Магнитофорез частиц и агрегатов в концентрированной магнитной жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 3 (18)

УДК 537.84

Магнитофорез частиц и агрегатов в концентрированной магнитной жидкости

А. Ф. Пшеничников, А. С. Иванов

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Ак. Королева, 1

Экспериментально и теоретически решена задача о магнитофорезе частиц в плоском слое концентрированной магнитной жидкости с учетом агрегирования. Предложена эвристическая модель, описывающая диффузионные потоки индивидуальных и агрегированных частиц. Описан новый алгоритм расчета размагничивающих полей. Результаты совместного решения диффузионной и магнитостатической задачи сопоставляются с экспериментальными данными. Анализ экспериментальных данных показал, что агрегаты существенно влияют на концентрационный профиль. Хорошее согласие между экспериментальными и теоретическими кривыми наблюдается в случае, когда агрегаты содержат в среднем более десяти частиц.

Ключевые слова: магнитная жидкость, магнитофорез, диффузия, агрегаты, равновесное распределение.

та и Ь2/п2Б минимум на шесть-семь порядков превышает время релаксации магнитного момента тв и 3 цУ/кТ (Ь - характерный размер полости, Б - коэффициент диффузии, ц - вязкость магнитной жидкости, V - объем коллоидной частицы). По этой причине намагниченность жидкости можно считать термодинамически равновесной с очень хорошей степенью точности, а концентрационное поле считать замороженным на этапе вычисления магнитного поля.

Различные варианты уравнения магнитодиффу-зии, отличающиеся друг от друга полнотой учета эффектов магнитофореза, седиментации, градиентной диффузии, межчастичных взаимодействий и анизотропии коэффициентов переноса, предлагались ранее в [4-7]. Наиболее полный вариант уравнения магнитодиффузии предложен, по-видимому, в [8]. Уравнение построено на основе разложения свободной энергии системы взаимодействующих диполей в ряд по плотности. Оно описывает временное и пространственное изменение объемной доли ф однодоменных коллоидных частиц в концентрированных магнитных жидкостях. Этот подход, однако, не допускает модификацию уравнения массопереноса, которая позволила бы учесть влияние агрегатов, из-за невозможности рассчитать свободную энергию частично агрегированной системы. По этой причине ниже используется приближенное уравнение массопереноса, полученное ранее в [9] и отличающееся от уравнения из [8] только слагаемым, учитывающим эффективное притяжение магнит-

© Пшеничников А. Ф., Иванов А.С., 2011

1. Введение

Хорошо известно, что первоначально однородная магнитная жидкость, заполняющая произвольную полость, становится со временем пространственно неоднородной по концентрации магнитной фазы вследствие гравитационной седиментации и магнитофореза (движение частиц под действием неоднородного магнитного поля). При отсутствии конвективного движения градиентная диффузия является единственным фактором, препятствующим этому концентрационному расслоению жидкости. Профиль концентрации в полости для произвольного момента времени может быть найден путем решения краевой задачи с системой уравнений, включающей уравнения Максвелла для магнитного поля и динамическое уравнение диффузии с учетом членов, ответственных за магнитофорез и седиментацию частиц [1-3].

В концентрированных магнитных жидкостях все эти процессы описываются нелинейным уравнением массообмена, содержащим слагаемое, ответственное за магнитофорез и зависящее от намагниченности и напряженности поля в веществе. Последнее обстоятельство особенно важно. Из-за него размагничивающее поле и неоднородность концентрации частиц в полости оказываются взаимосвязаны и усиливают друг друга. Это означает, что магнитная и диффузионная части задачи должны решаться совместно. Главной особенностью этой проблемы является то, что характерное время затухания концентрационных возмущений

ных диполей. В отсутствие силы тяжести и конвективных течений плотность объемного потока частиц равна

Jl = А K (ф)

фЬ (£)У(£)-2ф(4 -ф)

1+-

24Хф

(1-ф)4 (3 + 4Хф)2

Уф

. (1)

