Марковская модель беспроводного канала с механизмом arq/fec Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КОМПЛЕКСЫ И СИСТЕМЫ

УДК 693.548

Марковская модель беспроводного канала с механизмом ARQ/FEC

В.Ю. Фоминский, д.т.н., профессор Российского государственного университета туризма и сервиса

(РГУТиС) г. Москва e-mail: fmlprod@mail.ru

А.В. Арсеньев, аспирант РГУТиСа, e-mail: a.arseniev@mrsnet.ru

Рассмотрены математическая и имитационная модель поведения потерь в каналах связи систем беспроводного доступа, использующих механизм обратной связи ARQ/FEC, на базе аппарата марковских цепей с непрерывным временем; получены аналитические результаты, позволяющие оценить частоту отбрасывания пакета при достижении допустимого предела количества повторных передач.

Mathematic and imitating models of losses behavior in wireless access channels using ARQ/FEC mechanism based on markovian continuous time chains are shown; analytic results for estimating of rate of rejecting of a packet in case of achievement of maximum number of retransmitting are obtained.

Ключевые слова: марковская цепь, сети с пакетной коммутацией, ARQ протоколы, механизм повторной передачи. Key words: markovian chain, packet switching networks, ARQ protocols, automatic repeat request mechanism.

Постановка задачи

Распространение разнообразных сетей беспроводного доступа, включая беспроводные сети LAN и сети с пакетной коммутацией, стимулирует интерес к оценке потерь в беспроводных каналах [1]. Оценка поведения потерь во времени является существенной проблемой, так как это один из важнейших параметров, влияющий на все уровни сети.

Из-за большого числа протоколов на различных сетевых уровнях часто невозможно получить аналитические оценки. В этом случае для получения информации о поведении системы применяют имитационное моделирование, для чего целесообразно создать модели поведения беспроводного канала и использовать их с целью сравнения используемых протоколов и алгоритмов.

Целью работы является создание реалистичной математической и имитационной модели поведения потерь в каналах связи на базе аппарата марковских цепей с непрерывным временем для систем беспроводного доступа, использующего механизм обратной связи ARQ/FEC.

Структура системы беспроводного доступа

Протокол автоматического повтора запроса (ARQ) применяется для обеспечения надежности передачи данных в беспроводных коммуникациях. В этом протоколе передатчик посылает пакет, содержащий биты полезной информации и код обнаружения ошибок. Приемник проверяет четность пакетов, декодируя код обнаружения ошибок. В зависимости от выхода декодера, положительное подтверждение (ACK) или отрицательное подтверждение (NACK) отсылается обратно передатчику. Передатчик повторно передает пакеты до тех пор, пока не получит сообщение об отрицательном подтверждении.

В общем случае известны как минимум три разновидности ARQ протоколов: «остановиться и ждать» (SW), «вернуться обратно к N» (GBN) и «выборочный повтор» (SR). В SW ARQ передатчик должен принять АСК пакета перед передачей следующего пакета. Данная схема сохраняет порядок пакетов, однако это приводит к низкому использованию канала, если задержка обратной связи велика.

В GNB ARQ пакеты передаются непрерывно без ожидания подтверждений (положительного или отрицательного). Если получено подтверждение NACK, передатчик повторно передает отрицательно подтвержденные пакеты и все следующие пакеты независимо от их подтверждений. В SR ARQ пакеты передаются непрерывно, как и в GNB ARQ, но только отрицательно подтвержденные пакеты передаются повторно. Из перечисленных трех схем SR ARQ обладает наибольшей пропускной способностью.

Рассмотрим протокол беспроводной связи SR ARQ, обеспечивающий последовательную доставку пакетов и использующийся для контроля ошибок. В этом протоколе передатчик назначает каждому пакету уникальный идентификатор (рис. 1). Копия каждого переданного пакета временно хра-

нится в «буфере ожидания» до тех пор, пока АСК этого пакета не будет получено. Если получено NACK, то инициализируется повторная передача ошибочного пакета. Как только получено АСК, пакет удаляется из буфера ожидания и передается новый пакет. Хотя передатчик посылает пакеты по порядку, у приемника пакеты могут идти не по порядку, благодаря случайному нахождению ошибок передачи пакетов. Таким образом, безошибочно принятые пакеты с высшими идентификаторами должны ждать в буфере (буфер повторного упорядочивания) до тех пор, пока пакеты с низшими идентификаторами будут безошибочно приняты.

Все компоненты задержек, которым подвергается пакет, когда передается через беспроводной канал, отображены на рис. 2.

