CC BY
1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2023, Т. 165, кн. 3 С. 282-293
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
УДК 519.168 10.26907/2541-7746.2023.3.282-293
МАРШРУТИЗАЦИЯ В ЦИРКУЛЯНТНЫХ ГРАФАХ НА ОСНОВЕ ВИРТУАЛЬНОЙ КООРДИНАТНОЙ
СИСТЕМЫ
А. М. Сухов1, А. Ю. Романов2, Е. В. Глушак3
1 Севастопольский государственный университет, г. Севастополь, 299053, Россия
2 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,
г. Москва, 101000, Россия
3Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики,
г. Самара, 443010, Россия
Аннотация
Рассмотрены методы маршрутизации в двумерных циркулянтных графах (каждая вершина соединена с четырьмя соседними). Уникальная группа симметрий циркулянта позволяет использовать его в качестве топологии для вычислительных устройств большой мощности, в том числе сетей на кристалле и суперкомпьютеров кластерного типа. Показано, что в качестве координат вершин можно использовать минимальное число переходов по образующим от начальной вершины. Разработаны два метода маршрутизации на основе координат. Первый предполагает восстановление номеров вершин и нахождение разности между ними, координаты соответствующей вершины задают маршрут. Второй метод состоит в нахождении разности координат конечной и начальной вершин и минимизации маршрута на основе предложенного алгоритма.
Ключевые слова: циркулянтный граф, сеть на кристалле, суперкомпьютерный кластер, маршрутизация на основе виртуальной координатной системы
Введение
Развитие новых информационных технологий требует постоянного увеличения вычислительных мощностей. Такие технологии, как искусственный интеллект, представленный чат-ботами, новые облачные медицинские технологии и т. д., могут запускаться только на суперкомпьютерах с высоким характеристиками [1]. В то же время увеличение производительности вычислительных систем больше не базируется на повышении тактовой частоты процессора - основным способом ее увеличения является взаимодействие большого количества вычислительных элементов в рамках чипа или кластерной системы суперкомпьютера [2].
Чтобы отдельные вычислительные элементы функционировали как единое целое, требуется соединить их коммуникационной сетью. Области использования подобных сетей включают сети на кристалле (СтнК) [3], сети суперкомпьютеров (вычислительные кластеры) [4] и другие высокопроизводительные вычислительные устройства для обеспечения быстрого и эффективного взаимодействия между элементами системы. К этой сети предъявляются высокие требования, в частности,
такие как минимальная сетевая задержка между вычислительными элементами и максимальная пропускная способность [5].
Топология вычислительной сети представляет собой граф со специальными свойствами, которые перечислены далее. Такой граф должен включать максимальное количество вершин и иметь минимальное расстояние между узлами [6]. Под расстоянием между вершинами понимается минимальное количество переходов по графу. Максимальное расстояние между любыми двумя вершинами графа называется его диаметром [7]. Для рассматриваемых нами графов диаметр всегда ограничен. Поискам графов с подобными свойствами уделяется достаточно большое внимание [8], [9].
Каждый из узлов исследуемого семейства графов должен быть связан с фиксированным количеством соседей. В статье предполагается, что это количество равно четырем. В стандартной топологии mesh это требование не выполняется, поскольку есть граничные узлы, которые имеют трех и даже двух соседей. Это приводит к значительному ухудшению связности сети и снижению надежности подсистемы связи [10]. Таким образом, от сети требуется, чтобы все ее узлы были равнозначными и могли быть использованы для передачи данных. Это техническое требование может быть переформулировано как математическое. Оно означает, что искомый граф должен быть инвариантен относительно преобразования, переводящего произвольную вершину графа в любую другую. Это большая группа симметрий, но она сильно ограничивает возможные варианты топологий графа. Одной из возможных топологий, которая удовлетворяет всем названным требованиям, является двумерный циркулянт [11]. Подход, представленный в настоящем исследовании, можно легко обобщить и на циркулянтные графы большей размерности.
