Спектр электронов в галактической среде фрактального типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.591.15

A.A. Лагутин, А.Г. Тюменцев, Н.В. Волков, A.C. Кузьмин

Спектр электронов в галактической среде фрактального типа

Рассматривается задача восстановления спектра генерации электронов в галактических источниках космических лучей по наблюдаемым в районе Солнечной системы энергетическому спектру частиц и синхротронному излучению. Распространение ускоренных в источнике электронов в неоднородной галактической среде, моделируемой средой фрактального типа, описывается нестационарным уравнением фрактальной диффузии с дробными производными.

Анализ полученных в работе аналитических и численных результатов по спектру электронов и интенсивности синхротронного излучения в диапазоне 2 МГц - 2 ГГц показал, что самосогласованное описание экспериментальных данных достигается, если показатель спектра генерации электронов в источниках в интервале энергии 0.1 - 103 ГэВ изменяется от р - 2.6 в области низких энергий до р = 2.85 при Е > 103 ГэВ.

Введение

Наблюдения нетеплового радиоизлучения Галактики стимулировали исследования прохождения электронов высоких энергий через межзвездную среду. После основополагающей работы [1| почти 50 лет назад, где в диффузионном приближении установлены основные особенности модификации энергетического спектра электронов, инжектируемых источниками, проблема диффузии электронов обсуждалась в большом числе работ (см., например, (2-4], а также [5], где дан перечень теоретических и экспериментальных работ).

Так, например, в работе [3] наблюдаемый в экспериментах спектр электронов удалось описать в принятом авторами работы приближении нормальной диффузии при спектре генерации частиц в источниках 5 ос £'~2'2 и энергетической зависимости коэффициента диффузии О ос Е~0-6 в предположении, что высокоэнергичный участок спектра (Е > 100 ГэВ) сформирован локальными молодыми источниками (г < 100 пк, Ь < 105 лет), а низкоэнергетичный — удалёнными (г > 1 кпк) источниками Галактики. Другими словами, в работе [3] спектр электронов воспроизводится путем объединения двух гауссианов, описывающих вклады от двух отмеченных выше групп источников.

В данной работе, рассматривая распространение электронов в Галактике, мы отказываемся от предположения о квазиоднородности среды, использованного во всех предыдущих работах. Основываясь на данных многочисленных экспе-

Работа поддержана грантами президента РФ МК -2873.2007.2 и РФФИ № 07-02-01154.

риментов, галактическая среда рассматривается как среда фрактального типа. Важным следствием этого предположения является степенное распределение пробегов частиц X в среде такого типа Р{Х > х} ос х~°, х —♦ оо, а < 1 (так называемые «полеты Лёви»), показатель которого определяется фрактальностью среды. Имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные позволяют предполагать, что «полеты Лёви» могут иметь важное значение, по крайней мере, в масштабах г < 300 пк.

Сегодня установлено, что учет фрактальных свойств среды может быть осуществлен заменой оператора лапласа А в уравнении нормальной диффузии оператором дробного дифференцирования по пространственной переменной (см., например, монографию [6] и приведенные в ней ссылки, а также работу [7]). Дробный лапласиан, отражающий наличие больших пробегов частиц в пустотах, делает процесс диффузии космических лучей нелокальным.

Целью данной работы является восстановление спектра генерации электронов в галактических источниках космических лучей по наблюдаемым в районе Солнечной системы энергетическому спектру частиц и синхротронному излучению при условии, что частицы на трассе «источник - Солнечная система» распространяются в среде фрактального типа.

1. Модель фрактальной диффузии электронов

Уравнение для концентрации электронов с энергией Е, создаваемой во фрактальной среде распределением галактических источников с

плотностью S(r,t,E), с учетом энергетических потерь имеет вид [5]

8N №

Здесь П(Е,а) = Б0(а)Е5 — коэффициент фрактальной диффузии (см. [7]), Ь(Е) — средняя скорость непрерывных потерь энергии. Дробный лапласиан (-Л)"'2 [6, 8], как было отмечено выше, отражает наличие больших пробегов электронов.

