CC BY
7
Оригинальная статья / Original article УДК 544.4; 519.6
http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2017-11-85-91
МАТЕМАТИЧЕКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ РАСТВОРЕНИЯ МАГНИЯ В СОЛЯНОКИСЛЫХ РАСТВОРАХ
© Е.В. Кудрявцева1, Л.А. Бегунова2, В.Г. Соболева3, Д.А. Бегунов4
Иркутский национальный исследовательский технический университет, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Представлена математическая модель, которая была построена на основании экспериментальных данных кинетики растворения порошкообразного магния в солянокислых растворах различных концентраций. МЕТОДЫ. В статье рассмотрено применение нелинейных геометрических преобразований при создании математических моделей многофакторных зависимостей. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Математическую обработку результатов исследований проводили по кинетическим кривым растворения магния в солянокислых растворах различной концентрации. Каждая зависимость была аппроксимирована полиномом второй степени, коэффициенты которого были использованы для построения уравнений параметроносителей - двумерных образующих с = /(С, г). Полученная модель была использована для расчета концентрационной матрицы, на основании которой построили геометрическое изображение поверхности. ВЫВОДЫ. Полученное уравнение может быть использовано в физико-химических исследованиях для прогнозирования результатов процесса растворения магния в растворах MgCl2 вплоть до насыщения.
Ключевые слова: кинетика растворения, солянокислые растворы, математическое моделирование, порошкообразный магний.
Формат цитирования: Кудрявцева Е.В., Бегунова Л.А., Соболева В.Г., Бегунов Д.А. Математическая модель процессов растворения магния в солянокислых растворах // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 11. С. 85-91. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-11-85-91
MATHEMATICAL MODEL OF MAGNESIUM DISSOLUTION PROCESSES IN HYDROCHLORIC SOLUTIONS E.V. Kudryavtseva, L.A. Begunova, V.G. Soboleva, D.A. Begunov
Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk 664074, Russian Federation.
ABSTRACT. PURPOSE. The article presents a mathematical model built on the basis of the experimental data on the kinetics of powdered magnesium dissolution in hydrochloric solutions of various concentrations. METHODS. The article deals with the application of nonlinear geometric transformations when creating mathematical models of multifactor dependencies. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. Mathematical processing of study results was carried out according to the kinetic curves of magnesium dissolution in hydrochloric solutions of various concentrations. Each dependence was approximated by a second degree polynomial, the coefficients of which were used to construct the equations of parametric carriers - two-dimensional generators с = /(С,г). The obtained model was used to calculate the concentration matrix. The latter served the basis for surface geometric image construction. CONCLUSIONS. The obtained equation can be used in physical and chemical studies to predict the results of magnesium dissolution in MgCl2 solutions up to saturation. Keywords: dissolution kinetics, hydrochloric solutions, mathematical modeling, powdered magnesium
1
Кудрявцева Елена Владимировна, кандидат химических наук, доцент кафедры технологии продуктов питания и химии, e-mail: [email protected]
Elena V. Kudryavtseva, Candidate of Chemistry, Associate Professor of the Department of Food Technology and Chemistry, e-mail: [email protected]
2Бегунова Лариса Александровна, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии продуктов питания и химии, e-mail: [email protected]
Larisa A. Begunova, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Food Technology and Chemistry, e-mail: [email protected]
3Соболева Вероника Геннадьевна, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии продуктов питания и химии, e-mail: [email protected]
Veronika G. Soboleva, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Food Technology and Chemistry, e-mail: [email protected]
4Бегунов Данила Алексеевич, студент, e-mail: [email protected] Danila A. Begunov, Student, e-mail: [email protected]
For citation: Kudryavtseva E.V., Begunova L.A., Soboleva V.G., Begunov D.A. Mathematical model of magnesium dissolution processes in hydrochloric solutions. Proceedings of Irkutsk State Technical university. 2017, vol. 21, no. 11, pp. 85-91. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-11-85-91
Введение
При проведении теоретических исследований чаще всего применяют математическое моделирование, сущность которого заключается в выборе наиболее подходящей модели. Существует множество методов математического описания изучаемых процессов. Чаще всего используется математическая обработка результатов физико-химических измерений, которые могут быть представлены в качестве исходных данных для моделирования.
