ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО МАССАМ ЛЕДЯНЫХ ЧАСТИЦ С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАПЕЛЬ И КРИСТАЛЛОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2023, Том 25, Выпуск 2, С. 14-24

УДК 519.633

DOI 10.46698/ e8852-9245-8236-y

ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО МАССАМ ЛЕДЯНЫХ ЧАСТИЦ С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАПЕЛЬ И КРИСТАЛЛОВ*

Б. А. Ашабоков1, А. Х. Хибиев2, М. Х. Шхануков-Лафишев2

1 Институт информатики и проблем регионального управления КБНЦ РАН, Россия, 360000, Нальчик, ул. И. Арманд, 37 а; 2 Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Россия, 360000, Нальчик, ул. Шортанова, 89 а E-mail: ashabokov.boris@mail.ru, akkhibiev@gmail.com, lafishev@yandex.ru

Аннотация. Работа посвящена построению локально-одномерной разностной схемы для расчета первой краевой задачи для параболического уравнения общего вида для функции распределения по массам ледяных частиц. Введены функции u1(x,z,m,t), u2(x, z,m,t) такие, что u1(x, z,m,t) dm и u2 (x, z, m, t) dm дают в каждой точке (x, z) в момент времени t концентрацию соответственно облачных капель и ледяных частиц, масса которых заключена в интервале от m до m + dm. Уравнение записано относительно функции u2 (x, z, m, t), функция u1 (x, z, m, t) (функция распределения по массам капель) в уравнении задана. Уравнение является частью системы интегро-дифференциальных уравнений для функций распределения по массам капель и ледяных частиц, описывающих микрофизические процессы в конвективных облаках на фоне заданной термогидродинамики. Методом суммарной аппроксимации построена локально-одномерная разностная схема для параболического уравнения общего вида в р-мерном параллелепипеде. Для описания взаимодействия капель и кристаллов в уравнение включаются нелокальные (нелинейные) интегральные источники. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка, из которой следует устойчивость и сходимость разностной схемы. Результаты работы будут использованы для построения модели микрофизических процессов в смешанных конвективных облаках, которая будет использована для проведения исследований по таким актуальным направлениям, как исследование роли системных свойств облаков в формировании их микроструктурных характеристик и разработка технологии управления процессами осадкообразования в конвективных облаках путем внесения частиц льдообразующих реагентов.

Ключевые слова: краевая задача, разностная схема, устойчивость, сходимость схемы, погрешность аппроксимации.

AMS Subject Classification: 65M06, 65N06, 65N12.

Образец цитирования: Ашабоков Б. А., Хибиев А. Х., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для уравнения функций распределения по массам ледяных частиц с учетом взаимодействия капель и кристаллов // Владикавк. мат. журн.—2023.—Т. 25, вып. 2.—С. 14-24. DOI: 10.46698/e8852-9245-8236-y.

1. Постановка задачи

Настоящий период времени является переходным для физики облаков: происходит переход от этапа исследования «элементарных» процессов в облаках к этапу изучения формирования их макро- и микроструктурных характеристик с учетом их системных свойств [1]. К этому следует добавить, что сложным и неоднозначным является состоя-

# Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект № 2221-00363.

© 2023 Ашабоков Б. А., Хибиев А. Х., Шхануков-Лафишев М. Х.

ние существующих технологий управления процессами осадкообразования в конвективных облаках. Они в основном опираются не на методы, полученные в результате строгих исследований, а на концепции, предложенные во второй половине прошлого столетия [1]. Но с учетом недостаточной изученности облачных процессов [2] и связанной с ней ограниченностью знаний о закономерностях формирования макро- и микроструктурных характеристик облаков возможности предложения научно обоснованных концепций активного воздействия на такие сложные и нелинейные системы, как конвективные облака не представляется возможными. В связи с этим, с учетом постоянного повышения потребности в эффективных методах управления процессами осадкообразования в облаках, переход к научно обоснованным технологиям активного воздействия становится чрезвычайно актуальной проблемой [3, 4]. Основным методом проведения исследований по этим направлениям является математическое моделирование [1, 3], что повышает требования к методам проведения расчетов.

