающие движение ПЗ
Для выбранных параметров три верхние временные диаграммы на рис. 5 иллюстрируют изменение управляющих параметров - дифферента, крена и плавучести. Нижние два графика показывают полученную траекторию движения ПЗ в двух проекциях: на вертикально-продольную и горизонтальную плоскости. В начальный период движения ПЗ изменяет свою плавучесть с нулевой на отрицательную, при этом изменяя и угол наклона траектории. После установления управляющих параметров начинается прямой участок траектории с постоянными параметрами движения. При подходе к заданной глубине дифферент и плавучесть плавно изменяются и ПЗ начинает всплывать. В самой нижней точке траектории, когда вертикальная скорость равна нулю, ПЗ начинает создавать крен, что приводит к смене курса движения. Когда крен становится снова равен нулю, смена курса ПЗ заканчивается.
Заключение
Таким образом, была разработана система уравнений, позволяющая рассчитать траекторию движения ПЗ с учетом управляющих воздействий. Данная система уравнений может стать основой для разработки более совершенных математических моделей планирующих погружаемых аппаратов.
Список литературы
1. Агеев, М. Д. Автономные подводные роботы. Системы и технологии / М. Д. Агеев, Л. В. Киселев, Ю. В. Матвиенко и др. ; под общ. ред. М. Д. Агеева ; Ин-т проблем морских технологий. - М. : Наука, 2005. - 398 с.
2. Пантов, Е. Н. Основы теории движения подводных аппаратов / Е. Н. Пантов, Н. Н. Махин, Б. Б. Шереметов. - Л. : Судостроение, 1973. - 216 с.
3. Graver, G. J. Underwater Glider Model Parameter Identification / J. G. Graver, R. Bachmayer and N. E. Leonard // The 13th International Symposium on Unmanned Untethered Submersible Technology (UUST). - Durham, USA, 2003. - August.
Куликовский Константин Лонгинович доктор технических наук, профессор, кафедра информационно-измерительной техники, Самарский государственный технический университет
E-mail: kl195lm@mail.ru
Великанов Денис Валерьевич аспирант, Самарский государственный технический университет
E-mail: denvel@mail.ru
Kulikovsky Konstantin Longinovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of information-measuring equipment, Samara State Technical University
Velikanov Denis Valeryevich Postgraduate student,
Samara State Technical University
УДК 519.71 Куликовский, К. Л.
Математическая модель движения планирующего зонда / К. Л. Куликовский, Д. В. Великанов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 1 (21). - С. 185-192.
