Математическая модель адаптивной многоскоростной системы с эластичным трафиком Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Математическая теория телетрафика и теория статистического оценивания функций

УДК 621.39

Математическая модель адаптивной многоскоростной системы с эластичным трафиком

Г. П. Башарин, С. Н. Клапоущак, Н. В. Митькина

Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

Широкое распространение сетей 3С во многих странах мира, а с конца 2007 г. — и в России, ставит перед теорией телетрафика новые задачи. Наличие множества интерактивных услуг и высокоскоростного доступа в интернет приводит к тому, что всё большую долю в общем объёме составляет эластичный трафик. Применение классической мультисервисной модели Эрланга для расчётов параметров качества обслуживания сетей третьего поколения становится затруднительным в силу специфических особенностей эластичного трафика. В работе представлена модель адаптивной многоскоростной системы в виде мультисервисной СМО с эластичными заявками. Приведён эффективный алгоритм приближённого вычисления равновесного распределения и формулы для расчёта основных ВВХ. Результаты работы могут быть применены операторами ССПС 3С в практической деятельности.

Ключевые слова: эластичный трафик, ЛМИ,-система, коэффициент сжатия единицы канального ресурса, вероятностно-временные характеристики (ВВХ), рекуррентный алгоритм вычисления.

1. Введение

Развитие техники телефонной и телеграфной связи привело в первой четверти XX в. к созданию теории телетрафика и появлению основополагающих моделей Эрланга и Энгсета — полнодоступной однопотоковой моносервисной СМО

^ ^ r с пуассоновской нагрузкой и различными её обобщениями (Эрланг-В

при r = 0, Эрланг-С при r > 0 и др.). Цифровизация сетей связи и быстрый прогресс высоких технологий потребовали во второй половине XX в. изучения многопотоковых моносервисных и мультисервисных СМО [1,2, §§1.1, 1.3, 2.1, 2.2 и 4.1]. При этом на втором этапе доминировало изучение одноадресных соединений, а появление в конце XX в. в реальных сетях как одноадресных, так и многоадресных соединений стимулировало развитие соответствующей теории [3].

Одновременно с этим в конце XX в. конвергенция сетей различных типов породила множество классов сетевого трафика. Эти классы различаются своими характеристиками, объёмом необходимых сетевых ресурсов, а также требованиями к качеству обслуживания. Среди них можно выделить две крупные категории — потоковый (streaming traffic, real-time traffic)1 и эластичный (elastic traffic, data

Статья поступила в редакцию 17 марта 2008 г.

1 Некоторые авторы называют его диалоговым.

traffic). При этом на первом и отчасти на втором этапах доминировало изучение потокового трафика, порождаемого, в основном, передачей речи, включая VoIP, видеоконференц-связью и др. На втором и особенно на третьем этапе (начало XXI в.) большую роль стал играть эластичный трафик, порождённый интерактивными приложениями, электронной почтой, передачей файлов и др., где требования к задержкам значительно ниже, чем в случае потокового трафика (см. [3], табл. 1.1 и 1.2).

На рубеже XX и XXI вв. технический прогресс привёл к появлению многоскоростных систем передачи, позволяющих обслуживать эластичные потоки сообщений с переменной скоростью, зависящей от того, сколько на данном отрезке времени одновременно обслуживается приоритетных потоковых заявок [4]. Естественно, что в последние годы появилось много теоретических работ, посвя-щённых этой проблеме, хороший обзор которых и изложение ряда оригинальных результатов, включая приближенные методы вычисления ВВХ, содержатся в интересной книге трёх авторов из Баку и Киева, вышедшей в Киеве в 2007 г. [5].

В настоящей статье рассматривается адаптивная многоскоростная система (Adaptive Multi-Rate System, AMR-system) с эластичным трафиком, которая, в частности, может служить моделью подсистемы передачи пакетных данных в ССПС третьего поколения. В результате удалось построить более общую, чем в [6], модель AMR-системы. При этом рекуррентный алгоритм вычисления ВВХ AMR-системы построен так, чтобы процесс вычисления её равновесных вероятностей был принципиально ближе к процессу их вычисления по рекуррентному алгоритму типа! Кауфмана-Робертса для классической мультисервисной модели

Эрланга

M

\,ь 2

M C

[1,2].