В цилиндре Qт = О х [0 < Ь ^ Т], основанием которого служит прямоугольный параллелепипед О = {х = (х\,х2,... ,хр) : 0 < ха < 1а, а = 1,2,...,р} с границей Г рассматривается для функции распределения по массам ледяных частиц задача

^ = Ьи2 + Цх,т,г), (1)

и2 |г= и2(х,т, 0) = и0(х,т), (2)

где

Р д ( ди2\ ди2 1

v^ т- т- д Л , . du2\ du2 1 . , . .

Lu2 = } Lau2, Lau2 = -— ka(x,t)-— +ra----q(x,m,t)ui(x,m,t)

дха V 9xaJ dxa p

mi

--u2(x,m,t) / /32(m,m')ui(x,m',t) dm'

p

0

mi

H— / fh(rri, m — m')u2(x, m — m', t)u\(x, m', t) dm', (3) p

0

где u1(x,m,t) — функция распределения по массам капель, u2(x,m,t) — функция распределения по массам ледяных частиц, fî2(m,m') = n(r(m) + r(m'))2 ■ |Vi(m) — V1(m')|E2(m,m'), E2(m,m') — коэффициент захвата для капель и кристаллов, r(m), r(m') — радиусы сталкивающихся частиц, Vi(m), Vi(mr) — их скорости падения.

В работе [4] приводятся выражения для этих функций.

Предположим, что задача (1)—(2) имеет единственное достаточно гладкое решение. При оценке порядка аппроксимации будем предполагать, что ka(x,t) € C3,1(Qt), ra(x,t),q(x,m,t), f (x,m,t) € C2,1(QT), где Cni'n2(QT) — класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными порядка ni по x и П2 по t в замкнутой области Q t .

0 < Со ^ ka ^ Ci, | ra |, |q| ^ C2, |ui|, |в21 ^ C3.

2. Локально-одномерная схема (ЛОС)

На отрезке [0,T] введем равномерную сетку шТ = {tj = jr, j = 0,1,... ,j0} с шагом т = Каждый интервал {tj,tj+1) разобьем на р частей точками tj+s. = tj + ^r, a =

1,2,...,р, и обозначим через Aa = \t-,a=i,tj+°L . Пространственную сетку выберем

V р J рJ

равномерной по каждому направлению Оха с шагом ha = -¡f-, а = 1,2,... ,р :

Wh = П UJha

а= 1

W ha = { = iaha : ia = 0,1,...,Na, а = 1, 2,... ,p j .

Уравнение (1) перепишем в виде

или

KU2 = ^-LU2-f = О,

dt

= 0, V\aU2 = - LaU2 - fa, ^ fa = /■

a=1

p dt

a /, t/a

a=1

(4)

(5)

где fa(x, m,t), а = 1, 2,... ,p, — произвольные функции (обладающие той же гладкостью, что и f (x,m,t)), удовлетворяющие условию нормировки

fl + f2 + ••• + fp = f.

На каждом полуинтервале Да, а = 1,2,... ,p, будем последовательно решать задачи

V(a)

1 dtt(g) p dt

- LaV(a) - fa = 0, X € G, t € Да,

(6)

v(a) = J-

a, xa

0, v(a) — "+а, xa — lai

полагая при этом [5, с. 522], что

г>(1)(ж, т, 0) = и0(ж,т), г^)(ж, т,^-) = г>(р)(ж,т,^-), j = 0,1,...

г»(а) ^ж, т, = г>(а_1) (ж, т, , а = 2,3,... ,р.

Аппроксимируем каждое уравнение (6) номера а двухслойной схемой на полуинтервале Да. Тогда получим цепочку р одномерных разностных схем:

з+§ Я-^

V2 -V2 л J'+f J' + f -, „

т 2

(7)

Л«уГр = (аау2+хра ) + Ь+а^1а)у2+хра + baaay2+/a - \dy[+p

\ / xa p

N (mi ) 1 j+— v -Г

—2/2 P X/ /?2(m,mim)y1 p(a;,mim,i)^m

P im =0

N (mi )

+ - X h{m,m-mirn)y2 p (x,m - mim,t)yl p (ж, mim, t)hm,

P ¿m=0

Я--

y1 P \jh,a = Va, y2 P IYh,a = "a, (g)

