Максимальные индуцированные пути в случайных двудольных графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.175.4

X. К. Буитраго Оропеса

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Максимальные индуцированные пути в случайных

двудольных графах

Доказано, что максимальный размер индуцированного пути в биномиальном двудольном случайном графе С(п,п,р =1/2) сконцентрирован в трех последовательных значениях с вероятностью, стремящейся к 1, при п ^ <х>.

Ключевые слова: двудольный случайный граф, максимальный подграф, концентрация

J. C. Buitrago Oropeza Moscow Institute of Physics and Technology

Maximum induced paths in random bipartite graphs

We prove that the maximum size of an induced path in the binomial bipartite random graph G(n,n,p = 1/2) is concentrated asymptotically almost surely at three consecutive points.

Key words: bipartite random graph, maximum subgraph, concentration

1. Введение

Рассмотрим множество Оxn = {G = (V™ U V2^,E)} всех неориентированных графов без кратных рёбер с непересекающимися и независимыми множествами вершин V размера п £ N, таких, что допускаются только рёбра между вершинами, принадлежащими различным множествам. Случайный двудольный граф G(n,n,p) является случайным элементом множества 0,2Хп с распределением, определяемым равенством

P(G(n,n,p) = G) = ple(G)l(l -p)n2-IE(G)l,

то есть каждое ребро полного двудольного графа появляется с вероятностью р независимо от других.

Пусть [п] := {1,...,п} — множество помеченных вершин. Напомним, что множество вершин U С [и] в графе, в котором никакие две вершины не являются смежными, называется независимым множеством. Размер наибольшего независимого множества называется числом независим,ост,и графа. Хорошо известно, что с вероятносстью, стремящейся к 1, два максимальных независимых множества в графе G(n, п,р) — это его две доли V™ и поэтому число независимости точно равно п.

В [1], [2], [3], [4] было доказано, что для р = const £ (0,1) число независимости биномиального случайного графа G(n,p) (в этом графе каждая тара различных вершин из [п] является смежной с вероятностью р независимо от других) с вероятностью, стремящейся

к 1, принимает одно из двух значений, f (п) и f (п) + 1, где

g

f (п)= 2 log, п - 2 log, log, п + 2 log, - + 0.9 , b = 1/(1 - p).

Буитраго Оропеса Х.К., 2024

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

Некоторые улучшения этого результата можно найти в [6]. В этом случае мы говорим, что число независимости сконцентрировано в двух точках.

В дальнейшем концентрация в двух точках была доказана и для других характеристик случайного графа. Особое внимание было уделено максимальному размеру индуцированного подграфа в G(n,p), обладающего заданным свойством. Напомним, что множество А с [п] вершин графа G индуцирует, в нем подграф G\a, множество вершин которого равно А, а множество ребер образовано всеми ребрами графа G, оба конца которых принадлежат А. Например, в [6] концентрация в двух точках была доказана для максимального размера индуцированного пути, в [7] — для максимального размера индуцированного дерева, а в [8] — для максимального размера индуцированного леса. Для каждой из этих трех случайных величин было доказано, что найдется функция С(п) = 0(1) такая, что рассматриваемая случайная величина принимает одно из двух значений iog1/(1-p) п + С(п) и iog!/(1-p) п + С(п) + 1 с вероятностью, стремящейся к 1.

Все предыдущие результаты применимы к модели случайного графа, где вероятность появления ребра является постоянной величиной. Некоторые из этих результатов были расширены для случая р(п) = о(1). Так, в [9] было доказано, что число независимости G(n,p), где n-2/3+s < р < 1/[log(n)]2, сконцентрировано в двух точках. Кроме того, в [9] было доказано, что максимальный размер индуцированного дерева в графе G(n,p), где

е-2 . "

п 3е-2 < р = о(1), также сконцентрирован в двух точках.

Следующим естественным шагом является проверка концентрации в двух точках некоторых из этих характеристик в других моделях случайных графов. В настоящей работе мы сосредотачиваемся на модели двудольного случайного графа G(n,n,p). В частности, нам удалось доказать, что максимальный размер индуцированного пути в двудольном случайном графе G(n,n,p = 1/2) сконцентрирован в трех последовательных точках.

Теорема 1. Обозначим через P максимальную длину (то есть количество вершин) индуцированного пути в графе G(n,n, 1/2). Тогда, для любой достаточно малой константы е > 0 с вероятностью, стремящейся к 1, P £ {2д(п), 2д(п) + 1, 2д(п) + 2} где

g(n) = \2 log2 п — 1 — е].

Несмотря на то, что в основе доказательства теоремы 1 лежит стандартная техника, применение неравенства Маркова для получения верхней оценки на случайную величину и неравенства Чебышева для получения нижней, проблема, как обычно, заключается в необходимости достаточно точного оценивания второго момента случайной величины, представляющей число индуцированных путей заданной длины. В отличие от стандартной модели биномиального случайного графа G(n,p) здесь возникает дополнительная сложность при оценке вклада пар пересекающихся индуцированных путей во второй момент, так как необходимо также учитывать их пересечения с каждой частью двудольного графа.

2. Доказательство теоремы 1

Для краткости обозначим д := д(п). Далее при упоминании вероятности проведения ребра, равной 1/2, будем в некоторых ситуациях обозначать ее р для большей ясности изложения — а именно, для отличия вклада в оцениваемые величины самой вероятности р и вероятности дополнения события, 1 — р. Как обычно, мы будем использовать методы первого и второго моментов. Сначала покажем, что с вероятностью, стремящейся к 1 при п ^ <х, P < 2д + 3.

Пусть Xk - число индуцированных путей длины к в графе G(n, п,р). Пусть к = ©(logп). Нетрудно заметить, что

EX2k = Q\k\)2p2k-!(1 — pf-2k+1 - n2k2-k

ЕХ2к+1 = ^ ^ П+ ^Щк + 1)\р2к(1 - р)*(*+1)-2* ~ и2^-*2-* „ ЕХ2кп2-к

поскольку существует два способа выбрать часть, к которой принадлежат первая и последняя вершины нечетного пути, а количество способов провести такой путь на фиксированном наборе из к + 1 вершин одной части и к вершин другой части равно к!(к + 1)1/2. В частности,

ЕХ2к = е^21п п-к 1п2)+°(1).

Таким образом,

№й+3 ~ ЕХ2д+2п2-9-1 = е(й+1)(21п^-(9+1)1п2)+о{1)п2-д-1 < 2£(«+1)та2-21оё2п+£ = = в (п2£-1) =о(1).

Следовательно, по неравенству Маркова

Р(Х2Й+3 > 1) < ЕХ2Й+3 = 0(1),

что означает, что Р < 2 д + 2 с вероятностью, стремящейся к 1 при п ^ ж, поскольку

{Р < 2д + 2} = (Х2й+з = 0}.

Теперь покажем, что Р(Р > 2д) = 1 — о(1) . Сначала заметим, что для 0 < е < 1 получаем

ЕХ2й = ей(21пп-а 1п2)+о(1) > 2еа+о(1) ^ ж при п ^ ж. Таким образом, по неравенству Чебышёва

УагХ2й = №й (Х2Й — 1) — (ЕХ2й )2 + (ЕХ2й )2 (ЕХ2й )2 + ЕХ;

■д ) (ЕХ2д г ЕХ2д

.,9 (Х29 — 1) — (ЕХ2Й

ЕХ2Й (Х2Й — 1) — (ЕХ2Й )2 (ЕХ2Й

2

+ 0(1). (1)

(1)

Случайную величину Х2Й можно представить как сумму индикаторов 1в(ихии2) п0 всем ¿'-элементным множествам и С У™ и и С У^, где В(и1 и и2) — событие, заключающееся в том, что и1 и и2 индуцирует путь в С(п,п,р). Следовательно,

ЕХ2Й(Х2Й — 1)= ^ Р( В(и1 ии2) ПВ(и1 ии2)) =

щ ии2,и[ ии2

( \

, + ,

и-1 ии2ш и[ ии'2 и-1 ии2ш и[ ии'2

\имеют общие вершины не имеют общие вершины/

Р(В( и ии2) ПВ(и1 и и2)),

где

£ Р(В( и1 и и2) П В(и1 и и2)) = ^ 2 д 9У (5!)4^ < [ЕХ29]2.

