Масса полярона большого радиуса, «одетого в шубу» из фононов с отрицательной массой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 645 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/057.pdf

Масса полярона большого радиуса, «одетого в шубу» из фононов с отрицательной массой

С.И. Телегин ([email protected]), А.Э. Мясникова, Э.Н. Мясников

Ростовский государственный педагогический университет 344082, Ростов-на-Дону, Россия

1. Введение

Кристалл с поляронами Ландау-Пекара относится к системе с когерентной деформацией кристаллической решётки, т.е. с деформацией, имеющей определенное значение в каждой точке кристалла в каждый момент времени. В квантовой теории поля такие системы рассматриваются теорией квантовых когерентных [1] состояний, согласно которой состояние гармоник, например, электромагнитного поля или поля колебаний кристаллической решетки может изменяться за счет изменения числа квантов или путем возникновения когерентных деформаций вакуума гармоник.

Эта теория предсказывает существование порога для возникновения когерентной деформации вакуума. В теории лазеров эта теория предсказывает существование порога генерации, а в теории электрон-фононного взаимодействия - фазовый переход с возникновением когерентных деформаций решетки. Подобие обоих этих типов переходов отметил впервые Хакен [2]. Предельный случай сильного электрон-фононного взаимодействия с возникновением когерентных деформаций рассмотрен в теории по-ляронов, созданной Ландау и Пекаром, которые использовали классическое описание поля поляризации. Такой переход обоснован квантовой тео-

рией когерентных состояний, согласно которой при сильном электрон-фононном взаимодействии основную роль в формировании полярона играют средние смещения ионов решетки, изменяющиеся по классическим законам.

Классическое поле поляризации полярона нарушает трансляционную симметрию среды так что переход носителя из зонного состояния в поля-ронное представляет собой пример спонтанного нарушения симметрии. Это важнейший отличительный признак полярона, т.к. впервые этот термин был введен Ландау и Пекаром для обозначения состояния электрон-фононной системы со спонтанным нарушением симметрии среды. Называть же поляронными зонные состояния электрона с поправкой к энергии и массе за счет электрон-фононного взаимодействия, значит, пренебрегать волей первооткрывателей поляронов. Тем более, что возникающее при этом смешение понятий далеко не безобидно.

С поляронами Ландау-Пекара, нарушающими трансляционную симметрию системы, можно связывать систему отсчета для сплошной среды, а с зонными состояниям - нет. В связи с этим поляроны Ландау-Пекара не способны к стационарному движению со скоростями выше минимальной фазовой скорости фононов в этой среде. Это утверждение является прямым следствием теории бозе-жидкости, созданной Ландау и применяемой для объяснения разрушения сверхтекучего движения бозе-конденсата (т.е. например, фононного вакуума) при скоростях, превышающих минимальную фазовую скорость фононов. Поэтому поляроны Ландау-Пекара при

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 647 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/057.pdf

«сверхзвуковом» движении будут порождать возбуждения в деформированном фононном вакууме и терять энергию. Нам удалось строго математически подтвердить [3] эти выводы теории поляронов Ландау-Пекара и теории бозе-жидкости и доказать невозможность существования поляронов Ландау-Пекара при скоростях выше критической. В рассмотренной нами модели минимальная фазовая скорость совпадает с максимальной групповой, которая в отсутствие дисперсии спектра фононов равна нулю.

Теория поляронов большого радиуса, начало которой положила работа Л.Д. Ландау и С.И. Пекара [3], традиционно пренебрегала дисперсией частот поляризационных колебаний решетки кристалла, участвующих в формировании полярона. Если же рассматривать движение полярона как связанное перемещение носителя заряда в состоянии типа волнового пакета и волнового пакета поляризационных волн, то становится очевидным, что их групповые скорости в поляроне должны совпадать. В отсутствие дисперсии поляризационных волн их групповая скорость равна нулю. Следовательно, без учета дисперсии фононной ветви полярон вообще не способен к перемещению. Кроме того, результаты, полученные без учета пространственной дисперсии решеточной поляризуемости [4-6], приводили к выводу, что инертная и энергетическая массы полярона совпадают и не зависят ни от скорости полярона, ни от дисперсии фононов, участвующих в его образовании. Только в работе [7] было получено приближенное значение энергетической массы полярона в случае слабой дисперсии фононной ветви (малой величины и).

