CC BY
12
Tveryakov Andrey Mihajlovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tyumen, Industrial University of Tyumen,
Shtin Anton Sergeevich, postgraduate, [email protected], Russia, Tyumen, Industrial University of Tyumen
УДК 621.9.02
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ КОМБИНИРОВАННОГО ИНСТРУМЕНТА «РАЗВЕРТКА-МЕТЧИК»
Н.Н. Бородкин, В.Ю.Тимохина
Выведены уравнения динамического состояния комбинированных инструментов типа развертка-метчик. Инструмент рассматривается как материальная точка с двумя степенями свободы, совершающая радиальные колебания в диаметральной плоскости. Уравнения учитывают силы сопротивления резания на всех этапах комбинированного инструмента, жесткость инструмента и демпфирующие характеристики колебательной системы, стимулируемой силами внутреннего и внешнего трения. Решение уравнения позволяет определить механическую траекторию движения инструмента и форму обрабатываемых отверстий в поперечном сечении.
Ключевые слова: комбинированный инструмент, математическая модель, обработка отверстий концевым инструментом, колебания концевого инструмента.
При обработке концевым многозубым инструментом наиболее характерным отклонением от формы является огранка отверстий. Огранка - отклонение, при котором поперечное сечение обработанного отверстия представляет собой многогранную фигуру с нечетным числом граней. Согласно [1, 2, 3] ее причиной являются поперечные колебания инструмента, которые вызываются внешними воздействиями, связанными с его вращением.
Для уменьшения огранки инструмент изготавливают с неравномерным угловым распределением зубьев. Определение оптимальных угловых шагов, например, для зубьев развертки, выполнено, исходя из математической модели кинематики колебательного движения инструмента [2]. В основу модели кинематики положена экспериментально установленная зависимость между числом зубьев развертки и количеством граней обработанного отверстия.
Для обработки отверстий сложной формы применяют комбинированный инструмент, например, метчик - развертка, сверло - зенкер и др. Комбинированный инструмент из-за высокой концентрации воздействий представляет собой многопараметрическую модель. При параллельной схеме резания он совершает более сложное (в сравнении с одномерным инструментом) движение, так как закон движения определяется силами сопротивления резанию, действующими одновременно на режущие кромки всех ступеней, причем характер сил на кромках разных ступеней может быть различным. Наличие устойчивой корреляционной зависимости между числом зубьев и формой обработанного отверстия для комбинированного инструмента как, например, для одномерной развертки, маловероятно.
В таких случаях установление всех эмпирико-статистических зависимостей весьма трудоемко и экономически неоправданно. Для оптимизации конструктивных параметров целесообразно использовать математические модели динамики, которые позволяют определить законы движения и траекторию инструмента.
552
Так в [3] разработана аналитическая теория динамики образования огранки при сверлении, зенкеровании и развертывании. Не умаляя научной ценности работы, отметим неточности концептуального плана:
- концевой инструмент рассматривается как материальная точка с одной степенью свободы (сам автор отмечает, что необходимо рассматривать систему, как минимум, с двумя степенями свободы); при такой постановке задачи из решения не могут быть получены траектория движения инструмента и форма обработанного отверстия;
- причиной огранки является переменная (при изменении приложения нагрузки) жесткость концевого инструмента; однако огранка образуется и при «плавающем» креплении инструмента, когда жесткость инструмента при любом приложении нагрузки равна нулю.
Целью статьи является разработка математической модели динамического процесса обработки отверстий концевым инструментом, лишенной указанных выше недостатков.
Разработка математической модели движения комбинированного инструмента представляет собой обратную задачу динамики, суть которой заключается в определении закона движения на основании сил, приложенных к телу, его массы и начальных условий. Далее, не исключая общности рассуждений, рассматривается математическая модель применительно к комбинированному инструменту развертка-метчик.
Построение математической модели динамического состояния основывается на следующих гипотезах и концепциях.
1. Концевой инструмент представляет собой систему с распределенными параметрами. Однако деформации инструмента от сил резания незначительны и их влиянием на точность обработки можно пренебречь. При таком допущении массу инструмента можно рассматривать сосредоточенной в одной дискретной точке, а закон движения такой модели может быть получен решением соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений [3].
2. Огранка образуется за счет колебаний инструмента в поперечной плоскости. Инструмент рассматривается как материальная точка с двумя степенями свободы.
3. При механической обработке отверстий концевой инструмент совершает продольные, поперечные и крутильные колебания [1]. Колебания вызывают изменение толщины среза, что приводит к изменению сил резания, к взаимному влиянию одних колебаний на другие и, соответственно, на форму отверстий.