Здесь *(ф) = Ь/Ь0 , Ь и Ь0 - подвижности частиц в магнитной жидкости и жидкости-носителе соответственно, Б0 = ЬскТ - эйнштейновское значение коэффициента диффузии для броуновской частицы, ц0 = 4 л-10-7 Гн/м, X = ц0 ш2 / 4лСкТ - параметр магнитодипольных взаимодействий (отношение энергии магнитодипольных взаимодействий к тепловой энергии), ш, С - магнитный момент и полный диаметр (с учетом защитной оболочки) частицы соответственно, кТ - энергия теплового движения. Первое слагаемое в (1) отвечает за маг-нитофорез, второе - за градиентную диффузию, третье - за стерические взаимодействия и последнее - за эффективное притяжение частиц, связанное с магнитодипольными взаимодействиями. Стерические взаимодействия учитываются в рамках приближения Карнагана-Старлинга [4], а маг-нитодипольные - в рамках модифицированной модели эффективного поля, которая хорошо описывает равновесную намагниченность ферроколлоидов с начальной проницаемостью до десятка единиц СИ [10, 11]. В уравнении магнитной диффузии (1) эта модель распространена на пространственные перемещения частиц. Согласно этой модели, интенсивность магнитофореза и намагниченность жидкости М определяются эффективным магнитным полем Не и соответствующим этому полю параметром Ланжевена Е,г:

Ее = ш(Н + Мь / 3) / кТ , М = шпЬ(%е): Мь = шпЬ(Е), Е = /и0шН / кТ .

(2)

где МЬ - намагниченность раствора, вычисленная в ланжевеновском приближении, Ь(Е) = сШЕ - 1/Е, Е = ца шН/кТ - обычный параметр Ланжевена. Под напряженностью поля Н в (2) понимается напряженность поля внутри магнитной жидкости, т.е. суперпозиция размагничивающих полей и полей от внешних источников. Главной особенностью уравнения (1) является его сильная нелинейность, обусловленная множителем Карнагана-Старлинга в правой части уравнения и зависимостью эффективного поля и подвижности частиц от объемной доли последних в растворе.

2. Двухфракционная модель

Рассмотрим в качестве основной двухфракционную модель магнитной жидкости, в которой первая фракция представлена одиночными части-

цами, а вторая - агрегатами, включающими в себя от нескольких частиц до нескольких десятков частиц. Полидисперсностью частиц внутри первой фракции и разбросом агрегатов по размерам пре-небрегается. Ранее такая модель успешно использовалась для описания результатов диффузионных опытов с разбавленными растворами [12-14]. Это предположение оправдано тем, что в линейном по концентрации частиц приближении приращение к эффективной вязкости раствора и относительной подвижности частиц определяется их суммарной объемной долей, независимо от распределения частиц по размерам. Коэффициент диффузии достаточно слабо зависит от размера частиц (обратно пропорционально), поэтому расчет по средним размерам частиц удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными [12]. Менее очевидна возможность применения двухфракционной модели в задачах с магнитофорезом частиц, так как сила, действующая на коллоидную частицу со стороны градиентного магнитного поля, пропорциональна ее магнитному моменту ш, т.е. кубу диаметра магнитного ядра [15]. Это уже сильная зависимость. Положение спасают два обстоятельства. Во-первых, самые крупные частицы, вносящие наибольший вклад в намагниченность жидкости, объединяются в агрегаты, влияние которых учитывается отдельно. Во-вторых, мелкие частицы вносят малый вклад в намагниченность системы и их присутствие в жидкости можно учесть приближенно. Оставшаяся часть частиц имеет относительно узкое распределение частиц по размерам и может быть заменена одной фракцией. Отличие в размерах отдельных частиц и агрегатов уже не может быть проигнорировано. Применительно к рассматриваемой здесь задаче это означает, что потоки одиночных частиц и агрегатов должны описываться отдельными уравнениями.

При записи потока для индивидуальных частиц будем учитывать относительно малую скорость диффузии агрегатов и их большой (по сравнению с одиночными частицами) размер. Влияние отдельного агрегата аналогично влиянию неподвижного круглого диска эквивалентного радиуса. В этом случае поток одиночных частиц описывается уравнением типа (1), но с учетом уменьшения “проницаемости” среды. Уравнение для плотности потока принимает вид:

Ф2

.1, = Б*(ф)|1 -^ |х

ФЬ(Е )У(Е) -

1 +

2ф.(4 -ф.)

