Максимумы случайных признаков частиц в надкритических ветвящихся процессах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

3

Математика

УДК 519.21

МАКСИМУМЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРИЗНАКОВ ЧАСТИЦ В НАДКРИТИЧЕСКИХ

ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССАХ

А. В. Лебедев

Рассмотрим надкритический процесс Гальтона-Ватсона Zn, п > 0, Zo = 1, с производящей функцией числа непосредственных потомков / (в), удовлетворяющей условию

/ (0) = 0, / (в) <в, Ув е (0,1). (1)

Данное условие означает, что каждая частица имеет одного или более потомков (почти наверное), так что процесс не вырождается.

Сопоставим т-й частице п-го поколения случайную величину (признак) £т,п, т > 1, п > 0. Предполагается, что все эти величины независимы и одинаково распределены. Их общую функцию распределения обозначим через Е.

Нас интересует асимптотическое поведение максимумов

Мп = шах £тп

при п ^ж. Далее будет доказан ряд предельных теорем.

Подобная модель может описывать, например, растущую популяцию живых организмов, каждый из которых обладает некоторым случайным признаком, а интерес представляет максимальное значение этого признака в поколении.

Основные результаты были ранее представлены автором в [1]. Позднее автор обнаружил, что исследования по данной тематике были начаты в работах [2, 3]. Если в качестве случайного признака частицы берется число ее потомков, то получаем задачу о максимальном размере семейства [4]. В [5] изучались также процессы с двумя типами частиц. Некоторые итоги зарубежных исследований подведены в [6].

Теорема 1. Пусть для некоторых числовых последовательностей ап > 0, Ьп имеет место слабая сходимость

Р(Мп < апх + Ьп) ^ Ф(х), п ^ж, (2)

к некоторой невырожденной функции распределения Ф(х). Тогда Ф удовлетворяет функциональному уравнению

Ф(ах + Ь) = / (Ф(х)) (3)

для некоторых чисел а > 0, Ь.

Доказательство. Пусть выполнено условие (2), тогда

Р(Мп+1 < апх + Ьп) = МР(Мп+1 < апх + Ьп^) = = МР(Мп < апх + Ьп)21 = /(Р(Мп < апх + Ьп)) ^ /(Ф(х));

кроме того,

Р(Мп+1 < ап+1х + Ьп+1) ^ Ф(х), п ^ж.

Поскольку /(0) = 0, функция распределения /(Ф(х)) невырождена. Применяя теорему Хинчина [7, § 1.2], получаем, что для некоторых а > 0,Ь

—а, Ьп ~ Ьп+1 ->■ Ь, п^ оо; Ф(аж + Ъ) = /(Ф(ж)).

ап+1 ап+1

Теорема 2. Любая невырожденная функция распределения Ф, удовлетворяющая функциональному уравнению (3), является предельной в указанной схеме для подходящих / и Е.

4

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5

Доказательство. Положим Г = Ф. Введем последовательность

п—1

вп = Ь ^ ак, п > 1.

к=0

Для нее выполнено соотношение зп+\ = авп + Ь. Проверим по индукции, что для любого и

Р(Мп < и) = Ф(апи + вп). (4)

При п =1 имеем

Р(М1 < и) = МР(М1 < u\Z1) = / (Ф(и)) = Ф(аи + Ь). Аналогично, используя предположение индукции, получаем

Р(Мп+1 < и) = / (Р(Мп < и)) = /(Ф(апи + вп)) = Ф(а(апи + вп) + Ь) = Ф(ап+1и + вп+1).

Тем самым соотношение (4) доказано. Отсюда заключаем, что

Р(Мп < а,пх + Ьп) = Ф(х) для ап = а-п, Ьп = -вп,

т.е. предельное соотношение (2) заменяется точным равенством. Пример 1. Функция распределения

Ф(х) = ехр{—/-(-х+8™ х)/(2п)}

удовлетворяет (3) с а = 1, Ь = —2п при /(в) = в^, т.е. когда каждая частица имеет ровно / потомков, / > 2. Таким образом, если Г = Ф, то Р(Мп — 2пп < х) = Ф(х).

Пример 2. Пусть Г (к) = 1 — /-к, к > 0, и каждая частица имеет ровно / потомков, / > 2. Тогда

Р(Мп — п < к) ^ ехр{-/-к}, п ^то, к Е Z.

Пример 3. Пусть Г (к) = 1 — /-к, к > 0, и каждая частица имеет геометрически распределенное число потомков со средним / > 1, так что /(в) = в/(/ — (/ — 1)в). Тогда

Р(Мп -п ^к) —>■ ^ ^ _к, п —► оо, к Е Ъ.

