Малые стабилизирующие возмущения вырождающегося линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянным ограниченным операторным коэффициентом и постоянным свободным членом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917

МАЛЫЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМ ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ И ПОСТОЯННЫМ СВОБОДНЫМ ЧЛЕНОМ

© B.H. <t>o\nm

Fomin V.I. Small stabilising perturbations of the degenerate linear differential equation of the first order with constant bounded operator coefficient and a constant free term. The application of the degenerate differential equation of the first order to the Banach space is analysed.

Известно [I], что некоторые явления из различных областей естествознания описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром с > 0 при производной, переходящими при обращении параметра в нуль в вырождающиеся дифференциальные уравнения того же порядка, что и исходные уравнения. В связи с этим актуальна задача об исследовании поведения решения возмущенного (е > 0) уравнения при стремлении малого параметра к нулю, в частности, об условиях, обеспечивающих сходимость решения возмущенного уравнения при е—>0 к решению предельного (с = 0) уравнения.

Рассматривается задача

+ е)ахе(0 = Ахс(0 + /,()< / <оо, (1) хг(0) = х(,0, (2)

где хс (I) - искомая функция со значениями н банаховом пространстве Е; А е Е (Е) , где ЦЕ) ~ пространство ограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е; / - заданный элемент из Е; £ - малый положительный параметр, е е (0, е0] , где *:0 - некоторое достаточно малое фиксированное положительное число; а е Я, а > 0; л-Е 0 заданный элемент- из Е.

Наряду с уравнением (1) рассматривается соответствующее предельное(е = 0)уравнение

/ах'(0 = Лл-(Г) + /, 0</<ос. (3)

Уравнение (3) вырождается в точке / = 0. Уравнение (1) можно рассматривать как стабилизирующее возмущение уравнения (3) (возмущение вырождающегося уравнения называется стабилизирующим, если оно устраняет вырождаемость этого уравнения).

Выясняются условия, при которых задача (1), (2) разрешима и ее решение хе(1) сходится при е —> 0 к решению х(1) уравнения (3).

В дальнейшем используется следующее понятие.

Определение. Будем говорить, что семейство функций ге(Г), с. е (0,е0], сходится при г; -> 0 к функции г(Г) почти равномерно с порядком у > 0 по / на (О, оо):

п. р. (у.

zjt) z(t) , t e (0,со), (4)

£—>1.1

если для любого р > 0 существуют такие 6 = б (р) > 0, Л = Л(р) что Для любого 0 < e < Ô выполняется неравенство ; | zjt) - z(t) 11 < р для всех I e [r|s;ï, ос).

При у = 1 соотношение (4) - это известная почти равномерная сходимость [2, с. 347]:

п. р.

z (Г) > z(t) , t e (О,Ж). (5)

’ £ -» О

Замечание 1. При А - - 0 , а = 1 задача ( 1 ), (2) имеет решение

, I / + £

хЛ') = х,{, + ./ 1п------

' е

Решения уравнения (3) задаются формулой

x(t) = w + / ln t, w е Е (6)

(w - произвольный элемент из Е).

Для любого ч’ е Е решение (6) неограгшчено при t —> +0. При xE Ü --- f ln s решение задачи (1), (2) имеет вид

xK(t) = / ln(i + e) и

п. p.

xe(t) —x0(t) , t e (0,ж), (7)

с

гцсх0(1) fini - решение уравнения (3) (оно получается из (6) при w 0)

11оясним (7). В силу равенства

Ixe(t)-x0(t) II = Il/Il ln (1 + -)

для справедливости (7) достаточно показать, что п.р.

(8)

In(1Н---) _-^0,ГЄ(0,00).

t

Пусть р - сколь угодно малое фиксированное положительное число. Положим 8(р) = S , где 6 - произвольное фиксирова1Шое число, удовлетворяющее условию 0 < 8 < г.0 ; л(р) = (еР - 1У' ■ Тогда дая произвольного фиксированного 0 < £ < 8 и любого t е [tie, оо) выполняется

111(1 +-)< 111(1 + —) = 1п(1 + -) = 1пер = р.

t 1)S 11

Соотношение (7) показано.