Буфер

Прибытие пакета Попытка первой передачи

Отправитель 1 Г , Время

,-, „ Удаление пакета Пакет принятый из буфера повторного успешно упорядочивания

Получатель 1 ' 1 Время

Задержка постановки в очередь Задержка передачи

Транспортная задержка Задержка повторного упорядочивания

Сквозная задержка

Рис. 2. Временная диаграмма процесса пакетной передачи

Рис. 1. Пакетная передача в радиоканале с последовательной доставкой

Общая задержка содержит транспортную задержку и задержку повторного упорядочивания. Транспортная задержка подразделяется на задержку организации очереди и задержку передачи. Задержка организации очереди - это промежуток между временем прибытия пакета на узел передачи и первой попыткой его передачи. Задержка передачи определена как время от первой передачи пакета до успешного достижения им приемника (т. е. она включает в себя все задержки повторной передачи). Задержка повторного упорядочивания определена как время ожидания пакета в буфере повторного упорядочивания.

При дальнейшем рассмотрении ограничим число повторных передач пакетов величиной Ni. Когда этот предел будет достигнут, пакеты будут отбрасываться в приемнике, независимо от статуса ошибок. Будем характеризовать процентное отношение отброшенных пакетов, из-за наложенного ограничения повторных передач, как частоту отбрасывания пакетов (от англ. packet discard rate, PDR). В дальнейшем задержка и частота отбрасывания пакетов рассматриваются как функции источника, канала и параметров контроля ошибок.

Задержки организации очереди и передачи

Рассмотрим модель очереди, которую можно использовать для анализа задержек беспроводного канала. В этой модели поступающий в передатчик трафик представляется динамическим on/off-процессом с пиковой скоростью r. Периоды on и off экспоненциально распределены со значениями На и 1/в соответственно.

Беспроводной канал будем описывать моделью с двумя состояниями: «Плохо» и «Хорошо» (рис. 3) с соответствующей вероятностью ошибки на бит Peg и Pe,b.

Частота битовых ошибок во время плохого и хорошего состояния задается вероятностями Peg и Pe,b соответственно, где Peg << Pe,b. Длительности хорошего и плохого состояний распределены экспоненциально со значениями 1/З и Ну соответственно.

Способность алгоритмов прямого исправления ошибок (FEC) в гибридном механизме ARQ/FEC характеризуется параметрами n, k и и, где n - число бит в блоке кода, k - число информационных

бит в блоке кода, и - максимальное число исправимых бит в блоке кода. Здесь блок соответствует пакету канального уровня фиксированного размера, а п зависит от к и от и. Глубина кодирования БЕС определяется как е = к / п. Обусловливаясь состоянием канала, можно заметить, что ошибки бит независимы. Таким образом, если канал был в хорошем состоянии во время передачи пакетов, тогда вероятность того, что этот пакет содержит неисправимую ошибку, задается как

Pcg =

n

Л

;=v+iv J.

PL (1 " Pe,g YJ

(1)

Аналогичное выражение применяется для оценки вероятность неисправимых пакетных ошибок во время плохого состояния канала Рс,ь, но с заменой Ре,ь на Ре>Ё.

Модель обслуживания в основных системах с очередями может быть аппроксимирована посредством динамического процесса с двумя состояниями, где каждое состояние ассоциируется со скоростью обслуживания, которая соответствует состоянию канала [1]. Здесь продолжительность обслуживания пакета соответствует общему количеству времени, необходимому для удачного освобождения информационных пакетов адресата, т.е. включая все задержки повторных передач плюс дополнительное время, необходимое для отправления битов четности БЕС.

Рис. 3. Модель беспроводного канала связи: а б - состояния канала

граф состояния канала;

n

Можно заметить, что сообщения обратного канала прибывают обратно в передатчик до начала следующего интервала передачи отдельного мобильного хоста.

Можно видеть, что отправление пакетов соответствует динамическому процессу, чья интенсивность обслуживания модулирована состоянием канала (см. рис. 2). Эта аппроксимация предполагает две детерминированные скорости обслуживания: cg во время хорошего состояния и cb во время плохого состояния. Упрощенная модель не совсем подробно охватывает некоторые аспекты беспроводных коммуникаций (например, перемежение), поэтому на сетевом уровне процесс передачи пакетов в достаточной мере аппроксимируется двоичным процессом (удачный/неудачный).