(1-Ф1)4 .

Уф +

24Хф (3 + 4Хф):

-Уф

(3)

где ф], ф2 - объемные доли одиночных и агрегированных частиц соответственно, у - коэффициент

упаковки частиц в агрегате. Дополнительный множитель в круглых скобках в правой части (3) описывает уменьшение площади поперечного сечения, свободного от агрегатов. Кроме того, при записи последнего слагаемого в (3) принято во внимание, что поток частиц, обусловленный маг-нитодипольными взаимодействиями, пропорционален концентрации индивидуальных частиц и градиенту магнитной восприимчивости, то есть градиенту полной концентрации ф = ф + ф2. Все остальные слагаемые получаются из (1) заменой объемной доли ф на объемную долю одиночных частиц ф].

В свою очередь, агрегаты дрейфуют в коллоидном растворе мелких одиночных частиц, который можно рассматривать как сплошную среду с относительной вязкостью, зависящей от концентрации частиц ф1. В качестве аппроксимационной формулы для этой вязкости можно взять, например, аппроксимацию Чонга-Христиансена, применимость которой к магнитным жидкостям в широком интервале концентраций магнитной фазы продемонстрирована в [16, 17]:

л(ф\) = [1+°.7ф /(Уш - ф1)]2

(4)

К(ф) = (1 -ф)6,5 .

(5)

J 2 = Б1

К (ф2//К У

Л(ф\) УХ

Мф2 щ, )У(Е) -

1+

2ф2/2(4/-ф2) (у-ф2)4 .

Уф2 +

24у!2ф2

----------~

(3 + 4Хф)2

Уф

. (6)

Динамика магнитофореза в отсутствие конвективного движения жидкости описывается уравнением диффузии стандартного типа

дф = - СгV(J,■)

(7)

с очевидным условием непроницаемости границ полости для коллоидных частиц

J,

J 2п = 0

(8)

где уш = 0,605 - коэффициент случайной плотной упаковки для сферических частиц. Для относительной подвижности частиц такой проверенной формулы нет. В дальнейшем, следуя [18], будет использоваться аппроксимация Рассела, согласно которой относительная подвижность равна

Что касается эйнштейновского коэффициента диффузии для агрегатов, то в предположении о сферической форме агрегатов он будет равен

Б = О, ¡У *ф>,

2 1N чф)

где N - среднее число частиц в агрегате. При малых и умеренных значениях параметра магнитоди-польных взаимодействий X < 1 корреляция между магнитными моментами частиц в агрегате несущественна, поэтому сила, действующая на агрегат во внешнем поле, увеличивается в N раз по сравнению с силой, действующей на одиночную частицу. С учетом вышесказанного, плотность потока агрегированных частиц можно записать в виде

Система уравнений (2) - (7) с граничными условиями (8) решалась численно методом конечных объемов для тонкого слоя магнитной жидкости в градиентном магнитном поле.

3. Расчет размагничивающих полей

Размагничивающим полем, как известно, называется добавка к напряженности поля внутри вещества, связанная с преломлением силовых линий на границах тела. Существование размагничивающего поля является основной причиной отличия напряженности поля внутри вещества от поля, создаваемого внешними источниками. Если проводить аналогию между электро- и магнитостатикой, то существование размагничивающего поля можно связать формально с индуцированием виртуальных магнитных зарядов на поверхности намагниченного тела. При однородной намагниченности тела величина размагничивающего поля полностью определяется формой тела и не зависит от его размеров. В магнитных жидкостях размагничивающие поля должны учитываться, так как они приводят к таким же по порядку величины эффектам, как и магнитодипольные взаимодействия.