Л

Заметим, что сходимость xe(f)—Е^0 > x0(t) не

является равномерной на (0, ос), ибо, в силу (8), при любом фиксированном е е (0, е0|

lim II лге (0 — лг0 (О II = °°-

(->+о

Замечание 2. При А = 0, а ' ■ 1 задача ( 1 ), (2) имеет решение

*є(0 = *є,0 +

1

а -1

1

1

..а-1

/■

в- (f + e)U

Решение уравнения (3) задается формулой

1 1 /• Z7

x(t) = w---------г/ weE-

а-l t

Поясним (10). Из равенства

\xe(t)-x0(t)\\ =

Ml

а-1

(t + єУ

видно, что для справедливости (10) достаточно показать, что

п.р.(—)

Фе(0” 7“т” (t+s)a~‘ є->°

-> 0, t є (U,oo).

Пусть р - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число. Положим 6(р) = 8, где б - произвольное фиксированное число, удовлетво-

1

ряющее условию 0 < 8 < s0; т|(Р) : В силу теоремы Лагранжа,

а-1

1

1

(i + e)“-1 г“'1

1

а-1

в. с є (t,t + в).

Тогда для произвольного фиксированного 0 • е *■ б

1

и любого t е [rit;“ ,ос) выполняется

ф£(0 = -

а-1 а-1 а-1 а-1

-к <--------------є <

а .а

Г) є

а -1

;Р-

Соотношение (10) показано.

Заметим, что сходимость х£(Г)—€_^0 > *о(0 не

является равномерной на (0, оо), ибо, в силу (11), при любом фиксированном б е (0, е0|

Для любого м> е Е решение (9) неограничено при ; ->■ +0. При

______1____!_ г

*е-°~ а-1 в“4 7

решение задачи (1), (2) имеет вид 1 1

а-1 (г +в)°

-/

п ./>.(-)

XE{t) —>X0(t),te( 0,ао),

(10)

lim || xe(t)-x0(t) ||= оо.

i-^+0

Замечание 3. При А = 0, 0 а 1 задача (1), (2) имеет решение

МО = М _е'

1-а

Решения уравнения (3) задаются формулой

х(1) = и.' +----Iх а/, н> е Е .

1-«

При любом м> е Е это решение доопределяется по непрерывности в нуле:

где x0(t)~-------- ----—— / - решение уравнения (3).

а -1 r“

dej

jc(0) = lim x(t) = w

¡-»-г и

Если X.

£.0 '

->м\ то

Л е м м а 1. Нели 0 £ а(Л), то уравнение (3) при а = 1 имеет решения вида

(0 —> х(0, ¿е[0,оо),

с->0

где символ —-—> означает равномерную по г сходимость.

Действительно, при любом \ е [0, со) справедлива оценка

1

I - а

фе(011/11 +

+-г1-^а||/|

1-а

ха) = -А'/+ еМп'Н', И'е Е.

(14)

В частности, при и1 - 0 уравнение (3) имеет ограниченное решение

(15)

Если ц > 0 , го при любом и * е Е решение (14) ограничено при /->+() и

1и11 Х(0 = -А~' !->.(> '

(16)

где фе(0 =(/+е) “ ~Г . Функция фе (!) при любом фиксированном е е (0, е0] убывает по л ибо

Фе (0 = (1 - а)

1

(/ + е)°

<0.

Поэтому

Фе(0 2фе(0) = Б1_а, ге[0.оо).

Тогда

1К(0-*(011^Н*ео -М,||+-^— в1-“ II /\\.

' 1 - а

откуда следует указанный предельный переход.

Пусть А &0, ц = 1шп {Не X | X е а (Я)},

V - тах{Ке Л. | X. е ст (А)}, где ст (А) - спектр оператора А. Из соотношения [3, с. 42]

1п ||е

А I

1ш1

?->» I

следует оценка

\\еАг \\<М,е^

О < / < ос.