В работе представлен новый метод маршрутизации (поиска кратчайшего пути) на циркулянтном графе, который основан на использовании виртуальной координатной системы. Во втором разделе статьи описан процесс присвоения координат вершинам циркулянтного графа. В третьем разделе исследован процесс построения маршрута между произвольными узлами циркулянта, который опирается на координаты этих узлов. В четвертом разделе проведено моделирование отказов и их влияния на работоспособность вычислительного устройства.
1. Задание координат
Рассмотрим способы задания координат для циркулянтного графа. Для наглядности возьмем циркулянтный граф C(25; 1, 7), который изображен на рис. 1. На основе этого графа сформулируем основные положения в аналитическом виде.
В рассматриваемом циркулянте имеется 25 узлов. Каждый из них связан с четырьмя соседними, длина меньшей образующей равна единице, а большей - 7. Циркулянт - это один из представителей кольцевой топологии, в которой все узлы соединены последовательно. Нулевой узел является соседним с последним узлом. Также у каждого узла есть регулярные соединения со сдвигом на несколько узлов по часовой и против часовой стрелки.
Ниже рассмотрены графы с циркулянтной топологией типа C(N; si,sn) с произвольным количеством образующих. Эти графы представляют собой частный случай кольцевых графов [6, 7]. Общее количество узлов циркулянта принято равным N, длины циклических сдвигов (образующих) обозначены как sj. Можно предположить без ограничения общности, что номера образующих sj размечены в порядке возрастания их длин. Отметим, что длины всех образующих должны быть взаимно простыми числами.
Рис. 1. Циркулянт С(25; 1, 7)
У, к
21
13 14 15
• •
5 6 7 8 9
• • • •
22 23 24 0 1
16 17 18 19 • • г 20 Х
• • « • •
10 11 12
• •
4
Рис. 2. Распределение узлов циркулянта по окрестностям
Узлы циркулянта обозначим заглавными полужирными латинскими буквами. Один из узлов назначается начальным с номером 0. Узлы нумеруются, начиная с нуля, так что каждому узлу в рассматриваемом графе присваивается номер от 0 до 24 . Основная задача данного раздела статьи состоит в построении системы координат, а также определении порядка присвоения координат для каждого узла циркулянта.
Распределим все узлы циркулянта по окрестностям относительно начальной точки. Это распределение представлено на рис. 2.
В положительном направлении оси X размещены узлы циркулянта, соседствующие с текущим и отстоящие от него на длину малой образующей со сдвигом по часовой стрелке. При сдвиге против часовой стрелки номер узла уменьшается на единицу. Сдвиг по оси У соответствует перемещению вдоль большей образующей.
Из рис. 2 следует, что любой узел циркулянта может быть достигнут от начальной точки не более, чем за три перехода. Учитывая симметрию циркулянта, позволяющую переводить произвольный узел в любой другой, можно сделать вывод, что максимальное расстояние между узлами или диаметр циркулянта 1 равен 3. Заметим также, что все ячейки ромба на рис. 2 заполнены узлами, и вакантных мест нет. Такой циркулянт называется плотным [6, 7].
Ранее было установлено [12], что существует целое семейство плотных циркулянтов вида С(2п(п + 1) + 1; 1, 2п + 1). Рассматриваемый нами циркулянтный
2 3 • •
Рис. 3. Расширение зоны координат
граф является представителем этого семейства. Заметим, что переменная п определяет максимальное количество окрестностей графа, то есть совпадает с диаметром: п = d.
Теперь достаточно легко решить вопрос о координатах узлов. В соответствии с рис. 2 в качестве координат можно взять количество сдвигов по осям X и У относительно начала координат (узла с номером 0). Так, например, узел 9 будет иметь координаты (2,1). В общем случае, если узел А имеет координаты ( ха ,Уа ), то его номер можно восстановить по формуле
На первый взгляд, такая система координат полностью идентична декартовой, но имеется существенное различие: при выходе за пределы ромба на рис. 2 новых узлов не должно появляться, а все узлы должны повторяться с некоторой периодичностью. Так, начальный узел (начало координат) при повторном появлении получит координаты (х0,у0): (4, 3)(7, -1), (-7,1)(—4, -3).