(1) (2) y1(x, m, 0) = u0 ) (x, m), y2(x, m, 0) = u0 ) (x, m), a = 1,2,...,p,

где — множество граничных узлов по направлению ха,

аа — ка ), ^ ) — (xl,x2,•••, ха— 1, ха 0^5На, ха+1, • • • , хр) •>

I = к = 1 д , Ка = _ разностное число Рейнольдса,

г+ = 0.5(г„ + \га\) > 0, г- = 0.5(г„ - \га\) < 0, га = г+ + г", Ъ+ = Ь~ = з+-

^ I %т — ... • Мт

\Нт/2, %т —

3. Погрешность аппроксимации ЛОС

Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность

х2 Р = У2 Р — и2 р, где и2 р — решение исходной задачи (1)-(2). Подставляя у2 р = г+- г+£ ?2 Р + и2

х2 р + и2 р в разностное уравнение (7), получим для погрешности задачу

Обозначив через

3 + ^ _

^-^-= АаСр + ФГ?, (9)

Т

з+-

х2 р = 0, х € г2(х,т, 0) = 0. (10)

I \ з+Ь

1 ди2

ъа = [ьаи2 + и--—)

и замечая, что '}Уа=1 Фа = 0, если '}Уа=1 = представим погрешность в виде суммы з+-

I р

а = Ф а + Ф а-

а-1

Фа р = Фа + Фа. Тогда

тЯ-ё 4 з+% 3+т; и2+Р -и2+ Р ? ? Л т з+Ь

Фа Р = Ки2 Р Р ~ —-^- + Фа " Фа = ( Ки2 Р ~ Ьаи2 2

? + — 7 I / 1 >

,3+Ь\ I и2 р - и2 р 1_/7&и2У+2

Р о

--¿(ж) 11+*. = *. + *:.

Очевидно, что Фа = 0(Ща + т), Фа = 0(1), ^ Фа = 0, т. е. ЛОС обладает суммарной

|а а а

а=1

|2 , \и\2 _ и2 , и2 , , ь.2

аппроксимацией О(|Н|2 + т), |Н|2 = Н{ + Н2 +-----+ Нр.

4. Устойчивость ЛОС

Воспользуемся методикой предложенной в работе [6]. Умножим уравнение (7) ска-

2 (се) 2

лярно на р2у2 = р2у2 :

(уа ,р2у2а))а = (Лау2а),р2у2а))а + {<р(а),р2у2а))а, (11)

где

р

Ра — \/ха(1а ха)) Р — 11 Роп

а=1

Ма-1

Ма

(и,г)а = X и^аЛ«, (и,г]а = X и^аЛ

¿а = 1 ^а=1

р

(и,г) = X игН, Н = Ла.

а=1

В дальнейшем будем использовать обозначения М^ > 0, г = 1, 2,..., — известные постоянные, не зависящие от параметров сетки.

Преобразуем каждое слагаемое тождества (11):

(:У(2%р2у(2а)) = \ (||РУ2а)Ё2(«))4-+ 1\\рУ^\\12(а)' (Л«»^,^ )в = (*а (а«»2! )Ха ^^ ^ + (# а^! , Р^

+ (ъааау£1а, Р2У{2)Л) а - - [<1Ц-> ■ 1'~ И 2

I I м(~т 1)

(12)

р

гт=0

1 / Щтг) ^ ^

+- X р2{т,т-пцт)у2 р (х,т -пцт,г)у1 р {х, пцт, г)Пт, Р2у(2а>

р \ ¿т=0

Первое слагаемое в правой части равенства (12) преобразуем следующим образом

(а) \ 2 (а)

Ка аа»2 Xа , Р »2

(а) 2 (а)

аа»2 Ха , КаР »2

- а,

(а) ' V »2 X,

а

(аа»(1, 0-5Кт1а) (р2 + (р(-1а^) + кхаР2»(а) +0.5к(-1а) (р2)Жа (»(а) + »2а)(-1а)^ = -0.5(ааха-1а)(р2 + (р(-1а))Л ( (а) )2"

2 (а) (а)

а«КХа Р ,»2 »2 ха

- 0.4 аака-1а)(Р2)ха,

аа

(а) , V »2 хс

»2

(а)

= -0.5 аа4-1а) Р2 + (Р(-1а) + 0.5 (¡а - Ла/0.а+1а)к„ (»2а^2 |>а=о + аака-1а)

2 „,(«),,(«)

а«Кйа Р ,»2 »2

^а=Ма/ Ра

Выражение (12) перепишем в виде

Ла»2а), Л(Т)) = -0.М а«х(-1а) Р2 + (Р(-1а) »2

2 (а) (а)

а«Кйа Р ,»2 »2 Ха

(а) 2 X,

(а)

а

X

(Л!

