CC BY
90
УДК 621.313
DOI: 10.25206/1813-8225-2018-160-55-58
в. в. харламов А. в. СКляр Д. и. попов А. в. ЕрошЕнКо
Омский государственный университет путей сообщения, г. Омск
математическая модель асинхронного двигателя с учетом пазовых гармоник в индукции магнитного поля и неисправностей различного типа
В статье приводится математическая модель асинхронного двигателя, учитывающая возникновение пазовых гармоник в индукции магнитного поля в воздушном зазоре. Данная модель может использоваться при разработке методов спектр-токового анализа тока статора асинхронных двигателей. Получены результаты математического моделирования работы асинхронного двигателя малой мощности с наличием неисправностей различного типа. Сделан вывод о возможности применения спектр-токового анализа для определения частоты вращения ротора асинхронного двигателя при наличии в нем неисправностей.
Ключевые слова: асинхронный двигатель, математическая модель, воздушный зазор, дефекты двигателя, пазовые гармоники.
Для упрощения анализа работы асинхронного двигателя зачастую принимают допущение о синусоидальности распределения индукции магнитного поля в воздушном зазоре и, как следствие, синусоидальности ЭДС и токов в фазах ротора и статора [1]. Однако в реальной машине индукция в воздушном зазоре имеет несинусоидальное распределение ввиду наличия зубчатости магнитной системы, а также отклонений конструкции от идеальной симметрии, обусловленных дефектами изготовления и возникающими в процессе работы неисправностями [2].
При этом из-за наличия зубчатости ротора в токе статора возникают пазовые гармоники [3] на частоте:
С = ФЫ|я — ± к
Р
(1)
В данной модели дополнительно учтено явление возникновения неравномерности распределения магнитного оля в воздушном зазоре путем задания пульсации коэффицие нта вз аимной индуктивности между фазами статора и ротора в следующем виде:
О'т(т,У) = Ош + А sin(т ■ тУ)
(2)
где т — число па=ов статора, ш — угловая скорость вращения ротора, А — амплитуда пульсаций, Ьт — среднее значение =оэффа+иента взаимной индуктивности между фазам и стат о ра и ротора.
В таком сл}туа коэТфициент рассеяния а, индуктивность статора Ь1 и ротора Ьу наибольшее значение взаимаой иниуктивности трехфазной обмотки Ь , коэфф=циеоты магнитной связи ротора и статора трехИазной е-мотгт кв становятся функциями от времеоги о ргловот скорости вращения ротора:
где f1 — частота пттания сети; р — число пар полюсов двигателя; Я — число пееыоа ротора; в — скольжение; к — порядок гармоник и, цело е 1, 3, 5...
Наличие дефектов ротора, статора, механической системы двигателя также приводит к возникновению различиыа гариоаичесеих составляющих в токе статора [4, табл. 1].
В качестве метемутичеекой модели, описывающей работу трехфазного асинхронного двигателя принята модель, выраженная через токи статора и ротора [5, 6].
е(а, т = Ы -
0 ы2 (а,А) О1 (а, еЫ • Т2(со, У)'
Оы(а,У) =Оы2(Т,т) +ОыеЫ Ое(а,3) ^ыеМ) (+ОееН 3
¿ые(тД) = ы От (т, У) ;
(3)
(4)
(5)
55
Таблица 1
Амплитуды гармоник, обусловленных дефектами различногорода, для асинхронного двигателя типа АИРМ63В4У3
Вид дефекта Амплитудасигнала, вызванного дефектом, А Частота гармоники, вызванной дефектом, Гц
Дефект ротора 0,1000 4=(1± 2ksf
Межвитковое замыкание 0,0010 4=/1[k±S2(i-s)]
Эксцентриситет воздушного зазора 0,0010 /^BkfR + njk^ ± ni -n
Точечные дефекты подшипника 0,0001 if = К ± K\
Несоосность валов двигателя инагрузки 0,0005 f^u^X 0-1
Повреждения ременной передачи 0,0005 N = Df
Повреждения приводимого оборудования 0,0005
Ослабление крепления на фундаменте 0,0005 f и = f Xk-J-' 2
kr(m,t) =
К (ю, t) =
Ln(ю,t). L2 t)
L (®,t)
(7)
(8)
где — индзктивйость рассеяния фа зы статора, — индуктивноетврассеянии фсзьI ]аотора. В этом случае система уравнений для трехфазного асинхрозимого двигателя примет следующий вид:
dijt)
dt +(ю, t)I,1 (ю, t)
diib(t) 1
dt +(ю, t)I,1 (ю, t)
diic (t) 1
dt +(ю, t)Ll (ю, t)
diLt
1
dt di'^t)
+(ю, t)L2(co, t) 1
dt
di'2c (t)
+(ю, t)L2 (ю,() 1
( "la(t) " ha(t) X ^ X J?1 ю ¿r(0(,t) • e^t)
MB) - i1b(t) X
X R + k,(co,t) • £!)(юД) Ulc(t) - ilc(t) X К
X R + Ю,(ю,() • e)((0,t) ( ¿s(rn,t) • (ujt) - ^
- ila(0 • Rl) k e^^(C0,t) ( M(CO, t) • (uib(t) -
- iib(t) • R) k eb(ю,t)
dt dro(t)
+(ю, t)L2 (ю, t)
( ks(m,t) • (Uic(t) -- ii,(t) • R) + e"c(w,t).
