CC BY
24
УДК 537.622
О.В.Рябков, В.М.Петров, М.И.Бичурин, С.В.Аверкин, Г.Сринивасан*
МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС В ФЕРРИТ-ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДВУХСЛОЙНЫХ СТРУКТУРАХ С УЧЕТОМ ОБМЕННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого * Оклендский университет, Рочестер, США
In single-crystal ferrite-piezoelectric bilayer, the magnetoelectric interaction is presented by mechanical strain. We considered magnetoelectric coupling at the coincidence of electromechanical resonance and ferromagnetic resonance for the ferrite magnetized tangentially. The exchange interaction for the ferrite is also taken into account. Giant magnetoelectric coefficient is about 70 V/cmOe for yttrium-iron garnet — lead zirconate titanate bilayers at 5 GHz. The phenomenon is also of importance for the realization of multifunctional magnetoelectric microwave nanosensors/transdusers.
Наличие магнитоэлектрических (МЭ) свойств в магнитной и электрической подсистемами. Магнитослоистых феррит-пьезоэлектрических композитах стрикция феррита во внешнем магнитном поле вызы-
обусловлено механическим взаимодействием между вает поляризацию электрической подсистемы по-
30
средством пьезоэлектрического эффекта. В работах [1, 2] показано, что при соответствующих наборах параметров имеет место гигантский скачок МЭ коэффициента по напряжению в области магнитоакустического резонанса. В указанных работах был исследован случай композита в форме пластинки, намагниченной перпендикулярно ее плоскости. В работе [3] был исследован касательно намагниченный композит в пренебрежении обменным полем. В данной работе проводится исследование МЭ коэффициента по напряжению в двухслойной структуре, находящейся во внешнем подмагничивающем поле, ориентированном вдоль оси [100] кристалла, расположенной в плоскости пластинки, с учетом обменного взаимодействия. При этом к образцу прикладывается также малое переменное магнитное поле (рис.1). Образец ориентирован перпендикулярно оси х, т.е. внешнее поле здесь касательно к композиту. Целью работы является нахождение магнитоэлектрического коэффициента по напряжению и исследование его зависимости от частоты и величины внешнего магнитного поля.
В качестве исходных используются уравнения движения намагниченности, уравнения движения ферритовой и пьезоэлектрической фаз, а также материальные соотношения для пьезоэлектрической фазы.
II.,
феррит
X
"М---------------------------7"“
пьезоэлектрик'
Рис.1. Ориентация образца во внешнем магнитном поле
Систему уравнений движения для магнитной фазы берем в виде [4]
Мх = -у
Н0 - ЫХМ5 - Наа 2У
2„2 2В (дипу ди,
М
ду
д2
Му
дип2 + диту'] УВ2 (дип2 + д^ту м + ду д2 ) М* У ду д2 х
+ М* (Ну - МуМу ),
Му = У
+ УВ2
Н0 - ЫМ* - Наа2У2 + 2Ві {-итх -
0 х * а М* У дх д2 )_
(дипг + дПтх V 1В1 (дЦту +д£.
Мх +
У дх
+
д2 ) М * У дх
ду
Мх -
-уМ* (Нх - МхМх),
•• 2 д
Рп^пх = сп44^ ипх + (сп44 + Сп12 ^П ) +
дх
В1 дМІ В2 д ) В2 д
+—2—х+-^2—(Мхму)+-^2—(м2мх),
м2 дх м2 ду х у м2 дг 2 х>
•• 2 д
pmUmy = Сп44^ ипу + (сп44 + сп12 ^^* ^п ) +
+ вІ2 м д(мум2)+—22 — (мхму),
М2 ду м2 &Г у 2> М2 х х у'
•• 2 д
Ршиш2 = Сш44^ иш2 + (сш44 + Сш12 )^Т(^^ иш ) +
дх
В1 дм2 В2 д В2 д ( .
+772^+772 дТ (м2мх )+772 дУ (МУМ21 м2 дх М; д2 М2 ду
где М; — намагниченность насыщения, N — размагничивающие факторы (компоненты диагонального тензора анизотропии формы), На — обменное поле, а — постоянная решетки, иш — смещение, иш — компоненты смещения, В1 и В2 — константы магнитоупругой связи, Сш44 и Сш12 — компоненты тензора модулей упругости.
Уравнение движения и материальные соотношения для пьезоэлектрической фазы имеют вид
д2Пру дГ5 д2ирх дГ6
р р д/2 дх ’ р р д/2 дх ’
ди ди
Ву = вр15—^у + е р33Еу, Б2 = вр15—^~ + е р33Е2
где ТП5 = с
дх
дПг
ър33^у’ ^2 ер15“
дх
р5~ с-р44
дх
- - е„15Е„, Т„6 — ср
- - е„15Е2
ср1^у^ *р6~ р44 дх СР15^ 2
— компоненты симметричного тензора напряжений, взятого в виде матрицы 1 х 6.