Т.к. в поляроне Ландау-Пекара движение носителя заряда и поляризации решетки соответствует адиабатическому приближению, то носитель заряда воздействует на решетку как классический заряд, распределенный в

пространстве по закону р0 (г) = е(^(г))2, где у/(г) - волновая функция

носителя в поляроне.

С учетом этого в работах [8-12] была решена задача о движении поля-рона Ландау-Пекара в изотропной среде, в которой имеется одна ветвь

продольных поляризационных волн с дисперсией вида О2 (к) = О2 + к2 и2, т.е. когда эффективная масса носителя заряда и продольных фононов положительна. Оказалось, что в этом случае полярон может существовать при скоростях движения и < и. Причем, и энергетическая масса полярона (которую вычисляли и Л.Д. Ландау с С.И. Пекаром) и тензор инертной массы демонстрируют квазирелятивистский рост при и ^ и (при и ^ и ^ 0 все значения масс сходятся к предсказанному Л.Д. Ландау и С.И. Пекаром пределу). Но чаще всего продольные фононы имеют отрицательную массу, т.е. в этом случае справедлив закон дисперсии вида

О2 (к) = 02 - к2 и2, (1)

где волновые вектора к изменяются в пределах первой зоны Бриллюэна. Поскольку основная часть массы полярона характеризует инертные свойства поляризации, то кажется, что полярон, если он и может быть образован фононами с отрицательной массой, должен иметь также отрицательную массу.

В этой статье проведено исследование эффективной энергетической массы и тензора эффективной инертной массы полярона в среде с дисперсией фононов (1). Учитывая то, что среда с поляроном представляет собой систему со спонтанным нарушением трансляционной симметрии вследствие когерентной деформации фононного вакуума, удобнее всего в этой системе рассматривать поляризацию среды классически, так, как это было сделано в [3], потому что классическое поле поляризации среды является когерентным, а учет некогерентной составляющей поляризационного поля в задаче о движении полярона, как показано многими авторами, в частности [13,14], несущественно меняет результаты Л.Д. Ландау и С.И. Пекара.

2. Эффективная энергетическая масса полярона

Основное состояние носителя заряда в поляроне может быть найдено минимизацией функционала энергии полярона, который при учете дисперсии фононов может быть представлен согласно [7] в виде

Градиентный член в этой формуле может быть взят с отрицательным (положительным) знаком, который соответствует положительной (отрица-

+ п2p2 (г, t)+и2pv2p(r, t) с1 3г

I p(r, г )о(Г, t у3 Г

(2)

тельной) эффективной массе фононов. Варьируя этот функционал по P(r, г)

и у/(у, г), находим его минимум, который является энергией основного со-

стояния полярона. Но если мы хотим рассматривать движение полярона со скоростью v, то в качестве пробной волновой функции нельзя брать функцию типа р( r - vt). У волновой функции носителя как у волнового пакета, движущегося с групповой скоростью v, должен быть параметр, соответствующий среднему импульсу hk 0, удовлетворяющему соотношению

*

Лк0 = m v, (3)

т.е. волновая функция носителя должна иметь вид

.'к r Лк% Е0 I (4)

y/(r, t)= e ^ 2m h p(r - vt),

с варьируемой амплитудой p(r - vt).

Вариация функционала (2) по P(r, t) приводит к уравнению движения

d2pk4 + а2 P(r, t) u2 V 2 P(r, t) = -Пг D(r, t) (5)

dt 4ns

для поляризации кристаллической решетки, порождаемой полем индукции D(r, t) свободного заряда с плотностью

Р0 (r, t) = e(¥(r, t))2 = ep2 (r - vt), (6)

что является следствием применения адиабатического приближения, естественного, для случая сильного взаимодействия носителя заряда с решеткой кристалла. Поскольку

D(r, i ^грД^ЖгЫ , (7)

|r - r 1 '

то переход к компонентам Фурье преобразует уравнение (5) к виду

( + О2 ±и2к2),©)—^В(к,©), (8)

4же

где

В(к, ©) - 2пд(© - ку) - е 4Пк

2

У

П(к), (9)

№

п(к)= |й3гр2(г)е. (10)

Таким образом, функционал Е оказывается выраженным только через амплитудную функцию р(г - уt), которую следует варьировать:

* 2 * 2

Е - Е0 + -1йртУрг)+По, + Иы , (11)

2 J 2т

где Иро1 + И^ - суммарная энергия поляризации среды и энергия взаимодействия носителя заряда с поляризационным облаком:

И И = - 2е2О2 Г йкхйкуйк2 к] (1 - 3 и2/и2)+к2у + к2х ±П2/и2 (2(к))2 Ир0 + И* = - п2еи2 ^ к2 + к] + к] (((1 -у 7 и 2)+к; + к2 ±&/и 2 )2 П (к) (12)

Здесь О - частота продольных оптических колебаний в центре первой зоны Бриллюэна,— -—---— - обратная эффективная диэлектрическая

е * е е0

проницаемость среды.