;12)

где М2, у2 - некоторые постоянные; К12 0; у 2 = V + С,

где ^ - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число , в частности , будем считать в дальнейшем, что 1л - 0 в случае V • 0 и |а 0 в случае у 0 (это можно сделать за счет выбора 0. Аналогично, из соотношения [3, с. 44]

Пт

!—> ~ <х>

1п II е-

1

следует оценка

|| еА1 11< Аге^„ -оо </<(),

(13)

где М2, М-2 - некоторые постоянные; М, 0; ц2 М- + С где С, > 0, в частности, д2 > 0 при ц >0 , ц2 < 0 при ц < 0.

Доказательство. Тот факт, что (14) является решением уравнения (3), проверяется подстановкой (14) в

(3). ’

Если ц > 0, то при / < 1 получаем, в силу (13),

||*(г)-Ы-7)||<ЛГ2^21п' || и' ||=

-»о,

= Л',^

откуда следует (16).

Лемма 1 доказана.

Замечание 4. Если ц < 0, то среди решений (14) при м> ф О могут быть такие, которые неограниче-ны при / —> +0.

Действительно, например, в случае Е - Н‘ . А а/, где а - некоторое отрицательное число, уравнение (3): 1х = ах ~/, 0 < / со , имеет решение (14):

х(1) = / + Г£,н'. которое в случае и> ф О неограни-

а '

чено при I —> + 0.

Ограниченные при I —> +0 решения уравнения (3), получаемые в лемме 1 при = 0 или |1 > 0, можно доопределить по непрерывности в нуле:

с/е/

х(0) = Нт х(1) = -А~л [.

I -> 1 и ‘

Л е м м а 2. Если 0 ч о (А), то задача (1), (2) при а = 1 имеет решение

Л 1п( 1 н )

хе(0 = ~А / + е е (хе0+А /).

(17)

В частности, если хе$ = -Ато хс(1) = х0(1), О < / < ос , где х0(1) = -/Г1/- решение уравнения (3).

Утверждение леммы 2 проверяется подстановкой функции (17) в уравнение (1) и проверкой дня нее начального условия (2).

Т е о р е м а 1. Если 0 ё а(А\ то задача (1), (2) при а = 1 имеет решение (17); уравнение (3) при а 1 имеет решения вида (14), в частности, ограниченное решение (15). Если, кроме того, у < 0 и

1и11(б

к —>0

1) = 0.

(18)

где ст - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число, то

xe(t)..-е_>0 >х„(0- /є(0.оо).

(19)

Доказательство. В силу лемм I, 2 осталось показать (19). Пусть I £ (0, =о), г фиксировано. Возьмем в оценке (12) число С, таким, что

V2 = V + Ç < 0, ct-Ç>0. (20)

где ст - константа из условия ( 18). В силу (12),

II *£ (0 - *0 (О IN М2 О +-)Ч’2 ( II о II +

Е ' (21)

+м “У io-

(21) можно записать в виде ||^;(0-^o(OII^^/2U + e)V2ea4(e“v_0 ||хе0 ||) +

+JV^2 II A J II (t +£)Vi s ' 2 ■

(22)

Тогда для произвольного фиксированного 0 < е < 5 и любого / е [г|Е, со) выполняется, в силу условия У2 < 0 ,

(1 + -)'= <(1 + -^)V; = (1 + л)''2 =

В к

4е 4v,

р-

Предельный переход (24) доказан.

Замечание 5. Если v < 0, то среди решений ( 17) с хе о * А"1/ могут быть такие, ко торые при любом фиксированном / > 0 неограничены при к—>0.

Действительно, например, в случае Е = R1, А ^ al, где а - некоторое положительное число, задача (1), (2):

(! + е)хе = ахе + /, 0 < t < оо, хе (0) = х£(|!

имеет решение ( 17):

' ’ 1

хе(‘) = —/+ 1 + - I (хЕ

а І є.

