Математическая модель баллистического летательного аппарата с переменными массогеометрическими характеристиками Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.76

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССОГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

В.Б. Федоров

Представлена динамическая модель осесимметричного баллистического летательного аппарата с переменными массогеометрическими характеристиками. Летательный аппарат представлен как система двух тел с возможностью их взаимного перемещения.

Ключевые слова: баллистический летательный аппарат, динамическая модель, массогеометрические характеристики.

Анализ проблемы и постановка задачи исследования

Движение летательных аппаратов (ЛА) в атмосфере определяется гравитационным полем Земли, воздействием набегающего атмосферного потока на наружную поверхность (НП) ЛА, массогеометрическими характеристиками (МГХ) ЛА - массой, координатами центра масс (ЦМ), значениями осевых и центробежных моментов инерции. Геометрические характеристики НП ЛА, взаимное расположение конструктивных элементов и составных частей ЛА определяются в конструкторской документации и описываются в конструкторской системе координат (КСК). В частности, для баллистических ЛА (БЛА) начало КСК помещают в точке О (рис. 1), положение которой привязано к конструктивным элементам летательного аппарата (например, лежит в плоскости одного из шпангоутов и является центром окружности расположения осей базирующих штифтовых отверстий). Ось ОХ0 (рис. 1) КСК направлена к носку БЛА и перпендикулярна плоскости базового шпангоута, ось ОУ0 перпендикулярна оси ОХ0 и расположена в плоскости ориентации І-ІІІ БЛА, ось О20 дополняет тройку осей до правой. Для рассматриваемого класса БЛА номинальное положение оси ОХ0 КСК совпадает с осью симметрии его наружной поверхности.

В процессе изготовления летательного аппарата возникают случайные отклонения геометрических характеристик НП и МГХ БЛА от заданных в конструкторской документации значений. Во время полета в результате взаимодействия с высокоскоростным, высокотемпературным атмосферным потоком возможно изменение геометрии НП и МГХ БЛА.

Отклонение реальных параметров БЛА от их допустимых диапазонов значений во время движения может привести к формированию возмущенной траектория полета БЛА.

Рис. 1. Основные системы координат, используемые для построения математической модели

Математическая модель БЛА с переменными МГХ

Рассмотрим модель БЛА как систему двух тел, имеющую внутренние связи и допускающую взаимные перемещения тел, входящих в нее. В качестве первого тела (платформы) примем корпус БЛА, в качестве второго - полезный груз (ПГ).

Начало связанной с БЛА опорной системой координат (ОСК) - полюс P совпадает с номинальным положением ЦМ БЛА, заданным в КСК 0X0Y0Z0 . Направление осей ОСК совпадает с номинальным направлением осей КСК БЛА. В ОСК определена главная центральная система координат (ГЦСК) БЛА CXcYcZc, где C - центр масс БЛА. Движение полюса P рассматривается в инерциальной, геоцентрической СК GXGYGZG (рис. 1). Угловое расположение ОСК, связанной с корпусом ЛА, относительно СК GXGYGZG задается тремя углами Крылова (тангажа ф, крена ^ и рыскания \).

Для независимого изменения всех МГХ изделия в сборе второе тело ПГ может изменять положение относительно платформы по трем линейным и трем угловым координатам. МГХ и аэродинамических характеристик (АХ) корпуса БЛА могут медленно меняться в полете в небольших пределах. Оценка закона изменения МГХ и АХ корпуса БЛА во время полета может быть получена на основании зависимостей, приведенных в [2].

В общем случае, для получения уравнений движения системы твердых тел можно использовать уравнения Лагранжа второго рода. В частности, такая процедура применяется при выводе уравнений движения механических систем роботов-манипуляторов [4]. В случае системы, состоящей из двух тел, имеющих в сумме двенадцать степеней свободы, математическая модель будет включать сорок восемь дифференциальных уравнений, определяющих траекторию движения системы. Для изучения точных моделей сложных систем тел с изменяющимися МГХ целесообразно использовать специализированные системы анализа динамики механических систем, такие как АДАМС, «Универсальные механизмы» и другие. Однако эффективность работы таких инструментов зависит от корректности определения начальных, граничных условий задачи, диапазона изменения параметров модели.