dt
1 (m -\mc|•sigа^а(t)))
(9)
где iia, iw z'1c — фазны- токи статора) ) -, и 1b, ulc — фазные на=ряжения cтатоpаr Д l — актив но е сопротивление фазы атaLoаa; Мс — момент юопро-тивления но валу двигателя; J — момент инерции двигателя, М — электр-магнитный м,мент двигателя; e", e", e" — приведенные к статору э.д.с., индус-тируемые по то к ос цеплением ротора:
e>,i) = iea(tboek
k roM(Lie=0, t) • iicbce k LeK t) • iecb(t))| (10)
eb>.k = i'vO)^ k
+ ®31 (Lie(®,t)^'itIc(t)k Le^O^eaM; (11)
e>,i) = /2c(i)- P2 + + Vjij^t) ■ ¡Ш Е) + LiKE ■ +ba (^ (12 (
где i2a, i'2b, i'2c — привед(нные к стстору токи ротор а по ортогональным осям фаз; р2 — активное сопротивление псиведонного ротора; ом = ор — электрическая угоовея скорость в°ащения °ютора; р — число пар полю сое; i, i ^ i — токи по осям, о ртогональным pia зьм =т ьтора:
(^ = ~1 (ье) с (ic(i));
hi) = ha(t) c('ii(f));
Ut) = ^(LWcibei);
(13)
(14)
(15)
i2cb, i2ac, i-na — токи по осяМ( ортогональным фазам ротора:
1
*2C b(f) = -^{hb (i)-'2 cW);
ilact = ^ bet - ilat)); I
i2batt) = ^ {i2a-)-i2b(f))-
Численное решени е систе мы уравнений (9) можно получить в одном из пакетов прикладных программ, предназначенных для математических расчетов. В дан ной р або те б ыл выбран МаНаЬ с грч-фической средой симуляции динамических систех БгтиПпк. Данная корбчнация позволяет произвести автоматизацию выполхения расчетов с помощью написания специальных скриптов. Расчет системы дифференциальных уравненып выполнен для асинхронного двигателя типа АИРМ63В4У3 при синусоидальном симметрирнчм наыыажении сети. Данный двигатель имеет следую щие параметры: Рн = 750 Вт Я = 11,9 Ом, R; р 1а,а Ом, I = 0,026 Гн ь0а р 0,00
1 0 1а 0а
Гн, Ьт = 0,499 Гн, число пазов ротора Я = 30 шт.
Исследуем ток одной из фаз двигателя. Для этого выполним вычисление спектра тока статора с помощью быстрого преобразования Фурье. С целью ослабления влияния эффекта Гиббса на исследуемый сигнал накладывалась весовая функция Хэм-минга. На рис. 1 показан спектр фазы а статора моделируемого двигателя. В спектре тока видно три частотных пика — первый пик обусловлен главной гармоникой тока, два других — пазовые гармоники тока. Их частота совпадает с частотами, вычисленными по формуле (1) и реально наблюдаемыми в двигателе. В двух других фазах двигателя в спектре тока будет наблюдаться аналогичная картина.
Наличие двух боковых гармоник в спектре тока статора с частотой, связанной с частотой вращения ротора, подробно объясняется в [7] и описывается процессами амплитудной модуляции тока статора.
Подобным же образом возможно исследование и других физических явлений в приведенной модели, ведущих к возникновению неравномерности распределения магнитной индукции в воздушном зазоре: дефектов ротора, дефектов статора, эксцентриситета ротора, дефектов подшипников и присоединенных механизмов. При этом соблюдается принцип суперпозиции: гармоники, вызванные отдельными дефектами, не влияют друг на друга в случае присутствия нескольких дефектов, что наблюдается и при экспериментальных исследованиях [8], в рамках которых были выявлены амплитуды гармонических составляющих в сигнале тока, обусловленные различными видами дефектов.
Амплитуды и частоты гармоник, обусловленных дефектами, влияние которых на сигнал тока было исследовано с применением математической модели (9), сведены в табл. 1.
При моделировании приняты следующие допущения:
— модель имитирует только первые гармоники (к = 1) сигналов, так как именно первые гармоники имеют наибольшую амплитуду и, следовательно, наиболее различимы на уровне общих шумов тока статора двигателя;
— двигатель работает в номинальном режиме без перегрузки.
Расчетный спектр тока статора асинхронного двигателя АИРМ63В4У3 при наличии дефектов, указанных в табл. 1, приведен на рис. 2.