(Л!

а

X

2

а

а

а -

(л

а

а

2

2

а

а

а

(Л")

аа ка

ра

'(у^У) +0.5(1а — На) а2+1а)Ка ^

V / га=Ма у ра

га=0

1 /

а

N (тг)

у2 р(х,т132(т,пцт)у1 р (х,ггцт,г)Пт, р2у[2

„2„, (а)

Р

/ N(тг)

гт=о

Е /32(т,т-тг^у1+р(х,т-тгт,г)у1+р(х,гПгт,Щт,р2у^а)

Р

\ гт=о

Оценим следующие выражения

(13)

2 ( а) (а)

аакха р ,у2 'у2 Iа

+

(ь+аО+1а)у2а1 ,р2у2а)) а + (ъ- аау{йа ,р2у2а))с

4 £\\ру{йа] \12(а) + С4(г)Уру(а)У^

Ь2(а)}

а) \ \ 2

¿2 (а)'

05 ({аак(~1а))ха (р2)Ха ^ (у^У)а < С6

р

у2

М ру$*\х,т,г) ^ 132(т,тгт)у(")(х,тгт,г)Пт,ру(2 Р

N (тг)

(а)

гт=о

1

^ -

Р

ру12)(х,т,Ь) в2(т,тгт)у{"}(х,тгт,г)Нт

N (тг)

( а).

<

ру(2)(х,тгт,Ь) ^2 Р2(т,тгт)у[Г)(х,тгт

гт=о

N (тг)

( ) ру2

( )

гт =о

(<Р(аШа))<1

ру

( )

2 1

Ь2(а) 2

( ) ру2

Ь2( а) 2

+

Ь2(а) 2

Ь2( а)

Ь2( а)

4р

( ) ру2

2

Ь2( а)

Подставляя полученные оценки в тождество (11) с учетом ограниченности функции распределения по массам капель (см. [7, с. 53]), находим

ру2

( )

+ ^

а> I 2

з+-

ру2 I р

+ в1

Ь2 (а)

4 МА £

ру2Ха

(а)

рГ2 Ха

+

+ 201

р (а)

+ М2(£)^

( ) ру2

+

( ) ру2

¿2 (а ,т)

+

рУ

( )

р (а)

7ау> 2

+ {ц2-а + /4«) р

(14)

а

а

а

2

р

1

1

Р

2

2

2

2

а

а

2

а

а

2

2

а

где

||у2а)112

L2 (а,т)

mi = N (mi)ftm, =

2(co + 0.5 IC2)'

Пользуясь леммой 2 из [6], при е = 4^-, из (14) получим неравенство

3 + f

РУ2 Р

< тМз|

2

L2(a) (а)

ру2

РУ2

¿2(а)

+

(а)

ру2

2

¿2(а) 2

+ Тт

(а)

ру2 *а

¿2 (а)

+ 20iT

Р (а)

2

¿2(а)

¿2(а,т)

+

Р^

(а)

+ -f (/х2_а + /Д«)

¿2 (а) Ра

(15)

Просуммируем (15) по ig = 2а, в = 1, 2,... Тогда получим

j+f РУ2 Р

+20ir

Р (а)

—У2

Ра 2

2

РУ2

< тМз

+

Р^

(а)

2

2

¿2 (^h) 2

+ Tr

(а)

ру2

+

(а)

ру2 X0

(а)

ру2

2 2

L2(wh,m)

iß = ia а /

ГДе ||У2а)У^3(Шл,m) = ^S' mi = N(mi)^m.