и и'1 ии'2 не имеют общие вершины

и

Таким образом, мы имеем

2д—1

EX2fl(Х2д - 1) - (ЕХ2д)2 < ^ ^ P(B(U U U2) П В(Ul U U)) <

v= U1UU2 and u'1 uu'2 with v common vertices

2g-1 fn\ 2 О/20\2 о Т)2(2д—1)(1 — r))2[g2-(2g—1)]

< E (j (0О2(y) n2g—V«О) " g (1 2 — N*2

min{(1 -p)^ (^П

Xl,X2 \ \ 1 —pj)

1 — р/

где 7 (и) — это количество возможных перестановок вершин в пересечении двух путей (мы впоследствии оценим это значение в зависимости от величины и), Х\ — это количество пар общих вершин между различными частями двудольного графа в пересечении двух путей, а Х2 — количество общих рёбер. Заметим, что Х1 — так как это точно произведение двух неотрицательных целых чисел, сумма которых равна V. Принимая р = 1/2, получаем

2д—1 (2д) 2n2g—v

№д (Х2д - 1) - (ЕХ2д)2 < ЕХ2д ^^^7(2)

v=1 2д 4

Теперь мы можем найти подходящую оценку для 7 (и). Для и < [1.1 д\ рассмотрим тривиальную оценку 7 (и) < и!. С другой стороны, для и > [1.1 д\ зафиксируем один путь, который назовем vI, затем выберем общие вершины и, начиная с этих вершин, построим второй путь, который назовем т2- Таким образом, мы видим, что пересечение vI и ^состоит из 2д — и + 1 связных компонент, которые разделены вершинами ^1. Следовательно, существует не более чем (2д—V + 1)! перестановок этих компонент. С другой стороны, для каждой связной компоненты у нас есть два варианта выбора её ориентации внутри т2- Следовательно, для V > [1.1д\ мы можем оценить 7(у) < (2д—V + 1)!229-^+1.

Таким образом, из (1) и (2) следует, что

ех2й (х2й—1)—(ех29 )* 1 2#-1 (2а2^-:7(„) =

(Ех2й)2 - ЕХ29 292-£ 7( )

-2

п

2д—1 f^2 ^д—v 2 "32

£ 4U 7(«) <

« = 1 \9>

^ Ц9)2п^2^! (3) < > --+

+ (2/)2 п29--2 4 (2д — V + 1)!229--+1

© 2(^!)2

Теперь задача состоит в том, чтобы показать, что правая часть выражения (3) является о(1). Сначала рассмотрим слага емые су е [1, [1.1д \]. Так как 1 ^ д ^ л/п, получаем следующую асимптотику:

(п\ п9

\д) 9!.

С другой стороны, заметим, что

21 < 2= 2°.551о§2™+о(1) = 6(n°.55)

Таким образом, мы получаем

№ - 2 ^ ! (2д

v=1

П^ " 2 4 у

С )%о2

Ч 2?)

v=1 4 7

п—2-гу\ <

v=1

-1 2 ( (2 42,.^/А

^=1

< ^ (п-0-45+о(1))- = 0(1).

^=1

^ ^ (2д)2у2-/4 ^

<

Теперь перейдем к доказательству того, что сумма в (3) является о(1), для ье [|_1.1<7] +1, 2д - 1]:

2|-1 (2/)2п22-г!2т2(25 -V + 1)!22й-^+1

Е

О (д!2

£ С?)

2й-1

Е /м

^=[1.1<? -+1

П—2т(2д -V + 1)!22д-^+1 =

(4)

где

Заметим, что

№ : =

С?):

П-2 -4

2(2д -V + 1)!22д—г>+1.

2-+1

(2д -

>

1.19

2 V

/(У + 1) =

/(и) (^ + 1)2п(2^ + 1)2' 16^3п

21.1^ п+о(1)

д3п

= в

п

0.1

Г

, п .

Следовательно, /(-и) строго возрастает на отрезке [|1. 1 д] + 1, 2д - 1]. Таким образом, мы можем оценить правую часть выражения (4) следующим образом

2 -1

Е /(") < а • /(2д - 1) =

г)=[1.1й -+1

= д(2д)2п-2а+12^ +3 = 32д3п-(2й-1) (2

(2[2 1о§2 п —1—£|—1 \ 2Я— 1 / \ 2д — 1

2 П ) < ^ ( ^^г—)

2д —1 \2д —1

О (1+2г)(2д — 1)

= 32д 32— V ) =о(1).