Таким образом, нами задана координатная система, определяющая начальный узел и координаты произвольного узла, использующие число поворотов по и против часовой стрелки для большой и малой образующих.
В предыдущем разделе предложен метод присвоения координат узлам сети. Теперь для заданной системы координат требуется разработать метод нахождения кратчайших путей между двумя произвольными узлами, причем те правила маршрутизации, что применяются в декартовых координатах, в ряде случаев не дают оптимального результата. Например, если использовать правила декартовой системы координат для построения маршрута между узлами 9 (2,1) и 23 (—2, 0), то в результате вычитания получим вектор (—4, —1). Начало маршрута находится в узле 9, маршрут между узлами состоит из 5 хопов (переходов), в то время как диаметр циркулянта С(25; 1, 7) равен 3. Следовательно, существует более короткий маршрут, а правило построения маршрутов должно быть модернизировано.
На рис. 3 приведено размещение узлов циркулянта вне первоначального ромба. Здесь узел 23 имеет координаты (2,3), а вектор, характеризующий искомый маршрут, задается как (0,2). Это означает, что между узлами 9 и 23 существует переход в 2 хопа по большой образующей в направлении по часовой стрелке, то есть узлы 9 и 23 расположены на расстоянии, равном двум.
Проведенный анализ позволяет построить маршрут двумя способами, используя только координаты узлов. Первый способ основан на том факте, что вектор, соединяющий узлы 0 и 14, совпадает с вектором, соединяющим узлы 9 и 23. Поэтому сначала следует восстановить по координатам номера узлов А и Б, см. формулу (1). Затем нужно найти разность О = В — А между номерами конечного и начального узлов. После этого с помощью рис. 2 нужно установить
А (ха , у а ) = ХА + Уа«2.
(1)
2. Правила маршрутизации
координаты узла О, которые и содержат ответ о пути между узлами. Если номера узлов в ходе описанной процедуры примут отрицательные значения, то знак у координат следует изменить на противоположный. Предложенный способ сложно реализовать на реальном вычислительном устройстве, поскольку он содержит множественные обращения к разным узлам циркулянта, что замедлит построение маршрута.
Второй метод маршрутизации опирается только на локальную информацию от начального и конечного узлов А и В . На первом шаге алгоритма требуется найти координаты вектора О как разности
Б = Б — А = (хв — ха, у в — У а).
Если сумма модулей координат не превосходит диаметр d циркулянта, то полученный маршрут является оптимальным. Если же длина вектора Б больше диаметра циркулянта, то требуются дальнейшие действия. В предыдущем разделе было отмечено, что начальный узел 0 повторяется на координатной плоскости, поэтому к полученному вектору нужно добавить все ближайшие четыре узла (х0, у^) .В итоге для узлов 9 и 23 получим такой результат вычислений: (—4, —1) + (4, 3) = (0, 2), то есть учет первого переходного вектора приводит к правильному результату. Длина всех остальных полученных векторов будет больше диаметра d циркулянта. Значит, итоговый ответ можно записать в виде
Б = В (хв, у в) — А(ха, у а ) + (Х0 ,уг0),
где |хд| + [уо\ < <1, % £ 0,4; при г = 0 имеем = 0, г/§ = 0.
Таким образом, сформулированы правила построения маршрутов при помощи виртуальной координатной системы.
3. Моделирование отказов сети из-за перегрузок
При оценке любых алгоритмов маршрутизации следует обращать внимание на их устойчивость при кратковременных отключениях некоторых узлов. Неработоспособность ряда узлов вызывается целым рядом причин, в том числе их перегрузкой, перегрузкой сетевых соединений, сбоями системы управления и т. д. [13-15]. Тем не менее неработоспособность отдельных узлов не должна приводить к выходу из строя всей сети целиком [16]. Если СтнК настроена с учетом отказов, то маршруты перестраиваются и проходят в обход отключенных узлов. В этом случае могут наблюдаться снижение производительности системы, но не полный ее отказ [17].