В качестве вариационной функции используем пекаровскую волновую функцию:

-3/2

р(г) = ■^07=(1 + гг-1 )ехР(- гг0-1), (13)

тогда согласно (10)

п (к ) = ^ (28 - ^ |k|2 )• (4 + ^ |k|2)\

(14)

Вариационный параметр г0 в этой функции при О >> г0 имеет в экстрему-

2ЙV

ме пекаровское значение r0 ~ * 2

m e

Эффективную энергетическую массу полярона можно определить соотношением:

2

m* = 4 ((и) - E (0)) (15)

и

Подстановка энергии полярона (11) в формулу (15) даст выражение для эффективной энергетической массы полярона m**n.

При скорости носителя заряда в поляроне, намного меньшей фазовой скорости фононов, участвующих в формировании полярона, выражение для эффективной энергетической массы имеет вид

2гл2

"""г

4e2Q2 г dkxdkykZdkz П (к))2 (16)

пе Г k2 + k2y + k2 (( + k^ + k2)2 ±Q2)2'

m0 m + * I 2 /2 j 2

Интегрирование в формулах (12) и (16) проводится по первой зоне Бриллюэна. Кроме того, верхний положительный или отрицательный знак в этих формулах соответствует положительной, а нижний знак - отрицательной эффективной массе фононов. Энергетическая масса полярона для

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 6 5 3 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/057.pdf

закона дисперсии фононной ветви вида О2(к) -О2 + к1 и (положительная эффективная масса фононов) была получена в работе [10].

3. Тензор эффективной инертной массы полярона

В [12] были найдены выражения для продольной и поперечной компонент тензора эффективной инертной массы полярона для закона дисперсии фононной ветви вида О2 (к) - О2 + к2и2. Выражения для этих компонент при законе дисперсии (1) имеют несколько отличный от полученных в [12] вид.

Инертную массу полярона можно найти как производную по времени от импульса полярона в предположении, что скорость является функцией времени. Если выбрать ось 2 вдоль направления скорость полярона, то продольную компоненту тензора эффективной инертной массы полярона можно получить, полагая, что действующая на полярон сила направлена также вдоль оси 2 :

т2 -22

йр' т х 1

(17)

ушу

В локальной системе координат, которая в каждый момент времени связана с мгновенным направлением скорости и ускорения, тензор эффективной инертной массы полярона всегда диагонален. Его поперечную компоненту можно найти, полагая силу направленной по оси х или у при оси 2, направленной вдоль скорости полярона:

** ** mxx = myy

dp

Г

dt

и

ds dt

(18)

v ш J

Как было показано в [12], полный импульс полярона может быть представлен в виде суммы среднего значения импульса носителя заряда в поляроне и среднего импульса фононов, участвующих в формировании

полярона

p = m v + p

ph

(19)

где т - эффективная масса носителя заряда.

Средний импульс фононов в соответствии с [12] можно записать в ви-

де

Р

ph

1

dk kbQ(i)

(2п)3

2

Pi

-1 - 2

M

Q(i )

r , л2 kv

vQ(i ),

(20)

4

где b = 2 , pk - фурье-образ вектора поляризации:

Pi =— П

s

e ~ 2 ik

1

i|2 (kv)2 -П2(i)

П

:(k ).

(21)

Здесь П (k ) - компонента Фурье (14) квадрата пекаровской волновой функ-

ции.

После подстановки (21) в (20) и дифференцирования по времени по-

лучим

Фph = een*b id ^ЫГ d(kv)

dt s"(2п) i2 [)-(kv)2] dt

(kv)3

+

M.л

Q2(i)

+

\2 V

+ О(к)

1 +М

О 2(к)

у

В соответствии со сказанным выше выберем систему координат таким образом, чтобы ось г была направлена вдоль скорости полярона и действующей на него силы. Тогда

й (ку) к йи

(ку)=^ ^г=(23)

Подставляя в (17) выражение (22) для производной среднего импульса фо-нонов с учетом (23) и (19) и, принимая во внимание, что вследствие нечетности первого слагаемого в выражении (22) по кг оно исчезает при интегрировании, для закона дисперсии фононной ветви вида (1) получаем выражение эффективной продольной инертной массы полярона:

4е2О2 ^к^йкхйкуйк2 к2(Зи2/и2 ± 1)±к2х ±к2у + О2/и2 ( 2(к))2 (24)

Г к 2 + к 2 + к 2 иг!. 2 , ,2^-2/ 2\, ,2 , , 2\3 П ^ (24)

' еп2ик] + к2у + к2 (о2 ± к2(1 + и2¡и2)± к2 ± к2)3

Аналогичным образом найдем эффективную поперечную инертную массу полярона. В этом случае ось х направим вдоль действующей на по-лярон силы, а ось г - вдоль скорости полярона. Тогда

, ч й (ку) йБ

(ку)= Ко, — = Кх^- (25)

С учетом (25) получим эффективную поперечную инертную массу поля-рона:

4е2О2 гк2хйкхйкуйкг кг(Зи2/и2 ± 1)±к2 ±к2у +О2/и2 ( 2, )2

' и4 ) к2 + к2у + к2 (о 2/и 2 ± к2 ( т и2/и 2 )± к2 ± к2 )3 П ^ (26)

Как отмечалось ранее, компоненты тхх и туу равны. Кроме того, тензор эффективной инертной массы полярона является диагональным, т.е.

компоненты тхх = туу и т22 являются единственными отличными от

нуля в локальной системе координат, связанной с мгновенным направлением скорости и ускорения. Поэтому выражения (24) и (26) полностью определяют тензор эффективной инертной массы полярона.

4. Заключение

Численное интегрирование по указанным выше формулам показало, что и для положительной, и для отрицательной дисперсии фононных частот, а также в случае отсутствия их дисперсии скорость поляронов и должна быть по величине меньше параметра и, который имеет смысл максимальной групповой и минимальной фазовой скорости фононов.

Оказалось, что при и< и зависимость от и и и при любой дисперсии фононных частот и и << ЯО хорошо (с погрешностью <10%) описывается формулами:

** * туу - т

= (рес - т ] 1 +

и

ЯО

2 Л

и

,2 Л

ч Я2 О2 ± и2 у

4

теп - т = \трее - т

1 +

и

ЯО

2 Л

и

2 Л

1,3

ч Я2 О2 ± и2,

4

т*Х - т* = (трес - т ) 1 +

и

ЯО

2\

и

,2 л

ч Я2 О2 ± и2 ,

3

2

2

1

2

m

* i * 2 Л m c

m„„„ =

где pec

v hm j

r elл v hc j

Энергия полярона аппроксимируется выражением

E = E * +

m0 u

.2

0

i

v2

(28)

R2 Q2 ± u2

Параметр R может быть определен из сравнения значений масс, рассчитанных по формулам (15), (24), (26) и (27), как R = 0,751 • r0, где

r0 = 3,9 • 10-8 см - параметр, при котором достигается минимум функционала энергии с пробной волновой функцией вида (13).

Литература

1. Дж. Клаудер, Э. Сударшан. Основы квантовой оптики, Мир, Москва (1970).

2. Haken H., Zs. f. Phys., 190, 327 (1966).

3. Л. Д. Ландау, С.И. Пекар, ЖЭТФ 18, 419 (1948).

4. С.И. Пекар, Исследования по электронной теории кристаллов, Гостех-издат, Москва (1951).

5. R.P. Feynman, Phys. Rev. 97, 660 (1955).

6. Поляроны, сб. под ред. Ю.А. Фирсова, Наука, Москва (1975), с.20.

7. А.С. Давыдов, В.З. Энольский, ЖЭТФ 94(2), 177 (1988).

8. Э.Н. Мясников, А.П. Попов, ДАН УССР А 5, 73 (1980).

9. A.E. Myasnikova, Phys. Rev., B 52, 10457 (1995).

10.А.Э. Мясникова, Э.Н. Мясников, ЖЭТФ 112, 278 (1997).

2

4

11.A.E. Myasnikova and E.N. Myasnikov, Phys. Rev. B 56, 5316 (1997).

12.А.Э. Мясникова, Э.Н. Мясников, ЖЭТФ 115(1), 180 (1999).

13.Н.Н. Боголюбов. Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем, УМЖ 2, 3 (1950).

14. С.В. Тябликов. Адиабатическая теория возмущений в задаче о взаимодействии частиц с квантовым полем, ЖЭТФ 21, 377 (1951).