Математическая обработка экспериментальных данных предполагает использование численного расчета, с помощью которого получают необходимые функциональные характеристики процесса, которые главным образом представляют в виде графиков зависимостей. Графическое представление зависимостей может быть как однофакторным у = [(х), так и многофакторным У = Р(хьх2, ...,хп-1), где
- независимые переменные [1].
В общем виде моделирование многофакторных зависимостей заключается в следующем: в результате экспериментальных исследований имеем дискретные значения параметров, зависящие от п-1 зависимых или независимых друг от друга аргументов Сьс2,...спХ.
С точки зрения геометрии, в п-мерном пространстве имеем набор фиксированных точек, на которые необходимо «натянуть» поверхность
F(Cí,C,T) = 0
(1)
и получить ее уравнение. В этом случае мы получаем поверхность, натянутую на пучок сечений с несобственной осью, т.е. сечений, расположенных параллельно координатным плоскостям [1-4].
Применение нелинейных геометрических преобразований
Получение уравнения (1) осуществляли в следующей последовательности:
1. По исходным данным из табл. 1 были построены графики зависимостей с = [(т) (рис. 1).
2. Каждая зависимость была аппроксимирована полиномом второй степени, коэффициенты которого были использованы для построения уравнений пара-метроносителей - двумерных образующих с = Г(С,т).
3. Полученная модель была использована для расчета концентрационной матрицы, на основании которой построили геометрическое изображение поверхности.
Таким образом, в настоящей статье рассматривается применение нелинейных геометрических преобразований при создании математических моделей многофакторных зависимостей с=[(С,т), где
с - концентрация металлического порошка магния в водных солянокислых растворах
о
магния, моль/дм3; С - концентрация водных солянокислых растворов магния, моль/дм3 [5-7].
Ранее в работе рассматривалась кинетика взаимодействия порошкообразного магния с электролитом МдС12 различной концентрации. В качестве исходных данных использовали результаты измерения концентрации магния в растворах электролитов (см. табл. 1).
По данным табл. 1 построили кинетические кривые растворения магния с = [(т) в водных растворах хлорида магния (см. рис. 1).
Полученные кривые с коэффициентами корреляции от 0,88 до 0,98 аппроксимировали полиномами второй степени:
Таблица 1
Исходные данные
Table 1
initial data
т, мин I т, min Концентрация Mg в растворах M Mg concentration in MgCl2 solu 1gCl2 моль/дм3/ tions mol/dm3
ci ci c3 c4 c5
0 0 0 0 0 0
15 1 3 5,4 7,3 15,3
30 1,1 3,1 5,8 7,8 16,6
45 1,4 3,5 6 8 17
60 1,8 4,3 6,4 8,5 17,9
75 2 4,4 6,8 9,65 18,9
90 2,3 4,5 7 10,3 19,7
120 2,3 4,5 7 10,3 20,7
С(МдС12) 0,35 0,7 1,4 2,8 5,7
Рис. 1. Кинетические кривые растворения магния в водных растворах хлорида магния:
1 - 0,35 М; 2 - 0,7 М; 3 - 1,4 М; 4 - 2,8 М; 5 - насыщенный раствор Fig. 1. Kinetic curves of magnesium dissolution in aqueous solutions of magnesium chloride: 1 - 0.35 M; 2 - 0.7 M; 3 - 1.4 M; 4 - 2.8 M; 5 - saturated solution
у = а0 + + а2х2 , (2)
о
где у = с - концентрация магния, моль/дм3; а{ - эмпирические коэффициенты уравнения аппроксимации; х = т - время растворения, мин.
С учетом подстановок уравнение (2) преобразовали в следующий вид:
с = а0 + + а2т2. (3)
Уравнения аппроксимации исследовали на нахождение максимума (ттах), для чего приравняли нулю производную уравнения (3):
de
— = % + 2 • а2т = 0 (4)
с целью определения предельного значения концентрации электролита.
Из уравнения (4) определили ттах по следующему выражению:
(5)
(2-Ü2)
Выражение (5) подставили в уравнение (3) и получили предельное значение концентрации магния в растворе хлорида магния данной концентрации:
пред
ао
4 (ГЧ + 7^). (6)
1 \(2-а.2) (4-0.2)/ К '
тов O-i, Ттах
Численные значения коэффициен-ред, коэффициентов достоверности К2 и корреляции Гщ, а также величину относительной ошибки расчетов 6 свели в табл. 2.