Из модели кинематики огранки отверстий и формы обработанных отверстий не сложно определить, что огранка отверстий с диаметрами ё = 10.. .60 мм при развертывании обусловлена колебательным процессом с параметрами: амплитудой поперечных колебаний центра А = 2.15 мкм, частотой - /0 = 30.200 Гц [2].
Средние значения параметров продольных, поперечных и крутильных колебаний инструмента, определенные согласно [4] как для стержня диаметром ё = 10.60 мм и длиной I = 100.300 мм и силовых нагрузках, характерных для развертывания, приведены в таблице.
Средние значения частоты и ^ амплитуды колебаний концевого инструмента
Вид колебаний Частота, Гц Амплитуда
Крутильные 4200 3,2 ■ 10-5 рад
Продольные 5100 0,3 мкм
Поперечные автоколебания 1300 0,6 мкм
Вынужденные поперечные 150 8 мкм
Следует отметить, что крутильные колебания оказывают влияние на форму поперечного сечения обрабатываемого отверстия только при условии, что инструмент совершает поперечные колебания. Так при биении центра инструмента с амплитудой
10 мкм крутильные колебания с параметрами, указанными в таблице, приводят к колебаниям диаметра обрабатываемого отверстия на 0,3.. .1 мкм. Продольные колебания изменение диаметра обрабатываемого отверстия не вызывают.
Из сравнения частот колебаний, приведенных в таблице, с частотой процесса огранки, следует, что основной ее причиной отверстий являются вынужденные поперечные колебания. Они вызываются радиальными силами, связанными с вращением инструмента:
- изменением силы резания за один оборот инструмента из-за неравномерности снимаемого по окружности припуска;
- изменением силы резания из-за анизотропности (неоднородности) материала заготовки;
- биением поверхности обработанного отверстия, на которую базируется инструмент направляющими элементами;
- изменением изгибной жесткости инструмента при его повороте и др.
Перечисленные выше внешние факторы вызывают поперечные колебания инструмента с частотами, равными или кратными частоте его вращения.
Влияние на форму поперечных сечения обрабатываемого отверстия крутильных, продольных колебаний и поперечных автоколебаний незначительно и при расчете ими можно пренебречь. Однако они оказывают существенное влияние на шероховатость обработанных поверхностей.
4. Концевой инструмент вращается с постоянной угловой скоростью w = const (крутильные колебания не учитываются).
5. Концевой инструмент с постоянной скоростью движется вдоль продольной оси vz = const (продольные колебания не учитываются).
6. На режущие кромки инструмента действуют силы, равные и противоположно направленные силам резания. Величина сил пропорциональна толщине и ширине среза.
Суммарная сила кромки, равна сумме сил, приложенных ко всем ее участкам. Применительно к развертке, суммируются силы, приложенные к основному режущему и калибрующему участкам.
7. По способу крепления концевые инструменты делят на инструменты с жестким креплением и инструменты с «плавающим» креплением.
Жесткое закрепление инструмента в патроне. В этом случае инструмент представляет собой составную консольную балку с защемленным концом. Колебания инструмента обеспечиваются за счет изгиба его продольной оси. Равнодействующая радиальных сил заделки инструмента в патроне пропорциональна прогибу инструмента.
«Плавающее» закрепление инструмента в патроне обеспечивает возможность углового или линейного перемещения инструмента относительно корпуса патрона. Равнодействующая радиальных сил заделки инструмента в патроне равна нулю.
8. Важной характеристикой динамической системы «режущий инструмент - обрабатываемая деталь» является ее способность поглощать в необратимой форме часть энергии колебаний. Демпфирующие свойства колебательной системы обусловлены силами внутреннего трения в материале, сопротивлением внешней среды (внешнее трение), потерями, связанными с трением в опорах, стыках, соединениях (конструкционное деформирование).
Теоретический расчет демпфирования в реальных механических колебательных системах существенно затруднен. В связи с этим принимается линейная модель, в которой силы демпфирования принимаются пропорциональными скорости относительного движения. В практике динамических расчетов линейные модели получили широкое распространение.
Расчетная схема рассматриваемой модели приведена на рис. 1, на котором показаны концевой инструмент (развертка-метчик) 1, закрепленный в патроне 2, и обрабатываемая деталь 3.
На инструмент действуют радиальные силы R в патроне и P со стороны обрабатываемой детали. Другие внешние нагрузки на инструмент (внешний вращающий момент, момент сил сопротивления резанию, внешняя осевая сила и осевая составляющая силы сопротивления резанию) не показаны, так как они взаимно уравновешены.
т
3
Рис. 1. Расчетная схема обработки отверстий концевым инструментом
Динамическое состояние модели, предоставленной на рис. 1, формально описывается следующей системой дифференциальных уравнений
[тХ&+4 + ^ = 1Р (1)
m
Г + еГ + кГ = I Р,
где I Р^, I- сумма проекций сил сопротивления резанию, соответственно, на оси и 0^; m - приведенная масса инструмента; к - жесткость инструмента; е - коэффициент диссипации.