Считается, что обратное сообщение (feedback message) приходит от приемника обратно в передатчик до следующего слота передачи. Более того, передатчик пытается повторно передавать пакет до тех пор, пока он не будет удачно принят (т.е. число ошибочных бит меньше чем т ). В этом случае общее время, необходимое для успешной передачи пакета, описывается условным геометрическим распределением и скорости cg и cb соответствуют средним значениям геометрического распределения с параметрами 1 - Pcg и 1 - Pc,b:

С,. = се(т)(1 - Pcl ), i e{g,b}, где с - пропускная способность соединения.

Фактор е(т) приведен для заголовка FEC, который понижает эффективную интенсивность обслуживания, наблюдаемую на выходе сетевого буфера. Можно видеть, что проблемы определения эффективной пропускной способности беспроводного канала сводятся к оценке интенсивности обслуживания с, которая удовлетворяет требованиям частоты потери пакетов.

Увеличение длины очереди в описанной модели обусловлено четырьмя состояниями марковской цепи в непрерывном времени с пространством состояний S = {(0,g),(0,6),(1,g),(1,6)}, где 0 и 1 означают состояния on и off источника трафика; g и b означают хорошее и плохое состояние канала. Рис. 4 изображает диаграмму перехода состояний марковской цепи.

Пусть jis (х) является суммарной функцией распределения (ФР) длины очереди, когда система находится в установившемся состоянии s, s е S, и пусть П(х)А[^ (х) тт0ь (х) кх& (х) яу,(х)].

Рис. 4. Диаграмма перехода состояний

В результате содержимое буфера описывается следующим дифференциальным выражением:

dn( x)

dx

D = П( x)M >

(2)

где БМа§[-с§, -сь,г - с%, г - сь]; п(х)АР - содержимое буфера < х и система состояний 5; М — генераторная матрица основной марковской цепи:

M =

■(fi+S)

у

а 0

S

■(fi + Y) 0

fi

0

-(а + fi) У

0

fi

S

- (а + Г)

(3)

Следуя динамическому подходу (например [2]), имеем:

П(х)= ^ а, exp(z ,хф )

где а, — постоянные коэффициенты; пара (х^, ц I), I = 1, 2... состоит из характеристических числел 2 и собственных векторов ф, матрицы МБ-1.

При моделировании марковский процесс с четырьмя состояниями разбивается на два процесса. Один описывает on/off-источник, а другой — состояние канала. Эти два процесса характеризуются параметрами двух генераторных матриц М1 и М2:

Mi =

-fi fi

а -а

M 2 =

-S S У -у

(4)

При этом М = М1 ® I +1 ® М2 , где ® — оператор Кронекера.

После получения собственных значений, собственных векторов и коэффициентов может быть получено распределение стационарного буфера П(х).

а

В результате частота отбрасывания пакетов из-за переполнения буфера задается как

G(x) = 1 -П(х) x 1, (5)

где 1 - вектор-столбец из единиц.

Пусть oA[®0g ®ob ®lg wvb ] является вектором стационарной вероятности марковской цепи. Можно показать, что ю удовлетворяет уравнениям w*M=0 и ю*1=1. В результате

ш=7-1-г far aS By BS\

Частота отбрасывания пакета.

Как показано на рис. 1, пакет отбрасывается в приемнике, когда достигается предел некоторого числа повторных передач Ni. Такой предел определяется сроком передачи пакета. Пусть p(n | i) означает вероятность отказа передачи n последовательных пакетов при условии, что канал был в состоянии i во время первой попытки передачи, i e{g,b}. Наблюдая рекурсивную структуру между последовательными передачами, можно получить следующие отношения:

p(n |g)= p(n - 1 | g)Pg,g(i )Pc,g + + p(n -1 | b)Pg,b(?)Pc,g, (6)

p(n | b) = p(n - 1 | g)Pb,g(f)Pc,b +, + p(n -1 | b)Pb,b(i )Pc,b , (7)

где P j (t), i, J e {g, b} - вероятность того, что состояние канала изменится от i к J в пределах времени t (число t соответствует оборотному времени передачи пакетов).

Правая часть уравнения (6) описывает неудачную передачу во время «хорошего» состояния канала из-за n - 1 последовательных неудачных передач, первая из которых происходит, пока канал находится в состоянии i, для i e {g, b}. Второе выражение может быть объяснено тем, что первая неудачная передача происходит во время «плохого» состояния.