Применим условие магнитоупругой изотропии В1 = В2, а также положим их = 0 , М2 = М; и кх = 0 (переменное внешнее поле берем линейно поляризованным по у). Кроме того, для выбранной ориентации пластинки Ых = 4п, Мх = 0, Ых = 0 . В соответствии с методом комплексных амплитуд производим подстановку ^(г,/) ^ /(г)■ е’ш и после сокра-
щения на е получаем
тх(о — -у
( 2 д2пу
пуН0 - Наа -----^ +
\
V
дх2 М * дх
,2 д пх
/пуЮ — у| пхН0 - Наа —Г +
1 дх
В2 ди
(1)
ди„
+ _^_^пупх еш + В2^-п2 + 4п МЛ
-пг
М8 дх
дх
0 = 2 дп^ е1т1
е , -рп ю ипг = сп44
дир
д ип2 + В2 п
дх2 М* дх
д2иру
Оу = ер15 дх + Єр33Еу, Рр ® иру = ср44 дх2
дирг 2 ^ "1р2
О2 = ер15^~ + Єр33Е2, - рр ю ирг = ср44 - 2 ■
дх дх
д2и
При выводе (1) предполагалось, что функции не зависят от у и 2 и ипх = 0.
Линеаризацию относительно амплитуды переменной намагниченности осуществляем простым отбрасыванием членов, содержащих множитель экспоненту, поскольку само наличие экспоненты после сокращения говорит о втором порядке малости члена. В результате линеаризации у-компонента смещения
пропадает из уравнений, описывающих ферритовую подсистему. Это означает, что в рассматриваемом случае указанная составляющая смещения не участвует в МЭ эффекте.
С учетом всего вышесказанного вместо (1) получаем
(
lmxю = -у
|-~ Л
~ 2 д my
H0my - Haa2—-!--x
2 д mx + R -umz
dx dx
lmy® = Y| (H0 + 4nM, )mx - Haa —-T + B2
x
2 d2umz B— dm
pm ® umz = cm44-rf- + ТГ, (2)
dx2 M, dx
dup
Dz = ep15~dx~ + Є p33Ez,
d2ur
где
2 ^ “ pz
- p p ю upz = cp44 2 ,
dx
юу
• — ---- M,hy,
(Ho + 4nMs) у Ho - ю2 y
my = my -
(H о + 4n Ms) у2 (Ho + 4nMs)y2Hо - ю2^ ^
(3)
rMA,.
Решая отдельно два последних уравнения системы (2), получим выражение для электрической индукции:
Dz = Cj sin kpx + C2 cos kpx + £ p33Ez,
kp =
p p.
cp44
Над оставшимися тремя уравнениями системы (2) произведем прямое преобразование Лапласа [5]. Алгебраическая система уравнений относительно изображений имеет вид
—X(к) + (н0 - Ьк2)(к) = - Ь(Л7 1 + Л70к),
У
(НМ - Ьк2) (к)+ — 7 (к) + В2ки (к) =
У
= b(AX 1 + AX 0к) + Б2 AU о, (4)
Б-к X ( к ) + (к 2 + pm Ю- ) (к ) =
M
где
Б—
= cm44 (AU1 + AU 0к) +ТГ AX о,
M,
HM = H 0 + 4nMs,
(5)
а X (к), У (к), и (к) — изображения функций шх (х),
- 1шу (х), иш2 (х). Постоянные Л представляют собой
значения оригиналов и их производных первого порядка при х = 0.
Решение (4) дает для изображений рациональные выражения вида
Рх,у,и + рх, у, и к + ь(рХ,7, и к2 +... + Рх,у,и к5)
ь(ь 06К 6 + ^к4 ) 02к2 + 00 ,
где Р и 0 являются выражениями, зависящими от ко-
эффициентов уравнений (4), причем 0 будут одними и теми же для всех трех изображений.
Оригинал выражения (5) имеет вид
1 у Рр + р % + Ь(р2 %2 + Р3 %3 + Р4 %4 + Р5 Г х =
2^ Ь( %5 + 204 %3) 02 %
= Ус£ с%х, (6)
где суммирование ведется по всем корням £ квадратного уравнения относительно к
b{bQ6 к<5 + 04к4)+ 02к2 + 00 — 0, (7)
а верхние индексы коэффициентов Р опущены для сокращения записи. Иными словами, искомые функции представляют собой суперпозиции волн, волновые числа которых получаются из (7). Введем обозначение Ь — Наа2. Тогда уравнение принимает вид
Ь2сп44к 6 +{Ь2рп ®2 + ~ Ьсп44 (Н0 + НМ ) |к4 +
+ 1 cm441 H0HM - —
ю2 ^ Б2 H 0
M,
- b(H0 + HM )pm ю- |к2 +
+ Рш—2 ^Н0НМ - —2 1 = 0.
