ЛУЧ СВЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

АПВПМ-2019

ЛУЧ СВЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ

В, В, Учайкин1

1 Ульяновский государственный университет, 432017, Ульяновск

УДК 52-17

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10083

Рассматриваются несколько моделей распространения излучения (радиоволн, света, рентгеновского и гамма-излучения) в турбулентной среде с применением к задачам астрономии и астрофизики. В отличие от стандартных моделей случайно-неоднородных сред, построенных на основе теории возмущений и по этой причине применимых к описанию рассеяния на мелкомасштабных флуктуациях среды гауссова типа, турбулентная среда характеризуется пульсациями больших амплитуд, крайне нерегулярно распределённых в пространстве. Учёт этих особенностей приводит к необходимости использовать уравнения с нелокальными операторами дробного типа. В докладе даётся краткий обзор свойств их решений.

Ключевые слова: рассеяние, турбулентность, диффузия, устойчивые законы.

Введение

Излучение космических источников (радиоволны, свет, рентгеновы лучи, гамма-излучение) на пути до его регистрации испытывает рассеяние, обусловленное случайными искривлениями лучей, проходящих через неоднородности межзвездной плазмы. Последствия этого рассеяния проявляются в увеличении измеряемых угловых размеров локальных источников, флуктуациях интенсивности (мерцаниях) при измерениях в ограниченных частотных полосах, увеличении длительности и изменении формы сигналов от импульсных источников. Эффект запаздывания является основным источником оценки расстояний до пульсаров [1]. В свою очередь, искажение формы изображений, получаемых на современных земных и внеземных телескопах, является нежелательным эффектом, для компенсации разрабатываются специальные коды [2], основанные на теории переноса излучения в межзвездной среде, основным свойством которой является турбулентная неоднородность [3]. Она характеризуется сильными пульсациями, далекими корреляциями, степенными законами, в силу чего кляссическая гауссова модель случайной среды оказывается неприменима, равно как и теория возмущений для описания диффузии в такой среде, предполагающая неоднородности мелкомасштабными, а их амплитуды малыми. В настоящей работе даётся краткий обзор моделей, свободных от этих ограничений и примениых к расчётам сигналов от далёких источников космического излучения — пульсаров, квазаров, космических всплесков.

1 Волновая модель

В основе волновой модели переноса изображения в мелкодисперсной (газ, плазма) однородной среде лежит классическое волнововое уравнение

1 д 2и

Аи--тг

с0 дг2

0.

Представляя его решение и(г,Ь) в виде произведения быстро меняющегося гармонического множителя ехр(г^) та медленно меняющуюся амплитуду ф(г, ¿), так, что

д 2ф

дг2

< 2ш

дф

дЪ

д2и , ,( дф 2 ^

= ехр(г^) I - ш ф

и

!ЯВ.\ 978-5-901548-42-4

приходим к параболическому уравнению

. . , 9. , 2 iк дф (Д + )ф =— д-с0 at

с волновым числом к = ш/со, где со — скорость света. Комбинируя его с комплексно-сопряжённой его версией

(Д ^ )ф* = - ,

о д

после несложных преобразований получаем для распределения интенсивности I(x, y;t) = ф*ф = |ф|2 в плоскости ху диффузионное уравнение

д1 (x,y;t) ПЛ77 .ч m -d~t-= ОД1 (х, у; t) (1)

с оператором

д x2 д 2

коэффициентом диффузии D = с0/(2к\) и начальным условием 1(х, у;0) = 10(х,у), представляющим выходящее из источника изображение 10(х, у). Результирующее отображение в момент t дается двумерной свёрткой первичного изображения и двумерного гауссиана

с(1)(х>mt) = 4D exp

(х2 + у2 V V 4Dt )

(2)

являющегося функцией Грина диффузионного уравнения (1).

Точка на плоскости ху, представляющая собой проекцию па нее положения луча в момент I, совершает на этой плоскости броуновское движение, физические адекватное предельному блужданию частицы в случайном распределении независимых и равномерно распределённых атомов (типа атомов идеального газа). Вот эти-то два фактора этой модели и мешают принять её в качестве рабочей для описания процесса распространения фотонов в межзвёздной среде. Броуновская модель (в её допредельном варианте) предполагает экспоненциальное распределение интервалов времени между последовательными столкновениями, формирующее пуассоновский (во времени) поток событий, и определённую ограниченность элементарных смещений, обеспечивающую существование среднего квадрата смещения. Отношение среднего квадрата смещения к среднему интервалу времени между событиями и даёт величину коэффициента диффузии.

Главным препятствием на пути применения такой модели является расходимость указанных характеристик, порождаемых турбулентным характером межзвёздной среды, а именно, степенными законами. В [4], в частности, указывается, что основной причиной турбулентности является развитие гравитационной МГД-неустойчивости, приводящей к формированию иерархической последовательности — суперкластеры, кластеры, молекулярные облака, протозвёздные облака, которые и идентифицируются по различию в показателях степенных законов, связывающих скорости с магнитными полями, плотностями и размерами наблюдаемых облаков.

2 Дробно-дифференциальная супердиффузия

В теории многократного рассеяния света в турбулентной оптически прозрачной среде используется кинетическая модель, в рамках которой поток света рассматривается как поток частиц (фотонов). Дифференциальное сечение рассеяния на единице длины пути и)(в] выражается через спектральную плотность (трансформанту Фурье) корреляционной функции диэлектрической постоянной е(г)

*М) = 8Ы ^^(п) - ^Ф1+г) - тт.

я3

В статистически однородной и изотропной турбулентной среде спектральная плотность зависит только от абсолютной величины векторного аргумента ц = и эта связь выражается соотношением

w(9) = (1/2)пк40Фе(д)

где q = 2к0 sin(0/2), а к0 — волновое число в однородной среде с диэлектрической постоянной е. В инерционном интервале волновых чисел (1/L, 1/1), согласно колмогоровскому закону двух третей,

Фе(д)= Cq-11/3, С = const (уравнение (26.31) книги [5]). Наиболее вероятно рассеяние на малые углы, для которых

w(9) = (1/2)-кк4С[2к0 sin 0/2]-11/3 - Ав-а-2, в ^ ж, А = const, а = 5/3. (3)

Пусть в начале координат находится точечный мононаправленный источник света. Выберем координатную ось Z совпадающей с этим первичным направлением По- В малоугловом приближении теории рассеяния координата я фотона отождествляется с пройденным им путем, а для характеристики отклонения его от первоначального направления используется двумерный вектор u = Qy}, область изменения которого расширяется па всю плоскость: —ж < их < ж, —ж <иу < ж, 0. Соответствующее данному приближению кинетическое уравнение для углового распределения имеет вид

df (u,t)

pj [f (u — u',í) — f (u,í)M|u'|)du', f (u, 0) = S(u),

т

я2

подобный уравнению, описывающему многократное рассеяние заряженных частиц в веществе. Разлагая уменьшаемое в ряд по и' и выполняя интегрирование (то есть, усредняя по углу рассеяния), приходят к известному уравнению типа Фоккера-Планка для главной асимптотической части решения ]а>3(и, £) = I(и, £):

д1 (и, 4) Ы2)АТ/ ,

где {и2) = / ад(|и|)м2^и — средний квадрат угла рассеяния в единицу времени. В турбулентном случае этот я2

интеграл расходится, и вместо разложения в ряд мы воспользуемся асимптотической подстановкой (3):

^ М= ..„(и) ,(и) = I Г,(и и'.) Г (и .)1,и',-а-2,и

¡J.AJ (u), J (u) = J [I (u — u',í) — I (u, t)] | u' |

т

я2

При а > 1 интеграл столкновений расходится, и для устранения этой расходимости воспользуемся процедурой регуляризации Адамара, заменяющей расходящийся интеграл 7(и) его конечной (в смысле Адамара) частью

p.f. J(u) = J [I(u — 2u', t) — 21 (u — u',í) + I(u, t)] |u' |"

я2

Регуляризованный таким образом интеграл выражается через дробную степень двумерного лапласиана соотношением

р.1. J(u) = -с(а)(-А)а/21(и, Ь), с(а) = —-( ■ / /2) •

[1(1 — а/2)\2 тщаж / 2)

Следовательно, асимптотическое поведение углового распределения интенсивности I(и, £) фотонов, регистрируемых в момент Ь в турбулентной среде, описывается уравнением с двумерным лапласианом дробного порядка

Щ^И = —В(—АГ/21 (и, *), I (и, 0) = ¿(и), (5)

где В = с(а)»А. Решение уравнения (5) выражается через двумерную изотропную устойчивую плотность Леви-Фельдгейма с характеристическим показателем а = 5/3

сю

Ф(2а)(г) = — I е-к° Мкг)к(1к

2-к ]

о

/(и,*) = [ВГ2/аф2а)([ВГ1/а|и|). (6)

о

соотношением:

Отметим три характерных отличия рассеяния в турбулентной среде а < 2 от аналогичного процесса в среде с мелкомасштабными флуктуациями коэффициента преломления (а = 2): ширина углового распределения рассеянных фотонов растет со временем пропорционально Э. НС хвосты распределения имеют степенной, а не гауссов вид (в силу чего дисперсия бесконечна), и проекции вектора и та оси х и у не являются независимыми. Вследствие того, что диффузионный пакет в данной модели расширяется быстрее, чем в случае нормальной диффузии, её часто называют аномальной супердиффузией [6]. Заметим также, что при а = 2 она превращается в нормальную диффузию, при а = 1 превращается в двумерный процесс Коши, а при а > 2 решение соответствующего уравнения теряет смысл плотности вероятности. Нельзя не указать на одно важное свойство распределения со степенными хвастами: медленное (по сравнению с привычной экспонентой) их спадание приводит к тому, что на крыльях наблюдается эффект перемежаемости: появляются малочисленные группы событий, перемежаемые пустотами. В астрономических измерениях они прояляются как гало, окружающие основное изображение источника и состоящие из одиночных нерегулярно распределённых вспышек — сцинтилляций. Именно в этом природа сцинтилляций, а не в особом механизме поглощения. На связь сцинтилляций со степенной (негауссовой) формой крыльев распределения в актах рассеяния указывается в работах [7]- [9].

3 Дробно-дифференциальная субдиффузия

Рассмотренные выше модели обладают одним общим свойством: они марковские. Очевиднейшим признаком этого является первая производная по времени, с которой начинаются эти уравнения. Собственные функции этого оператора — экспоненты, описывающие распределение времен между событиями такого процесса. Как и в случае рассмотрения пробегов, экспоненты эти отражают независимость процессов, но теперь уже временную независимость, иными словами — отсутствие памяти. Чтобы "включить память" в такой процесс, достаточно заменить в диффузионном уравнении (1) первую производную по времени производной дробного порядка:

д»

— [I(u, t) - I(u, 0)1+(t)] = DM(u, t). (7)

Здесь 1+(i) — "ступенька" Хэвпсайда, первая производная от которой — дельта-функция, а производная

порядка v € (0,1) — её дробный аналог: 3»(t) = г(1-») • Второй момент распределения, даваемого решением уравнения (7),

f u2I(u, t)du =rVDr)t», (8)

указывающей на замедленное по сравнением с нормальным расплывание диффузионного пакета, что и оправдывает термин "субдиффузия" [10] (прилагательное "дробно-дифференциальная" указывает на способ реализации замедления, которое может быть достигнуто и другим способом и иметь другие свойства).

Блэкледж также вводит в процесс описания распространения изображения и уравнение с показателем v € (1, 2)

В обоснование этого он пишет: "Дробно-дифференциальная модель применима к процессам рассеяния в слабой и крайне разреженной среде. В прикладной оптика, один из самых распространенных примеров этого явление имеет место в астрономии и связан с с рассеянием света на межзвёздной пыли, частицы которой представляют собой кластеры от нескольких молекул до размеров порядка 10-0 м" [2]. Решение этого уравнения так же записывается в форме (6), только вместо устойчивой плотности Ф2" фигурирует дробно-устойчивая плотность ф22'»)- При v = 1 она превращается в гауссово распределение, а при меньших значениях имеет острую вершину и характеризуется дисперсией (подробности см. в [10]- [12]). Несколько таких распределений показано на рис. 1.

Если проследить за временной последовательностью событий, то при v = 1 мы увидим стандартный пуассоновский процесс, в больших масштабах превращающийся в однородный поток с исчезающе малыми флуктуациями, а вот при меньших значениях этого параметра процесс станет дробно-пуассоновским [13]: случайные интервалы с более или менее плотным содержанием событий будут перемежаться с почти пусты-

зрения причина такого поведения процесса та же, что и в случае угловых распределений: степенной характер законов, в данном случае — распределений интервалов времени между событиями. Физическая же интерпретация в наличии крупномасштабных корреляций в турбулентной среде, учет которых и приводит к

появлению распределений Миттаг-Леффлера, заменяющих традиционные экспоненты. Эти распределения, при V = 1 превращающиеся в экспоненты, при других значениях V характеризуются степенными хвостами.