Из неравенства (16) после суммирования по im от 0 до N (mi) получим

(mi) |1 (а) 112

J+f

РУ2 Р

2

+20ir

Ра У2

+

iß =»а

L2(^h ,m) 2

РУ2

< TM4

+ 0iT

L2(wh,m)

(а)

ру2 X0

L2(wh,m)

РУ2 Р

2

+

iL

Ра

J + а'

+

¿2 (m)

'+1

L2(^h,m) 2

2

2

L2(wh,m)

Р^ Р

L2 (m)

H/h0

Просуммируем (17) сначала по а = 1, 2,... затем по j' от 0 до j :

(16)

(17)

j+i ру2

j p

L2(^h,m)

+ ^ X TX УРУ2

Р

j'=0 а=1 j Р

J Р

L2(^h,m)

+ 2öi£

j'=0 а=1

P /+f

L2(^h,m)

< M4 £ T^

\j'=0 а=1

j Р

РУ2 '

2

J Р

+ X tX Цр^7"

+T

j'=0 а=1 tß =га

Из (18) имеем

Ра

P- а

L2(Wfc,m) j'=0 а=1 2

2

L2(^h,m)

(18)

+

¿2(m)

3 +P Р+а

¿2(m)

H/hJ + ||py0|

.0 N 2

¿2 (k>h ,m)

j+i ру2

2

j p

L2(^h,m)

<

M4 £ T^

\j'=0 а=1

/+

РУ2

+ Fj,

L2(^h,m)

(19)

2

c

0

2

Р

2

2

Р

2

Р

2

2

2

2

а

2

2

где

F3 =мА ' р

j'+i

\j '=0 a=1 j P

j'=0 a=1 гр =г a a

2

L2(uh,m) 2

U P

+

L2(m)

r+f

p+a

L2(m)

H/ha + \\py0\\L2{„) ■

С помощью неравенства (19), при т 4 То = 1/(2М.4), на основании леммы 4 из [8, с. 171] из неравенства (18) получим априорную оценку

j+1 py2

2

L2 (uh,m)

+ Е тЕ \\РУ2

j p

j'=0 a=1

2

L2(^h,m)

< M5(T)(£ т ¿;

\j'=0 a=1

pf p

+ E тЕ

j'=0 a=1

jP

P j"+f

7J>

+ E^EE-

2

L2(uh,m) 2

f+-U P

L2 (m)

+

j'+f P+a

L2(m)

I H/ha + Wpy^^m)

(20)

Из оценки (20) следует

Теорема 1. Локально-одномерная схема (7)—(8) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (7)-(8) при любых ha, a = 1, 2,... ,p, и т 4 т0 справедлива оценка (20).

5. Сходимость локально-одномерной схемы

По аналогии с [5, с. 528] представим решение задачи (9)-(10) в виде суммы Z(a) = 7+-

v(a) + n(a), Z(a) = z p , где n(a) определяется условиями

^(a) - П(a-1)

Ф a, X € uha + Yh,a, a = 1, 2,... ,p, n(x, 0) = 0.

(21)

Из (21) следует nj+1 = П(р) = nj + т(Ф1 + V2 + ... + Vp) = П

= =

n0 = 0. Для

V(a) = т(V1 + V2 + ... + фa) = -т(Va+1 + ... + Vp) = 0(т). Функция V(a) определяется

условиями

v(a) - v(a-1)

= Aa V(a) +Va, X € Wh, a = 1, 2,...,p,

(22)

V(a) = -П( a), Xa € Jh, a, V(a) (x, 0) = 0, Va = Va + ^a V(a).

(23)

Решение задачи (22)-(23) оценим с помощью теоремы 1. Так как п3 = 0, П(а) = 0(т), \\х31| 4 \\у3 ||, то из оценки (20) следует

Теорема 2. Пусть задача (1)—(2) имеет единственное непрерывное в Ст решение и2(х,т,Ь) и существуют непрерывные в Ст производные

d2u2 d4u2 d3u2 d2f dt2 ' dxadx21 dx2adt' dx2a'

a = 1,2,... ,p, a = в.

2

a:

2

Тогда локально-одномерная схема (7)-(8) сходится со скоростью O(|h|2 + т), так что

N j+1 р2 - u2 in

j p , , „

Npy

j'=0 a=1

,,j+! uj+lN ^ M(|h|2 + т), |h|2 = h2 + h2 + ... + h2,

I j+1N 2

|yj+ 11l

j p

I j+lN2 , v^ V^ II j

№ Ц^.т) + ТЪ 11РУ2 i

2 j P и •' , a

2

L2(wh,m)

Благодарность. Авторы выражают признательность Алиханову Анатолию Алиевичу за его ценные обсуждения и полезные предложения во время подготовки этой статьи.

