Магические квадраты в ранних научных работах Л. Эйлера Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып. 4(8)

УДК 51(09)

Магические квадраты в ранних научных работах Л. Эйлера

А. Е. Малых

Пермский государственный педагогический университет Россия, 614000, Пермь, ул. Сибирская, 24 malych@pspu.ru; (342) 280-37-55

Исследованы методы построения Эйлером магических квадратов разных порядков и способы представления их латинскими. Показано, что они явились основой для создания им комбинаторной теории латинских квадратов.

Ключевые слова: комбинаторика; магический квадрат; греко-латинская таблица; методы построения; композиционные теории.

В истории науки трудно отыскать математика, которого не занимали бы магические квадраты (ниже - м.к.) - числовые конструкции размера п х п, заполненные п1 числами натурального ряда так, что в каждой строке, каждом столбце и на каждой из двух диагоналей сумма чисел одна и та же (магическая константа). Сколь-нибудь общей теории не построено, хотя в усилиях на этом пути недостатка не было. Таинственность названия, простота формулировки задач и трудности в их решении привлекали к таким квадратам внимание как первоклассных ученых, так и любителей математики.

За многие столетия накопились различные методы их построения. Однако первые математические результаты относились к XVII в. С того времени резко увеличилось число публикаций. Предметом всестороннего изучения они стали в XIX столетии, когда число опубликованных работ в каждом десятилетии постоянно увеличивалось: 8; 9; 20; 19; 43; 38; 46; 104; 129; 145 [1].

Не удивительно, что м.к. привлекли к себе внимание Л.Эйлера (1707-1783). Часть неопубликованного материала об этих конструкциях находится в двух его "записных книжках" (Н5 и Н6). Напомним, что имеются в виду хранящиеся в Архиве АН РФ 12 боль-

© А. Е. Малых, 2011

ших переплетных тетрадей общим объемом около 4000 страниц, являющихся рабочими тетрадями ученого по математике и механике. Следуя традиции, за ними сохранили название "записных книжек". В Н5, относящейся к ученическому периоду жизни в Базеле (17251727), 19-летний Эйлер заинтересовался построением м.к., элементами которых являются члены арифметической прогрессии [2]. В математической части Н6 (1754-1757) среди многочисленных заметок по теории чисел м.к. занимают 30 с.

В заметке Н5, впоследствии опубликованной в Leonardi Euleri Opera Omnia, Эйлер изучал совершенные и несовершенные м.к. В последних условие магичности не сохраняется вдоль двух диагоналей. В качестве теоремы и ее следствия он сформулировал два утверждения: из любой арифметической прогрессии можно составить м.к., и притом совершенный; если последовательность первых девяти членов образует м.к., то четные числа должны находиться в вершинах квадрата.

Процесс построения совершенных м.к. ученый свел к последовательному выравниванию сумм элементов по строкам и столбцам.

Таким путем

из числового квад- 9 1 5 9 1 5 4 3 8

рата 3 х 3 он по- 8 3 4 4 8 3 9 5 1

лучил м.к. совер- 7 2 6 2 6 7 2 7 6

шенный (I). (I)

Затем Эйлер сформулировал основную проблему построения м.к. из членов арифметической прогрессии и решил две задачи. В первой следовало построить м.к. с разностью а и магической константой Ь. Девять членов прогрессии он представил в виде х+у, 2х+у, ..., 9х+у, где х=а и у - некоторое добавочное число, позволяющее определить х+у. Тогда магическая сумма S м.к. порядка 3 должна быть 45а+9у, а Ь = 15а+3у, откуда у=Ь/3+5а. Зная а и у, можно построить арифметическую прогрессию и, согласно I, получить м.к., поставив в соот-

8 4 24 23 18 43 ветствие чис-

28 12 -4 48 28 8 лам 1 2, •••, 9

девять ее чле-

0 20 16 13 38 33 нов. Взяв, в

(1) (2)

частности, а=4, Ь=36,

Эйлер нашел значение у=-8, затем а+у=-4 и, наконец, 9 членов прогрессии: -4, 0, 4, 8, 12, ..., 28. В соответствии с I из них он составил м.к. (1).

Во второй задаче требовалось построить м.к. с константой Ь и первым членом а. Решение её сводилось к нахождению разности прогрессии. Пусть х+у=а, откуда 3у=3а-3х (/). С другой стороны, Ь = 15а+3у, поэтому 3у=Ь-15а (/7). Приравнивая правые части (/) и (/7), Эйлер нашел разность арифметической прогрессии х=Ь/12 - а/4.

Кроме того, у=а - х=5а/4 - Ь/12. В качестве примера он взял значение а=8 и Ь=84. Тогда х=5 и членами прогрессии являются: 8, 13, 18, 25, ..., 48. Пользуясь I, ученый построил м.к. (2).