При распространении электронов в галактической среде скорость изменения их энергии Ь(Е) обусловлена ионизацией, потерями на обратное комптоновское рассеяние, тормозное и синхро-тронное излучение. Следуя [3], Ь(Е) записываем в виде

Ь(Е) = Ъ0 + Ь1Е+Ь2Е2 » Ь2{Е + Е1)(Е + Е2), (2)

где Ь0 - 3.06 • 10~16п (ГэВ- с"1), Ьг щ 10~15п (с"1), Ь2 = 1.38 • 10_1б(ГэВ- с) '1 (для напряженности магнитного поля В « 5 мкГ и плотности фоновых фотоно

В (х) ~

1 (эВ/см3)), а Е\ =

Ь0/Ьг,Е2 = 61/62-

Методика вычисления коэффициента фрактальной диффузии В0 описана в [7]. Там же на основе анализа ядерной компоненты космических лучей для показателя 6 энергетической зависимости коэффициента фрактальной диффузии было получено значение 5 = 0.27, что практически совпадает с принятым для колмогоровской турбулентности значением 1/3 [9].

2. Функция Грина уравнения фрактальной диффузии электронов

Функция Грина (3(г, I, Е; г0, ¿о, Ео), удовлетворяющая уравнению

+6(г - т0)6(1 - 1о)6(Е ~ Ео) (3)

и нулевым условиям на бесконечности, находилась с использованием стандартных замен [1] и преобразования Фурье. После проведения этих выкладок, при го = 0, ¿о = 0 получено

G(r, t, Е: Ео) хб( Е0

fl^CM*

-1/QN

A3/Q(l -b2t(E + E2))2

Е± Ег__

bxt(E + E2)/(E2 - ЕО 1 х Я(1 - b2t(E + E2))H(t).

Здесь обозначает плотность вероятности

трехмерного сферически-симметричного устойчивого распределения [10], а

г т _ £ + Вг____

mm

Х(Е,Ео) =

DjE'.a) Ь(Е')

dE'.

3. Энергетический спектр электронов

Используя функцию Грина (4), можно легко получить решение уравнения (1) для различных типов источников. Так, например, для точечного стационарного источника S(r, Е) = SCE~P5(г) решение имеет вид

1/62(Е+Ё2)

ЛГ(г, Е) = Sc

/

dt'EoP\{t,\E)

-з/о

х(1 - b2t'(E + E2))-2g^ (jr|A. (5)

В случае точечного импульсного источника со степенным энергетическим спектром S(r, t. Е) = S\E-pS(r)H{T - t)H{t) находим

dt'E^ х

min[t,l/&2(£+Es)]

N{r,t,E) = Sl I

max[0,f—T]

x A(i\ E)~3/a( 1 - b2t'(E + E2))~2 x

(6)

Следуя работе [3], интенсивность электронов представим в виде

J(r,E) = Jc(r,E) + JL(r,t,E) »

\

V

4л

М(г,Е) + ]Г

7< 1КПК

(7)

/

где .1а обозначает глобальную составляющую спектра -- вклад многочисленных старых {£ > 10е лет) удаленных (г > 1 кпк) источников, а Jъ — локальный компонент, определяемый близкими (г < 100 пк) молодыми (г < 105 лет) источниками.

Поскольку при энергии частиц Е « (0.1 -4- 10) ГэВ наблюдаемый в Солнечной системе поток электронов подвержен влиянию модуляционных эффектов, то для учета солнечной модуляции использовалась модель [111

1г2 2

Ь — ТПеС

•Л.чг«у(г- Е)

(Е + <Щ)~ - т.ес

2 J (г, Е + ЩЩ, (8)

С

Рис. 1. Спектр электронов в зависимости от скейлинговой переменной | в случае точечного стационарного источника при различных режимах диффузии. Все кривые нормированы в точке 1.

где те — масса электрона, а <3?{£) полагалось равным 600 МэВ. [ ] Следует заметить, что в области энергий Е > 10 ГэВ, где ионизационные и тормозные потери становятся несущественными, выражение (2) упрощается:

(9)

то его можно свести к виду 1

N{() - N0(a,E) I с1тф{т)-'^а(1 - т)*~2 х о

(^(т)-1/а) , (11)

где

N0(a, Е)

1)2(1 - S)

Решение задачи восстановления спектра электронов в источнике в этом случае подробно рассмотрено в [5], авторами было показано, что выражение для концентрации электронов от многочисленных старых удаленных источников, используя модель точечного стационарного источника, имеет вид

1/(Ь2Е)

b2 v D0

ф(т) Я 1 - (1 - г)1-* ft2(l -S)E1-s

Do

(12)

Щт, Е) = $сЕ-р I <Й'Л(*', Е)~г/а х о

х(1-Ь21.'ЕГ^д[3а) [\т\Х(1\ЕГ1^). Р0) дг(г,£,£) Если в (10) сделать замену переменной Е — т,