В общем случае для расчета размагничивающих полей требуется решение сопряженной краевой задачи для некоторой геометрической области, включающей в себя собственно намагниченное тело и окружающее пространство. Если в намагничивающейся среде нет электрических токов, то задача сводится к решению статических уравнений Максвелла и материального уравнения, связывающего намагниченность М с напряженностью поля Н внутри вещества:

II

гоН = 0, С/у(Н + М) = 0, М = М(Н)—. (8)

Н

Последнее уравнение записано для магнитомягкого материала, для которого не существенен магнитный гистерезис, каким, безусловно, является магнитная жидкость. На границе намагниченного тела накладывается условие непрерывности нормальной компоненты магнитной индукции В = ^)(Н + М) и тангенциальных компонент напряженности. Если внешнее поле однородно, задача имеет точное аналитическое решение для тела в виде произвольного трехосного эллипсоида и его

X

предельных конфигураций (тонкая пластина, шар и круглый цилиндр бесконечной длины) [15]. В этом случае напряженность поля внутри тела связана с напряженностью внешнего поля Н0 простым соотношением

Н=Н0- кМ,

где к = const - размагничивающий фактор, зависящий только от отношения осей эллипсоида и их ориентации в магнитном поле. Размагничивающий фактор максимален (к=1) для плоской пластины, намагниченной в поперечном направлении, и минимален (к 0) для длинного цилиндра, вытянутого вдоль силовых линий. В приближении однородно намагниченного тела (постоянные магниты, разбавленные магнитные жидкости или сильные магнитные поля) аналитическое решение может быть найдено также для произвольного прямоугольного параллелепипеда и круглого цилиндра конечной длины [19].

Ситуация с вычислением размагничивающего поля внутри неоднородной по плотности магнитной жидкости существенно усложняется, так как магнитные силовые линии деформируются не только на границе тела, но и внутри объема. Причиной неоднородности является магнитофорез и седиментация (дрейф частиц под действием гравитационного или центробежного полей), а единственным механизмом, выравнивающим концентрацию частиц, является градиентная диффузия. Как видно из уравнений (1) и (2), магнитное поле и неоднородность концентрации частиц в полости оказываются взаимосвязаны и усиливают друг друга.

При численном решении задачи о магнитном поле в полости и ее окрестностях с помощью уравнений Максвелла возникает серьезная проблема, связанная с дальнодействующим характером магнитных полей, создаваемых магнитной жидкостью. Границы внешней области должны быть достаточно удалены от центра полости, чтобы обеспечить затухание магнитного поля, но достаточно близки, чтобы размер массива переменных оставался в разумных пределах и соответствовал возможностям компьютера. Эти противоречивые требования удается выполнить для полости, у которой размеры по всем координатным осям имеют одинаковый порядок. Однако для сильно вытянутой полости (например, при моделировании процессов в плоском слое) необходим новый подход.

Для расчета размагничивающих полей и суммарного поля Н(х, z) можно использовать тот известный факт, что в узкой щели, вырезанной в намагниченном теле, продольная компонента напряженности совпадает с продольной компонентой напряженности в самом теле и такое же соотношение выполняется для поперечной компоненты индукции. Это обстоятельство является прямым следствием граничных условий для индукции и напряженности магнитного поля. Таким образом,

для определения напряженности поля внутри тела достаточно вычислить напряженность поля Н в узкой виртуальной щели, вырезанной в этом теле. Согласно принципу суперпозиции, вклад магнитной жидкости в напряженность Н можно вычислить интегрированием по объему, т.е. суммированием вкладов ДН всех элементарных ячеек, содержащих магнитную жидкость, исключая ячейки, принадлежащие щели.

Рассмотрим теперь плоскую задачу о магнитном поле в полости, содержащей неоднородную в плоскости х0г магнитную жидкость. В направлении оси у система полагается однородной (плоская задача). Разобьем полость на прямоугольные элементы шириной Дх << а и высотой Дг << с. Размеры элемента Дх, Дг в плоскости х0г должны быть достаточно малыми, чтобы неоднородность концентрации в его пределах можно было не учитывать. Вклад ДН отдельного элемента с координатами центра в точке (х0, ъ0) в напряженность Н(х, z) в узкой щели может быть вычислен непосредственно из формул, приведенных в [19]. Опуская громоздкие промежуточные вычисления, запишем результат:

M M

AH =—- AArc---------- ALg,

2п \п

АН =- Mz AArc - M— ALg 2n \n

(9)

ALg = ln

+ ln

[(rx + Ax/ 2)2 + (rz + Az/ 2)2 J [(rx + Ax /2)2 + (rz -Az /2)2 J [(rx -Ax /2)2 + (rz - Az /2)2 J [(rx -Ax /2)2 + (rz + Az /2)2 J

rx + Ax /2 rx -Ax /2

AArc = arctg--------------------------+ arctg---------------

rz + Az / 2 rz - Az / 2

rx - Ax / 2 rx + Ax / 2

- arctg----------- arctg-------------------ГТТ

rz + Az / 2 rz - Az / 2

гх = х - х0, гг = ъ - ъ0.