Литература

1. Ашабоков Б. А., Федченко Л. М., Шаповалов А. В., Шаповалов В. А. Физика облаков и активных воздействий на них.—Нальчик: Печатный двор, 2017.—240 с.

2. Пастушков Р. С. Модель активных воздействий на конвективные облака льдообразующими аэрозолями. Современное состояние и перспективы развития // Труды ГГО.—2016.—Вып. 582.—С. 128157.

3. Коган Е. Л., Мазин И. П., Сергеев Б. Н., Хворостьянов В. Н. Численное моделирование облаков.— М.: Гидрометеоиздат, 1984.—178 с.

4. Ашабоков Б. А., Шаповалов А. В. Конвективнвые облака: численные модели и результаты моделирования в естественных условиях и при активном воздействии.—Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2008.—252 с.

5. Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1977.—656 с.

6. Alikhanov A. A. On the stability and convergence of nonlocal difference schemes // Diff. Equat.—2010.— Vol. 46.—P. 949-961. DOI: 10.1134/S0012266110070037.

7. Ашабоков Б. А., Хибиев А. Х., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для параболического уравнения общего вида, описывающего микрофизические процессы в конвективных облаках // Докл. Адыгской (Черкесской) междунар. академии наук.—2021.—Т. 21, № 4.—C. 45-55. DOI: 10.47928/1726-9946-2021-21-4-45-55.

8. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—480 с.

Статья поступила 19 августа 2022 г. Ашабоков Борис Азреталиевич

Институт информатики и проблем регионального управления КБНЦ РАН,

заведующий отделом физики облаков

РОССИЯ, 360000, Нальчик, ул. И.Арманд, 37а

E-mail: ashabokov.boris@mail.ru

https://orcid.org/0000-0002-2889-0864

Хибиев Асланбек Хизирович

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, стажер-исследователь

РОССИЯ, 360000, Нальчик, ул. Шортанова, 89 а E-mail: akkhibiev@gmail. com https://orcid.org/0000-0002-5727-7540

Шхануков-Лафишев МУХАМЕД ХАБАЛОВИЧ

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН,

главный научный сотрудник отдела математического

моделирования геофизических процессов

РОССИЯ, 360000, Нальчик, ул. Шортанова, 89 а

E-mail: lafishev@yandex.ru

https://orcid.org/0000-0002-7242-975X

Vladikavkaz Mathematical Journal 2023, Volume 25, Issue 2, P. 14-24

A LOCALLY ONE-DIMENSIONAL SCHEME FOR THE DISTRIBUTION FUNCTIONS EQUATION BY ICE PARTICLES MASSES, CONSIDERING THE INTERACTION

OF DROPLETS AND CRYSTALS

Ashabokov, B. A.1, Khibiev, A. Kh.2 and Shkhanukov-Lafishev, M. Kh.2

1 Institute of Computer Science and Problems of Regional Management of the KBSC RAS, 37 a I. Armand St., Nalchik 360000, Russia;

2 Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 89 a Shortanova St., Nalchik 360000, Russia E-mail: ashabokov.boris@mail.ru, akkhibiev@gmail.com, lafishev@yandex.ru

Abstract. The work is devoted to the construction of a locally one-dimensional difference scheme for calculating the first boundary value problem for a general parabolic equation for the mass distribution function of ice particles. The functions u1 (x,z,m,t), u2(x, z,m,t) are introduced such that u1(x, z,m,t) dm and u2(x, z,m,t) dm give at each point (x,z) at time t, the concentration of cloud droplets and ice particles, respectively, whose mass is in the range from m to m+dm. The equation is written with respect to the function u2(x, z,m,t), the function u1(x, z,m,t) (the droplet mass distribution function) is given in the equation. The equation is part of a system of integro-differential equations for the mass distribution functions of droplets and ice particles describing microphysical processes in convective clouds against the background of a given thermohydrodynamics. A locally one-dimensional difference scheme for a general parabolic equation in a p-dimensional parallelepiped is constructed by the method of total approximation. To describe the interaction of droplets and crystals, nonlocal (nonlinear) integral sources are included in the equation. By the method of energy inequalities, an a priori estimate is obtained, from which the stability and convergence of the difference scheme follow. The results of the work will be used to build a model of microphysical processes in mixed convective clouds, which will be used to conduct research in such topical areas as the study of the role of the system properties of clouds in the formation of their microstructural characteristics and the development of technology for managing precipitation processes in convective clouds by introducing particles of ice-forming reagents.