Проведем анализ отказоустойчивости для предложенного метода маршрутизации. Маршрут между двумя узлами может включать переходы по большой и малой образующим. Каждый маршрут фиксирует только количество таких переходов, но не последовательность их выполнения. Если сначала выполнить переход по большей образующей, а затем по меньшей, то результат совпадет с результатом переходов в обратном порядке. Значит, конечный узел маршрута останется тем же самым.
В общем случае, если маршрут состоит из Ь участков, из которых М переходов выполнены по малой образующей, то общее количество несовпадающих маршрутов равно числу сочетаний См . Переход по любому из этих маршрутов приводит к одинаковому результату, поэтому при построении маршрута лучше выбирать следующий участок случайным образом с учетом общего количества переходов. Если следующий узел маршрута неработоспособен, то можно выполнить переход по альтернативной образующей. Следовательно, представленный способ маршрутизации является устойчивым к появлению неработоспособных узлов.
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Отказавшие узлы, ц, %
Рис. 4. Доля отказов на кратчайших маршрутах
В случае, если дальнейший маршрут предусматривает переходы по одной и той же образующей, а следующий узел неработоспособен, можно сделать переход по другой образующей, а затем продолжить маршрут обычным способом и вернуться обратно, сделав переход по альтернативной образующей в обратном направлении. Такой алгоритм удлиняет маршрут на два перехода, но при этом повышает устойчивость обмена данными.
Проведем моделирование предложенного подхода. Случайным образом выберем 10 маршрутов (по 10 начальных и конечных точек маршрута). Затем построим маршруты между этими парами узлов, как описано в разделе 3. Если хотя бы одна из координат вектора, описывающего маршрут, равна 0, то такой маршрут является безальтернативным. Если обе координаты отличны от 0, то существует несколько путей между узлами - такая маршрутизация более устойчива.
Далее запишем все возможные маршруты для всех пар точек с учетом альтернативных переходов и определим общее количество участков во всех маршрутах. Под участком понимаем переход между соседними узлами маршрута. В результате этих действий получим исходный набор данных для моделирования.
Следующим шагом назначаются отказавшие узлы, каждый из них выбирается случайным образом. Последовательно, шаг за шагом число отказавших узлов доводится до 10. Выход из строя каждого узла из 25 означает, что доля отказавших узлов увеличивается на 4%.
Анализ исходных данных в процессе увеличения доли отказавших узлов позволяет установить, сколько кратчайших маршрутов стали неработоспособными. Для восстановления работоспособности каждого такого маршрута общая его длина увеличивается на два участка за счет процесса обхода отказавшего узла по альтернативной образующей.
На рис. 4 представлен график, на котором изображена зависимость числа неработоспособных кратчайших маршрутов от процента отказавших узлов. По оси X отложена в процентах доля п отказавших узлов, доля 0 неработоспособных кратчайших маршрутов нанесена на ось У.
На рис. 5 приведено относительное увеличение суммарной длины маршрутов в зависимости от количества отказавших узлов. На оси X отмечен процент отказавших узлов, а относительное увеличение $ суммарной длины маршрутов обозначено на оси У.
Отметим, что небольшое количество отказавших узлов (до 5%) не оказывает влияния на производительность СтнК, подсистема которой построена на основе циркулянтной топологии. За счет возможностей обхода отказавших узлов отказы на кратчайших маршрутах появляются не сразу, а лишь после преодоления порогового значения. Дальнейший рост доли отказавших узлов сопровождается ростом количества неработоспособных кратчайших маршрутов. При этом за счет
о 20
80
70
60
40
10. У* 0 1--
50
30
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Отказавшие узлы, Г], %
Рис. 5. Относительное увеличение суммарной длины маршрутов
обхода отказавших узлов работоспособность сети сохраняется, но возрастает длина маршрутов, как это показано на рис. 5. Производительность вычислительного устройства уменьшается незначительно. Экспериментальная апробация на суперкомпьютере Севастопольского государственного университета (Афалина) показала, что при сокращении сетевой задержки на три порядка производительность увеличивается на 20% [18].
Следует также отметить, что даже при 40% отказавших узлов остается возможность построения маршрутов между любой парой узлов. Этот факт подчеркивает устойчивость предложенного метода маршрутизации на основе виртуальных координат. Значительный вклад в повышение устойчивости вносит кольцевая топология сети и отсутствие граничных узлов.
Еще одно преимущество предлагаемого подхода состоит в том, что координаты вычислительных элементов можно присвоить заранее на этапе производства, что хорошо подходит для СтнК, топология соединений вычислительных элементов которой должна быть зафиксирована и не может быть изменена в дальнейшем [19]. Для суперкомпьютеров кластерного типа присвоение координат можно проводить после фиксации сетевого соединения. После изменения сетевой конфигурации потребуется запускать процесс присвоения координат заново.
Таким образом, исследована проблема построения эффективной топологии для многоядерных систем, таких как СтнК и вычислительные кластеры. Показано, что граф топологии подсистемы связи должен удовлетворять требованию симметрии относительно любого преобразования, переводящего произвольные вершины друг в друга. Установлено, что циркулянтные графы соответствуют этому требованию, и на примере двумерных циркулянтов разработана виртуальная координатная система. Для нее предложены два метода маршрутизации, которые имеют достаточную вычислительную сложность и устойчивость к ошибкам сети, что подтверждено с помощью моделирования и апробации на реальном вычислительном кластере. Предложенный подход может быть распространен на другие семейства циркулянт-ных графов (с тремя образующими и больше). Дальнейшим направлением развития исследований является разработка новых методов распараллеливания с учетом виртуальных координат и задержек на маршрутах [20], которые наблюдаются при обмене данными между вычислительными элементами.
4. Выводы и дальнейшие исследования
Благодарности. Исследование выполнено за счет средств гранта РНФ (проект № 22-29-00979).
Литература
1. Kahle J.A., Moreno J., Dreps D. 2.1 Summit and Sierra: Designing AI/HPC supercomputers // 2019 IEEE Int. Solid-State Circuits Conf. - (ISSCC). IEEE. 2019. P. 42-43. https://doi.org/10.1109/ISSCC.2019.8662426.
2. Jain A., Dwivedi R.K., Alshazly H., Kumar A., Bourouis S., Kaur M. Design and simulation of ring network-on-chip for different configured nodes // Comput., Mater. Continua. 2022. V. 71, No 2. P. 4085-4100. https://doi.org/10.32604/cmc.2022.023017.
3. Bjerregaard T., Mahadevan S. A survey of research and practices of network-on-chip // ACM Comput. Surv. 2006. V. 38, No 1. P. 1-51. https://doi.org/10.1145/1132952.1132953.
4. Deng Y., Guo M., Ramos A.F., Huang X., Xu Z., Liu W. Optimal low-latency network topologies for cluster performance enhancement // J. Supercomput. 2020. V. 76, No 12. P. 9558-9584. https://doi.org/10.1007/s11227-020-03216-y.
5. Huang X., F. Ramos A., Deng Y. Optimal circulant graphs as low-latency network topologies // J. Supercomput. 2022. V. 78, No 11. P. 13491-13510. https://doi.org/10.1007/s11227-022-04396-5.
6. Belov A. V., Los A.B., Rozhkov M.I. Some classes of the MDS matrices over a finite field // Lobachevskii J. Math. 2017. V. 38, No 5. P. 880-883. https://doi.org/10.1134/S1995080217050067.
7. Monakhova E.A. A survey on undirected circulant graphs // Discrete Math., Algorithms Appl. 2012. V. 4, No 1. Art. 1250002. https://doi.org/10.1142/S1793830912500024.
8. Абросимов М.Б., Лось И.В., Костин С.В. Примитивные однородные графы с экспонентом 2 и числом вершин до 16 // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Матем. Механ. Информатика. 2021. Т. 21, № 2. С. 238-245.