В дальнейшем учение о м.к., составленных из членов прогрессий, было расширено и обобщено в работах ученых XIX столетия. Так, В.Коккоз исследовал и изучал м.к., состоящие из прямоугольных [3, 4], П.Лафит -из неотрицательных [5], а А.Жерардин - из простых чисел [6].

Анализ заметки Эйлера из Н5 показал, что в ней, по-видимому, бывшей самой ранней его комбинаторной работой, для построения м.к. существенно применялся алгебраический аппарат. Еще в большей степени ученый использовал его спустя 50 лет в мемуаре "О магических квадратах" [7]. В нем отчетливо прослеживает-

ся зарождение нового направления комбинаторного анализа - теории латинских квадратов.

Все числа 1, 2, ..., х2, из которых составляется м.к., Эйлер представил в виде тх+п, где т = 0; х -1, п = 1; х . Первое слагаемое он заменил буквами латинского алфавита а, Ь, с, ., а второе - греческими а, в, У, ... Для построения м.к. ученый разработал следующие условия:

1. Латинские буквы вписываются в каждую ячейку квадрата так, чтобы их "сумма" по всем строкам и столбцам была постоянной.

2. Аналогичным образом вписывают х греческих букв.

3. Каждая латинская буква сочетается с каждой греческой.

4. Никакая пара букв не должна повторяться.

Заметим, что 3 указывает на наличие в м.к. всех чисел от 0 до х2, а 4 не допускает их повторения. Из условий же 1-4 вытекает невозможность построения м.к. порядка 2.

В четырех параграфах мемуара [7] разработаны методы получения м.к. четного и нечётного порядков, выполнены построения для п = 3;6 и затронуты вопросы их подсчёта для указанных порядков.

Все параграфы имеют сходную структуру: ученый начинает построение м.к. с составления двух вспомогательных таблиц, каждый раз формулируя особые правила заполнения ячеек буквами; после этого находит множество их допустимых значений и, наконец, приводит примеры м.к. этого порядка, параллельно отождествляя или различая их.

Методы заполнения таблиц буквами не носят у Эйлера универсального характера, а различаются внутри каждого из классов четности. Для конкретного порядка п он пытается создать наиболее простой способ такого заполнения.

Построение м.к. в работе [7] начиналось для случая х=3. Эйлер составлял две вспомогательные таблицы: латинскую (3) и греческую (4) с учетом условий 1-4, отмечая, кроме того, что на одной из диагоналей должны встречаться все буквы, тогда как во второй может находиться одна и та же.

Используя условие магичности для букв каждой из диагоналей, он получил основные

а Ь с

Ь с а (3) с а Ь

а, Ь, с е {0, 3, 6}; а+Ь+с =3с ; а+Ь = 2с ;

а=0, Ь=6, с=3 или а=6, Ь=0, с=3.

При взаимном наложении (3) и (4) он построил результирующую таблицу(5).

Найдя сумму соот-

ау Ьв са Ьа су ав св аа Ьу (5)

2 9 4 7 5 3 6 1 8 (6)

а Ь с d d с Ь а Ь а d с с d а Ь (7)

аа Ьё св dy dв су Ьа аё Ьу ав dё са сё dа ау Ьв (8)

ветствующих числовых значений для каждой из ячеек таблицы (5), Эйлер получал искомый м.к. Так, для случая а=0, Ь=6, с=3 и а=1, в=3, у=2 такой квадрат имел вид (6).

Давая другие допустимые значения латинским и греческим буквам, а также составляя различные вспомогательные таблицы, ученый строил различные м.к. После многочисленных примеров составления таких квадратов Эйлер пришел к выводу: "Существует точно один м.к. порядка 3; при любых наборах латинских и греческих букв получается лишь изменение взаимного расположения строк и столбцов квадрата" [7, с. 594].

Для случая х = 4 методы составления вспомогательных таблиц существенно отличаются от рассмотренных выше, а число их значительно увеличивается. Эйлер предложил несколько способов построения м.к. В одном из них первая строка записывалась в естественном порядке, затем заполнялась левая диагональ, после чего, согласно условию I, строилась таблица (7):

соотношения, необходимые для определения допустимых значений букв: у в а

а у в (4)

в а у

«, Р, У е {1,2,3};

а+в+У = 3у ; а+в =2у ;

а=1, в=3, у=2 или а=3, р=1, у=2.

таблицы, Эйлер составил результирующую следующим образом: к латинским буквам левой диагонали приписывал соответствующие греческие. После этого в каждой ячейке, симметричной относительно этой диагонали, размещал греческую букву так, чтобы она была соответствующей для латинской буквы другой ячейки. Этим обеспечивалось выполнение условий 3 и 4. Итогом построения стала греко-латинская таблица (8).