Для получения необходимых предварительных оценок воспользуемся подходом, описанным в [1], где для изучения поведения БЛА с медленно меняющимися МГХ используются уравнения движения свободного твердого тела.

Нормальная форма Коши системы уравнений (при условии независимости главного вектора и главного момента внешних сил от линейного и углового ускорений) может быть записана в матричной форме:

ГР = — £FU) - ОУР -О2р + Р(/(0) + тР2)-1 х[£m(p -Р£FU) -О/(0)та + МРО2р]

M у у у (1) та = (/(Р} + тР2)-1[£Мр] -Р£/(]] -О/(0}О+МРО2р],

У У

Т

где т - масса летательного аппарата, Ур = [уРх , уРу, уРг ] - вектор линейной скорости полюса

Р ОСК, ¥р = [1>Рх,уру,ург]х- вектор линейного ускорения полюса Р ОСК, F(J) = [FXу),Fу),Fz('J)]х -

главный вектор внешних аэродинамических сил, действующих на НП БЛА. Главный момент внешних аэродинамических сил, действующих на наружную поверхность БЛА, обусловленный асимметрией формы его НП и несовпадением точек ЦМ и центра давления, -

Мру) = [трх), тру, т(Р2)]Т . Вектор угловой скорости БЛА в ОСК - та=[тах, тау, та2 ]Т (тах = 1>,та = 4,таг =(ф), где г|, £, ф- углы ориентации ОСК БЛА относительно осей GXGYGZG .

Вектор углового ускорения БЛА в ОСК - та = [тах , тау, та2 ]Т . Угол атаки БЛА - ап = 2+ф2 .

Вектор положения ЦМ БЛА в его ОСК - р = [рх , р , р2 ] ,

О -та2 тау

О= та2 0 —тах - матрица компонентов вектора угловой скорости БЛА,

-Гоу О

-Ру Рх 0

- Т (Р) - Т (Р) - Т (Р)

•'гх ° гу ° г

Левые части уравнений (1), а именно линейные и угловые ускорения определяются соотношением внешних силовых факторов, линейными и угловыми скоростями, а так же МГХ БЛА, записанными в правых частях уравнений. Возникающие отклонения аэродинамических сил и моментов БЛА от их проектных значений могут компенсироваться изменением МГХ и кинематических параметров БЛА. При этом левые части уравнений (1) могут сохранять проектные значения, что обеспечит движение по заданной траектории. В частности, в работе [5] рассматривается возможность использования разности смещений аэродинамического фокуса и ЦМ для определения эффективных плеч аэродинамических сил относительно оси вращения по крену.

Эта особенность законов движения ЛА используется на практике, в частности, в ЛА с «ба-лансирной» схемой управления (дельтапланы, парапланы). Известны также схемы управления движением БЛА путем изменения продольной координаты его центра масс в сочетании с созданием управляющих аэродинамических моментов с помощью газодинамических рулей. Во всех этих схемах специальными способами, заложенными в конструкции ЛА, изменяется взаимное положение центра масс ЛА и точки приведения главного вектора аэродинамических сил.

Дополним уравнения (1) выражениями, определяющими МГХ системы, через МГХ составляющих ее тел. Прежде всего, определим дополнительные системы координат (рис. 2) - подвижную относительно ОСК главную центральную систему координат (ГЦСК) ПГ ЬХ^^1 и неподвижную относительно ОСК, ГЦСК корпуса KXkYkZk .

III

Рис. 2. Системы координат БЛА с переменными МГХ

Положение ГЦСК ПГ и корпуса относительно ОСК заданы углами Крылова ф/, ц1, Ъ>1, фк, щ, Ек и векторами рк, р1, определяющим положение точек ЦМ Ь и К в ОСК. Положим, что вследствие малости возникающих на этапе производства и во время полета асимметрий распределения массы в ОСК, возможные потребные перемещения ПГ относительно корпуса малы. Обозначим также: Мк,М1 - массы корпуса и ПГ, М = Мк + М1 - масса изделия в сборе, 3(к), 3(/) - тензоры инерции корпуса и ПГ в ОСК, 3(р) - тензор инерции летательного аппарата в ОСК. Кроме того, определим следующие ограничения: 3¥ир = 32ир , 3хир < 0,132ир, 1&/| < 0,013я .

Тензоры инерции 3(р), 3(к), 3(/) БЛА, корпуса и ПГ относительно ОСК, по теореме Гюйгенса-Штейнера [1, 3] определяются формулами:

3(р) = ЛТС3(С) Ас + М ( Ерс 2-рсрс ) ;

3(к ) = Л^3(К ) Лк + Мк ( 2-рк рк );

3(/) = ЛТ3(Ь)А + М1 (Ер/2 -р/р/), где 3(С), 3(р) - тензоры инерции БЛА в ГЦСК и ОСК соответственно,

Т

рс = [хс, Ус, 2с ] - радиус-вектор точки С ЦМ БЛА в ОСК,

3(К\ 3(к,), 3(Ь), 3(/') - тензоры инерции корпуса и ПГ в ГЦСК и ЦСК соответственно,

ТТ

рк = [хк, ук, 1к ] , р/ = [х1, у/, 1/ ] - радиус-векторы точек К и Ь ЦМ корпуса и ПГ в ОСК,

рс2 = х2 + У2С + % , р2 = х2 + Ук + 4, р2 = х1 + У1 + ^2 - скалярные квадраты,

рСрС, р/ р/, рк рк - диадные произведения,

Лс, Лк, Л/ - матрицы преобразования координат БЛА, корпуса и ПГ из ЦСК (оси которых параллельны осям ОСК) в ГЦСК, составленные из направляющих косинусов осей, соответствующих ГЦСК в ЦСК, которые являются функциями трех углов Крылова ф, щ, Е, фк, щк, Ек , ф/, щ, Е/ :

'а 11 а 12 с ^ а 13 Г ак а 11 а 12 а 1 3 Г і а 11 а^ 2 і \ а 13

А = а 21 а 22 а 23 , Ак = а 21 а 22 а 23 , Аі = а 21 а 22 а 23

у а 31 а 32 а 33 ^ у а 31 а 32 а 33 ^ у а 31 а 32 а 33 у

Радиус-вектор центра масс рс изделия в сборе может быть определен, как функция радиус-векторов центров масс в ОСК и масс, составляющих изделие элементов:

Мк

М,

Мь

Мь

М

Мь

М

Рс =—Рк +—Рі, илихс =ттхк +ттX, Ус =ттУк +ттУі, +—г/ •

М М М М М М

Тензор инерции БЛА, корпуса и ПГ в их ГЦСК соответственно:

М

М

- зхс) 0 0 - зх") 0 0 - зхі) 0 0

З(С) = 0 З УС) 0 , з(^) = 0 зу^) 0 , з(1) = 0 з Уі) 0

0 0 З(С) _ 0 0 з<К) _ 0 0 з<і) _

Вследствие малости величин углов ф,л,Ы , фк,цк,Ык, фі,лі,Ы (менее 5 градусов), выражения для компонент матриц преобразования координат можно упростить [1]:

11

= 1, ас12 = Ф, асіз =

11

= 1, а 12 = фк, а 13 = Ы

I л І I ■С

а 11 = 1, а 12 =ф, а 13 = Ы,

а 21 = ф, а 22 = 1, а 23 = Л , а 21 = фк, а 22 = 1, а 23 = "Лк, а 21 = фі, а 22 = 1, а 23 = Лі,

31

= Ы а 32 = Л,а 33 = 1

31

= Ык, а 32 = Лк, а 33 =1.

31

Выражения для компонентов тензоров инерции БЛА, корпуса и ПГ в их соответствующих ЦСК с учетом допущений также существенно упростятся: 3сх = 3Сх, 3еу = 3Су, 3ег = 3Сг,

3 ху =ф ( 3 С X- 3 С Г ), 3 х1 = ( 3 С 2- 3 С X

), =Л {зС2-зСт),

зх = з X , зу = зУ, З і = З2, зху =фі (зX зЬТ ), З хі _Ы (^2 зЬХ ) ,

ті ___л І зЬ зЬ \ г к __ тК г к __ г К г к __ з К з к ____ / зК з К \

з уі-'\і\з 2~З У), з х~з X, з у~з У, з 1~з 2, з ху-Фк^ Х~з у),

з*хі _Ык (зК2 -зКX

), зк 1 _Лк (зК2-зКу ) •

Выражения для з(р), з(і), з(к), М(Ерс2 -РсРс ) Мк (ЕРк2 -РкРк ) ,М і (ЕР2 — РіРі) можно