Наклнец, вполне естественно ввести уравнение, содержащее оба рассмотренных выше дробных оператора. Получаемый в результате процесс называют дробно-дифференциальной аномальной диффузией [12,13].

Рис. 1: Распределения ^(О Для указан- Рис. 2: Геометрия узкого луча (( - положение

источника, Р — точка наблюдения)

ных значений а

4 Поле вблизи оси

Рассмотренные выше диффузионные уравнения относились к асимптотически удалённым областям, в больших масштабах отдельные столкновения становились почти неразличимыми, отсюда и диффузионный характер уравнений. В работе [14], рассматривающей комптоновское рассеяние, показано, что в окрестности тонкого луча, испускаемого направленным источником, на любой глубине будет доминировать вклад однократного рассеяния. Ограничившись для этой цели рассмотрением интенсивности в точке Q на границе однородной среды, запишем спектр однократно рассеянной интенсивности в координатах, изображённых на рис.2:

es

h( r,e,E) = as(E° í exp(--— [a(E0)sin( в' — в) + a(E1) sin6}) w(cos 6')E1(cos в' )dB'. (9)

p J L sin 6' J

Здесь Eo и Ei = Eo/[1 + (1 — cos 6')Eo/me с2} — энергии первичного и рассеянного на угол в' квантов, —

полное сечение взаимодействия и сечение комптоновского рассеяния та единице длины пути, w(cos в') — угловая индикатриса комптоновского рассеяния w(cos 0')dü' = 1). Разлагая подынтегральную экспоненту в ряд, h = h ■> получим:

/(0) = ^—a(E)z J' w{cos 0r)Eid0(10)

^ в

es

l{1] = as(E)e-a(E)z j[a(E) ctg в' - a(E1) cosece']w(cose')E1de', (11)

в

es

/(2) = оЛЕ! ^ _a{E)zJ [a(E)ctg6' - a(Ei) cosec в']2 w(cos в') Eide', (12)

в

Если детектор находится достаточно далеко от источника и от границы (т.е. z ^ р и h ^ р), то в « р/z ^ 0 6S « к — р/h ^ к, и следовательно,

J0 = °s(E) e-a(E)z f w(Cosß')E1de', (13)

р J

а в случае расположения детектора на границе в8 = к/2.

Пусть 1о(х, у) первичный профиль излучаемого моноэнергетическим источником пучка квантов, а 1(х, у, г) совокупное распределение интенсивности плоскости, перпендикулярной оси пучка и находящейся на рассто-

излучаемого источником пучка, но ослабленную на экспоненциальный множитель, учитывающий выход квантов за пределы пучка вследствие рассеяния,

Г*с(х,у, г) = 1о(х, у)е-^,

и рассеянной компоненты

Г*(х, у, г) = *ве-- / , (14)

где

/АЛ л/(х — х')2 + (у — у')2 '

7Т/2

2-к Г , ,

0(Е) = — ■ш(созв')Е1(совв'^в'.

о

а интегрирование ведётся по поперечному сечению А выходящего из источника луча.

В случае однородного распределения нерассеянного излучения по круговому сечению радиуса а

( ч ( <70, Г < а; а(г) = \ 0,

0, г > 0,

апс!

а 2ж

. . оог'<1г'(Ш

%/г2 + г'2 — 2гг' сов $

оо

/V /-т.-;;---,. а — г сов $ + %/ г2 + а2 — 2га сов $ \

Ф(г) = 2<о / V г2 + а2 — 2га сов$ — г + г сов$ 1п-----)а$.

} V г(1 — сов$) /

Далее, вводя х = и интегрируя член с логарифмом по частям, получаем

<р(г) = 2<о [(а + г)Е(к) + (а — г)КШ\, к = , (15)

г + а

где К и Е — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. При г = 0 Е = К = ^/2, и формула (15) принимает вид у>(0) = 2-ка,ао.