Параметр Ь = Наа2 характеризует обменное взаимодействие. Входящая в него постоянная решетки мала по сравнению с длиной волны. После линеаризации по Ь получаем:
7^ - bcm44(H0 + HM) |к4 +
В
М;
+ ^ Сш44^Н0НМ -^т|—МГ° - Ь(Н0 + НМ }рш ®2 +
+ Рш®2[Н0Нм-^ = 0. (8)
Решение биквадратного уравнения (8) дает две пары решений ±%ш1, ± %ш2 . Можно показать, что одно из чисел %ш будет действительным, что означает отсутствие распространения волны (см. (6)). Обозначая второе число через 1кш, запишем выражение для смещения ферритовой фазы:
ишх = С3 Кх + С4 совкшх. (9)
Выражения для шх и ш у легко получить подстановкой (9) в (2) с учетом (3):
М; (Рш —2
mx =~^ I Т2-cm44 |(C3 C0s kmx - C4 sin kmx) +
— У km
ю , , —M,,
H 0HM -
my = -l
YM, km ff Pm ®2 c ^ + uu - ) B2 .
—-cm44 FM+bkm) )TS}
У
h
2 У
x (C3 coskmx - C4 sinkmx) +
HMM, h 2 У
HoHm -~2 Y
в нормально намагниченной пластинке [1] в случае касательно намагниченного образца резонанс наблюдается при меньшем значении подмагничивающего поля, что связано с отсутствием эффекта размагничи-
£ ГГц
Рис.2. Зависимость МЭ коэффициента по напряжению от частоты. Пунктирная линия соответствует случаю нулевого обменного поля
Значения постоянных интегрирования найдем подстановкой решений в граничные условия. В нашей задаче они имеют вид
ишх (0)= ирх (°Х Тш6 (0) = Тр6 (0),
Тр6 (- А ) = 0, Тш6 (Ь2 ) = 0, где Ь\ и Ь2 — толщины пьезоэлектрической и ферри-
товой фаз соответственно, Tm6 = c
ды„
Б—
m44
дх М;
компонента тензора напряжений ферритовой фазы.
Индуцированное в пьезоэлектрической компоненте электрическое поле Е 2 определяется из условия равенства нулю потока электрической индукции через боковую поверхность образца:
Dz dx = O.
(10)
Решая (10) относительно Е2, для МЭ коэффициента
Ех
по напряжению а Е = — получим:
кУ
аЕ = 4пг' —У ер15 Ср44кркшВ2 х
х (1 - совкрЦ )(со5кшЬ2 -1)/
/[ер33Ср44кр1Л(Рш—2 8Шкш12СОвкрЬ1 +
+ Ср44кр кш 8ткш 12 СО8кр12 ) +
+ 4пер15 (Рш—^ крЦСОБ кш^2 +
+ 2Ср44кркш (1 - СО8кр А )СО8кш 12 ) х
х(—2 -у2(Н0 + 4пМ;)Н0). (11) На рис.2 приведена зависимость |аЕ| от частоты / = —/2п для двухслойной структуры железо-иттриевый гранат — цирконат-титанат свинца. Толщины пьезоэлектрической и ферритовой фаз равны соответственно 100 и 195 нм. Потери в образце учтены подстановкой в (11) комплексной частоты О = — + /—ь где —1 - параметр потерь.
В отличие от магнитоакустического резонанса
вания в плоскости образца.
Толщина слоя феррита (195 нм), соответствующая максимальному значению МЭ эффекта, меньше, чем для случая нормальной намагниченности образца (214 нм). Это связано с зависимостью эффективной жесткости феррита от величины и направления подмагничивающего поля.
Включение в рассмотрение малого обменного эффекта привело к появлению асимметрии формы резонансной линии. После достижения максимума наблюдается резкое уменьшение величины МЭ коэффициента. Величина максимума и значение резонансной частоты остаются практически без изменений.
Таким образом, в данной работе получено выражение для МЭ коэффициента по напряжению в области наложения частот электромеханического и магнитного резонансов. Приведена частотная зависимость МЭ коэффициента по напряжению для двухслойной структуры ЖИГ — ЦТС. В области магнитоакустического резонанса при совпадении частот электромеханического резонанса и однородной прецессии намагниченности ферритовой фазы обнаружено существенное увеличение МЭ коэффициента по напряжению. В случае касательно намагниченного образца резонанс наблюдается при меньшем значении подмагничиваю-щего поля. При учете обменного поля форма резонансного пика существенно меняется.
Расчетное значение МЭ коэффициента по напряжению позволяет рекомендовать слоистые композиционные материалы на основе монокристаллических ферритов и пьезоэлектриков для использования в радиокомпонентах, работа которых основана на генерации магнитоупругих волн или на управлении параметрами магнитного резонанса с помощью электрического поля.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №№ 06-08-00896-а, 06-02-08071-офи, 05-02-39002-ГФЕН а.
1. Bichurin M.I., Petrov V.M., Ryabkov O.V. et al. // Phys.
Rev. B. 2005. V. 72. P. 060408(R) (1-4).
2. Рябков О.В. // 11-я Всерос. науч. конф. студентов-
физиков и молодых ученых: Тез. докл. Екатеринбург:
m
Изд-во АСФ России, 2005. С.283-284.
3. Физическая акустика. Т.111, ч.Б. Динамика решетки / Под ред. У.Мэзона. М.: Мир, 1968. 392 с.
4. Бичурин М.И., Петров В.М., Рябков О.В. и др. // Фунда-
ментальные исследования. 2005. № 3. С.27-29.
Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1998. 232 с.