Построение модели АМИ-системы

Пусть система поддерживает К различных типов услуг, т.е. возможно обслуживание заявок на передачу к типов данных (к-заявки), к = 1 ,К (см. табл. 1). Вся ШПП системы, измеряемая, например, в Кбит/с (или Мбит/с), может динамически разбиваться на различное число единиц канального ресурса (ЕКР^ [Кбит/с], £ = 17Х) С е N, £ = 1ГХ, 0 < С1 < С2 < ... <Сь, за счёт изменения скорости передачи одной ЕКР^.

Примеры услуг в 3G [7, гл. 17]

Таблица 1

Услуги Передача коротких сообщений Электронная почта Просмотр веб-страниц Передача цифровых данных без определённых ограничений Электронные газеты

Скорость передачи данных, Кбит/с 1, 2-9, 6 0-384 16-64 (UL) 96-384 (DL) 64-1920 2, 4-2000

Пусть ёмкость АМИ-системы — это количество ЕКР. Таким образом, учитывая процесс изменения скорости передачи ЕКР, определим С1 и Сь как нижнюю и верхнюю границы ёмкости системы, для задания которых рассмотрим цифровую линию со скоростью V Кбит/с, у^, где £ = 1 ,Ь — возможные скорости обслуживания заявок в СМО, причём у1 > у2 > ... > уь. Тогда

C* := V

(1)

— число ЕКР , т.е. ЕКР, скорость передачи данных по которым равна у^, £ = 1 ,Ь.

о

Пусть при поступлении к-заявка требует для своего обслуживания Ьк ЕКР1, Ьк € {1, 2,..., С^, к = 1, К, причём 1 ^ 61 ^ Ь2 ^ ... ^ Ьк. Потоки поступления к-заявок пуассоновские с постоянными интенсивностями Ак, к = 1, К, и независимы в совокупности. Длительность обслуживания является экспоненциальной со средним значением ^-Г1, к = 1,К.

В ЛМИ,-системе с эластичным трафиком количество ЕКР1, требуемое для обслуживания заявки, может изменяться и принимать нецелые значения как при поступлении, так и во время обслуживания заявки в зависимости от загрузки СМО. Причём Ь^-1 = сопз^ на протяжении всего времени пребывания к-за-явки в СМО, что в свою очередь требует пропорционального изменения 1, к = 1, К. Для удобства анализа данной системы будем рассматривать изменение самой ЕКР, а не Ьк, к = 1,К. Таким образом, имеем набор |ЕКР^| _, где

ЕКР1 > ЕКР2 > ... > ЕКРЬ ^ С1 < С2 < ... < Сь.

Определим вектор пт = (п1,..., пк), описывающий состояние ЛМИ,-системы,

С ь -

где Пк = 0,1,..., — число к-заявок на обслуживании, к = 1,К. Простран-

ство П всех возможных состояний ЛМИ-системы имеет вид:

С ь

П := : nk = 0,1,

где

bk

k = 1, K, 0 < bT n < CM = Ц П*, (2)

^'b ^ C f =

¿=1

1

П := {n e П : C^-1 < b^n < C^} (2.a)

— подпространства, в которых AMR-система разбита на C ЕКР^, г = 1, L, причем для удобства формально обозначим C0 = — 1.

Если в момент t поступления k-заявки AMR-система находится в некотором состоянии n e П^, в котором она разбита на C^ ЕКР^, и занято более C^ — bk ЕКР^, то AMR-система разбивает имеющуюся ШПП на менее скоростные ЕКР^+г, г = 1,L — 1, i = 1,L — г, так, чтобы все заявки, включая вновь прибывшую, в момент t + 0 получили требуемое число bk ЕКР^+\ k = 1,K, при

этом C < bT (n + ek) ^ min Таким образом, интенсивность обслужива-

i=1,L-i

ния зависит от состояния системы.

Будем считать, что время занятия k-заявкой ШПП, соответствующей bk ЕКР1, распределено по экспоненциальному закону с параметром ßk, k = 1,K в случае b Tn ^ C1.

Введем y^ — коэффициент сжатия ЕКР1, который зависит от состояния системы. Он определяет возможное увеличение емкости системы по числу ЕКР^, г = 1,L, и пропорциональное уменьшение интенсивности обслуживания вновь пришедшей и всех остальных заявок, находившихся на обслуживании к моменту ее прихода:

C1 _

Y' := Y' < 1, г = 1,L, 1 = y1 >y2 >...>yl. (3)

Тогда интенсивность обслуживания k-заявок в состоянии n имеет вид:

ßk (n) = nkj^ y'I (n e tf) j ßk, k = 1,K.