На рисунке 1 показано поведение спектра электронов в зависимости от скейлинговой переменной

В случае потерь энергии вида (9) при Ьч%В <С 1 (или Е < 100 ГэВ для Ь2 ~ Ю""16 ГэВ, I ~ 105 лет) А(/, Е) = Тогда выражение (2),

принимающее вид

Si£2 L f

■ а)л>'л J

т-3/а х

D(S

max(Ö,i-T]

(¡гKDiE^jTf^dT, (13)

совпадает с полученными ранее в [12] решением задачи о диффузии частиц без учета потерь энергии. В этой работе на основании анализа зависимости показателя г} энергетического спектра наблюдаемых частиц N = N0Е~г> от энергии установлено, что в области малых энергий показатель т-) связан с показателем спектра генерации частиц в источнике соотношением

т] — р-6. (14)

4. Спектр синхротронного излучения

Согласно [2], интенсивность синхротронного излучения 1(и) на частоте и в направлении наблюдения 2 определяется средней плотностью электронов вдоль луча зрения р(Е) — / (1гИ{г, Е) и равна

1{и) = I Ри(Е)р(Е)йЕ, (15)

где Р„{Е) — интенсивность излучения на частоте и одного электрона с энергией Е. Так как при Е » тс.2 функция Ри(Е) имеет максимум на частоте

ит = 4.6 • 1(Г6Я(£(эВ))2Гц,

то с использованием принятого в расчетах <5 -приближения

Ри{Е) «Ро<5(г/ -1/т),

для интенсивности синхротронного излучения вдоль линии наблюдения получаем

/(!/) = Р01 ¿гЩгуЕ). (16)

5. Результаты расчетов

Для решения поставленной в работе задачи восстановления спектра генерации электронов в галактических источниках космических лучей с использованием (2), (3), (16) была проведена серия расчетов спектра синхротронного излучения и интенсивности электронов при различных предположениях о степени фрактально-сти галактической среды (параметр а), коэффициенте фрактальной диффузии Д>(а), показателе спектра генерации р электронов в источниках Пространственно-временные координаты принятых в расчетах ближайших источников космических лучей приведены в табл. 1. Длительность генерации частиц в локальных источников полагалась равной Т и 104 лет, а 6 — 0.27.

Таблица 1

Пространственно-временные координаты принятых в расчетах ближайших источников космических лучей

Принятый Г, ПК t, 105 лет Источник

источник данных

Lopus Loop 400 0.38 [14]

Monoceros 600 0.46 [14]

Vela 250 0.12 [15]

Cyg. Loop 770 0.20 [15]

СТВ 13 600 0.32 [14]

S 149 700 0.43 [14]

STB 72 700 0.32 [14]

СТВ 1 900 0.47 Ц4]

HB 21 800 0.23 [141

HB 9 800 0.27 ¡14]

Monogem 300 0.86 [15]

Geminga 400 3.4 [15]

Loop I 100 2.0 [16]

Loop II 175 4.0 [16]

Loop III 200 4.0 [16]

Loop IV 210 4.0 [16]

Сопоставление расчетных спектров синхротронного излучения с недавними экспериментальными данными [13] показало, что самосогласованное описание экспериментальных данных достигается в случае, когда показатель спектра генерации электронов в области низких энергий Е » (0.1 - 10) ГэВ равен р = 2.6 (см., например, рис. 2, где представлены данные для расчета при а = 0.7, По = (1 -г 3) • Ю-5 (пка7год)).

Поскольку в области Е яз (10-г 102) ГэВ, где влияние модуляционных эффектов мало, наблюдаемый спектр формируется как близкими молодыми, так и многочисленными далекими (г > 1 кпк) старыми (£ > 106 лет) источниками, для определения р из (14) необходимо иметь, прежде всего, оценку показателя г] спектра электронов от локальных источников.

Выполненные нами расчеты спектров электронов от далеких (г = 1,2,3 кпк) точечных стационарных источников с использованием (3) при параметрах представленных выше позволяют утверждать, что показатель спектра локальной компоненты т] ~ (2.56-2.60). Следовательно, для показателя спектра генерации электронов в источнике в области высоких энергий получаем оценку р ~ 2.85.

Результаты расчета (2- и Ь- компонент, а также спектра электронов в межгалактической среде и в районе Солнечной системы при установленных в работе параметрах р,5,Оо,а и Т показаны на рис. 3.

