CC BY
24>>
*: > >>
#<b> J >j>
1
i >> k
>31 +H )>
*<b> ! >S> tete
¡ >i>i ] >j>
$4f j
^
< >>>
>
1 J >'vr
>i> i >j>
"Talqin va tadqiqotlar" Respublika ilmiy-uslubiy jurnali №7
MAPLE MATEMATIK PAKETIDA FUNKSIYALARNI TEYLOR QATORIGA YOYISHGA OID MISOLLARNI YECHISH
Jumagul Vohobjon qizi Mirzaahmedova
Andijon davlat universiteti tayanch doktoranti https://doi.org/10.5281/zenodo.6899733
Annotatsiya: Ushbu maqolada elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyishni matematik teoremalar, formulalar orqali hisoblash va Maple matematik paketida misollarni yechish bosqichlari haqida ma'lumotlar keltirilgan.
Kalit so'zlar: funksiya, Teylor, qator, series, matematik paketlar, Maple, darajali qator.
f(x) funksiyani birorta darajali qatorning yig'indisi ko'rinishida ifodalashga berilgan funksiyani qatorga yoyish deb ataladi. Faraz qilaylik, f (x) funksiya biror (- r, r) da istalgan tartibdagi hosilalarga ega bo'lsin [1].
1-teorema. Agar 3M > 0, Vx e (- r, r), Vn > 0 da
f(n )(x )< M
Bo'lsa, f (x) funksiya (- r, r) da Teylor qatoriga yoyiladi:
jW^ y
q
Mt<\')>
I>3*:
/w = £
/w(0) „ . /'(")_. . /"(»). . /(">(0) ,.„
n=0
n!
-x» = /( 0 +
2!
+ ••• + :
n!
x» + - • • ( 1 )
formulasi quyidagicha bo'ladi ( )
Bunda,
№) = /(0) + + * + • • • + + r»W,
(x) = f^x"+l . (0<*< 1).
(n +1)!
Teoremaning shartidan foydalanib topamiz:
Xx )=
f(n \0x)
_n+1
(n +1)!
x
.n+1
< M
(n +1)!
(x e (- r, r)).
Ravshanki,
rn+1
lim -T- = 0
n^» (n +1)!
Demak, Vx e (- r, r) da
62
Ma'lumki, f (x) funksiyaning Lagranj ko'rinishidagi qoldiq hadli Teylor
3 >> m >
i >>
V>^
iH >
s
3*1 >
3>3*
*3> ^ >
q
r
• J^W
Ы )>
PV
>>
#<ь>
i >3> i >j>
Я>
til Ы У] П IM
ЩУ
¡ >s#
>
! >>}:
I >
"Talqin va tadqiqotlar" Respublika ilmiy-uslubiy jurnali №7
lim rn (x) = 0
n—
Bo'lib, undan qaralayotgan f (x) funksiyaning Teylor qatoriga yoyilishi kelib chiqadi [2].
Matematik hisoblashlarni, sodda va murakkab amallarni bajarishga, kompyuter modelini tuzishga mo'ljallangan dasturlash paketlari va muhitlari mavjud bo'lib, ularni har birining imkoniyatlari alohida o'rin tutadi. Matematik paketlar sarasiga kiruvchi Maple 12 dasturida funksiyalarni hisoblash jarayonini ko'rib chiqamiz. Dastlab dasturni ishga tushiramiz, "File" menyusi^"Save as" bo'limini tanlaymiz ^hosil bo'lgan oynadan faylga nom berib saqlab olamiz [3].
I! Maple 12 - Untitled (1) - [Server 1]
File Edit View Insert Format Table Drawing Plot Spreadsheet Tools Window Help
] Я*-
D ¡3 I
i IwJj4!.
L.
1 J> >}>
3*4 1
Щ »
ш
j
Ы) >>
* >
- J>>>
! >>
) Л "3 4 >
Ы >
> >p
й " гйт
► Favorites
► Handwriting
TFyprpqqinn
,b
J/*
fdx
Х/П/
i = к i = k
dx J dx J
lim f a + b
x —► 0?
a — b a-b a
a
a
n
at ^ a J~a
a! \a\ é' 1п(а) bg10(a)
l>Jg¿ (a) sin(a) cos(a) tan (a) (J'j
<* T [> ш ш * ! o í» & о-
Text ^^^^ Drawing Plot Animation С ZD Math ^J ^Times Hew Roman
Save in
I Рабочий стол
té
Документы
Ц
Этот
компьютер #
Сеть
Mirzaahmedova Jumagul 2022 l-chorak hisobot
Mirzaahmedova Jumagul. 05.01.07
yakuniy baxolar
Электронные учебные пособия
@ MinGW Installer
О Telegram
■I Total Commander 64 bit
© UltralSO
Zoom
File name: Teylor qatoriga yoyish| Save
Files of type: Maple Worksheet (,mw) | Cancel
1-rasm. Maple 12 matematik paketini ishchi oynasi.