представить в виде:

з

з(і) =

ь

X

фі (ЗLX зЬу ) Ы (зЬ2 зЬ

фі(з X з У )

зь

У

)

-Лі (з X - з У )

"Ы (з

) -Чі (з

-Л; [зЬ2-зЬу )

зь

з(р) =

з

X

- ф (зрх-зру) -ы (

-Ы (зPz-зPх

-ф (ЗPX-ЗPУ )

зР

у

-Л (зр2-зру)

з(к) =

з

)

зР

- фк ( зК х-JК у ) - Ык ( зК 2 - зК

-Ык (зг2 - зг

М

)

-фк (зКX - зКу ) зКу -Лк (зК2 - зКу )

)Лк (зК2 - зКУ ) зК2

М (У2с + ) -М хс Ус -М хс 1с

-М хс Ус М ( + ^ ) -М Ус 2с

-М хс 2с -М с Ус , гс Мс ( + У2с )

Мк (УІ + 12 ) -Мкхк У к -Мкхк 2к

-Мкхк У к Мк ( + ) -МкУк 2к

-Мкхк *к -МкУк , гк Мк ( + У2)

(ЕРс2 -РсРс ) =

Мк (ЕРк РкРк ) =

М1 (ЕРі2 -РіРі ) =

Мі

(У2 +12) -МіхіУі -Міхі2і

Міхі Уі Мі (х1 + Іі ) МіУі І1

-МіхіІі -МіУі, Іі Мі (х1 + Уі )

Тензор инерции з(р) БЛА в его ОСК может быть определен через тензоры инерции ПГ

з(і) и корпуса з(К), в соответствующих ГЦСК, по следующей зависимости:

з(р) _ А[з^К )Ак + Мк (ЕРк2 - Рк Рк) + А З(і) Аі + Мг ( Ер2 - Рі Рі).

Компоненты з(р), а именно Зху(р), Зхі(р), з (р), могут быть записаны в виде:

зху (р) _ ф (зР X - зРУ )+М хс Ус _ фі (ЗХ - З У ) + фк (ЗКX - зК У ) +Мкхк У к +Міхі Уі ;

зхіір) _Ы ( ЗР2- ЗР X

)+М хс_ы(З12 - зі

з

(Р) _

У1

■Ы (з

_Л (зР2- зРу )+М Ус 2с _ч( З\- З У ) + Лк (

Ы(З12 - ЗX ) + Ык (ЗК2 - ЗКX )+ Мкхк 1К +М1х12,

ЗК - ЗК и 2 и У

)

)+МкУк2к + МіУіІ •

Положим, что на начальном участке движения в атмосфере БЛА не имеет асимметрий формы НП и МГХ. Такое состояние достигается высокоточной обработкой НП БЛА и проведением коррекции МГХ изделия на специализированном оборудовании относительно прогнозируемого направления равнодействующей вектора аэродинамических сил. В результате выполнения этой процедуры все МГХ БЛА имеют допустимые значения. В «идеальном» состоянии БЛА войдет в атмосферу с близкими к нулю углами атаки, что обеспечит ему на начальном участке траектории малые значения угловых скоростей и угловых ускорений вдоль поперечных осей координат. По мере нарушения симметрии НП, отклонения параметров НП и МГХ изделия будут постепенно нарастать, симметрия обтекания нарушится и изделие приобретет угловые тах, та , та2 и линейные ¥Рх, УРу, Ур2 ускорения. В течение достаточно малого интервала времени ускорения не при-

ведут к значительному изменению линейных и угловых скоростей Ург,Ур

Ру

та

шем упрощенные выражения, связывающие вторые производные параметров движения и МГХ БЛА, с учетом особенностей движения изначально «симметричного» изделия, пренебрегая та у та х,

2 2 2

та ута2, тахта г, та,, тах, та , та уУР, , та,УРу, тахУР,, тахУРу как величинами второго порядка мало-

у'

сти и полагая /1у = /Т = /П ,

= 0,

/Р -/рх

п

Получим выражения, связывающие текущие значения ускорений с Р;, ф;,Л;, £,; .

