Математическая модель движения частицы воды в силовом поле центробежно-магнитного влагоотделителя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.51 А. С. Галюжин

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ВОДЫ В СИЛОВОМ ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНО-МАГНИТНОГО ВЛАГООТДЕЛИТЕЛЯ

Разработана математическая модель движения частицы воды в винтовом канале центробежномагнитного влагоотделителя, позволяющая выбрать его основные параметры. Модель учитывает действие центробежной силы, сил Лоренца, тяжести и Кориолиса, а также силы сопротивления движению.

Введение

При движении сжатого воздуха в центробежно-магнитном влагоотдели-теле на первом этапе необходимо удалить капли воды, а также обеспечить максимальное сосредоточение ее микрочастиц (полимеров) на внешней стороне винтового канала, т. е. ближе к внутренней вертикальной стенке корпуса [1]. Это означает, что поток сжатого воздуха должен пройти некоторый путь по винтовому каналу до воздействия на него ультрафиолетового излучения. На втором этапе после облучения поток сжатого воздуха также некоторое время должен двигаться по винтовому каналу до тех пор, пока ионизированные частицы воды не достигнут вертикальной стенки и не соединятся с тонким слоем воды, образованным ее каплями, ранее достигшими этой стенки.

Для определения необходимой длины пути или времени движения потока сжатого воздуха на первом и втором этапах, а также для оптимизации основных размеров винтового канала необходимо разработать математическую модель движения частицы воды в силовом поле влагоотделителя вместе с потоком сжатого воздуха.

Основная часть

При составлении модели были сделаны следующие допущения:

- частица жидкости есть материальная точка постоянной массы и во время движения принимает обтекаемую форму;

- движение сжатого воздуха в винтовом канале является стационарным;

- воздушный поток находится в диссипативном изотермическом стационарном силовом поле с наличием силового возмущения;

- диссипативность характеризуется суммарной силой сопротивления;

- силовое возмущение характеризуется суммарной вынуждающей силой.

Составим расчетную схему (рис. 1). На рис. 1 0аХаУа2а - базовая (абсолютная) система координат; 0ХУ2 - подвижная система координат, условно скрепленная с воздушным потоком и совершающая вращательное движение с угловой скоростью ае и поступательное движение вниз со скоростью Ун. Основное уравнение движения материальной точки (частицы жидкости) с учетом допущений имеет вид [2, с. 237-255]:

та = б + р + р + р + р, (1)

где т - масса частицы, кг; а - ускорение частицы воды в подвижной системе координат, м/с2; б - сила тяжести, Н; Рц - центробежная сила инерции, Н;

Рл - сила Лоренца, Н; Рк - сила Кориолиса, Н; Рс - сила сопротивления, Н.

Сила тяжести и центробежная сила инерции определяются по известным формулам:

б = т§, (2) где § - ускорение свободного падения, м/с2;

F4 =-ац m

(З)

F = m®e r,

(4)

где ац - центростремительное ускорение, м/с2.

Поскольку подвижная система координат совершает вращательное движение с угловой скоростью ае, то удобнее модуль центробежной силы инерции представить зависимостью [2, с. 365-369]

где те - угловая скорость, характеризующая вращательное движение частицы воды вместе с потоком воздуха, с-1; r - радиус, равный расстоянию по нормали от оси влагоотделителя до частицы жидкости, м.

7

Рис. І. Схема сил, действующих на заряженную частицу, движущуюся в канале центробежномагнитного влагоотделителя: І - ось влагоотделителя; 2 - вертикальная стенка корпуса; З - заряженная частица

Силу Лоренца определим по формуле [3, с. 54-55]

Рл = Я К В], (5)

где V - линейная (окружная) скорость

движения частицы, м/с; В - индукция магнитного поля, Тл; я - электрический заряд, Кл.

Модуль силы Лоренца также представим зависимостью от ае

Рл = ЯКе ГВ . (6)

Когда частица жидкости под воздействием Рц и Рл начинает двигаться относительно потока воздуха, то возникает сила Кориолиса, которая определяется зависимостью [4, с. 200-204]

Рк = 2 т К К] (7)

где Уг - скорость движения частицы воды относительно потока воздуха, м/с.

Если размеры частицы жидкости на несколько порядков больше размеров молекул воздуха (назовем ее макрочастицей воды), то для определения силы Гс используют теорию аэродинамики. В этом случае физическая сущность силы сопротивления Гс представляет собой суммарное сопротивление при обтекании макрочастицы потоком воздуха. Для определения данной силы используют формулу, структура которой была предложена Ньютоном [5, с. 255-257; 6, с. 133-136]. Тогда

¥с = “0,5 К$с Рс

к.

(8)

где кс - коэффициент лобового сопротивления; 8с - площадь проекции макрочастицы воды на плоскость, перпендикулярную вектору Уг, м2; рсж - плотность сжатого воздуха, кг/м3.

Подставим значения сил из уравнений (2)...(8) в уравнение (1) и спроецируем полученное уравнение на оси ХУ2. При этом сделаем допущение, что составляющие у иг относительной скорости движения частицы относительно потока воздуха пренебрежительно малы по сравнению с составляющей х . Поэтому при расчете ¥л и ¥К учитываем только х. Тогда система дифференциальных уравнений движения макрочастицы в винтовом канале влагоотделителя при х > г0 > 0 и х > 0 примет вид:

тх = та] х + д&еБх - 0,5 кс8срсж х2;

ту =-2т(дех - 0,5МсРсж У2; (9)

тг = mg - 0,5^ РсЖ г2

или

х = (( + q&еВ/т)х-(0,5кс^сРсж/т) ^^2;

у =- 2&ех-(°,5кАРж/ т)у2; (10)

г = g-(0,5 КБс Рсж / т).

Для удобства решения системы (10) обозначим:

А1 = а 2 + q а е В / т;

А2 = 0,5 кс 5с Рсж / т ; В1 = 2ае . (11)

Тогда система (10) примет вид:

х =А1х - А2 х ; у =-В15с- А,у 2; г = g - А2 і2.

(12)

С помощью замены х1 = х, х2 = X ,

У1 = у, У 2 = У , г = г , ^ = г в общем случае система (12) сводится к системе дифференциальных уравнений Риккати первого порядка вида

х1 = х 2;

х 2 = А1 х1 22 X 2 А -

У1 2 У N

У 2 = - В 1 х 2 А 2 У 2

= г 2;

г 2 = g - А 2 г 2 .

(13)

Известно, что дифференциальное уравнение Риккати интегрируется в квадратурах только в частных случаях, а системы дифференциальных уравнений Риккати могут быть решены исключительно численными методами. В данном случае система (13) записана в виде, удобном для применения метода Рунге-Кутта, который реализован во множестве пакетов символьной математики [7, 8].

Вместе с тем два последних уравнения системы (13) не содержат переменные х и у и могут быть решены методом разделения переменных. Запишем эти уравнения:

= g - А2г 22;

(14)

Первое уравнение системы (14) является уравнением Риккати. Для его интегрирования проведем разделение переменных:

^22 . 2

-Г = g - А2 І22 аі

или

аг.

2________

- й-ИА2

g А2 г2 а

= аі;

1 -

=аі.

2

Проинтегрируем последнее уравнение и получим

2л/М

ІП

А

I— г +1 g

= і + ІпС. (15)

Выполним дальнейшие преобразования уравнения (13):

Тогда

или

аі2 + 1 = С еЬі

аг2 -1

аг2 +1 = аг2 Сеаі - Сеаі

(а - аСеЬі)=-(1 + СеЬі).

Определим г2 из последнего выражения:

Ьі

1 1 + е

а СеЬі -1

1 1 + е

Ьі

г = ■

а С еЬі -1 Проинтегрируем уравнение (17):

2 г аі

І аі + -

а

(17)

аС* ьі

е-----

С

Обозначим и = еЬі -1/ С. Тогда еЬі = и +1/С, а Ьі = Іп |и +1/С| или

і = Іп |и +1/С |.

1

Соответственно аі = ■

ЬI и + С

-аи.

Подставим данное значение аі в уравнение (18):

1 2 с аи

г = — і +----І----т--------т

а аС ^ Ьи (и +1/С)

і 2 ,

= — +—Іп-

и

а аЬ и +1/С

- + С2.

(19)

Вернемся к первоначальным переменным, подставив вместо и его значение:

2 1

г = — Іп аЬ

еЬ• -1

С

-----+ С2.

а

(20)

Вместо а и Ь подставим их значения. В результате получим

г = —Іп

2т]А2 g і

і

д/А2 / 8

+ С2. (21)

Окончательно подставим в (21) значение А2 из (11). В результате получим следующую зависимость:

2 т

г = ■

кА Рсж

-Іп

С

+ С .

\/кАРсж /2т£ 2

(22)

Поскольку г = г2, то получим

дифференциальное уравнение первого порядка

Найдем постоянные интегрирования С и С2. Для нахождения постоянной С продифференцируем уравнение (22). В

г

2

1

2

а

г2

результате получим

г =

х е

А е-1/с

24а8г - г~. 1

24а

£

у1А2/ 8

(23)

Начальным моментом времени (і = 0) считаем момент вхождения частицы воды в винтовой канал влагоотделите-ля. При этом г = 0, следовательно допускаем, что г = 0 . Тогда уравнение (23) примет вид:

1

1 2УА2

£

£

А 1 -1/С

Умножим обе части последнего уравнения на . В результате получим С = -1.

Постоянную интегрирования С2 определим из уравнения (22) при упомянутых выше начальных условиях:

С = -

2 т Іп2 1,386 т

кс 5с Рсж кс 5с Рсж

(24)

Окончательно, с учетом зависимости (24) и С = -1, уравнение (22) примет вид:

2 т

г = ■

кс^сРсж

-Іп

,л/2кАРсж е/т і

+1

1,386 т

у1кАРсж /2т§ кАРс

. (25)

Подставим в (23) значения А2 из (11) и С2 из (24). В результате получим

2те2к-5‘Р‘ж§'2к^Рж-£/

т

г =

кс8с Рсж (ееі + 1)

^кс5сРсж /2т§

(26)

Упростим уравнение (26). Тогда

г =

2т §

кс 5с Рсж

Ґ 2 ел12кс 5с Рсж £ / т і ^

2 е -1

+ 1

. (27)

Как отмечалось выше, при движении потока влажного воздуха в винтовом канале влагоотделителя можно выделить два этапа:

1) движение по винтовому каналу до облучения;

2) движение после облучения.

На первом этапе происходит удаление макрочастиц воды из потока воздуха под действием центробежной силы инерции, на втором этапе - удаление микрочастиц (полимеров) воды под действием центробежной силы и силы Лоренца.

Рассмотрим первый этап. При движении частицы воды вместе с потоком воздуха в винтовом канале влагоот-делителя до облучения сила Лоренца равна нулю, т. к. частица является электрически нейтральной. В этом случае система дифференциальных уравнений (9) примет вид:

х = ш;2 х - (0,5кс 5с Рсж /т) х2; у =- 2 шех-(0,5 кс5сРсж / т)2; (28)

г = £ -(0,5(с5с Рсж / т) )2

Два первых уравнения системы (28) могут быть решены численными методами, решение третьего уравнения соответствует зависимости (25).

В конце первого этапа движения происходит облучение потока воздуха ультрафиолетовым излучением. К этому моменту макрочастицы воды должны достичь вертикальной стенки корпуса влагоотделителя, а в потоке воздуха остаться только микрочастицы воды. После облучения частицы воды приобретут положительный заряд и при вхождении в магнитное поле на них начнет действовать сила Лоренца.

На втором этапе движения потока влажного воздуха размеры частиц воды сопоставимы с размерами молекул возду-

1

ха, поэтому использовать уравнение (8) для расчета силы сопротивления Ес не

представляется возможным. Проанализируем силу Ес с точки зрения основ молекулярно-кинетической теории газов. При разработке молекулярнокинетической теории газов принято допущение, что при хаотическом движении молекул воздуха число взаимных столкновений между молекулами пренебрежительно мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда (в данном случае о стенки влагоотделителя). Хаотическое движение молекул заменено движением вдоль декартовых осей координат, причем в любой момент времени вдоль каждой из осей движется 1/3 часть всех молекул таким образом, что одна половина (1/6 часть) этих молекул движется в одну сторону, а вторая половина - в противоположную [9, с. 68-70; 10, с. 19-22]. Тогда, например, при движении частицы воды вдоль оси Х число лобовых столкновений с молекулами воздуха и число попутных столкновений будет одинаково и, соответственно, количество движения частицы воды будет неизменным. Такие же выводы можно сделать при рассмотрении движения частицы воды вдоль осей У и 2. При таких допущениях силой сопротивления можно пренебречь.

Тогда дифференциальные уравнения движения частицы воды после облучения будут следующими:

X = (ш2 + q шеВ / т) х;

<у =- 2 ШеХ; (29)

г = £.

Как отмечалось в [1], сила Лоренца как минимум в 200 раз больше центробежной силы. При таких условиях центробежной силой можно пренебречь. Тогда дифференциальные уравнения (29) будут иметь вид:

X =— q шеВх; т

'У =- 2 ШеХ; (30)

г = £.

Первое уравнение системы (30) не содержит переменные г и у, является дифференциальным уравнением второго порядка и может быть решено методом характеристического уравнения. Обозначим

А3 = q В /т. (31)

Тогда

X - А3 шех = 0. (32)

Составим характеристическое

уравнение

Р2 - А3 ш е = 0

где р - переменная характеристического

уравнения; ше .

Для действительных корней характеристического уравнения получим

х = С3 е^' + С4 е-^Ше1. (33)

Определим постоянные интегрирования из начальных условий: при t0 = 0, х0 = г0 (г0 - внутренний радиус

винтовой канавки влагоотделителя (см. рис. 1)). Подставив данные значения в (33), получим

х0 = С3 + С4. (34)

Продифференцируем уравнение (33):

х = С3 е'^АШ' у] А3 ше -

- С4 е^-/А3Ш:^ ТАГШ7. (35)

При '0 = 0 х0 = 0. Подставим эти значения в (33) и получим

С3 - С4 = 0. (36)

Решим совместно (34) и (36). В результате получим

С3 = С4 = х0/2 = /0/2. (37)

С учетом (31) и (37) уравнения (33) и (35) примут вид:

x =

0 5r (e^B“e/m l + e~JqBae/m l)• (38)

X = 0,5r0(e^e/m l-e-4qBae/m t )x

x ^JqBae / m. (39)

Для определения количества оборотов винтового канала целесообразно иметь зависимость t = f (x), поскольку, зная время движения частицы воды до вертикальной стенки влагоотделителя, можно рассчитать длину пути движения потока воздуха в винтовом канале. Для этого решим уравнение (38) относительно t.

^ JqB Юе / m t гхі

Обозначим а = е^ . Тогда

уравнение (38) примет вид:

x=

r0(a' + 1) 2а

или r0 а - 2xa +1 = 0 .

Решение данного квадратного уравнения известно:

а1,2

-І*

X ±Л/ x2 - r 2

Подставим значение а в последнее уравнение и определим t:

t=

1

4qBaJ

-in-

X ±ЛІ x2 - r2

m

Выражение in

4

2 ,2

X -Л x - rr

при

х > г0 будет величиной отрицательной,

тогда ' < 0, что невозможно. Поэтому уравнение для расчета времени движения частицы воды вдоль оси Х будет иметь вид:

t=

Vm in x + \ x2 - r0

JqB

(40)

Разработанная математическая модель позволяет сформулировать следующую методику выбора основных параметров влагоотделителя. Вначале, исходя из конструкции пневмопривода с учетом габаритных и присоединительных размеров, выбираем размеры r0 и rK (см. рис. 1). Затем выбираем площадь живого сечения винтового канала SK и угол наклона винтового канала у к линии, перпендикулярной оси влагоотде-лителя. На первом этапе можно допустить, что бы SK была примерно равна площади живого сечения трубопровода, соединяющего компрессор с влагоотде-лителем. Экспериментально установлено, что у = б...8°. При этом вертикальный габаритный размер влагоотделите-ля существенно не увеличивается, обеспечивается поступательное движение потока воздуха вниз со скоростью Vft и сила Лоренца FR остается достаточно большой, поскольку угол между вектором Fji и вектором окружной скорости Vo частицы воды меньше прямого угла всего на б.80 [1]. После этого определяем среднюю скорость движения воздуха V^ в винтовом канале и угловую скорость те:

Vp = Q / Sk , (41)

где Q - подача компрессора или расход воздуха в пневмолинии, мЗ/с;

ае = 2Vcp sin Y/(r0 + rK ). (42)

Затем решаем два первых уравнения системы (2б) численными методами при условии, что rK > х > r0, а у > 0, и находим время tl движения макрочастиц воды различной массы от вертикальной стенки винтового канала 4 до вертикальной стенки корпуса 2 влагоотдели-теля (см. рис. 1). При этом форму макрочастицы воды считаем сферической, а ее массу определяем по формуле

r

0

r

о

r

0

r

0

4 3

т = Рв 3, (43)

где рв - плотность воды, кг/м3; Яч - радиус макрочастицы воды, м.

Поскольку форму макрочастицы воды считаем сферической, то площадь проекции макрочастицы воды 8с на плоскость, перпендикулярную вектору V, определим как площадь круга:

^ = пЯч 2. (44)

Для принятой формы макрочастицы воды коэффициент лобового сопротивления кс можно принять исходя из [5, с. 257-260]: кс = 0,62. Для определения плотности сжатого воздуха рсж целесообразно использовать известное уравнение Клапейрона

Рсж = расж /(Кв Тсж ^ (45)

где ра сж - абсолютное давление сжатого воздуха, Па; Яв - газовая постоянная воздуха, Яв = 287 Дж/(кг-К) [11, с. 21];

Тсж - абсолютная температура сжатого воздуха, К.

Для дальнейших расчетов выбираем максимальное значение '1. Затем определяем угол ф\, на который повернется подвижная система координат 0ХУ2, условно скрепленная с воздушным потоком:

Р =Ше Ч. (46)

Количество витков винтового канала влагоотделителя п1 до облучения воздушного потока определяем следующим образом:

п1 =р1/2п. (47)

Высоту винтового канала определяем с помощью зависимости (25), подставив в нее полученное значение '1.

На втором этапе после облучения воздушного потока происходит удаление микрочастиц воды, которые в результате облучения получают положительный за-

20

ряд. При этом с помощью уравнения (40) при условии, что rK > х > r0, а у > 0, находим время t2 движения микрочастиц воды различной массы от вертикальной стенки винтового канала 4 до вертикальной стенки корпуса 2 влагоотдели-теля (см. рис. 1). Расчеты выполняем для наихудших условий, считая, что микрочастица воды получила минимальный положительный заряд, т. е. в результате облучения выбит один электрон - q = 1,б-10'19 Кл [12, с. 10]. Индукцию магнитного поля В определяем с помощью методики, изложенной в [1]. Массу микрочастицы определяем исходя из того, что масса молекулы воды составляет 2,993-10'26 кг [12, с. 10], а микрочастица воды может содержать до миллиона молекул. В качестве дальнейшего расчетного выбираем наибольшее значение t2. Затем с помощью зависимостей (4б) и (47) определяем количество витков винтового канала вла-гоотделителя n2 после облучения воздушного потока.

Заключение

Таким образом, разработанная математическая модель центробежномагнитного влагоотделителя позволяет выбрать его основные параметры: размеры винтового канала и количество витков канала до и после облучения потока сжатого воздуха.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галюжин, А. С. Осушка сжатого воздуха с помощью магнитного поля / А. С. Галюжин // Вестн. Брянского гос. техн. ун-та. - 2010. - № 1. -С. 12б-1З4.

2. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики : учеб. пособие в 2 т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. - СПб. : Лань, 1998. -Т. 1. - 73б с.

3. Никитин, Н. Н. Курс теоретической механики : учебник для студентов вузов / Н. Н. Никитин. - М. : Высш. шк., 1990. - б07 с.

4. Арцимович, Л. А. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях / Л. А. Арцимович, С. Ю. Лукьянов. - М. : Наука, 1978. - 224 с.

5. Альтшуль, А. Д. Гидравлика и аэродинамика : учебник для студентов вузов / А. Д. Альтшуль, Л. С. Животовский, Л. П. Иванов. -М. : Стройиздат, 1987. - 414 с.

6. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы : учебник для машиностроительных вузов Т. Башта [и др.]. - 2-е изд. перераб. - М. : Машиностроение, 1982. - 423 с.

7. Кирьянов, Д. В. Самоучитель МАТНСАО / Д. В. Кирьянов. - СПб. : БХВ-Петербург, 2003. -560 с.

8. Охорзин, В. А. Прикладная математика

в системе МАТНСАБ : учеб. пособие / В. А. Охорзин. - 3-е изд. - СПб. : Лань, 2009. - 352 с.

9. Трофимова, Т. Н. Курс физики : учебник для студентов вузов / Т. Н. Трофимова. - М. : Высш. шк., 1985. - 432 с.

10. Кикоин, А. К. Молекулярная физика : учеб. пособие / А. К. Кикоин, И. К. Кикоин. -М. : Наука, 1976. - 480 с.

11. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам / Я. М. Виль-нер [и др.] ; под общ. ред. Б. Б. Некрасова. -Минск : Выш. шк., 1985. - 382 с.

12. Радциг, А. А. Параметры атомов и атомных ионов : справочник / А. А. Радциг, Б. М. Смирнов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Энергоатомиздат, 1986. - 344 с.

Белорусско-Российский университет Материал поступил 16.03.2011

А. S. Galiyzhin

Mathematical model of movement of a particle of water in a field of force of the centrifugal-and-magnetic moisture separator

The mathematical model of movement of a particle of water in the screw channel of the centrifugal-and-magnetic moisture separator which makes it possible to choose its key parametres has been developed. The model considers the action of centrifugal force, Lorentz forces, gravity and Coriolis force as well as running resistance force.