9. El-Mesady A., Hamed Y.S., Shabana H. On the decomposition of circulant graphs using algorithmic approaches // Alexandria Eng. J. 2022. V. 61, No 10. P. 8263-8275. https://doi.org/10.1016/j.aej.2022.01.049.
10. Romanov A., Myachin N., Sukhov A. Fault-tolerant routing in networks-on-chip using self-organizing routing algorithms // IECON 2021 - 47th Annu. Conf. of the IEEE Industrial Electronics Society. IEEE. 2021. P. 1-6. https://doi.org/10.1109/IECON48115.2021.9589829.
11. Monakhova E.A., Monakhov O.G., Romanov A.Y. Routing algorithms in optimal degree four circulant networks based on relative addressing: Comparative analysis for networks-on-chip // IEEE Trans. Network Sci. Eng. 2022. V. 10, No 1. P. 413-425. https://doi.org/10.1109/TNSE.2022.3211985.
12. Sukhov A.M., Romanov A.Y. Serendipity: When research in one area leads to a positive result in another: [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://cacm.acm.org/blogs/blog-cacm/270457-serendipity-when-research-in-one-area-leads-to-a-positive-result-in-another/fulltext, свободный. Проверено 17.10.2023.
13. Das S., Karfa C., Biswas S. Formal modeling of network-on-chip using CFSM and its application in detecting deadlock // IEEE Trans. Very Large Scale Integr. (VLSI) Syst. 2020. V. 28, No 4. P. 1016-1029. https://doi.org/10.1109/TVLSI.2019.2959618.
14. Montanana J.M., de Andres D., Tirado F. Fault tolerance on NoCs // 2013 27th Int. Conf. on Advanced Information Networking and Applications Workshops. IEEE. 2013. P. 138-143. https://doi.org/10.1109/WAINA.2013.221.
15. Gabis A.B., Koudil M. NoC routing protocols - objective-based classification // J. Syst. Archit. 2016. V. 66-67. P. 14-32. https://doi.org/10.1016/j.sysarc.2016.04.011.
16. Radetzki M., Feng Ch., Zhao X., Jantsch A. Methods for fault tolerance in networks-on-chip // ACM Comput. Surv. 2013. V. 46, No 1. P. 1-38. https://doi.org/10.1145/2522968.2522976.
17. Nadeem M.F., Imran M., Afzal Siddiqui H.M., Azeem M. Fault tolerance designs of interconnection networks // Peer-to-Peer Networking Appl. 2023. V. 16, No 2. P. 11251134. https://doi.org/10.1007/s12083-023-01462-4.
18. Demin A., Shakhov O., Sukhov A. Coaxing performance from the complexity of HPC: [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://cacm.acm.org/blogs/blog-cacm/275134-coaxing-performance-from-the-complexity-of-hpc/fulltext, свободный. -Проверено 17.10.2023.
19. Jerger N.D.E., Krishna T., Peh L.-S. On-Chip Networks. Ser.: Synthesis Lectures on Computer Architecture / Ed. by M. Martonosi. Morgan & Claypool, 2017. 190 p. https://doi.org/10.2200/S00772ED1V01Y201704CAC040.
20. Dai Y., Zhang Y. Adaptive digital twin for vehicular edge computing and networks // J. Commun. Inf. Networks. 2022. V. 7, No 1. P. 48-59. https://doi.org/10.23919/JCIN.2022.9745481.