(4)

По завершении обслуживания к-заявка одновременно освобождает все занятые ею Ьк ЕКР^, £ =1,Ь. При этом может произойти процесс, обратный сжатию. Если в момент £ ухода к-заявки ЛМИ-система находится в некотором состоянии П € П^, в котором она разбита на Се ЕКР^, то ЛМИ-система разбивает имеющуюся ШПП на более скоростные ЕКР*-*, £ = 2,Ь, г = 1,£ - 1,

так, чтобы все заявки, находящиеся на обслуживании в момент £ ухода к-заяв-ки, получили в момент £ + 0 требуемое число Ък ЕКР , к = 1,К, при этом тах (Се-г) < Ът (п - 4) < С.

г=1,Ь-£

Модель функционирования ЛМИ-системы с эластичным трафиком, которую

Л м М С1, £ = 1^0

можно обозначить как ^ ^ ., , представлена схематично на рис. 1.

м м Се, £ = 1,Ь 0

\,ъ ¿{п)

сь

/ \ ЕКР1"

— 1 с"-

Рис. 1. Схема функционирования AMR-системы с эластичным трафиком, к = 1 ,К

Поступившая к-заявка получает отказ и теряется, не оказывая дополнительного влияния на интенсивности поступлений породившего её пуассоновского потока, если в момент её поступления ЛМИ-система находится в некотором состоянии п £ П^, в котором она разбита на С^ ЕКР^, и занято больше, чем Сь — Ък ЕКР^,

£ =17Х. _

Подпространства приёма и блокировок к-заявок, к = 1,К, с учётом процесса сжатия имеют вид:

П := {п £ П : Ътп < Сь — Ък] , Пк := П\Пк = {п £ П : Сь — Ък < Ътп < Сь}

Описанный алгоритм сжатия обеспечивает наибольший коэффициент использования ШПП по сравнению с системой без сжатия. В численном примере будет показано, что ЛМИ,-система обеспечивает, кроме того, уменьшение вероятностей потерь для заявок с высокими требованиями (к числу занимаемых ЕКР). Однако, учитывая тот факт, что заявки, находящиеся на обслуживании в ЛМИ-системе, при сжатии теряют часть занимаемой ими полосы, среднее время обслуживания заявки в ЛМИ-системе может быть выше, чем в системах без сжатия.

3. Построение СтМП и СУГБ

Процесс функционирования данной системы описывается К-мерным СтМП —¥ ^

X (£) = (Хх (£),..., Хк (£)) , £ ^ 0, с пространством состояний П, где Хк (£) — число к-заявок в системе в момент времени £ ^ 0. Диаграмма интенсивностей переходов процесса X (£) представлена на рис. 2.

Пусть

р (п) := Р{Х = п}, п £ П (6)

— равновесная вероятность того, что передаётся пк к-заявок, к = 1, К.

(5)

Рис. 2. Диаграмма интенсивностей переходов процесса X (£), к = 1 , К

Используя диаграмму интенсивностей переходов (рис. 2), запишем СУГБ [2, §4.8 для классической К-сервисной СМО Эрланга] в виде:

Р (П) (£ Ак1 (П € Пк) + ^ пк 153 7*1 (п € П*) | = \к=1 к=1 1*=1 ) ) к

= 53 Р (П - ек) Ак 1 (пк > 0)+

к=1

к Г ь 1

+ ^Р(П + ек)(Пк + 1)< ^7*1 ((П + ек) € П*) (П € Пк), П € П. (7) к=1 1*=1 )

Пусть Пк — вероятность того, что вновь поступившая к-заявка застанет систему в макросостоянии Пк и будет заблокирована. Тогда

Пк := 53 Р(П), к = 1,К.

йей к

(8)

Для данной модели не выполняется свойство мультипликативности. Поэтому для расчёта равновесного распределения требуется решить СУГБ (7) одним из методов линейной алгебры. Из-за большой размерности системы получить численное решение СУГБ возможно только для небольших значений К и максимальной ёмкости Сь системы либо с помощью имитационного моделирования. Однако для расчёта основных ВВХ системы можно применить следующий приближённый алгоритм.