-fl

В силу (18), (20), правая часть неравенства (22) стремится к нулю при е—>0, откуда следует (19). Теорема 1 доказана.

Характер сходимости в (19) можно уточнит!.. Например, если

|хе0||<А, є є (0,к*],

(23)

где К - некоторая положительная константа, в» - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число (в* < в0 ), то

п. р.

ХЛ0 —>*о(0. fe(0,oo).

£->(>

Действительно, в силу (21 ), (23),

(24)

II хЕ (/) - х0 (О II < М2 (A4 II А -1 / Il )(1 + -)V;.

8

Следовательно, для справедливости (24) достаточно показать, что

(1 + ~У2 -> 0, t є (0,ос).

В є—>0

Пусть р - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число, р < 1. Положим 8(р) = 5, где 8 - произвольное фиксированное число, удовлетворяющее условию 0 < 8 < с*;

-1 \ —

Л(Р) = | -

.Р.

которое в случае хЕ 0 *----/’ при любом фиксирован-

' а'

ном I 0 неограниченно при е->().

Л е м м а 3 Если 0 £ о(А), то уравнение (3) при

а > 1 имеет решение вида

х(Г) = -А / + ехр

А

_1_____1_

а - 1 ta'

w, w е Е. (25)

В частности, при w - 0 уравнение (3) имеет ограниченное решение

х0(О = -А (26)

Если |т > 0, то при любом w е Е решение (25) ограничено при и lim x(f) = -А~л f.

/->1-0 '

3 а м е ч а н и е 6. Если (I < 0, то среди решений (25) при н' ф 0 могут быть такие, которые неограничены при г-Ж).

Соответствующий пример приводится аналогично случаю а = \.

JI е м м а 4 Если 0 { а (А), то задача (I), (2) при а > I имеет решение

МО = -л-'/ +

+ ехр

А Г 1

(Х-1

. V

(Î + E)°

/у

(хе0+А-[/’). (27)

В частности, если хе 0 = -А ' /', то хе(1) ^ х0А),

0 </< оо, где х0(1) = -А'1/- решение уравнения (3).

Т е о р е м а 2 Если 0 <£ а (А), то задача (I), (2) при а > 1 имеет решение (27), уравнение (3) при и > I име-

ет решения вида (25); в частности, ограниченное решение (26). Если, кроме того, V < 0 и

1І111

Є —>0

ехр

v + а 1

= 0,

(28)

где ст - произвольное сколь угодно малое фиксированное положительное число, то

xs(t)~

>x0(t). te (0,со).

(29)

Доказательство. В силу лемм 3, 4 осталось показать (29). Пусть ! е (0, ас), ? фиксировано. Возьмем в оценке (12) число С таким, что выполняется (20), где ст - константа из условия (28). В силу (12),

II ХЕ (*)-х0 (0\\<М2е

+ Их.,-, II,

^‘711 +

(30)

ev 1 Vt(,)___^.0. / є (0,oo).

Пусть р - произвольное сколь угодно малое фикси-

1

рованное положительное число, р < —. Подберем

е

8 = 8(р) > 0 и т] = г|(р) > 0 так, чтобы при любом фиксированном 0 < е < 8 выполнялось неравенство

при всех Г Є [Т]Е, ос). Перепишем (26) в виде

- г >1п —. (Г + Є)“"1 р

а -1

(33)

где

Ч'ЛО =

а -1

(i + в)0

В силу условия у2 < 0, первое слагаемое в правой части (30) сходится к пулю при к—>0.

Покажем, что второе слагаемое тоже сходится к нулю при г,—М). Для этого достаточно доказать, что

ехр

1

Ч-.о

->0.