С алгебраической точки зрения полученный из нее м.к. не представлял интереса, так как каждая латинская и греческая буквы могут принимать любое из допустимых значений: а, Ь, с, d е {0, 4, 8, 12}; а в, У, 3 е {1,

2, 3, 4}. Поэтому, выполнив тождественные преобразования результирующей таблицы, Эйлер привел ее к виду, когда на диагоналях встречаются не все латинские и греческие буквы. В частности, сделав подстановку столбцов (1432), он получил результирующую таблицу (9). Из соотношений Ь+с=а+^, а+3=в+у Эйлер нашел допустимые значения для букв: а=0, Ь=4, с=8, d=12 или а=0, Ь=8, с=4, d=12; а=1, в=2, У=3, 3=4 или а=1, в=3, У=2, 3=4. Используя их, он записал м.к. порядка 4 (10). Для построения вспомогательных таблиц другой структуры Эйлер произвел следующее расположение букв (11):

Ьё св dy аа су Ьа аё dв ав dё са Ьу dа ау Ьв сё (9)

8 10 15 1

11 5 4 14

2 16 9 7 13 3 6 12

(10)

Как правило, такое построение не является однозначным, поэтому в результате получалось большое число вспомогательных таблиц. Не пользуясь построением греческой

а а d d аа а d d

d d а а d dв а а

Ь Ь с с Ь Ь су с

с с Ь Ь с с Ь Ьв

(11) (12)

В каждой строке этой таблицы встречаются в точности две буквы: каждая пара столбцов имеет одинаковую структуру. Кроме того, в строках и столбцах "сумма" каждой пары букв должна быть в два раза меньше "суммы" всех четырех букв. Тогда для построения латинской таблицы должно выполняться условие a+d=b+c (/). Кроме того, одна из диагоналей содержит все латинские буквы. К каждой из латинских букв Эйлер приписал соответствующие им греческие (12).

аа аё йв йу йа йё ав ау Ьё Ьа су св сё са Ьу Ьв (13)

1 4 14 15

13 16 2 3 8 5 11 10

12 9 7 6

(14)

После этого ученый расставил по упомянутому выше правилу греческие буквы относительно заполненной диагонали (13).

Из структуры результирующей таблицы видно, что а+ё=в+у (//). С учетом (/) и (//) в качестве допустимых значений букв он выбрал: а=0, Ь=4, с=8, ё=12; а=1, в=2, у=3, ё=4. Подставив их в полученную таблицу, Эйлер пришел к м.к. (14).

Ученый отметил также, что структура результирующей таблицы, для которой справедливы соотношения (/) и (//), может быть и другой, например (15). Соответствующий ей

м.к. имеет вид (16).

аа йв аё йу 1 14 4 15

Ьё су Ьа св 8 11 5 10

йа ав йё ау 13 2 16 3

сё Ьу са Ьв 12 7 9 6

(15) (16)

Для порядка 4 Эйлер нашел число м.к. определенного вида. Их оказалось 24x24=576. Однако ученый не ставил целью нахождение общего числа всех типов квадратов этого порядка. Заметим, что количество неизоморфных между собой м.к. порядка 4 впервые было получено Френиклем де Бесси [8] еще в 1693 г., однако этого факта Эйлер, по-видимому, не знал.

Для х = 5 имеется гораздо большее число способов составления вспомогательных таблиц. Даже к настоящему времени количе-

ство неизоморфных м.к. этого порядка не установлено; полагают, что их должно быть не менее 750.000.

Таблицу из латинских букв Эйлер составил по аналогии с предыдущим случаем (17). В таком же направлении осуществлялось заполнение результирующей таблицы, однако оно начиналось со среднего столбца (18).

а Ь с й е

е с й а Ь

й е Ь с а

Ь й а е с

с а е Ь й

(17)

ае Ьё су йв еа ев са йё ау Ье йа еу Ьв се аё Ьу йе аа её св сё ав ее Ьа йу (18)

Так как с алгебраической точки зрения эта таблица не представляла интереса, то Эйлер, выполнив циклическую подстановку столбцов (15432), получил изоморфную ей (19).

Для нее он записал соотношение между буквами, расположенными на диагоналях: 2с+2ё=а+е+а+уи 2а+2е=й+е+у+ё, откуда нашел

2с=а+е; 2а=й+е;

2ё=а+у; 2е=у+ё.

Затем ученый определил некоторые допустимые значения букв. Так, если а, Ь, с, й, е принимают соответственно значения 0, 5, 10, 15, 20; а а, в, У, е, ё - 1, 2, 3, 4, 5, то построенный м.к. имел вид (20).