Суммируя вклады всех элементов, не принадлежащих щели, и прибавляя к этой сумме вклад Н0 внешних источников, получим напряженность поля в магнитной жидкости в виде

Hx (x, z) = Н0x (x, z) + X AHx,

z * zo

Hz (x, z) = H0z (x, z) + X AHz - Mz (x, z).

(10)

Появление последнего слагаемого в правой части (10) связано с тем упоминавшимся ранее обстоятельством, что вертикальная компонента напряженности в щели совпадает с вертикальной компо-

+

z * zo

нентой магнитной индукции в жидкости. Для перехода от индукции к напряженности поля следует вычесть соответствующую компоненту намагниченности, что и было сделано.

При постоянной во времени намагниченности (как в случае постоянных магнитов) формулы (10) позволяют сразу рассчитать внутренние магнитные поля. С магнитной жидкостью сложнее. Ее намагниченность зависит от внутреннего поля, а формулы (9) и (10) лишь замыкают систему уравнений (2) - (7), которая решалась итерационным методом. Нами использовался двухшаговый итерационный алгоритм, обеспечивающий лучшую сходимость по сравнению с одношаговым алгоритмом:

( V

И+1( х, 2) = И 0х (х, 2) +а

X АИХ

+ (1 -а)

X АНх

Н'+1 (х, 2) = Н02 (х, 2) - Ы\ (х, 2) +

+а

Хан 2

у

+ (1 -а)

Хан 2

(11)

Рис. 1. Схема измерительной ячейки с магнитной жидкостью

Для оценки влияния гравитационного поля на распределении частиц в ячейке с магнитной жидкостью воспользуемся известным решением задачи, полученным в приближении разбавленных растворов и справедливым для полости произвольной формы и произвольной конфигурации магнитного поля [8, 13]. Пространственное распределение частиц в разбавленных растворах описывается простой формулой

ф(х, 2) = А С\р(-Єг2)

(12)

М* = тпЩ‘е)— ,

где а < 1 - параметр, подбираемый экспериментально для улучшения сходимости алгоритма. Пробные расчеты с использованием итерационного метода показали, что для достижения точности порядка 0,1% требуется 40 - 60 итераций.

4. Результаты эксперимента

Опыты проводились с магнитными жидкостями типа “магнетит - керосин - олеиновая кислота”, приготовленными стандартным способом химического осаждения. Схема установки и методика эксперимента подробно описаны в работах [13, 20]. Схема измерительной ячейки приведена на рис. 1. Ячейка в виде плоского горизонтального слоя помещалась в градиентное магнитное поле со средней напряженностью 95 кА/м, ориентированное вдоль оси х. Магнитное поле можно считать сильным, так как соответствующий параметр Лан-жевена был равен шести. Средняя объемная доля магнетита в растворе варьировалась в пределах от 20 до 25%. Локальная концентрация магнетита определялась фотометрическим методом. Толщина слоя ё (от 20 до 100 мкм) была мала по сравнению с горизонтальными размерами ячейки (около 2 мм), поэтому распределение концентрации в ячейке можно было считать одномерным с хорошей степенью точности, несмотря на действие гравитационного поля, не учитываемого уравнениями (3), (5). Горизонтальная ориентация ячейки в пространстве также уменьшала влияние гравитации.

Здесь параметр Ланжевена £ считается известной функцией координат, гравитационный параметр О имеет смысл обратной высоты барометрического распределения, а константа нормировки А выражается через среднюю концентрацию частиц в полости. В пределе слабых магнитных полей формула (12) переходит в барометрическое распределение. Как видно из (12), изолинии равной концентрации г = г(х) определяются в неявной форме уравнением

схр(—02) = соті .