Из табл. 2 следует:
- коэффициенты а{ по мере увеличения концентрации хлорида магния возрастают по абсолютной величине;
- максимальное время в четырех случаях колеблется в пределах 90 мин, при этом предельная концентрация магния в растворах близка к измеренным значениям (см. табл. 1);
- относительное отклонение, рас-
считанное по формуле 8 = Спред-Сизм • 100 %,
Сцзм
не превышает 6,14%. Видно, что наибольшая ошибка приходится на уравнение аппроксимации с невысокими коэффициентами достоверности К2 = 0,79 и корреляции г-ух = 0,883 « 0,9. Невысокие коэффициенты указывают на некоторые неучтенные факторы при получении экспериментальных данных. При этом теснота связи между функцией и аргументом г^ находится в пределах допустимого значения.
Таким образом, предварительная математическая обработка экспериментальных данных показала, что полученные уравнения могут быть использованы в дальнейшем построении уравнения поверхности (1).
Уравнение поверхности (1) разрабатывали по данным из табл. 2, которые для удобства расчетов перенесли в табл. 3. Данные для построения подходящего уравнения поверхности подбирали из нескольких вариантов, рассчитанных с использованием различных комбинаций а{ и СМды2 ■ Основными требованиями к подбору данных являлись условия наибольшего приближения модели к реальному процессу. В результате для продолжения расчетов были отобраны следующие данные (см. табл. 3).
Результаты обработки исходных данных
Таблица 2 Table 2
Results of initia data processing
CMgCl2 моль дм3/ CMgCl2 mole dm3 ао а1 • IQ2 а2 • IQ4 Тmax мин/ Тmax mines ^пред моль дм3/ ^red mole dm3 R2 ryx б, %
0,35 0,1661 3,723 -1,612 115,5 2,3154 0,965 0,932 0,63
0,7 0,7432 3,325 -4,396 90,13 4,725 0,335 0,941 4,44
1,4 1,6401 13,526 -7,902 35,61 7,430 0,790 0,333 6,14
2,3 2,1725 13,044 -9,755 92,5 10,52 0,312 0,901 2,13
5,7 4,3600 36,5633 -20,596 33,75 21,1 0,300 0,900 1,93
а
1
Т
Таблица 3
Данные для построения уравнения поверхности
Table 3
_Data for surface equation construction_
CM5C¡2 моль дм3/ CM5C¡2 mole dm3 ao a1 ■ 102 a2 ■ 104
0,7 0,74B2 B,B25 -4,B96
1,4 1,6401 13,526 -7,902
5,7 4,B600 36,5633 -20,596
По данным табл. 3 составили три системы уравнений следующего вида:
¿01 — Й01 + ЙЦ ' CM5C¡2 + Й21 " CM5C¡2
¿02 — ^02 + a12 ' CM5C¡2 + ^22 " CM5C¡2
,¿03 — a03 + a13 ' CM5C¡2 + ^23 " CM5C¡2
Mu — ¿01 + ¿11 ' ' CM5C¡2 + ¿21 • CM5C¡2'
¿12 — ¿02 + ¿12 ■ ' CM5C¡2 + ¿22 • CM5C¡2'
l¿13 — ¿03 + ¿13 ■ ' CM5C¡2 + ¿23 • CM5C¡2'
'¿21 — ¿01 + ¿11 • CM5C¡2 + ¿21 " CM5C¡2
¿22 — ¿02 + ¿12 • CM5C¡2 + ¿22 " CM5C¡2
¿23 — ¿03 + ¿13 " CM5C¡2 + ¿23 • ' CMgC¡2
где а£, и ¿; - эмпирические коэффициенты, которые необходимо рассчитать для получения уравнения поверхности; - ко-
эффициенты уравнения поверхности.