400 500 600 Частота, Гц
Рис. 1. Результат математического моделирования работы асинхронного двигателя АИРМ63В4У3 с учетом пазовых гармоник и без учета возможных неисправностей
Ю-3
ю-4 105
ш
11 10-=
го
S
? ю -'
10"»
ю-™ 10-„
ПазоВыЕ гармоники
15f, T7f
Дефекты стоторо__Эксцентриситет
0 100 200 300 400 500 600 Частота, Гц
Рис. 2. Результат математического моделирования работы асинхронного двигателя АИРМ63В4У3 с учетом пазовых гармоник и заданных неисправностей
Анализ полученных результатов позволил сделать следующие выводы:
— построенная математическая модель может быть использована для получения характеристических картин спектра тока статора при наличии дефектов асинхронного двигателя;
— частоты гармоник, вызванные различными дефектами, могут совпадать, поэтому возможны ситуации, когда один тип дефекта сложно отличить от другого. В этом случае требуется анализ по вторым и третьим гармоникам сигнала;
— неисправности асинхронных двигателей не влияют на расположение пазовых гармоник на частотной оси спектра и, следовательно, не искажают вычисленную частоту вращения ротора. Однако они вносят дополнительные спектральные составляющие в диапазон расположения пазовых гармоник, которые могут влиять на работу алгоритмов расчета частоты вращения двигателя.
Эту проблему можно преодолеть, используя специальные методы выделения пазовых гармоник из спектра сигнала [9—10].
Библиографический список
1. Вольдек А. И., Попов В. В. Электрические машины. Машины переменного тока. 1-е изд. СПб.: Питер, 2010. 349 с. ISBN 978-5-469-01381-5.
2. Копылов И. П. Проектирование электрических машин / отв. ред. И. П. Копылов. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Юрайт, 2017. 767 с. ISBN 978-5-9916-1848-9.
3. Hurst K. D., Habetler T. G. Sensorless speed measurement using current harmonic spectral estimation in induction machine drives // IEEE Transactions on Power Electronics. 1996. Vol. 11. P. 66-73. DOI: 10.1109/PESC.1994.349756.
4. Барков А. В., Баркова Н. А., Борисов А. А. [и др.]. Методика диагностирования механизмов с электроприводом по
AuthorlD (РИНЦ): 465264 ORCID: 0000-0003-3621-3377 AuthorlD (SCOPUS): 7006332004
СКЛЯР Андрей Владимирович, аспирант кафедры «Электрические машины и общая электротехника». ПОПОВ Денис Игоревич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Электрические машины и общая электротехника». SPIN-код: 8506-9250 AuthorlD (РИНЦ): 657177 ORCID: 0000-0001-9519-1062 AuthorID (SCOPUS): 57200090858 ЕРОШЕНКО Александра Викторовна, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Информатика, прикладная математика и механика».
SPIN-код: 5015-5688
AuthorlD (РИНЦ): 674458
Адрес для переписки: emoe@omgups.ru
Для цитирования
Харламов В. В., Скляр А. В., Попов Д. И., Ерошенко А. В. Математическая модель асинхронного двигателя с учетом пазовых гармоник в индукции магнитного поля и неисправностей различного типа // Омский научный вестник. 2018. № 4 (160). С. 55-58. DOI: 10.25206/1813-8225-2018-160-55-58.
Статья поступила в редакцию 13.04.2018 г. © В. В. Харламов, А. В. Скляр, Д. И. Попов, А. В. Ерошенко
< s
GL X
О <
S X
2
5
потребляемому току. СПб.: Спектр, 2012. 67 с. ISBN 978-5-91498-028-0.
5. Фираго Б. И., Павлячик Л. Б. Регулируемые электроприводы переменного тока. Минск: Техноперспектива, 2006. 363 с. ISBN 985-6591-37-6.
6. Харламов В. В., Попов Д. И., Литвинов А. В. Совершенствование технологии испытаний асинхронных тяговых двигателей локомотивов: моногр. Омск, 2016. 160 с. ISBN 978-5949-41144-5.
7. Скляр А. В. Модель пазовых гармоник тока статора как амплитудно-модулированное колебание // Динамика систем, механизмов и машин. 2016. T. 3, № 1. С. 159-163.
8. Скляр А. В. О влиянии дефектов электромагнитной системы асинхронного двигателя на пазовые гармоники ста-торного тока // Омский научный вестник. 2016. № 4 (148). C. 109-115.
9. Скляр А. В., Чижма С. Н., Елизаров Д. А. Алгоритм выделения пазовых гармоник по спектру сигнала тока статора асинхронного двигателя // Омский научный вестник. 2016. № 4 (148). C. 70-75.
10. Hurst K. D., Habetler T. G. A comparison of spectrum estimation techniques for sensorless speed detection in induction machines» // IEEE Transactions on Industrial Applications. 1997. Vol. 33, no. 4. P. 898-905.
ХАРЛАМОВ Виктор Васильевич, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Электрические машины и общая электротехника».
SPIN-код: 5093-8463