Поступила в редакцию 13.07.2023 Принята к публикации 24.08.2023
Сухов Андрей Михайлович, д. т. н., к. ф.-м. н., ведущий научный сотрудник Научно-исследовательской лаборатории прикладной математики и суперкомпьютерных вычислений Севастопольского государственного университета Севастопольский государственный университет
ул. Университетская, д. 33, г. Севастополь, 299053, Россия E-mail: sukhov@ssau.ru Романов Александр Юрьевич, к. т. н., доцент, ведущий научный сотрудник Департамента компьютерной инженерии Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
ул. Мясницкая, д. 20, г. Москва, 101000, Россия E-mail: a.romanov@hse.ru Глушак Елена Владимировна, к. т. н., доцент кафедры сетей и систем связи Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
ул. Льва Толстого, д. 23, г. Самара, 443010, Россия E-mail: evglushak@yandex.ru
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2023, vol. 165, no. 3, pp. 282-293
ORIGINAL ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2023.3.282-293
Routing in Circulant Graphs Based on a Virtual Coordinate System
A.M. Sukhova*, A.Y. Romanovb", E.V. Glushakc***
aSevastopol State University, Sevastopol, 299053 Russia bHSE University, Moscow, 101000 Russia cPovolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara, 443010 Russia E-mail: *.sukhov@ssau.ru, **a.romanov@hse.ru, ***evglushak@yandex.ru
Received July 13, 2023; Accepted August 24, 2023 Abstract
This article explores routing methods in two-dimensional circulant graphs where each vertex is linked to four neighboring ones. The unique symmetries of the circulant graph make it a viable topology for high-performance computing devices, such as networks-on-chip and cluster supercomputers. It was shown that the coordinates of the vertices can be determined as the minimum number of transitions along the generators from the initial vertex. Two virtual coordinate-based routing methods were developed. The first method entails restoring the vertex numbers and finding the difference between them, with the coordinates of the corresponding vertex setting the route. The second method involves calculating the difference between the final and initial vertex coordinates, while minimizing the route based on the proposed algorithm.
Keywords: circulant graph, network-on-chip, supercomputer cluster, virtual coordinate-based routing
Acknowledgments. This study was supported by the Russian Science Foundation (project no. 22-29-00979).
Figure Captions
Fig. 1. Circulant graph C(25; 1, 7).
Fig. 2. Distribution of the circulant nodes by neighborhoods.
Fig. 3. Extension of the coordinates.
Fig. 4. Failures on the shortest routes, %.
Fig. 5. Relative increase in the total route length.
References
1. Kahle J.A., Moreno J., Dreps D. 2.1 Summit and Sierra: Designing AI/HPC supercomputers. 2019 IEEE Int. Solid-State Circuits Conf. - (ISSCC). IEEE, 2019, pp. 42-43. https://doi.org/10.1109/ISSCC.2019.8662426.
2. Jain A., Dwivedi R.K., Alshazly H., Kumar A., Bourouis S., Kaur M. Design and simulation of ring network-on-chip for different configured nodes. Comput., Mater. Continua, 2022, vol. 71, no. 2, pp. 4085-4100. https://doi.org/10.32604/cmc.2022.023017.
3. Bjerregaard T., Mahadevan S. A survey of research and practices of network-on-chip. ACM Comput. Surv., 2006, vol. 38, no. 1, pp. 1-51. https://doi.org/10.1145/1132952.1132953.
4. Deng Y., Guo M., Ramos A.F., Huang X., Xu Z., Liu W. Optimal low-latency network topologies for cluster performance enhancement. J. Supercomput., 2020, vol. 76, no. 12, pp. 9558-9584. https://doi.org/10.1007/s11227-020-03216-y.
5. Huang X., F. Ramos A., Deng Y. Optimal circulant graphs as low-latency network topologies. J. Supercomput., 2022, vol. 78, no. 11, pp. 13491-13510. https://doi.org/10.1007/s11227-022-04396-5.
6. Belov A.V., Los A.B., Rozhkov M.I. Some classes of the MDS matrices over a finite field. Lobachevskii J. Math., 2017, vol. 38, no. 5, pp. 880-883. https://doi.org/10.1134/S1995080217050067.
7. Monakhova E.A. A survey on undirected circulant graphs. Discrete Math., Algorithms Appl., 2012, vol. 4, no. 1, art. 1250002. https://doi.org/10.1142/S1793830912500024.