(13)

В условиях проводившихся нами опытов % = %(х) и в отсутствие силы тяжести эти линии расположены вертикально. Под действием гравитационного поля изолинии концентрации наклоняются по отношению к вертикали на малый угол р. Дифференцируя (13), находим

tg (р)=|^1 =Г .1—

сіх) £Щ) |И дх ,

(14)

Подстановка в (14) характерных для эксперимента параметров (О = 3 м-1, £ = 6, И =96 кА/м, дИ/дх = 3-106А/м2) дает оценку ¡ и 1,6-10-2 << 1. При использовании фотометрического метода измерения концентрации магнетита наклон изолинии концентрации можно интерпретировать как дополнительную неопределенность в горизонтальной координате, не превышающую, однако, ¡ё /2 и 0,8 мкм. Очевидно, что такой малой неопределенностью в координате можно пренебречь с хорошей степенью точности. При переходе к концентрированным растворам следует ожидать дополнительного уменьшения угла наклона изолиний концентрации,

+

І-1

І-1

так как магнитодипольные взаимодействия увеличивают эффективный параметр Ланжевена, а сте-рические взаимодействия одинаково влияют как на числитель, так и на знаменатель правой части (14). По этой же причине формула (14) может быть использована и в том случае, когда в магнитной жидкости дрейфуют не одиночные частицы, а агрегаты, содержащие в среднем по N частиц. В этом случае потоки частиц, связанные с магнитофоре-зом и седиментацией частиц в поле тяжести, увеличиваются в N раз каждый, но их отношение остается неизменным.

В проводившихся опытах под действием неоднородного магнитного поля частицы медленно дрейфовали к левому торцу ячейки так, что со временем в ячейке формировался равновесный профиль концентрации. В зависимости от условий опыта время установления равновесного профиля варьировалось от одной до двух недель.

0.23

0.20-------------1-------1-------1-------1-------1-------1-------1--------1

16.8 17.2 17.6 18.0 18.4

X, мм

Рис. 2. Распределение концентрации магнетита вдоль измерительной ячейки. Кривая 1 - ф2 = 0; 2 - ф2 =

0.05, N = 8, у= 0.5; 3 - ф2 = 0.055, N =10, у = 0.6. Точки - эксперимент

В качестве примера на рис. 2 приведены экспериментальный профиль концентрации и результаты численного решения уравнений (2) - (7), (10) для образца магнетитовой жидкости со средней концентрацией магнетита <ф > = 0.213. Объемная доля агрегированных частиц ф2, среднее число частиц в агрегате N и коэффициент упаковки частиц в агрегате у выступали при этом в качестве подгоночных параметров. Как видно из представленных графиков, большую роль в расслоении жидкости играют стерические взаимодействия частиц и агрегатов: даже незначительное изменение подгоночных параметров способно кардинально изменить вид концентрационного профиля. Кривая 1 на рис.

2 рассчитана по уравнению (1), т.е. без учета агрегирования частиц. Видно, что в этом случае расчетные и экспериментальные результаты отличаются качественно: в отсутствие агрегатов

равновесный перепад концентрации вдоль ячейки на два порядка меньше экспериментального. Таким образом, результаты данной работы еще раз подтверждают то обстоятельство, что без учета агрегатов корректное описание магнитофореза и диффузии частиц в магнитных жидкостях невозможно. Этот вывод относится как к разбавленным (см., например, [13, 14]), так и к концентрированным системам.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-96038) в рамках программы ОЭММПУ РАН (проект № 09-Т-1-1005).

Список литературы

1. Blums E.Ya., Mayorov M.M., Cebers A.O. Mag-

netic fluids / Walter de Gruyter. Berlin, 1997.

2. Bashtovoi V.G., Polevikov V.K., Suprun A.E., et al.

Influence of Brownian diffusion on static of magnetic fluid //Magnetohydrodynamics. 2007. Vol. 43, N.1. P. 17-25.