Имеем:

ИГ

>Ь І11

1

(34)

, а -1

где о =---------> 0, Оценим снизу левую часть (34) при

“ v 1 '

0 < є < 8 , t є [г|є, ос);

1-

.ot-l

д-1

(і + ч)"

Значит, для выполнения (34) достаточно подобрать 8 = 8(р) > 0 и г| = г|(р) > 0 так, чтобы

ехр

а -1 є“-'

ехр

v + ст 1

а -1

х ехр

ст-С 1

—>0,

в силу (20), (28). Показано, что правая часть в (30) сходится к нулю при с—>0. Следовательно, справедливо (29).

Теорема 2 доказана.

Как и в случае а = 1, характер сходимости в (29) можно уточнить. Например, при выполнении условия (23)

п.р

xe(t)_^x0(t).t е (О.оо).

S->0

Докажем (З I). В силу (23), (30),

|хЕ(г)-*0(011<М (АЧ Ц.4-7 II )ev^(,).

(31)

(32)

В силу (32), для справедливости (31) достаточно показать, что

1

о(Х-]

6

1

>6 In

1

мг.

Положим, например, Г| = I 21п-

(35)

1 (заметим,

что г| > 0, в силу условия р < — ). Тогда ' е

(1 + цГ

> 1-

1 1

2 In

1 2 2 Р

Следовательно, при выбранном г| для выполнения (35) достаточно, чтобы

1 1 , . 1

--------->61п—.

2 8аЧ

Р

то есть, за 8 достаточно взять любое положительное число, удовлетворяющее условию

8 <

2ЬІІ11

р у

Положим, например,

( . А ¿г

б =

1

2Ып'

ру

Для выполнения условия 8 < с- нужно дополнительно потребовать, чтобы

(

2 Ь 1п і

Р У

<в»

(36)

(здесь в* - константа из условия (23)). Итак, доя любого

сколь угодно малого фиксированного р > 0, р < —. удове

летворяющего условию (36), указаны такое 8 = 8(р) > О, 8 < в*, и такое г] = г|(р) > 0, что выполняется (33). Предельный переход (31) доказан.

Заме ч а н и е 6. Если V > 0, то среди решений

(27) с хе 0 =£ — А 1 / могут быть такие, которые при

любом фиксированном I > 0 неограничены при е—>0.

Соответствующий пример приводится аналогично случаю а = 1.

В случае 0 < а < 1 наблюдается следущая картина. Лемма 5. Если 0 ё <у(А), то уравнение (3) при 0 < а < 1 имеет решение вида

х(0 = -А / + ехр

А

1

>1’, н' є Е. (37)

В частности, при ут = 0 уравнение (3) имеет ограниченное решение

х0«) = -А~[/.

(38)

При любом и< е Е решение (37) ограничено при /—>+0:

Ит х(/) = -А"] [ + и1.

1-^0 '

Лем м а 6. Если 0 г стИ), то задача (I), (2) при 0 < а < 1 имеет решение хе(1)= -А~]/ +

+ ехр

1 - ос

(х^+А1/). (39)

В частности, если хе „ = —А /. то хс(0 = .хо(0,

0 < I < ос, где хп (Г) = -А 1 / - решение уравнения (3).

Т е о р е м а 3. Если 0 £ ст(А), то задача (1), (2) при 0 < а < 1 имеет решение (39); уравнение (3) при 0 < а < 1 имеет решение вида (37), в частности, ограниченное решение (36). Если

1ш1 хЕ() =н'-А~]/'.

хе(0—>х(0, Г є [0,ос).

Если, кроме того, у < 0, то

р■

х,,(0____^.х(Г), / є (0,оо).

£•^0

Данная работа обобщает ряд результатов из [4|. ЛИТЕРАТУРА

1. Нстфэ А.Х. Методы возмущении. М Мир, 1976 456 с.

2. Крейн ('.Г Линейные дифференциальные уравнения к банаховом пространстве. М.. Наука, 1967. 464 с

З Даяецкий Н).Л. Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве .М.'Наука, 1970 >36 с 4. Фомин В.И. Малые возмущения сингулярных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Автореф. дис канд физ.-мат наук / Воронеж: ВГУ, 1989 !5 с

Поступила в редакцию 12 мая 1999 г