В примерах 2 и 3 мы используем явное представление Р(Мп < и) = /(п)(Г(и)), где через /(п) обозначена п-кратная итерация функции /. Введем обозначения

а = т!{и : Ф(и) > 0}, ш = 8ир{и : Ф(и) < 1}.

Теорема 3. Для невырожденных распределений Ф7 удовлетворяющих уравнению (3), возможны только следующие варианты:

1) 0 < а < 1, а = Ь/(1 — а), ш = +то;

2) а = 1, Ь < 0, а = —то, ш = +то;

3) а > 1, а = —то, ш = Ь/(1 — а).

Доказательство. Функция / обратима на [0,1], обозначим обратную функцию через /-1. Из (3)

следует

Ф((х — Ь)/а) = /-1(Ф(х)). (5)

Если а > —то, то Ф(а — 0) = 0, и с учетом (1) из (3) получаем аа + Ь < а, а из (5) следует (а — Ь)/а < а, так что при а = 0 получаем а = Ь/(1 — а). Аналогично если ш < +то и а = 0, то ш = Ь/(1 — а). Заметим, что а = ш в силу невырожденности Ф.

Если х Е (а,ш), то из (1) и (3) следует ах + Ь < х, т.е. (1 — а)х > Ь. Пусть 0 < а < 1, тогда х > Ь/(1 — а), а значит, и а > Ь/(1 — а). Отсюда а = Ь/(1 — а), ш = +то. Пусть а > 1, тогда х < Ь/(1 — а), а значит, и ш < Ь/(1 — а). Отсюда а = —то, ш = Ь/(1 — а). Пусть а = 1, тогда Ь < 0. Пусть хо € (а,ш), тогда Ф(хо) € (0,1). Из (1), (3) и (5) получаем, что Ф(хо + 1Ь) Е (0,1) для любого I Е Z. Следовательно, а = —то, ш = +то.

Теорема 4. Решение Ф(ж) функционального уравнения (3) однозначно определяется его сужением на любой полуинтервал вида [c, (c — b)/a).

Доказательство. Обозначим ci = c, С2 = (c — b)/a. Формулы (3) и (5) позволяют продолжить Ф с [ci,C2) на любой полуинтервал вида [c—i,ci), где c—i = ac\ + b, l E Z. При этом Ф остается монотонной и непрерывной справа, а также верно, что Ф(^) ^ 0, l ^ — ж и Ф(^) ^ 1, l ^ +ж. Положим а = inf ci, и = sup ci, определим Ф(ж) следующим образом: Ф(ж) = 0, ж < а при а > —ж и Ф(ж) = 1, ж > и при и < +ж. В результате Ф обладает всеми свойствами функции распределения и удовлетворяет (3) по построению.

Следствие. Для любого a > 0 и непрерывной справа неубывающей функции ф(ж) на [ci,c2), такой, что 0 < f (^(c2 — 0)) < ^(ci) < 1, существует распределение Ф, удовлетворяющее (3) с заданным a и b = ci — ac2, такое, что Ф(ж) = ф(ж) на [ci, c2).

Рассмотрим теперь один важный частный случай.

Как известно, для надкритических процессов с конечными средним ц и конечной дисперсией числа непосредственных потомков имеет место сходимость почти наверное

-»■ W, <?w оо, (6)

№

причем преобразование Лапласа = Ме ^ однозначно определяется условиями [8, гл. 1, § 8.2]

^) = /Ш), í > 0; у/(0) = -1. (7)

Важно отметить, что в нашем случае Ш > 0 почти наверное.

Предположим, что Е принадлежит области притяжения некоторого максимум-устойчивого закона, т.е. существуют такие функции а(г) > 0, Ь(г), г > 0, и невырожденное распределение С, что

Ег(а(г)х + Ь(г)) Д С(х), г —ж. (8)

Согласно теореме об экстремальных типах [7, § 1.4], существует лишь три предельных закона (с точностью до линейной нормировки): С1(х) = ехр{—е-х}; С2(х) = ехр{— х-1}, ^ > 0, х > 0; С3(х) = ехр{—(—х)7},

^ > 0, х < 0.

В работах [2, 3] и независимо автором в [1] был получен следующий результат. Теорема 5. Пусть выполнены условия (6) и (8), тогда

Р(Мп < а(рп)х + Ь(рп)) Д ф(— 1п С(х)), п -ж,

где ф определяется (7).

Доказательство. Имеем

Р(Мп < а(рп)х + Ь(рп)) = МР(Мп < а(рп)х + Ь(рп)^) = МЕ(а(рп)х + Ь(рп)) =

= М (а(рп)х + Ь(рп)))2п/^" Д МС№ (х) = ф(— 1п С(х)), п -ж.

Пример 4. В случае геометрического распределения числа потомков, когда /(в) = в/(р — (р — 1)в), ¡л > 1, получаем ф(Ь) = 1 /(1+^) и соответствующие предельные законы: Ф1(х) = 1/(1+е-х) (логистическое распределение); Ф2(х) = 1/(1 + х—), х > 0; Ф3(х) = 1/(1 + (—х)1), х < 0.