8. Abrosimov M.B., Los I.V., Kostin S.V. Primitive homogeneous graphs with exponent 2 and number of vertices up to 16. Izv. Sarat. Univ. Nov. Ser. Mat. Mekh. Inf., 2021, vol. 21, no. 2, pp. 238-245. (In Russian)
9. El-Mesady A., Hamed Y.S., Shabana H. On the decomposition of circulant graphs using algorithmic approaches. Alexandria Eng. J., 2022, vol. 61, no. 10, pp. 8263-8275. https://doi.org/10.1016/j.aej.2022.01.049.
10. Romanov A., Myachin N., Sukhov A. Fault-tolerant routing in networks-on-chip using self-organizing routing algorithms. IECON 2021 - 47th Annu. Conf. of the IEEE Industrial Electronics Society. IEEE, 2021, pp. 1-6. https://doi.org/10.1109/IEC0N48115.2021.9589829.
11. Monakhova E.A., Monakhov O.G., Romanov A.Y. Routing algorithms in optimal degree four circulant networks based on relative addressing: Comparative analysis for networks-on-chip. IEEE Trans. Network Sci. Eng., 2022, vol. 10, no. 1, pp. 413-425. https://doi.org/10.1109/TNSE.2022.3211985.
12. Sukhov A.M., Romanov A.Y. Serendipity: When research in one area leads to a positive result in another. URL: https://cacm.acm.org/blogs/blog-cacm/270457-serendipity-when-research-in-one-area-leads-to-a-positive-result-in-another/fulltext.
13. Das S., Karfa C., Biswas S. Formal modeling of network-on-chip using CFSM and its application in detecting deadlock. IEEE Trans. Very Large Scale Integr. (VLSI) Syst., 2020, vol. 28, no. 4, pp. 1016-1029. https://doi.org/10.1109/TVLSI.2019.2959618.
14. Montanana J.M., de Andres D., Tirado F. Fault tolerance on NoCs. 2013 27th Int. Conf. on Advanced Information Networking and Applications Workshops, IEEE, 2013, pp. 138143. https://doi.org/10.1109/WAINA.2013.221.
15. Gabis A.B., Koudil M. NoC routing protocols - objective-based classification. J. Syst. Archit., 2016, vols. 66-67, pp. 14-32. https://doi.org/10.1016/j.sysarc.2016.04.011.
16. Radetzki M., Feng Ch., Zhao X., Jantsch A. Methods for fault tolerance in networks-on-chip. ACM Comput. Surv., 2013, vol. 46, no. 1, pp. 1-38. https://doi.org/10.1145/2522968.2522976.
17. Nadeem M.F., Imran M., Afzal Siddiqui H.M., Azeem M. Fault tolerance designs of interconnection networks. Peer-to-Peer Networking Appl., 2023, vol. 16, no. 2, pp. 11251134. https://doi.org/10.1007/s12083-023-01462-4.
18. Demin A., Shakhov O., Sukhov A. Coaxing performance from the complexity of HPC. URL: https://cacm.acm.org/blogs/blog-cacm/275134-coaxing-performance-from-the-complexity-of-hpc/fulltext.
19. Jerger N.D.E., Krishna T., Peh L.-S. On-Chip Networks. Ser.: Synthesis Lectures on Computer Architecture. Martonosi M. (Ed.). Morgan & Claypool, 2017. 190 p. https://doi.org/10.2200/S00772ED1V01Y201704CAC040.
20. Dai Y., Zhang Y. Adaptive digital twin for vehicular edge computing and networks. J. Commun. Inf. Networks, 2022, vol. 7, no. 1, pp. 48-59. https://doi.org/10.23919/JCIN.2022.9745481.
Для цитирования: Сухов А.М., Романов А.Ю., Глушак Е.В. Маршрутизация / в циркулянтных графах на основе виртуальной координатной системы // Учен. \ зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, кн. 3. С. 282-293. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.282-293.
For citation: Sukhov A.M., Romanov A.Y., Glushak E.V. Routing in circulant / graphs based on a virtual coordinate system. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universi-\ teta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 3, pp. 282-293. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.282-293. (In Russian)