Keywords: boundary value problem, difference scheme, stability, convergence of the scheme, approximation error.

AMS Subject Classification: 65M06, 65N06, 65N12.

For citation: Ashabokov, B. A., Khibiev, A. Kh. and Shkhanukov-Lañshev, M. Kh. A Locally One-Dimensional Scheme for the Distribution Functions Equation by Ice Particles Masses, Considering the Interaction of Droplets and Crystals // Vladikavkaz Math. J., 2023, vol. 25, no. 2, pp. 14-24 (in Russian). DOI: 10.46698/e8852-9245-8236-y.

References

1. Ashabokov, B. A., Fedchenko, L. M., Shapovalov, A. V. and Shapovalov, V. A. Fizika oblakov i aktivnykh vozdeystviy na nikh [Physics of Clouds and Active Effects on them], Nalchik, Pechatnyy dvor, 2017, 240 p. (in Russian).

2. Pastushkov, R. S. The Model of Convective Cloud Modification with Ice-Forming Aerosols. Present-Day Status and Perspective, Trudy GGO [Proceedings of the Main Geophysical Observatory], 2016, no. 582, pp. 128-157 (in Russian).

3. Kogan, E. L., Mazin, I. P., Sergeev, B. N. and Khvorost'yanov, V. N. Chislennoe modelirovanie oblakov [Numerical Modeling of Clouds], Moscow, Gidrometeoizdat, 1984, 178 p. (in Russian).

4. Ashabokov, B. A. and Shapovalov, A. V. Konvektivnvye oblaka: chislennye modeli i rezul'taty modelirovniya v estestvennykh usloviyakh i pri aktivnom vozdeystvii [Convective Clouds: Numerical Models and Simulation Results Under Natural Conditions and Active Influence], Nalchik, Publishing House of KBSC RAS, 2008, 252 p. (in Russian).

24

AmaóüKOB B. A., XuöueB A. X., W.xaHyKOB-Ma^umeB M. X.

5. Samarskiy, A. A. Teoriya raznostnykh skhem [Theory of Difference Schemes], Moscow, Nauka, 1977, 656 p. (in Russian).

6. Alikhanov, A. A. On the Stability and Convergence of Nonlocal Difference Schemes, Differential Equations, 2010, vol. 46, pp. 949-961. DOI: 10.1134/S0012266110070037.

7. Ashabokov, B. A., Khibiev, A. Kh. and Shkhanukov-LaBshev, M. Kh. A Locally One-Dimensional Scheme for a General Parabolic Equation Describing Microphysical Processes In Convective Clouds, Reports Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences, 2021, vol. 21, no. 4, pp. 45-55. DOI: 10.47928/1726-9946-2021-21-4-45-55.

8. Samarskiy, A. A. and Gulin, A. V. Ustoychivost' raznostnykh skhem [Stability of Difference Schemes], Moscow, Nauka, 1973, 480 p. (in Russian).

Received August 19, 2022 Boris A. Ashabokov

Institute of Computer Science and Problems of Regional Management of the KBSC RAS, 37 a I. Armand St., Nalchik 360000, Russia, Head of Department of Cloud Physics E-mail: ashabokov.boris@mail.ru https://orcid.org/0000-0002-2889-0864

Aslanbek Kh. Khibiev

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS,

89 a Shortanova St., Nalchik 360000, Russia,

Intern Researcher

E-mail: akkhibiev@gmail. com

https://orcid.org/0000-0002-5727-7540

Mükhamed Kh. Shkhanukov-Lafishev

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS,

89 a Shortanova St., Nalchik 360000, Russia,

Chief Researcher of the Department

of Mathematical Modeling of Geophysical Processes

E-mail: lafishev@yandex.ru

https://orcid.org/0000-0002-7242-975X