Таким образом, мы описали возможные предельные распределения при известной функции /. Можно задаться и обратным вопросом: когда данное распределение Ф относится к предельным при каких-либо функциях /? Такая постановка естественна в случае, когда мы предполагаем, что некоторое явление описывается ветвящимся процессом, но конкретный закон ветвления нам неизвестен.

Для непрерывных Ф этот вопрос легко решается путем преобразования формулы (3) в следующую формулу:

/(и) = Ф(аФ-1(и) + Ь), и е (0,1), (9)

откуда получаем критерий: Ф относится к классу предельных распределений, если / из (9) совпадает на интервале (0, 1) с производящей функцией некоторого распределения, для которой выполнено условие (1), а параметры а и Ь согласованы с а и и в соответствии с теоремой 3. Понятно также, что (9) полностью определяет класс функций /, при которых данное распределение Ф может быть предельным.

Пример б. Логистическое распределение Ф^) = 1/(1 + e-x). Согласно теореме З, имеем a = 1, b < О. Из формулы (9) получаем f (s) = s/(e-b — (e-b — l)s), т.е. производящую функцию геометрического распределения со средним e-b У 1.

Пример G. Показательное распределение Ф^) = 1 — e-x, x > О. Согласно теореме З, имеем О < a < 1, b = О. Из (9) получаем f (u) = 1 —(1—u)", О < a < 1. Это производящая функция некоторого распределения с бесконечным средним, а значит, не выполняется (б).

Пример T. Рассмотрим Ф^) = exp{l — el/x}, x У О. Согласно теореме З, имеем О < a < 1, b = О. Из формулы (9) получаем f (s) = exp{l — (1 — ln s)l/"}; эта функция удовлетворяет (i), но не является производящей ни при каком a G (О, l). Следовательно, такое распределение Ф не может быть предельным в данной схеме.

Замечание. При фиксированном (неслучайном) числе ц непосредственных потомков класс предельных распределений в (2) совпадает с соответствующим классом максимум-полуустойчивых распределений при линейной нормировке [9, 10], удовлетворяющих функциональному уравнению Ф(ax + b) = Ф^^). К ним относятся, в частности, распределения из примеров i и 2. Таким образом, максимум-полуустойчивые законы получают новую интересную интерпретацию. С другой стороны, распределения, удовлетворяющие (З), являются обобщениями максимум-полуустойчивых распределений.

Следует отметить, что автором рассматривалась также модель с наследуемыми признаками [ii]. Предполагалось, что наследственность описывается процессом линейной авторегрессии первого порядка, а распределение признаков либо гауссовское, либо имеет тяжелые хвосты. В этих предположениях доказаны аналоги теоремы Б.

Автор благодарен рецензенту за полезные замечания.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 04-0i-00700, 07-01-00077, 07-0Ю0З7З.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лебедев А.В. Предельные законы для максимумов на надкритических ветвящихся процессах ^ Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. 11, № 4. 867-868.

2. Arnold B.C., Villasenor J.A. The tallest man in the world У У Statistical theory and applications: Papers in honor of H.A. David. NY: Springer, l996. Sl-SS.

3. Pakes A.G. Extreme order statistics on Galton-Watson trees ^ Metrika. l998. 47. 95-ll7.

4. Rahimov L, Yanev G.P. On maximum family size in branching processes ^ J. Appl. Probab. l999. 36. 632-643.

5. Mitov K.V., Yanev G.P. Maximum individual score in critical two-type branching processes ^ C. R. Acad. Bulg. Sci. 2002. 55, N ll. l7-22.

6. Yanev G.P. Revisiting offspring maxima in branching processes У У Pliska Stud. Math. Bulg. 2007. 1S. 40l-426.

7. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, l9S9.

8. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, l966.

9. Гриневич И.В. Макс-полуустойчивые предельные распределения, отвечающие линейной и степенной нормировке УУ Теория вероятностей и ее применения. l992. 37, № 4. 774-776.

10. Canto e Castro L., de Haan L., Temido M.G. Rarely observed sample maxima ^ Там же. 2000. 45, N 4. 787-799.

11. Лебедев А.В. Максимумы наследуемых признаков частиц в ветвящихся процессах ^ Тр. V Колмогоровских чтений. Ярославль, 2007. 62-66.

Поступила в редакцию 06.0З.2006

УДК 519.21

ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

О. С. Новицкая, Е. Б. Яцало

1. Введение. Рассмотрим процесс Уп, п ^ 1, удовлетворяющий стохастическому рекуррентному уравнению

Уп = Ап Уп-1 + Вп, п > 1, Уо > 0, (1)