Заключение

Мощные и сверхмощные источники электромагнитных излучений, знакомством с которыми одарил нас минувший век, эти маяки, большей частью пульсирующие или ометающие вращающимися лучами Вселенную, несут колоссальный объём информации о межзвёздной и межгалактической среде, извлечение которой требует совершенствования математических моделей как самих этих сред, так и процессов распространения излучений в них. Всего лишь полвека назад модель, предложенная Шойером [15], заменившим всю пересекаемую радио-излучением среду одним тонким экраном со случайно распределенным коэффициентом преломления, казалась достаточной для оценки формы и времени задержки измеряемых радио-импульсов таких источников, но в наши дни наземная и внеземная астрономические службы способны представить информацию, требующую для её осмысления более совершенных математических методов и моделей.

В настоящем докладе показано, каким образом учет важнейшей (хотя, разумеется, не единственной) особенности межзвёздной среды — многокомпонентное™ и турбулентности — модифицирует математический аппарат, выводит на сцену нелокальные в пространстве-времени дробно-дифференциальные операторы, степени которых связаны с показателями степенных законов развитой турбулентности, сформулированных А.Н.Колмогоровым и подтверждаемых сегодня многочисленными астрофизическими наблюдениями. Изложенный здесь аппарат вполне пригоден для изучения влияния многократного рассеяния на величину и форму наблюдаемых импульсов, так и для восстановления свойств среды, сквозь которую проходит регистрируемое излучение [16,17].

Список литературы

fl] Taylor J. Н. andCordes J.M. Pulsar distances and the galactic distribution of free electrons // Astrophys. J. 1993. V. 441, P.674-684.

[2] Blackledge J.M. Diffusion and Fractional Diffusion Based Models for multiple light scattering and image analysis // Isast Trans. Electron and Signal Processing. 2007. V. 1, iss. l.P. 1-22.

[3] Kardashev N.S., Khartov V.V., Abramov V.V., et al. RadioAstron'-A telescope with a size of 300 000 km: Main parameters and first observational results // Astronomy Reports. 2013. V. 57. P. 153-194.

[4] Dudorov A.E. Properties of the hierarchy of interstellar magnetic clouds // Astron. Zh. 1991. V. 68, P. 695708.

[5] Рытов C.M., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Том 2. М.: Наука, 1978.

[6] Золотарев В.М., Учайкин В.В., Саенко В.В. Супердиффузия и устойчивые законы // ЖЭТФ. 1999. V. 115, Р. 1411-1425.

[7] Boldyrev S., Koenigl A. Non-Gaussian radio-wave scattering in the interstellar medium // The Astrophysical Journal. 2006. V. 640, P. 344-352.

[8] Boldyrev S., Gwinn C. Scintillations and Levy flights through the interstellar medium // The Astrophysical Journal. 2008. V. 584. iss. 2. P.791-796.

[9] Scalo J., Elmegreen B.G. Interstellar turbulence II: Implication and Effects // Annu. Rev. Astron. Astrophys. 2004. V. 42. P. 275-316.

[10] Учайкин B.B. Субдиффузия и устойчивые законы // ЖЭТФ. 1999. V. 115, Р. 2113-2132.

[11] Учайкин В.В., Коробко Д.А. Фрактальная модель переноса: малоугловое приближение // ЖТФ. 2004. V. 74. Р. 12-19.

[12] Учайкин В.В. Аномальная диффузия и дробно-устойчивые распределения // ЖЭТФ/ 2003. V. 124, Р. 903-920.

[13] Учайкин В.В. Метод дробных производных, Ульяновск: Артишок, 2008.

[14] Uchaikin V.V. A gamma-ray in a uniform Compton scatterer // Phys. Astron. Int. J. 2018. V. 2. iss. 6, P. 573-576.

[15] Scheuer P.A.G. Amplitude variations in pulsed radio sources // Nature. 1968. V. 218. P. 920-922.

[16] Siyao Xu, Bing Zhang, Scatter broadening of pulsars and implications on the interstellar medium turbulence // The Astrophysical Journal. 2017. V. 835. iss. 2, P. 1-11.

[17] Ue-Li Pen, Levin Yu. Pulsar scintillations from corrugated reconnection sheets in the interstellar medium // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2014, V. 442, P. 3338-3346.

Учайкин Владимир Васильевич — д.ф.-м.н., заведующий кафедрой теоретической физики;

Ульяновский государственный университет;

е-mail: vuchaikin Qgmail. com,. Дата поступления — 30 апреля 2019 г.