CC BY
76
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
УДК 621.923; 621.9.06-52
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ
В СПИРАЛЬНОМ ПИТАТЕЛЕ-ДОЗАТОРЕ РОТОРНОЙ ФАСОВОЧНОЙ МАШИНЫ
В.В. Жарков, В.В. Прейс
Рассматривается математическая модель и обсуждаются результаты компьютерного моделирования движения частицы сыпучего материала в спиральном питателе-дозаторе роторной фасовочной машины, позволяющие оценить характер и скорость движения частицы, необходимые для проектирования питателя-дозатора на заданную производительность.
Ключевые слова: роторная фасовочная машина, спиральный питатель -дозатор, сыпучий материал, математическая модель, дифференциальные уравнения движения, моделирование.
Последние двадцать лет как за рубежом, так и в России, в различных отраслях промышленности (химической, фармацевтической, пищевой, строительной) наблюдается рост объемов производства сыпучих (порошкообразных и гранулированных) продуктов и материалов в малообъемной штучной упаковке. Это привело к возрождению интереса со стороны производителей к роторным фасовочным машинам [1-4].
Для автоматизированной подачи сыпучих материалов в конструкциях роторных фасовочных машин широко применяют спиральные питатели-дозаторы, в которых в качестве транспортирующего органа используют гибкую спираль. Подобные питатели отличаются высокой производительностью, широким диапазоном изменения дозы, простотой конструкции [5].
С целью снижения износа спирали и корпуса питателя при подаче абразивных сыпучих материалов и уменьшения неравномерности подачи слеживаемых материалов, склонных к сводообразованию, авторами предложены усовершенствованные конструкции спиральных питателей [6-8].
Проектирование спиральных питателей-дозаторов заданной произ-
76
водительности базируется на изучении характера функциональной связи между параметрами питателя и кинематическими параметрами движения отдельных частиц загружаемого материала [9]. Особенностью функционирования спиральных питателей-дозаторов в роторных фасовочных машинах является наличие центробежной силы инерции, возникающей вследствие транспортного вращения ротора и действующей на частицы материала в процессе их движения в питателе. На рис. 1 представлена расчетная схема спирального питателя-дозатора роторной фасовочной машины, расположенного горизонтально и радиально на роторе, вращающемся вокруг своей вертикальной оси ОС\ с постоянной угловой скоростью юр.
Рис. 1. Расчетная схема спирального питателя-дозатора роторной фасовочной машины
Спираль 3 питателя-дозатора вращается вокруг своей горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью юс. Постоянный угол наклона винтовой линии спирали к плоскости её поперечного сечения равен а. Поперечное сечение спирали - квадратное, образующая боковой поверхности спирали совпадает с нормалью к внутренней поверхности корпуса 2 питателя. Между наружным диаметром спирали и внутренним диаметром корпуса питателя имеется зазор, величина которого превышает размер частицы 5 сыпучего материала. Сыпучий материал поступает в питатель через загрузочное окно 1 и выдается через выгрузочное окно 4.
Выведем уравнение, описывающее движение частицы в спиральном питателе-дозаторе роторной фасовочной машины.
Отнесем движущуюся частицу материала к цилиндрическим осям координат г, ф, г с левой системой отсчета (рис. 2).
К движущейся частице приложены силы: С = тд - сила тяжести; N2 - нормальная реакция внутренней поверхности цилиндрического корпуса питателя; N1 - нормальная реакция поверхности проволочного витка
спирали; /2 N2 - сила трения частицы о внутреннюю поверхность корпуса питателя; /[N1 - сила трения частицы о поверхность проволочного витка
спирали; тг - радиальная сила инерции; т/ф2 - центробежная сила инерции в относительном движении частицы; т/ф - касательная сила инерции; 2т/ф - сила инерции Кориолиса; тг - аксиальная сила инерции.