Положение инструмента в поперечной плоскости в любой момент времени определяется координатами X и Г его центра тяжести С и углом ф между передней поверхностью зуба 1 и осью 0^ (рис. 2). Угловое положение других зубьев определяется зависимостью
Ф, = ф + у, =Ш + У,, (I = 1, 2, к г), (2)
где у - угол между передними поверхностями I - того и 1 зубьев; I - индекс режущей кромки зуба (I = 1, 2 ... г); г - число зубьев ступеней инструмента, работающих по параллельной схеме резания; С-угловая скорость инструмента; / - время.
В расчетах используют не саму силу сопротивления резанию, а ее составляющие: тангенциальную Рг, радиальную Ру и осевую Рх (составляющая Рх не показана,
так как ее проекция на плоскость она равна 0).
Для всех видов режущих инструментов [1, 2] принимается, что сила сопротивления резанию пропорциональна толщине и ширине срезаемого слоя
Ру
Ь
• Ьё; Р2 = я, • а? •
у-Яу • а • Ь"; Рг = qz •а где Яу ; - размерные коэффициенты; Ь; ё; /; g - показатели степени; а; Ь толщина и ширина среза.
(3)
г
Рис. 2. Положение инструмента в плоскости
Ширина среза равна осевой подаче на один зуб на оборот b = Sz. Толщина среза i -той кромкой согласно рис. 2
a. = R. + dr. - R0 = R. + Xcos ji + Z sin ji - R0, где R - радиус режущей кромки; Ro - радиус предварительного отверстия; dri альное (вдоль радиуса R.) смещение инструмента.
(4)
ради-
С учетом (2), проецируя составляющие Py. и Pz. на координатные оси, полу-
чим
X + 4 + kX = £ Pyi sm(wt + y i) + ¿ - p cos(wt + y.);
i=1 i=1 s s
z + cZ + kZ = X - P.i cos(wt + y,,) + X - P2i sin(wt + y,,).
(5)
Система (5) не имеет аналитического решения, так как составляющие Руг- и Р
- zi
сил резания согласно (3) и (4) являются функциями переменных координат ^и £ •
Дальнейшие изыскания в данной области будут направлены на разработку численного метода решения системы (5) и программных модулей для имитационного моделирования динамических процессов обработки отверстий концевым инструментом.
Список литературы
1. Малышко И.А., Тимохина В.Ю. Обоснование эффективности и особенности применения комбинированного инструмента типа «развертка - метчик» // Науковi пращ Донецького нащонального ушверситету. Серiя: Машинобудування i машинознавство. Випуск 92. Донецьк: ДонНТУ, 2005.
2. Малышко И.А., Киселева И.В. Анализ способов повышения точности обработки отверстий при развертывании // Науковi пращ Донецького нащонального ушверситету. Серiя: Машинобудування i машинознавство. Випуск 110. Донецьк: ДонНТУ, 2006.
3. Холмогорцев Ю.П. Оптимизация процессов обработки отверстий. М.: Машиностроение, 1984. 184 с.
i=1
i=1
3. Кирсанов С.В. Влияние конструкции развертки на огранку обработанных отверстий отверстий // Станки и инструмент, 2000. № 4. С. 22-23.
4. Шевченко Ф.Л. Динамика упругих стержневых систем. Донецк: ООО Лебедь, 1999. 268 с.
5. Бобров В.Ф. Основы теории резания металлов. М.: Машиностроение, 1975.
339 с.
Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, доцент, заведующий кафедрой, n. horodkin a yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Тимохина Валентина Юрьевна, инженер, старший преподаватель, п. horodkinayandex. ru, Украина, Донецк, Донецкий институт железнодорожного транспорта
MA THEMA TICAL MODEL OF THE DYNAMICS OF THE COMBINED TOOL IS A REAMER TAP
N.N. Borodkin
Dynamic condition equations of combined tools tap-reamer type are deduced. The tool is considered as material point with two degrees of freedom performing radial oscillations in diametrical plane. Equations take into account resisting forces of cutting on all stages of combined tools, tool's rigidity and damping characteristics of oscillating system stimulating hy forces of internal and external friction. Solution of equation allows to determine mechanical trajectory of tools and shape of machining holes in cross-sections.
Key words: combined tool, mathematical model, processing of holes hy the end tool, vibrations of the end tool.
Borodkin Nikolay Nikolaevich, doctor of technical science, docent, manager of department, n. horodkina, yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Timokhina Valentina Yurievna, engineer, senior lecturer, n. horodkinayandex. ru, Ukraine, Donetsk, Donetsk Institute of railway transport