3. Bashtovoi V.G., Polevikov V.K., Suprun A.E., et al. The effect of magnetophoresis and Brownian diffusion on the levitation of bodies in a magnetic fluid //Magnetohydrodynamics. 2008. Vol. 44, N.2. P. 121-126.

4. Буевич Ю.А., Зубарев А.Ю., Иванов А.О. Бро-

уновская диффузия в концентрированных ферроколлоидах //Магнитная гидродинамика.

1989. № 2. С. 39-43.

5. Morozov K.I. The translational and rotational dif-

fusion of colloidal ferroparticles //J. Magn. Magn. Mater. 1993. Vol. 122. P. 98-101.

6. Morozov K.I. Gradient diffusion in concentrated

ferrofluid under the influence of a magnetic field //Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, N 3. P. 1362-1367.

7. Pshenichnikov A.F., Elfimova E.A. Influence of in-

terparticle interactions on diffusion processes in magnetic fluids // Physics Procedia. 2010. Vol. 9. P. 101-104.

8. Pshenichnikov A.F., Elfimova E.V., Ivanov A.O.

Magnetophoresis, sedimentation and diffusion of particles in concentrated magnetic fluids // J. Chem. Phys. 2011. Vol. 134. P.184508.

9. Пшеничников А. Ф. О влиянии межчастичных

взаимодействий на диффузионные процессы в магнитных жидкостях // Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем. Сб. науч. тр. / Ставр. ун-т. Ставрополь, 2009. С. 143-149.

10.Ivanov A.O., Kantorovich S. S., Reznikov E. N. et al. Magnetic properties of polydisperse ferroflu-ids: A critical comparison between experiment, theory, and computer simulation // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75. 061405.

11.Ivanov A.O., Kantorovich S. S., Reznikov E. N. et al. Magnetic measurements as a key for the particle size distribution in ferrofluids: experiment, theory, and computer simulations // Magnetohy-drodynamics. 2007. Vol. 43, No. 4. P. 393-399.

12. Buzmakov V.M., Pshenichnikov A.F. On the structure of microaggregates in magnetite colloids // J. Colloid Interface Sci. 1996. Vol. 182. P. 63-70.

13. Ivanov A.S., Pshenichnikov A.F. Magnetophoresis and diffusion of colloidal particles in a thin layer of magnetic fluids // J. Magn. Magn. Mater. 2010. Vol. 322. P. 2575-2580.

14. Ivanov A.S., Pshenichnikov A.F. Dynamics of magnetophoresis in dilute magnetic fluids // Mag-netohydrodynamics. 2010. Vol. 46. P. 125-136.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

16. Пшеничников А.Ф., Гилев В.Г. Реология и на-

магниченность концентрированных магнети-товых коллоидов // Коллоид. журн. 1997. Т. 59, № 3. С. 382-389.

17. Лебедев А.В. Вязкость концентрированных коллоидных растворов магнетита // Коллоидный журн. 2009. Т. 71, №1. С. 78-83.

18. Иванов А.О. Фазовое расслоение магнитной жидкости. Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1998. 295 с.

19. Пшеничников А.Ф. Магнитное поле в окрестности уединенного магнита // Магнитная гидродинамика. 1993. № 1. С. 37- 41.

20. Иванов А.С., Пшеничников А.Ф. Расслоение магнитной жидкости в градиентном магнитном поле //Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика, 2009. Вып. 1(27). С. 45-48.

Magnetophoresis of particles and aggregates in concentrated magnetic fluid

A. F. Pshenichnikov, A. S. Ivanov

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Korolyov St. 1, 614013, Perm

Experimental and theoretical studies were carried out to investigate the problem of magnetophoresis in a thin layer of concentrated magnetic fluids, concerning the aspect of particle aggregation. A heuristic theoretical model, describing diffusion fluxes of individual and aggregated particles, is suggested. A new algorithm for calculating demagnetizing fields is described. The solution of related diffusion and magnetostatic problems are compared with the experimental data. The analysis of the data shows that the aggregates essentially change the concentration profile. Good agreement between experimental and theoretical curves is observed in the case when the aggregates contain on the average more than ten particles.

Keywords: magnetic fluid, magnetophoresis, diffusion, aggregates, equilibrium stratification.