i - J* Ы >
M J ^
sIH > J 34
i
<Щ >
Ш i>
i m. >
л
Ы:> >
ш >
>
>
1
1-misol. Vx sodda funksiyani Teylor qatoriga yoyish bosqichini amalga oshiramiz. Barcha matematik ifodalar ishchi oynaning o'ng tomonidagi uskunalar paneli orqali kiritib olinadi. Maple dasturida V ushbu funksiyamiz s qrt(x) ko'rinishda yoziladi [5].
i»
Щ >
^Vi
VPT
St
Qj^f^S). .—
63
j i ■ f> M
J N-l
sqrt(x) yozilib Enter tugmasi bosiladi, keyingi qatorda V* hosil bo'ladi, ushbu funksiya ustiga sichqonchani olib borib o'ng tomonini bir martta chertamiz, hosil bo'lgan yordamchi oynadan Series ^ Series ^ x bo'limini tanlaymiz [3].
*<b> >*
'Maple 1Z - C:\UsersVumagul\Desktop\leylor qatoriga yoyish.mw - [Server 1]
File Edit View Insert Fonnet Table CWing Plot Spieadsl.ee> Tools Window Help xitbsc Tt> 55 *•* ar/o*e <r B<n«k P ► Enpression_g л Tij n...,,. »
¡Tr) ВЩЦ E|I aa I
« I n I d il U > > >
г < < < i
\ 0 3 V -A V * =» С R N с г n
► Main*
► Comparants
Cut Ctrl+X
Copy Cirl+C
У Copy full precision
Paste Ctrl+V
Numeric Formatting... Explore
Apply a Command Approximate >
Assign to a Name Differentiate Evaluate at a Point
Integrate
Sequence >
^AlTOWS
» Relational
► Reiaticral Rcmd
► Lar ga Operators
Simplify
Complex Maps
Constructions
Conversions
Integer Functions
Integral Transforms
Language Conversions
Optimization
Plots
Units
Asymptotic series ? Formal Power Series
P Введите здесь текст для поиска
о pi в ? # ■! Е »
2-rasm. Berilgan funsiyani qatorga bo'lish bo'limlari
К Series
Series expansion point: 3 Series order: Truncate to polynomial:
D
П
OK
Cancel
3-rasm. Qator parametrlarini kiritish oynasi.
Series expansion point ^ qator kengayish nuqtasi=50 Series order ^ qator tartibi=5
Katachalarga kerakli qiymatlar kiritilib Ok tugmasi bosiladi.
fie Idit View insert Format I able Jjraviing Plot Spreadsheet tools Window Help
ùi3Bd»S Xii© < TP >3 2 iio*i cr gjaqsi г 0®
»□"ртают Л rot "И nm| PUf talmjllw / u E[§3 ВЬй :=s=
,«Jlib(5i) С I(Wt » Trrte Ittw iflwn ▼ U »
sqrt(x)
С ■ynhri
I ' = i 1 I (1)
» ï п ; d dUi>> !<i(£ senesins
-50'3- mU ^I'-Ml^ _ooo ^(-»rVoij^od
« = = ф
sïtiÎE
\ 0 3 У -
Л V li » С
4-rasm. V" funsiyani qatorga bo'lingan natijasi.
2-misol. Ushbu funksiyani Teylor qatoriga yoyishni ko'rib chiqamiz.
-^¡fV-TiT }»--^SfV-^ï f.—
64
>
А Л^M.'
II
J1
I >
q >>
м>4 >
? J-
шъ
Щ >
q > >
wi >
л ) J
Ы:>
и*-
q
Ш >
Ш >
q
wi > Ш >
m >
i> * q
Ц >p
Ъ}> q > >
q q
. J^-jw
¡# I >>
>> >>
Я*
J ¡>p
> >
s ~ï J N t
>3»
Ы >
til' ЩУ
Ы )> Ы*
ы>
! >5>
Ы )>
+И >
Щ
Ш>
J:
>
эй*
1 J >'vr
Я>
Ы > i >j>
* - i>
f (x ) = ln
1 + x
j1
1 - x
ma'lumki,
ln = ln (l + x) - ln (l - x)
1 - x
bo'ladi. Biz yuqorida
2 Э
ln (l + x )= x---1--
V ' 2 Э
Ы >
йЩ-11>
M
.+(-1)
1 xn n
+
i л \ x x x ln (1 - x)= - x-----...--
x
2 Э
n
Bo'lishini ko'гgan edik. Bu munosabatlaгdan foydalanib topamiz:
x2 x3
ln (l + x) - ln (l - x) = x--+--... + (-l)
Ы >
ц
q > >
,n-1 x
n
+...