N\ sina N\f\ cosa
т^эикр 2т щ
ФЩ ф
Рис. 2. Схема приложения сил к частице по координатным осям /, ф
В первом приближении будем считать направление центробежной силы инерции = тЮр Я (Я - текущее расстояние от оси вращения ротора до движущейся частицы) неизменным и параллельным оси вращения спирали (см. рис. 1). Тогда текущее значение центробежной силы инерции в процессе движения частицы вдоль оси г в направлении от центра ротора к окну выгрузки материала из дозатора будет увеличиваться в соответствии с выражением
^ц = то>2 (Яэ + г • . (1)
Силой инерции Кориолиса, возникающей вследствие транспортного вращательного движения питателя-дозатора вокруг неподвижной оси 00[
ротора, пренебрегаем, поскольку влияние её не существенно.
Система исходных дифференциальных уравнений движения частицы в спиральном питателе-дозаторе роторной фасовочной машины в проекциях на оси координат г, ф, г при условии, что N2 > 0, по аналогии с работами [10-12] запишется в виде
2
mr = mrj + mgcos j- N2,
mrj= N1 sin a+ ZjNj cos a-mg sin j-2mrj-( f2 N2 j,
(2)
mz = N1 cos a- f\N\ sin a-( f2 N2 )z + Fц • Для определения направления силы трения f2 N2 необходимо знать положение касательной к траектории движения частицы по внутренней
поверхности цилиндрического корпуса питателя, поскольку она направлена по этой касательной в сторону, обратную направлению скорости её движения. Следовательно, направление данной силы трения будет меняться с изменением направления скорости движения частицы. В работе [10] показано, что проекции силы трения /2 N2 соответственно на оси ф и 2
( f2N2 ф = , 2 j 2 2 /2N2; ( /2N2 )z = , 2 & 2 2 /2N2 . (3)
V &2 + &2ф2 V z2 + &2ф2
Примем во внимание, что
r = ro = const, i = & = 0. (4)
Тогда выражения для определения перемещения, скорости и ускорения частицы в направлении оси z можем записать в виде [8]
z = го(а>с?-j)tga, & = &о(®с-<P)tga, z = -&oCptga, (5)
где &о - наружный радиус спирали; t - текущее время движения частицы.
Подставляя выражения (4), (5) в формулы (1) и (3), а затем полученные выражения - в систему исходных дифференциальных уравнений (2), после ряда преобразований получим систему дифференциальных уравнений движения частицы в спиральном питателе-дозаторе роторной фасовочной машины в следующем виде:
- т&оф = mg cos ф - N2,
тгоФ = (sin a + /1 cos a) N1 - mg sin ф - /2 N2 • А(ф), (6)
- mr0cptga = (cos a - f1 sin a) N1 - f2 N2 • В(ф) + m© [^0 + &0(©^ - ф)tga], где
А(ф) - ф , В(ф) - -ф)^«
2 2 2 22 2 (©с-ф) tg a + ф л/(шс-ф) tg a + ф
Из первого уравнения системы (6) найдем выражение для определения нормальной реакции
2
N2 = m&)ф + mg cos ф. (7)
Из второго уравнения системы (6) после подстановки формулы (7) найдем выражение для определения нормальной реакции
N = m^ + mg sin ф + /2 (m&ф2 + mg cos ф)- А(ф) (8)
1 sin a + /1 cos a
После подстановки выражений (7) и (8) в третье уравнение системы (6) и ряда преобразований получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее движение частицы сыпучего материала в спиральном питателе-дозаторе роторной фасовочной машины
г \
ф = [Б(а>Б(ф)- Л(а>Л(ф)]• ёcosф + ф2 /2 - Л(а)ёsinф
V г0 у
Б(а)ёК(
г0 р
1 + (юс? -ф) tgа
г0
(9)
ч /1 + tga . 1 - /^а где Б(а) = ———, Л(а) =-—--безразмерные параметры, характе-
1 + tg2a 1 + tg2a
ризующие геометрию спирального питателя и коэффициенты трения о его
юр ¿0
рабочие элементы сыпучего материала; Кю = —--безразмерный ди-
р ё
намический параметр, характеризующий условия работы спирального питателя в роторной фасовочной машине.