4. Рекуррентный алгоритм вычисления ВВХ

При вычислении ВВХ модели будем использовать не значения вероятностей р (П), а значения макровероятностей ^ (г) пребывания СтМП X (£) во множестве состояний П (г), где г — число занятых ЕКР:

П (г) := {п € П : Ь^ П = г}, г = 0, С q (г) := Р {П € П(г)} =53 р (П)

(9) (10)

— равновесная вероятность того, что в системе занято г единиц канального ресурса.

Лемма. Макровероятность q (г) удовлетворяет следующему рекуррентному соотношению:

1, г = 0, I к г I

я (г) = { 1 ^ I ^ 1

^Е "МЕ V <Г ^ ^ К (г - ^1 (г> 0),г = 1,с ^ = -.

С1 (11)

г —< —< у

к=1 1^=1

Доказательство. Для доказательства используем СУЧБ, справедливую для любого ] = 1,К и (доказательство этого факта проводится по аналогии с [1,2, гл. 2]):

А,р (п — е,) / (п, > 0) = п, , Е 7'/ (п £ П') | р (п). (12)

Выражая отсюда р (п) и учитывая формулы (3) и (10), получаем:

(г) = V! Р (п) = V! Р, — < Е(п £ П'Н р е,)1 (п,

9 (г)= Е Р (п)= Е Р,-1 (Е7'1 (п £ П')| Р(п — е,)1 (п, > 0) =

иеп(т) иеп(т) , и=1 J

= Е Р,"" {Ет'/ (С-1 <г < С')} р(п — е-)/(п, > 0) =

йеП(г) ' ^ и=1 J

= Е Р,^ (Е ^/ (С-1 <г < С'^ р (п — е,)/(п, > 0).

йеП(г) '^ и=1 ^ J

Если п £ П (г), то

1 К

"Е^Ък = 1. (13)

г

к=1

Так как ^ — любое, то выберем ] = к, к = 1, К и подставим (13) в предыдущую формулу для 9 (г).

1 к Г ь 1 ^ 1

9 (г)= Е " Е пк Ък Р^ V -/(С-1 <г < С') I—р (п — ек)/(пк > 0) =

йеП(г) г к=1 и=1 7 J пк

1 К ( ь 1 ^

= - Е Ък Рк Е -/(С-1 < г < С') Е р (п — ек) / (пк > 0) =

г к=1 и=1 7 J йеп(г)

1 К Г ь 1 ^

= 1 Е ЪкРк Е ^/(С-1 <г < С') 9 (г — Ък) / (г > 0).

г к=1 и=17 J

В итоге получаем рекуррентную формулу (11). □

Таким образом, вероятность того, что вновь поступившая к-заявка застанет систему в макросостоянии Пк и будет заблокирована, определяется формулой:

аь

пк = Е 9 (г). (14)

Перечислим шаги рекуррентного алгоритма:

1) 9(0) := 1, 9 (г) := 1 Е Рк ( Е / (С'-1 <г < С')} Ък9 (г — Ък) /(г > 0),

к=1 1'=1 J

где 9 (г)— ненормированные значения вероятностей 9 (г).

сь __

2) С = Е 9 (г)— значение нормировочной константы.

г=0

3) 9 (г) = ^, г = 0,СГ.

Следствие. Если C* - C*-1 = 1, t = 2, L, то рекуррентная формула вычисления макровероятностей q (r), представленная в (11), примет вид:

1, r = 0,

q (r) = ^ . * 1 , £ Pkbkq (r - bk) i (r > 0), r = 1^. (15)

mm (C1, r) k=1

Доказательство. Учитывая, что C* — C*-1 = 1, t = 2, L, выполняется:

C*-1 <r < C* ^ r = C*. (16)

Далее упростим:

t I (C*-1 <r < C*) = yI I (0 < r < C1) + £ -1,1 (r = C*) =

*=1 ' ' *=2 '

= С11 (0 < r < C1) + t §*/ (r = C *) = maiiCil), (17)

Тогда рекуррентная формула (11) примет вид: 1, r = 0,

(r) = t max (C1 ,r) * . , _ , w T^L (18)

q (r) = j £ pfcbfcq (r - 6fc) I (r > 0), r = W.

Заметим, что

r■C1 fc=1

{С 1 1 Г 1

— = если С1 > г, | -, если г < С\ = 1

г 1 ^ ^ | 1 П1 ^ тт (С 1,г).

СГГ7 = , если С1 < г. [ С!, если г.

В итоге получаем рекуррентную формулу (15). □

5. Численный анализ

В качестве примера берутся исходные данные из табл. 2.