104

ICH

0

1 102 к

ж

101

10°

10°

--L

■к

'•-I

Peterson и др. (1999) G-компонента

Ч

ю1

ю2

и, МГц

103

104

Рис. 2. Сопоставление результатов расчетов спектра синхротронного излучения в рамках модели аномальной диффузии с экспериментальными данными [13]

- 'CAPRICE 97 (Barbellini el al. (1997)) +--' CAPRICE 2000 (Boezioetal. (2000)) >-*•••

HEAT (Barwick et al. (1998)) ;.....*......;

Nishimura et al. (1980) -o--i Peterson et al. (1999) J

Webber etal. (1980) .........

Golden etal. (1994) © •• Muller et al. (1997)

BETS (2001) ' ^ ' Tang (1984)

G-component --------

L-component -------

ISM spectrum.......

Modulated spectrum -

10° 101

результатов расчетов в p тальными данными, приведенными в работе [5]

Е Гэ В

Рис. 3. Сопоставление результатов расчетов в рампах модели фрактальной диффузии с эксперимен-

Заключение

В работе проведено восстановление спектра генерации электронов в галактических источниках космических лучей по наблюдаемым в районе Солнечной системы энергетическому спектру частиц и синхротронному излучению. Новым элементом работы является использование нестационарного уравнения фрактальной диффузии с дробными производными, моделирующее диффузию электронов в неоднородной галактической

среде фрактального типа.

Анализ полученных в работе аналитических и численных результатов по спектру электронов и интенсивности синхротронного излучения в диапазоне 2 МГц - 2 ГГц показал, что самосогласованное описание экспериментальных данных достигается, если показатель спектра генерации электронов в источниках в интервале энергии 0.1 - 103 ГэВ изменяется от р = 2.6 в области низких энергий до р = 2.85 при Е > 103 ГэВ.

Список литературы

1. Сыроватский С.И. Распределение релятивистских электронов в Галактике и спектр синхротронного радиоизлучения // Астрон. журн. - 1959. - 36. - С. 17-28.

2. Гинзбург В.Л., Сыроватский С.И. Происхождение космических лучей. — М.: Изд-во АН СССР, 1963.

3. Atoyan A.M., Aharonjan F.A., Volk H.J. Electrons and positrons in the galactic cosmic rays // Phys. Rev. D. - 1995. - 52, № 6. -Pp. 3265-3275.

4. Moskalenko I. V., Strong A. W. Production and propagation of cosmic-ray positrons and electrons // ApJ. - 1998. - 493. - Pp. 694-707.

5. Лагутин А.А., Тюменцев А.Г. Спектр электронов в Галактике // Известия АлтГУ. — 2004. - 5. - С 22-26.

6. Учайкин В.В. Субдиффузия и устойчивые законы // ЖЭТФ. - 1999. - 115. - С. 2113-2123.

7. Лагутин А.А., Тюменцев А.Г. Спектр, массовый состав и анизотропия космических лучей во фрактальной Галактике // Известия АлтГУ. - 2004. - 5. - С. 4-21.

8. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987.

9. Berezinsky V.S., Bulanov S. V., Ginzburg V.L. et al. Astrophysics of cosmic rays, — North Holland, Amsterdam, 1990. - P. 528.

10. Золотарев B.M., Учайкин В.В., Саенко В.В. Супердиффузия и устойчивые законы // ЖЭТФ. - 1999. - 115, № 4. - С. 1411-1425.

11. Gleeson L.J., Axford W.l. Solar modulation of galactic cosmic rays /'/ ApJ. — 1968. — 154.

- Pp. 1011-1025.

12. Lagutin A.A., Nikulin Yu.A., Uchaikin V.V. The knee in the primary cosmic ray spectrum as consequence of the anomalous diffusion of the particles in the fractal interstellar medium // Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.). - 2001.

- 97. - Pp. 267-270.

13. Peterson J.D., Higbie P.R., Rockstroh J.M., Webber W.R. A new look at galactic polar radio emission and the local interstellar electron spectrum // Proc. of the 26th 1CRC (Salt Lake City). - 1999. - Pp. 17-20.

14. Nishimura J., Kobayashi Т., Komori Y. et al. Observation of primary electron spectrum and its astrophysical significance // Proc. of the 25th 1CRC (Durban). - 1997. - 4. - Pp. 233-236.

15. Kobayashi Т., Nishimura J., Komori Y., Yoshi-da K. Vela as the most likely source for the primary electrons in TeV region // Adv. Space Res. - 2001. - 27. - Pp. 653-658.

16. Лозинская Т.А. Сверхновые звезды и звездный ветер: взаимодействие с газом Галактики. - М.: Наука, 1987.