Ьё су йв еа ае са йв ау Ье ев еу Ьв се аё йа йе аа Ьё св Ьу ав ее Ьа йу сё (19)

8 20 2 21 14 16 3 15 9 22

25 7 19 13 1

4 11 23 17 10 12 24 6 5 18

(20)

с е с й а Ь с й е Ь с а с (21)

Эйлер предложил еще один способ составления вспомогательной таблицы: заполнение начиналось со средних строки и столбца латинскими буквами, расположенными в естественном и обратном порядках соответственно, а расположение с - вдоль левой диагонали (21).

c d e a b c s d ea ав by 14 2 о 21 2 8

b c d e a bs ca dp ey aS 10 11 17 3 2 4

a b c d e aa b cy dS es 1 7 13 19 5 2

e a b c d e ay S b s c da 22 3 9 15 16

d e a b c dy eS as a b 18 4 2 5 6 12

(22) (23) (24)

Остальные буквы записывались в естественном порядке, располагаясь снизу вверх по столбцам и слева направо - вдоль строк

(22). Начиная со средней строки, к каждой латинской букве Эйлер приписал соответствующую ей греческую, а в каждой последующей строке выполнял циклические подстановки из пяти греческих букв, каждый раз смещая их на одну ячейку влево.

Результирующая таблица приняла вид

(23). Из ее анализа вытекало, в частности, что а, в, У, £, 3 равны соответственно 1, 2, 3, 4, 5, а

а, Ь, с, d, е - 0, 5, 10, 15, 20. Искомый м.к. имел вид (24).

Давая латинским и греческим буквам другие допустимые значения, Эйлер получал различные м.к., после чего заключил: "Едва ли можно исчерпать все случаи, даже если число их будет конечным'' [7, с.620]. Поэтому очередной задачей исследования стало отыскание общего правила построения м.к.

Ввиду огромного числа различных м.к. порядка 6 Эйлер построил лишь частный вид вспомогательной латинской таблицы, сходный по структуре с предыдущим случаем (25).

Греческие буквы он приписывал вдоль столбцов (26). Не приводя конкретных числовых примеров м.к., Эйлер отметил, что из представленной результирующей таблицы очевидна процедура составления большого числа таких таблиц.

a a a f f f aa аф fS fs

f f f a a a fa f9 S a a s a

b b b e e e ba Ьф S e e s e b

e e e b b b ep ea es Ьв bS by

c c c d d d cp ca cs de dS dy

d d d c c c dy da c S c ds

(25) (26)

Таким образом, в мемуаре "О магических квадратах" [8] Эйлер:

• выполнил переход от числовой арифметической прогрессии к латинским, греческим и результирующим таблицам;

• сформулировал правила, определяющие составление таких таблиц, тем самым неявно ввел понятие латинского квадрата;

• указал методы построения м.к. порядка п=3-5; затронул вопрос нахождения числа м.к.

Анализ работ Эйлера о м.к. позволил сделать вывод о том, что основы теории латинских квадратов были заложены им в мемуаре 1776 г. [8], а не три года спустя, когда он уже непосредственно исследовал их [9].

Кроме того, выяснено, что теоретические результаты ученого, намного опередившие время, были подготовлены предшествующими его исследованиями в этом направлении многими математиками.

Список литературы

1. Cazalas E. Carrés magiques au degrén (Series numerales de G.Tarry). Paris, 1934.

2. Euler L. De quadratis magicis // Leonardi Eul-eri Opera Omnia, 1923. Vol. I7. P.535-539.

3. Coccoz V. Carrés magiques à nombres triangulaires // Ass. Franc. pour l'avancement Sci.-15 Nancy. 1886. Vol. 11. P.130-134; (Pau) 1892; Vol.11. P.147.

4. Coccoz V. Carrés magiques a nombres non consécutifs // Ass. Franc. pour l'avancement Sci // 23 (Caen). 1894. Vol. 23. Part 2. P.163.

5. Lafitte P. de Le carré magiques de 3. Paris, 1904.

6. Gerardin A. Dans Sphinx-Oedipe. Nancy, 1920. P.167; Questions 727 et 735; 1921, P. 170-171.

7. Frenicle de Bessy. Des carres magiques. -Divers ouvrages de mathem. et de physiques par Messieurs de l'Acad. Royale des Sciences. Paris, 1693. P.423-507.

8. Euler L. De quadratis magicis // Leonardi Eul-eri Opera Omnia. 1923. Vol. I7. P.593-622.

9. Euler L. Recherches sur une nouvelle espece de carres magicues // Leonardi Euleri Opera Omnia, 1923. Vol. I7. P.291-392.

Magic squares in early scientific works of L. Euler

^ E. Malykh

Perm State Pedagogical University, Russia, 614000, Perm, Sibirskaja st., 24 malych@pspu.ru; (342) 280-37-55

Euler’s methods of constructions magic squares and presentation them by Latin ones is investigated. They served by him as a basis for creation combinatorial theory of Latin squares is considered.

Key words: combinatorics; magic square; Greek-Latin table; methods of construction; composite theorems.