x
x
- i - ■
2 Э
x n
= 2 x +
2 x3 2 x5 -+ —
+... +
2 x
2n-1
2n -1
+
Demak,
lni±x = 2
1 - x
{
S
5
2n-1
v
x x x
x + — + — +... +-
S 5 2n -1
+..
(2)
(10) darajali qatoming yaqinlashish гadiusi r = 1 bo'lib, yaqinlashish to'plamsi (-1,1) bo'ladi.
в i и e|J ьа
►Favorites I
►hßricKvritirg
1'* /<ь a
bïïf =
<1,0,
— f— f ix 1 0Г J i
lim fci+b x — ç
ЩЪ
Ч >;*
ш >
ы >
Ц )>р: 2
«и)
series in x
кш
J1(w)-ICSK1TT^IJJC+ 9999
(х- 100) -
1000200002 з__50020000600
499750049995000249995 ' 2998200449940004499820003
—— (¡r- lOO)2--60002 Lr-IOO)3--2000200-(.ï- 100]4
'980001 ' 2999100089997 1 ' 9996000599960001
J0000600 f. , ,i|
m>
m >
5-rasm. Natija
Щ >
3-misol. Ushbu
rt \ x sin t 7 f (x )=J-dt
0 t
funksiya Teyloг qatoгiga yoyilsin. ma'lumki,
■ P
>
Ц >p
-^fV-iir f---^SfV-^ï f.—
es
Ы >
I > >
q q
*4>
S
5
,3 ,5 ,2я-1
t t / t
sin t = t--+--... + (- 1)n 17-r
3! 5! 7 (2n -1)!
Unda sin t
+...
t
f2 A = 1 - - + - - ...+ (- l)"-1
-1 t
2n-2
+
3! 5!
(2n -1)!
+...
bo'ladi. Bu darajali qatorni hadlab integrallab topamiz:
Î ^ d' = Î Î1 -
0 t 0 V
Л Л Лп-2 \
- + - - ... + (- tfV-ч
3! 5! 7 (2n -1)!
+ .
dt =
j
x x x---+ ■
3!-3 5!-5
... + (-1)
n-1
x
2n-1
(2n - 1)!-(2n -1)
+...
Keyingi darajali qatorning yaqinlashish radiusi r = bo'ladi.
file £dit View Jnsert Format Table Drawing plot Spreadsheet Iools Window Jjelp
û JQatâ t»<? TI»
Ш ! О Pa о' a
►Favorites
►•Handwriting
In f/dt
'a
1/Ih
i= к î= к
dx ^ â* .1m J a+b
at lal e"
с »ид« —.I——. в j y а йа !" !E
/Sit*)
/я< 1001 +-¡L
+ COS(100) + 4Ô&T shtlOC0 ' 100)Д +/ ( 150000000000 10°' + Ш) ) " ~ ^
f 2495003 __!M8500î_ Л « С__12462544991 __^6429_
J { 180000000000 18000000000000 J ' J \ 6300000000000000 3000000000000
- 100)7 + o( (jr - 100)s)
356429 ,,„„,1,
oooooooooo a,s|IO0)J
6-rasm. Natija.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т.1. М. Наука, 1985
2. Привалов И.И. Введение в теории функций комплексного переменного М., "Наука" 1977..
3. Садуллаев А., Худойберганов Г., Мансуров Х.., Ворисов А., Туйчиев Т. Математитк анализ курсидан мисол ва масалалар туплами (комплекс анализ) 3 кисм. "Узбекистан" 2000 й.
4. Волковский Л.И., Лунц Г.А., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М., "Наука" 1975.
5. Eshtemirov S., Aminov I.B., Nomozov F. Maple muhitida ishlash asoslari. Uslubiy qo'llanma. -SamDU, Samarqand, 2009 y.
66
hm*
i-, ж
у
q )>4*
M>
? J-
m >
d ж**
m
q > > >
л ) J
Ы >
Ы >
Ы ;>
ш > щ>
ж**
Ч
Р\>
V î>
q
Ы >
q q