Решение уравнения (9) позволит определить величины, характеризующие перемещение и скорость транспортируемой частицы материала в зависимости от конструктивных параметров спирального питателя-дозатора. Поскольку уравнение (9) существенно нелинейно, то его решение искали методом численного интегрирования Рунге-Кутта с постоянным шагом интегрирования, реализованном в стандартном алгоритме Rkadapt программного пакета МаЛСаё.
Исходные данные для моделирования: наружный радиус спирали /о = 0,04 м; угол наклона винтовой линии спирали к плоскости её поперечного сечения а = 30 0 , в этом случае шаг спирали Ь0 = = 0,046 мм; коэффициент трения частицы о поверхность проволочного витка спирали = 0,5; коэффициент трения частицы о поверхность корпуса питателя примем близким к коэффициенту внутреннего трения сыпучего материала /2 = 1,0 [13], т.к. на внутренней поверхности корпуса питателя всегда имеется поверхностный слой сыпучего материала; расстояние от оси вращения ротора до начала загрузочного окна спирального питателяR0 = 0,2 м.
Ниже представлены некоторые результаты компьютерного моделирования движения частицы в спиральном питателе-дозаторе роторной фасовочной машины для угловой скорости спирали юс = 40 рад/с (осевая скорость витка спирали ис = /0юсtga = 0,924 м/с) и двух значений безразмерного динамического параметра КЮр = 0,02; 0,1 (рис. 3, 4).
В результате моделирования движения частицы строили следующие зависимости от времени t [с]:
- угла поворота частицы ф(^ ° ф0^) [рад] (рис. 3, 4, а);
- угловой скорости частицы ф(^ ° ) [рад/с] (рис. 3, 4, б);
- фазовой плоскости ) = )) (зависимость угловой скорости от угла поворота частицы во времени) (рис. 3, 4, в);
80
- аксиальной скорости движения частицы & ° v0(t) [м/с] (рис. 3, 4, г), рассчитанную в соответствии со вторым выражением (5).
В правой части вышеприведенных тождеств указаны обозначения величин, принятые в программе Ыа&Саё и используемые на графиках.
Результаты моделирования показывают, что движение частицы в начальный период носит колебательный характер с небольшой амплитудой (ф(0< 2 рад), после чего через промежуток времени t £ 2...3с движение частицы становится установившимся с постоянной аксиальной скоростью, по величине несколько меньшей осевой скорости витка спирали (в рассматриваемых примерах скорость витка спирали ис = 0,924 м/с).
Рис. 3. Результаты моделирования движения частицы в спиральном
питателе-дозаторе роторной фасовочной машины при значении динамического параметра КЮр = 0,02: а - зависимость угла поворота
частицы от времени;б - зависимостьугловой скорости частицы от времени ;в - фазовая плоскость (зависимость угловой скорости частицы от угла её поворота во времени);г - зависимость аксиальной скорости движения частицы от времени
юр время
Выявлено, что с увеличением динамического параметра К(
перехода частицы к установившемуся режиму движения быстро сокраща ется, что имеет важное практическое значение при проектировании спи рального питателя-дозатора для роторной фасовочной машины.
а
в г
Рис. 4. Результаты моделирования движения частицы в спиральном питателе роторной фасовочной машины при значении динамического параметра КЮр = 0,1: а - зависимость угла поворота частицы
от времени;б - зависимостьугловой скорости частицы от времени; в - фазовая плоскость (зависимость угловой скорости частицы от угла её поворота во времени);г - зависимость аксиальной скорости движения частицы от времени
Как показали результаты моделирования, существенное влияние на характер движения и аксиальную скорость частицы оказывают коэффициенты трения частицы об элементы питателя-дозатора и поверхностный слой сыпучего материала - с их увеличением амплитуда колебательных движений и период неустановившегося движения частицы уменьшаются, и частица продолжает движение в аксиальном направлении с некоторым постоянным углом смещения и постоянной аксиальной скоростью, равной
осевой скорости витка спирали.
Несмотря на то, что время перехода частицы от колебательного к установившемуся движению достаточно мало, также, как и амплитуда колебаний частицы, понимание закономерностей их изменения во взаимосвязи с характеристиками дозируемого материала, геометрическими и кинематическими параметрами спирального питателя-дозатора и роторной фасовочной машины очень важно при проектировании машины. Это обусловлено сравнительно небольшой длиной питателя-дозатора.
Сопоставление результатов моделирования процесса движения частицы сыпучего материала в спиральном питателе-дозаторе роторной фасовочной машины с ранее известными результатами моделирования движения частиц в спиральных длинномерных питателях [12] показало их полную идентичность при подстановке аналогичных исходных данных и зна-
чения динамического параметра КЮр = 0.
Список литературы
1. Прейс В.В. Технологические роторные машины: вчера, сегодня, завтра. М.: Машиностроение, 1986. 128 с.
2. Крюков В.А., Прейс В.В. Комплексная автоматизация производства на базе роторных и роторно-конвейерных линий // Вестник машиностроения, 2002. № 11. С. 35-39.
3. Прейс В.В., Бондаренко Д.С. Автоматические роторные и ротор-но-конвейерные машины и линии в пищевых производствах // Вестник машиностроения. 2003. № 7. С. 37-43.
4. Жарков В.В. Роторные машины для фасовки сыпучих продуктов // Молодежный вестник Политехнического института: сб. статей. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 117-118.
5. Жарков В.В., Прейс В.В. Модели и вариантность структур систем автоматического дозирования сыпучих материалов // ИзвестияТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 7. Ч. 1. С. 79-89.
6. Жарков В.В., Прейс В.В. Проблемы автоматизированного дозирования абразивных и слеживаемых сыпучих материалов // Вестник Тульского государственного университета. Автоматизация: проблемы, идеи, решения: материалы Междунар. научно-техн. конф. «АПИР-16»:в 2 частях; 9-12 ноября 2011 г.; под ред. В.В. Прейса, Д.А. Провоторова. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. Ч.1. С. 128-133.
7. Патент 110723 РФ. МПК8Б650 33/00. Спиральный питатель-дозатор / В.В. Жарков, В.В. Прейс. Опубл. 27.11.2011. Бюл. № 33.
8. Патент 111528 РФ. МПК8Б650 33/14. Шнековый питатель / В.В. Жарков, В.Б. Морозов, В.В. Прейс. Опубл. 20.12.2011. Бюл. № 35.
9. Жарков В.В. Теоретические основы моделирования и расчета производительности спиральных питателей // Вестник Тульского государственного университета. Автоматизация: проблемы, идеи, решения: сб. науч. труд. XVII Междунар. научно-техн. конф. «АПИР-17», 30 ноября 2012 г.; под науч. ред. В.В. Прейса. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 26-29.
10. Исаев Ю.М. Определение закономерностей движения частицы в пружинном транспортере // Фундаментальные исследования. 2006. № 5. С. 44-45.
11. Исаев Ю.М. Элементы теории пружинных транспортеров // Успехи современного естествознания. 2006. № 6. С. 34-34.
12. Исаев Ю.М. Длинномерные спирально-винтовые и транспортирующие устройства: монография. Ульяновск: ФГОУ ВПО «УГСХА», 2006. 433 с.
13. Жарков В.В., Псёл К.Н., Токарев В.Ю. Экспериментальное определение сыпучести сухих строительных смесей // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 10. С. 288-297.
Жарков Вячеслав Викторович, асп, preys@klax. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Прейс Владимир Викторович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, preys@klax. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL MODEL OF DRIVING OF A CORPUSCLE
IN THE SPIRAL FEEDER-DOZATORE OF THE ROTOR POWDER FILLER
V. V. Zharkov, V. V. Prejs
The mathematical model and outcomes of computer simulation of driving of a corpuscle of a loose material in a spiral feeder-dozatore of the rotor powder filler are considered, allowing to estimate nature and the travelling speed of a corpuscle indispensable for projection of a feeder-dozatora on the preset efficiencyare considered.
Key words: a rotor powder filler, a spiral feeder-dozator, a loose material, mathematical model, driving differential equations, simulation.
Zharkov Vjacheslav Viktorovich, postgraduate, preys@klax. tula.ru,, Russia, Tula, Tula State University,
Prejs Vladimir Viktorovich, doctor of technical sciences, professor, the chief of the cathedra, preys@klax. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University