Таблица 2

Исходные данные для численного анализа

K C1 C2 C 3 C 4 C 5 61 62

2 24 25 26 27 28 1 2

В данном разделе представлены графики зависимости вероятностей блокировок Пк от изменения параметра к = 1, 2, для трёх систем: классический мультисервисный Эрланг с потоковым трафиком и C1 каналами; AMR-система с нижней — C1 и верхней — C5 границами ёмкости; классический мультисервисный Эрланг с потоковым трафиком и C5 каналами.

Из графиков, представленных на рис. 3-6, видно, что вероятности потерь по обоим типам заявок в модели AMR-системы с эластичным трафиком и модели мультисервисного Эрланга с C5 каналами отличаются незначительно. Это говорит о том, что организация эластичного обслуживания при сохранении начальной ШПП позволяет добиться того же эффекта, что и значительное расширение ШПП, при меньших затратах.

0,007 т|

1 2 3 4 5

Рис. 3. Графики зависимости П1 от р\ при К = 2, С1 = 24, С5 = 28, Ь\ = 1, = 2, р2 =4

Рис. 4. Графики зависимости П2 от р1 при К = 2, С1 = 24, С5 = 28, Ь1 = 1, Ь-2 = 2, р2 =4

0,012 -

0,009

0,000

Л/ М 24 0

Х.ь //

М I М 24-28 I 0 Я./»' | /Ли) |

Л/ М I 28 I 0

Рис. 5. Графики зависимости П1 от р2 при К = 2, С1 = 24, С5 = 28, Ь1 = 1, Ь2 = 2, р1 =4

М А/ | 24 | 0

Л/ I Л/ I 24-28 I 0 Л.Ь | //Ы> |

М л/ I 28 I 0

I I

Рис. 6. Графики зависимости П2 от р2 при К = 2, С1 = 24, С5 = 28, Ь1 = 1, Ь2 = 2, р1 =4

6. Заключение

В настоящей статье предложена упрощённая математическая модель реальной ЛМИ-системы. Эта модель обобщает уже известные и может быть использована

при проектировании и модернизации подсистем мобильных и стационарных сетей связи следующего поколения. Разработанный алгоритм управления доступом заявок может использоваться в перспективных сетях для повышения их пропускной способности в интервалах перегрузки и для улучшения скорости или качества передачи в интервалах недогрузки.

Литература

1. Лагутин В. С., Степанов С. Н. Телетрафик мультисервисных сетей связи. — М.: Радио и Связь, 2000.

2. Башарин Г. П. Лекции по математической теории телетрафика. — М.: РУДН, 2007.

3. Наумов В. А., Самуйлов К. Е., Яркина Н. В. Теория телетрафика мультисер-висных сетей: Монография. — М.: РУДН, 2007.

4. Stamatelos G. M., Koukoulidis V. N. Reservation-Based Bandwidth Allocation in a Radio ATM Network // IEEE / ACM Trans. Networking. — Vol. 5 (3). — 1997. — Pp. 420-428.

5. Меликов А. З., Пономаренко Л. А., Паладюк В. В. Телетрафик: Модели, методы, оптимизация. — К.: ИПК «Политехника», 2007.

6. Call-Level Multi-Rate Loss Models for Elastic Traffic / V. G. Vassilakis, I. D. Moscholios, M. D. Logothetis, J. S. Vardakas // 45th FITCE Congress. — Athens, Greece: 2006.

7. Весоловский К. Системы подвижной радиосвязи. — М.: Горячая линия-Телеком, 2006.

UDC 621.39

Analysis of Adaptive Multi-Rate System for Elastic Traffic G.P. Basharin, S.N. Klapouschak, N.V. Mitkina

Telecommunication Systems Department Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198

Wide expansion of 3G networks in many countries and since the end of 2007 year in Russia as well sets new teletraffic problems. A lot of interactive services and high speed internet access produce great volume of elastic (data) traffic that composes significant part of total traffic in modern wireless networks. The use of classical Erlang multiservice model for 3G networks modelling is restricted due to the system assumed only constant bandwidth utilization by calls. In this work we propose adaptive multirate system in the form of multiserivce queueing system with elastic calls, which removes above restriction from Erlang multiservice system. An effective approximate algorithm for calculation of steady-state distribution and formulas for main QoS parameters are given. Results obtained can be applied by cellular 3G operators in their activities.