с = /(Смдсг^т) = (Л2 • СМйСг22) • т2 + +(¿1 • СМйсг2) • т + Л0. (7)
Таким образом было получено следующее уравнение поверхности:
с = /(С,т) = (2,6844 • 10-5 • С2 - 4,858 • • 10-4 • С - 1,627 • 10-4) • т2 + + (-2,717 • 10-3 • С2 + 7,2865 • 10-2 • С + +3,8576 • 10-2) • т + +(-1,05157 • 10-1 • С2 + 1,495 • С --2,46754 • 10-1), (8)
с помощью которого была рассчитана матрица концентраций магния в растворах MgCl2 (табл. 4)
Матрица концентраций Concentration matrix
Таблица 4 Table 4
Матрица концентраций Mg, моль/дм3/ Concentration matrix Mg, mol/dm3 т, мин/ т, min
1 2 3 4 5 6
1,1457 1,961B 3,4912 6,13B9 9,B791 15
1 ,B795 2,9551 4,9B6B B,5724 13,973 30
2,4651 3,72B 6,1267 10,415 17,141 45
2,9024 4,2B06 6,9111 11,66B 19,3B1 60
3,1915 4,613 7,339B 12,329 20,695 75
3,3323 4,725 7,413 12,4 21,0B2 90
3,1693 4,2BB 6,4926 10,771 19,076 120
В столбцах 1-5 табл. 4 приведено количество магния, содержащегося в растворах хлорида магния следующих концентраций, моль/дм3: 1 - 0,35; 2 - 0,7; 3 - 1,4; 4 - 2,8; 5 - 5,7.
Сравнение расчетных значений (см. табл. 4) с измеренными (см. табл. 1) показало, что в целом значения расчетных концентраций находятся в пределах измерен-
ных величин, за некоторым исключением. Так, при концентрации
Смда2 = 0,35 моль/дм3 насыщение раствора магнием несколько выше, чем было измерено. При этом максимальное время насыщения равно 90 мин, что соответствует реальному процессу.
Геометрический образ процесса растворения магния в растворах Mgd2
По данным табл. 4 построили геометрический образ процесса растворения магния в растворах MgCl2 (рис. 2).
Средняя относительная ошибка по столбцам и строкам матрицы растворения (см. табл. 4) составляет 4,34% по абсолютной величине. Наибольшая величина ошибки приходится на 1-й ряд матрицы, соответствующий концентрации раствора хлорида магния 0,35 моль/дм3, и составляет 33% по абсолютной величине. Наименьшая ошибка у второго ряда (См^12 = 0,7 моль/дм3). Ее величина равна 6,82%. Величина отклонения у третьего (^м^Ь = 1,4 моль/дм3) и пятого рядов (См^Ь = 5,7 моль/дм3) ~8,0%, а у четвертого ряда (См^12 = 2,8 моль/дм3) - около 11%.
Наибольшую величину ошибки можно объяснить тем, что в первые 15 мин наблюдается резкое увеличение скорости растворения магния, в связи с чем начальный участок первичной кривой в промежутке времени от 0 до 15 мин выходит на значение концентрации, близкое к предельному (см. рис. 1). Затем в течение остального времени концентрация магния изменяется незначительно. Очевидно, данный участок кривой остается наиболее уязвимым для моделирования методом аппроксимации. Такая закономерность сохраняется и для всех остальных кривых. Однако средняя величина относительной ошибки - 4,34%, позволяет использовать полученное трех-параметрическое уравнение на практике.
Рис. 2. Геометрический образ процесса растворения магния в растворах МдС12 Fig. 2. Geometric image of magnesium dissolution process in MgCl2 solutions
Заключение
По экспериментальным данным растворения магния в растворах хлорида магния получено уравнение, которое может быть использовано в физико-химических
исследованиях для прогнозирования результатов процесса растворения магния в растворах MgQ2 вплоть до насыщения.
1. Вертинская Н.Д., Вертинский А.П., Герасимова Н.П. Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах на базе конструктивной геометрии. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2007. 286 с.
2. Вертинская Н.Д. Основания геометрического моделирования технологических процессов // Успехи современного естествознания. 2009. № 5. С. 84-86.
3. Вертинская Н.Д. Математическое моделирование многофакторных и многопараметрических процессов в многокомпонентных системах на базе конструктивной геометрии // Международный журнал экспериментального образования. 2009. № 4. С. 8-9.
4. Бегунова Л.А., Симоненко Д.Е. Кинетика растворения магния в водных растворах его солей // Известия вузов. Прикладная химия и биотехнология. 2015. № 3(14). С. 10-14.