V Рх =—2 Ч1-( —ч +—

му х V м к м

V Р, =12 Ч1 ’-(~Ч + мі

7 ил у \

та у

х, тл

м±

м

Щ

м

та.

Т> 1) ( мк мг У (мк мг

VР2 = — 2Чу) -I —^ук +—-у1 ІТПх + 1 —Lxk +—-

м^ 2 У м к м ;) V м к м

-х, тл

та х =

2т(1)-| м^у + 12р(1) + (м^2 + м2 І2Ч(1) -2^х I м + м )2Ч +1 м + м )2Ру

(3Ь2 - /Ьх ) + ^к |К2 - /Кх ) + Мкх„2к + м,х, 2, -

)

( ( хк21

к к

V V V

1 - м

м

мк-(

кЛк^к^1У±;Л; *;

(

\мкм і

- I хк21 - х12к )-)- + х121

м

та -2

(ф;/ /Ь

^х ) + фк (/Кг /Кх ) )кхкук м;х;у; +

\ ж I \м^м,

мк - 7 - х; ук ))— + х; у;

(1 мг Л м Л

1---- м;

м , ;

У У У

та

/хР

та у —

м.

м

мк

м

м

м

ф;{/1у /1 х ) + фк (/"X7 /Кх) )кхкук м;х;у; +

+хкук

1 - мк

V м У

, , / \мкм;

мк- (хкЛ - х; ук +х; у;

1 --

м

V м У У

м

та

/у

1

Полученные выражения могут использоваться для получения оценок значений кинематических параметров и их производных в зависимости от взаимного положения груза относительно платформы БЛА.

Литература

1. Костров, А.В. Движение асимметричных баллистических аппаратов / А.В. Костров. -М. : Машиностроение, 1984. - 272 с.

2. Иванов, Н.М. Движение космических летательных аппаратов в атмосфере планет / Н.М. Иванов, А.И. Мартынов. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 384 с.

3. Фаворин, М.В. Моменты инерции тел: справ. /М.В. Фаворин; под ред. М.М. Гернета. -Изд. 2-е, перераб. и доп. - М. : Машиностроение, 1977. - 511 с.

4. Механика промышленных роботов: учеб. пособие для втузов. В 3 кн. Кн. 1: Кинематика и динамика / Е.И. Воробьев, С.А. Попов, Г.И. Шекелева; под ред. К.В. Фролова, Е.В. Воробьева. -М. : Высш. шк. - 304 с.

5. Мокин, Ю.А. Влияние малых углов атаки и скольжения на момент крена при гиперзвуко-вом обтекании тел вращения /Ю.А. Мокин // Теплофизика и аэромеханика. - 2009. - Т. 16, № 1. -С. 37-42.

Федоров Виктор Борисович. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизация механосборочного производства», Южно-Уральский государственный университет (Челябинск). Тел.: (351) 267-97-74; [email protected].

Bulletin of the South Ural State University Series “Mechanical Engineering Industry” _____________________________________________________2013, vol. 13, no. 2, pp. 68-74

MATHEMATICAL MODEL OF BALLISTIC VEHICLE WITH VARIABLE INERTIAL PARAMETERS

V.B. Fedorov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]

Dynamic model of symmetrical ballistic vehicle with variable inertial parameters is offered. Vehicle has two parts - platform and payload.

Keywords: ballistic vehicle, dynamic model, variable inertial parameters.

Поступила в редакцию 10 июля 2013 г.

Уm(j) +(mlv + mlv iyF(j)_[Mjlx + mlx Yp-- +1, M Vk + M Vl )YFx 1 MXk + MXl, ,

У F!-n _

{

Sl (JLZ _ JL

Z

f

X

_ xkzk

1 —

.Ml

M

Mb

\xkzl _ xlzk )-

X )+ MkXKzk + Mlxlzl _

.Ml

M

\MuM,

\XuZ, _ X,Zu I-------xz

M

l^l

та

1 --

Ml

/ V