Следовательно, правая часть выражения (1) является о(1), что завершает доказательство.

3. Заключение

Нам удалось доказать, что с вероятностью, стремящейся к 1, максимальный размер индуцированного пути в биномиальном двудольном случайном графе С(п,п,р = 1/2) сконцентрирован в трех последовательных точках: 2д(п), 2 д(п) + 1 и 2 д(п) + 2, где д(п) = [2 1о§2 п - 1 - е\. Эти результаты аналогичными методами можно обобщить на

2

2

V

случай произвольного р = const £ (0,1). Более интересной является задача обобщения этих результатов на случай р = о(1). Ожидается, что если р < n—a для некоторого достаточно большого a £ (0,1), то результат о концентрации в двух точках перестанет быть выполненным. Кроме того, было бы также интересно доказать аналогичные результаты для модели случайного А;-дольного графа для произвольного натурального к > 2, а также результаты о концентрации максимального размера индуцированных подграфов из других семейств — например, деревьев и лесов.

Список литературы

1. Bollobas В., Erdos В. Cliques in random graphs // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1976. V. 80. P. 419-427.

2. Grimmett G.R., McDiarmid C.J.H. On colouring random graphs // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1975. V. 77. P. 313-324.

3. Matula D.W. The largest clique size in a random graph // Tech. Rep. Dept. Сотр. Sci. Southern Methodist University, Dallas, Texas, 1976.

4. Matula D. The Employee Party Problem // Notices of the American Mathematical Society. 1972. V. 19, N 2. P. A-382.

5. Krivelevich M., Sudakov В., Vu V.H., Wormald N.C. On the probability of independent sets in random graphs // Random Struct. Algorithms. 2003. V. 22(1). P. 1-14.

6. Dutta K., Subramanian C.R. On Induced Paths, Holes and Trees in Random Graphs // Proc. ANAL-CO. 2018. P. 168-177.

7. Kamaldinov D., Skorkin A., Zhukovskii M. Maximum sparse induced subgraphs of the binomial random graph with given number of edges // Discrete Appl. Math. 2021. V. 344(2). P. 112205.

8. Krivoshapko M., Zhukovskii M. Maximum induced forests in random graphs // Discrete Appl. Math. 2021. V. 305. P. 211-213.

9. Bohman Т., Hofstad J. Two-Point Concentration of the Independence Number of the Random Graph // Forum of Mathematics, Sigma. 2024. V. 12. P. e24.

10. Buitrago Oropeza J.C. Maximum Induced Trees in Sparse Random Graphs // Dokl. Math. 2024. V. 109. P. 167-169.

References

1. Bollobas B., Erdôs B. Cliques in random graphs. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1976. V. 80. P. 419-427.

2. Grimmett G.R., McDiarmid C.J.H. On colouring random graphs. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1975. V. 77. P. 313-324.

3. Matula D.W. The largest clique size in a random graph. Tech. Rep. Dept. Comp. Sci. Southern Methodist University, Dallas, Texas, 1976.

4. Matula D. The Employee Party Problem. Notices of the American Mathematical Society. 1972. V. 19, N 2. P. A-382.

5. Krivelevich M., Sudakov B., Vu V.H., Wormald N.C. On the probability of independent sets in random graphs. Random Struct. Algorithms. 2003. V. 22(1). P. 1-14.

6. Dutta K., Subramanian C.R. On Induced Paths, Holes and Trees in Random Graphs. Proc. ANAL-CO. 2018. P. 168-177.

7. Kamaldinov D., Skorkin A., Zhukovskii М. Maximum sparse induced subgraphs of the binomial random graph with given number of edges. Discrete Appl. Math. 2021. V. 344(2). P. 112205.

8. Krivoshapko M., Zhukovskii M. Maximum induced forests in random graphs. Discrete Appl. Math. 2021. V. 305. P. 211-213.

9. Bohman Т., Hofstad J. Two-Point Concentration of the Independence Number of the Random Graph. Forum of Mathematics, Sigma. 2024. V. 12. P. e24.

10. Buitrago Oropeza J.C. Maximum Induced Trees in Sparse Random Graphs. Dokl. Math. 2024. V. 109. P. 167-169.

Поступила в редакцию 19.08.2024