5. Бегунов А.И., Яковлев С.А., Яковлева А.А. Кине-
кии список
тические закономерности растворения магния в кислых средах // Известия высших учебных заведений. Цветная металлургия. 2006. № 2. С. 9-12.
6. Кудрявцева Е.В., Яковлева А.А., Бегунова Л.А. Использование методов математического моделирования кинетики растворения сплава алюминий-галлий в сернокислых растворах // Моделирование неравновесных систем: материалы VI Всерос. семинара (Красноярск, 24-26 октября 2003 г.). Красноярск, 2003. С. 15-16.
7. Яковлева А.А, Кудрявцева Е.В., Яковлев С.А. Математическое описание закономерностей растворения магния в водных электролитах // Актуальные проблемы современной науки: тр. 1 -го Междунар. форума 6-й Междунар. конф. молодых ученых «Естественные науки. Физическая химия» (Самара, 12-15 сентября 2005 г.). Самара, 2005. Ч. VIII. С. 95-98.
References
1. Vertinskaja N.D., Vertinskij A.P., Gerasimova N.P. Matematicheskoe modelirovanie mnogofaktornyh i mnogoparametricheskih processov v mnogokompo-nentnyh sistemah na baze konstruktivnoj geometrii [Mathematical modeling of multifactor and multiparameter processes in multicomponent systems based on constructive geometry]. Irkutsk: IrGTU Publ., 2007. 286 р. (In Russian)
2. Vertinskaja N.D. Bases of geometrical modeling of technological processes. Uspehi sovremennogo estestvoznanija [Advances in Current Natural Sciences]. 2009, no. 5, рр. 84-86. (In Russian)
3. Vertinskaja N.D. Mathematical modeling of multifactorial and multiparameter processes in multicomponent systems based on constructive geometry. Mezhdu-narodnyj zhurnal jeksperimental'nogo obrazovanija [International Journal of Experimental Education]. 2009, no. 4, рр. 8-9. (In Russian)
4. Begunova L.A., Simonenko D.E. Kinetics of dissolution of magnesium in water solutions of its salts. Izvestija vuzov. Prikladnaja himija i biotehnologija [Proceedings of Universities. Applied Chemistry and Biotechnology]. 2015. no. 3(14), рр. 10-14. (In Russian)
5. Begunov A.I., Jakovlev S.A., Jakovleva A.A. Kinetic regularities of magnesium dissolution in acid media.
Критерии авторства
Кудрявцева Е.В., Бегунова Л.А., Соболева В.Г., Бегунов Д.А. заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Статья поступила 31.10.2017 г.
Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Cvetnaja metal-lurgija [Russian Journal of Non-Ferrous Metals]. 2006, no. 2, pp. 9-12. (In Russian)
6. Kudrjavceva E.V., Jakovleva A.A., Begunova L.A. Ispol'zovanie metodov matematicheskogo modelirovani-ja kinetiki rastvorenija splava aljuminij-gallij v sernokis-lyh rastvorah [Using the methods of mathematical modeling of aluminum-gallium alloy dissolution kinetics in sulfuric acid solutions]. Materialy VI Vserossiyskogo Seminara "Modelirovanie neravnovesnyh system" [Materials of VI All-Russian Seminar "Modeling of Nonequi-librium Systems", Krasnojarsk, 24-26 October 2003). Krasnojarsk, 2003. pp. 15-16. (In Russian)
7. Jakovleva A.A, Kudrjavceva E.V., Jakovlev S.A. Matematicheskoe opisanie zakonomernostej rastvorenija magnija v vodnyh jelektrolitah [Mathematical description of regularities of magnesium dissolution in aqueous electrolytes]. Trudy pervogo Mezhdunarodnogo foruma "Aktual'nye problemy sovremennoj nauki" shestoj Mezhdunarodnoj konferencii molodyh uchenyh "Estestvennye nauki. Fizicheskaja himija" [Proceedings of the First International Forum "Actual Problems of Modern Science", Samara, 12-15 September 2005]. Samara, 2005, part VIII, pp. 95-98. (In Russian)
Authorship criteria
Kudryavtseva E.V., Begunova L.A., Soboleva V.G., Begunov D.A. declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
The article was received on 31 October 2017