Переводя предыдущие выражения в матричную форму, получим следующее уравнение:

p(n | g) p(n |b)

Pg,g (t )Pc,g Pg,b(' )Pc,g

PbJ )Pb Pb,btf ) Pc,b

p(n - 1|g) p(n -11 b)

(8)

с начальными условиями

p(1|g) p(1|b)

P

c,g

P

c,b

Вероятности Рс,в иРс,ь были определены в (1). Решая (8) рекурсивно, получаем вероятность отбрасывания пакетов рА :

" Рв,(' ) Рс,в Рьь(? ) Рс,в )Рс,Ь РЪ,ь(* ) Рс,Ь

pd = К ®b

Ni-1 Гp 1

_Pc,b _

(9)

где 0 и 0Ь - установившиеся значения вероятностей того, что канал находится в хорошем и плохом состояниях соответственно.

Заметим, что 0 отличается от 0 . В частности, 0 [ соответствует той части очереди трафика,

который истекает, когда канал находится в состоянии /. Так как буфер опустошается непрерывно до тех пор, пока очередь не будет пустой, 0 i эквивалентно вероятности того, что очередь выбирает отношение между скоростью обслуживания в состоянии I и производительностью, т. е. с

0е = -^(0) + 0 -*и(0)), (10)

с

0ь = у (00,ь - ^0,ь (0) + 01,ь - Щ,ь (0)) . (11)

Для вероятностей Р,у (/),/,у е Ь\ они могут

быть получены, используя уравнения Колмогорова [3]. Таким образом, имеем:

у S

Pg,g(t) = ^ +

<S+r)t

S + у S + у

Pb,b(t) = e-(S+r)t,

(12)

8 + у 8 + у

Р*,ь(0 = 1 - ) ) = 1 - Рь,ьС).

Подставляя выражения (11) и (12) в (9), получим аналитическое выражение для вероятности отбрасывания пакетов рл :

Р, =0Ъ Рс,в («0 + «1 (?„(' )Рс,в + Рв.ь(?)Рс,Ь )) +

+ 0ь Рс,Ь («0 (1 + Рь,в (' )Рс,в ) + «1 Рь,ь (') Рс,ь ), (13)

v2 (Л-2 -Лi-2). -1 -Л-1

где a0 = . ; .

Л - Л2 Л - Л2 Л 2 - характеристические числа квадратной матрицы в (8):

P„(>)P,, + Pbbt)P,b ± I f(P )p +

1,2 2 2L g,g °,g

+ Pb,b (t )Pc,b )2 + 4(1 - Pg,g (t) - Pb,b (t))Pc,g Pc,b ]1/2.

Таким образом, используя матрицы интенсивно-стей (4), можно осуществить имитационное моделирование беспроводных каналов доступа.

Отличительной особенностью предложенной гибридной марковской модели с непрерывным временем можно считать то, что она объединяет как характеристики непосредственно канала связи (параметры 1/д и Иу), так и характеристики передаваемого трафика (параметры На и 11р).

Полученные аналитические результаты позволяют оценить частоту отбрасывания пакета при достижении допустимого предела повторных передач N.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арсеньев М.В. Разработка марковской модели потока ошибок при воздействии помех импульсного типа на основе экспериментальных характеристик непрерывного канала связи // Электромагнитные волны и электронные системы, 2007, №9 , С. 37-45.

2. Шелухин О.И., Арсеньев М.В. Разработка марковской модели потока ошибок в информационных системах при воздействии помех импульсного типа // Электротехнические и информационные комплексы и системы, 2006, т.2, №1, С. 40-45.

3. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Моделирование информационных систем / Под ред. О.И. Ше-лухина. - М.: «САЙНС-ПРЕСС», 2005.

Поступила 12.02.2009 г.

ВНИМАНИЕ!

Издательство «Физматлит» предлагает вашему вниманию книгу «Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения»

Авторы: О.И. Шелухин, А.В. Осин, С.М. Смольский Под редакцией О.И. Шелухина

Рассмотрены самоподобные (фрактальные и мультифрактальные) модели телекоммуникационного трафика на основе предположения, что он обладает фрактальными или мультифрактальными свойствами (т.е. является самоподобным). Представлены теоретические аспекты наиболее известных моделей трафика, проявляющих самоподобные свойства, и приведен всесторонний анализ эффективности различных моделей для описания самоподобного трафика. Показаны способы использования самоподобных процессов для создания новых и оптимизации существующих телекоммуникационных систем. Приведены теоретические подходы и описание алгоритмов (на уровне структурных схем или вычислительных процедур) для моделирования самоподобных процессов.

Для аспирантов, преподавателей и исследователей, интересующихся сетями передачи данных и динамикой информационных процессов.

Заказать и приобрести книгу можно по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90.

Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК

«Наука/Интерпериодика»

Е-mail: fizmat@maik.ru; fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru