Локально-одномерная схема для параболического уравнения общего  вида, описывающего микрофизические процессы в конвективных облаках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 158-167. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-158-167

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УДК 519.63

ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА, ОПИСЫВАЮЩЕГО МИКРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В КОНВЕКТИВНЫХ ОБЛАКАХ

Б. А. Ашабоков1, И. Д. Тайсаев2, М.Х. Шхануков-Лафишев2

1 Институт информатики и проблем регионального управления КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Инессы Арманд, 37 А

2 Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А

E-mail: ashabokov.boris@mail.ru, taisauti@yandex.ru, lafishev2014@yandex.ru

Рассматривается локально-одномерная схема для уравнения параболического типа общего вида в р-мерном параллелепипеде. Для описания коагуляционных процессов в облаке в рассматриваемое уранение включается нелокальный источник специального вида [1]. Получена априорная оценка для решения локально-одномерной схемы и доказана ее сходимость. Знакоопределенность оператора в главной части уравнения не предполагается.

Ключевые слова: краевая задача, локально-одномерная схема, устойчивость, сходимость схемы, погрешность аппроксимации.

(с) Ашабоков Б. А и др., 2018

Введение

Краевые задачи для параболических уравнений с нелокальным (интегральным) источником возникают при изучении диффузии частиц в турбулентной плазме, переноса влаги в почвогрунтах, при описании функции распределения по массам капель за счет микрофизических процессов конденсации, коагуляции (объединение мелких капель в большие по размеру агрегаты), дробления и замерзания капель [2]-[4].

Введем функцию u(x,у,z,m,^ такую, что u(x,у,z,m,t)dm дает в каждой точке (х,у,z) в момент времени t концентрацию облачных капель, масса которых заключена в интервале от m до m + dm.

Постановка задачи

В цилиндре Qт = О х [0 < t < Г], основанием которого служит прямоугольный параллелепипед О = {х =(хх,х2,...,хр): 0 < ха < 1а, а = 1,2,...,р} с границей Г рассматривается задача

д и

— = Ьи + /(х,т,t), (х,t) е QT, (1.1)

д t

где

и|г = 0, m(x,m,0) = и0(х,m), (1.2)

^ T d Л / % d и \ d M

Lu = > La M, La и = -— k« (x, t К— + ra—-«=1 d X« \ d x«J d X«

—qa(x, t)u — — Jв (m,m') u (x,m', t) dm', (1.3)

P 0

в (m, m') = n (r(m) + r (m') )2 ■ | V— (m) — V— (m') | ■ E (m, m'), 0 < co < ka < c—, |ra(x,t)|, |qa(x,t)| < C2, |в (m,m') | < C3, (1.4)

r(m), r(m') - радиусы сталкивающихся частиц; V—(m), V—(m') - их скорости падения, E (m, m') - коэффициент захвата для капель.

Локально-одномерная схема

На отрезке [0,T] введем равномерную сетку ô>T = {t/ = jT, j = 0,1,..., j0} с шагом T = T/j0. Каждый интервал (tj,t/+1) разобьем на p частей точками tj+ a = tj + aT,

a = 1,2,...,p и обозначим через Aa = ( t- + a—,t.-+ a .

V j+ p p_

Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Oxa с шагом ha = -щ, a = 1,2,...,p:

®h = П iDha, ®ha = {x!aa}= iaha : l'a = 0,1,...,-a, a = 1,2,...,p|.

a=1

Уравнение (1.1) перепишем в виде

Ru = ^ - Lu - f = 0, (2.1)

д t

или

p 1 д u p

£ Ra u = 0, Ra u = - ^ - Lau - fa, £ fa = f. (2.2)

a=1 P д t a=1

На каждом полуинтервале Aa, a = 1,2,...,p будем последовательно решать задачи

1 д V(a)

Ra V(a) = - La V(a) - fa = 0, x G G, t G Aa, (2.3)

V(a) = 0, Xa = 0,

v(a) = 0, xa = ^a,

полагая при этом [5, с. 522]

t^(1)(x;m,0) = u0(x,m), ^(1)(x;m,tj) = $(p)(x;m,tj), j = 1,2,...,

#(a) (x;m,tj+ = ö(a-1)(x;m,tj+ a-), a = 2,3,...,p.

Аппроксимируем каждое уравнение (2.3) номера a двухслойной схемой на полуинтервале Aa, тогда получим цепочку p одномерных разностных уравнений:

/'+a ;+ a=i

y p — y p ; i a i+a

^-^-= Лay ' + ^ p , a = 1,2,...,p, (2.4)

T

1af , j f j j f_

• a / •+a\ (+1 ) j+a j+a ' ^

Ла/+' = Ka (aаУха M + b+a a a'Vxa P + b-a аУх« P - da/+'

^ ' xa

1 Nm • a

- P E в (m' mim)yJ+ P fo m«m , 0V

P «m=0

= 0, y(x,m,0) = u0(x,m), a = 1,2,...,p, (2.5)

y p

a

aa = fca(x(-a5ha),i) , x(-0.5ha) = (xi,X2,...,Xa-1, x«-0.5ha,x«+1,...,xp), t = íj+1/2,

1 p 0.5ha |ra| _ „

к = --, Ra =----разностное число Рейнольдса,

1 + Ra ka

r+ = 0.5 (ra + |ra|) > 0, r- = 0.5 (г« - |г«|) < 0, г« = r++ г-,

a(1 a) = a«a + 1, b+ = k+, b- = k-, a« = k«-1 ^

k a k a 2

„•+a r t . \ j t- i hm, «m = 12,...,Nm 1

Pa = fa(x, m, ¿/+0.5.), da = qa, hm = S h /2 « = 0. N

^ hm/2, «m — Nm.

Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы (ЛОС)

Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является

/ | а / I а / I а /+ а

разность z р = У р — и р, где и р - решение исходной задачи (1.1)—(1.2).

7 I О- I I СУ I СУ

Подставляя у' р = z'/ р + и' р в разностное уравнение (2.4), получим для погрешности уравнение

/ +а / I а—1 ^ р — ^ р ■ I а /' + а

Z-Z-= Ла/р + ^а р , (3.1)

Т

■ , а

z•/ +р = 0 при х е Г/г, а, z(x,т,0) = 0. (3.2)

Обозначив через

/7 , Г 1 д И

la = ( LaM + fa - p ^у

j +1/2

р Р

и замечая, что £ 'а = 0, если £ /а = /, представим погрешность в виде суммы а=1 а=1

'+а

'а р = 'а + К :

/ I а / | а—1

/'+ а ■ /+а ;+« и р — и р 0 0 / ;+« 1\

'а р = Ла и71 р + р--т--+ 'а - 'а = (Л* и71 р - ¿а^1 ^ +

а ,■ , а—1

/ / + -а г + а —1

j+f J+А / и + р — И + Р 1 /дИ\

+ ^Фа p — /а 2J — -т--p^^J ) + la = la + la.

Очевидно,что ia = a + т), la = O(1),

j+a p p

/а Р = £ 'а + £ К = 0(|/|2 + Т), |/|2 = + /2 +... + /2, =1 =1

то есть ЛОС обладает суммарной аппроксимацией 0(|/|2 + т).

Устойчивость локально-одномерной схемы

Умножим уравнение (2.4) скалярно на у( а) = у/+ р :

(у(а), у( = (лау( а), у( а)) + (ф( а), у( а)) , (4.1)

^а — 1 р

(и^)а = £ и-а^ а, (u, V)= £ иУЯ, Н = П г а.

г а=1 хею/ а=1

Преобразуем каждое слагаемое тождества (4.1):

(у(а), У(а)) = 2 (^(а)) + 211УгПга(а), (ЛаУ( а),У( а))а = (ка ^^,У( а))а + (Ь>а+1а^\У( а))а+

+ (ьаа«у£\у(«))а - (¿ау(а),«))а - р ( в(т,тт)у(а)(х,тг-ш,г)йи,у(а))а.

Так как к — — 1 — |г"1 + 0(й^), то к заменим на 1 — |г"1. Тогда последнее выражение перепишем в виде

V а), у( а)) — —(аа, уЦ + (ь+4+1в )Уха, У( а)) + (Ь— ), у( а)) а—

|га I

a а, а+ aa а

1 , Nm

- V Е ß (m,

Р \'m=0

(¿«у<»> + 05А„(а„(М)у£'у-—,

)У(а)(х,т.,у(а)) .

/ а

С помощью леммы 1 из [6] находим

(Ь^1*)л„,у>"))о + (ь—,у«")о <

< ^СсЮ^2 (е1Ь'»«Иь(«) + Ф)«у(">ига(„)).

+ 0.5h «(а ау^, У2а

а),У( «Л < С2|у( а)Ц2( а),

где

a а \ k

1 /с.

ха

[Та I

ка

< c4.

аП y( а)л,( а) а ^ ха

""'ТГД, , ^->J

< С4(е||yg)]Ii-2( а) + Ф)ИУ(а)IÜ2( а)),

Nm )

Е ß(m,mm)у(а)(х,m,m,f)Ä„,У(а)) <

Nm

< II Е ß (m, mim)У( а)(х,m,m,tа)|У( а)1к( а) <

¿m—0

Nm

1

< есз| Е У(а)(х,mm,0и?*(а) + 4е 11у( а)IIL2(а) <

¿m—0

N 1 ( Nm

¿а = 1 ¿m =0

N 1 Nm

2

< есз Е ( Е У(а)(х,mim,t)hm)X + ^IIy(а)^( а) <

- m

< eC3mi Е Е У2(хmim,O^m + 41-¡У( ^L^

' а =1 ¿m—0

)

е сзУУ( а)(х, m, t) 11L2 (а ,m) + ^ Иу( а) 11L2 ( а),

1 1у( а) I

(ф( а), У( а))а < 1 Цф (а)!?2(а) + 1 ИУ( а) 11L2 ( а).

Подставляя полученные неравенства в тождество (4.1), находим

2 (I^fe(а)), +

1 - 0.5h ааа,У?а

< 2 I

1Иф( а) IIL2(а) + С(е)УУ( а)^2( а) +

а

а

¿m—0

а

2-1-0 \ / "t Na — 1 Nm

+е(-4 + -С-2) ||y£)]|L2(a) + е-3 I ha £ y2(x, mim, t)hm. (4.2)

-0 ia = 1 im=0

Пользуясь разностным аналогом теоремы вложения при е < , -5 = -4 + , h a < , перепишем (4.2) иначе:

1 Il'f llL-(a) + -0тI b£}] lL-( a) < - II Ф( a) IlL-Ca) + -(е)т 1|Уa) |lL-(a) + 1 ИуУ'+¥ 11L-(a) +

/2 Nm

+е-3Tf I MXxa]|L2(a),

im=0

1 l|yj+f IIL2(a) + -0тI |yxa] IL2(a) < 2 И Ф( a) IIL2(a) + -(е)т||У a) 11L2(a) +

/2 Nm 1 a_1

+е-3f т I hmlyxa]|L2( a) + 2IlL2(a). (4.3)

4 i =0 2

m=

Просуммируем (4.3) по im от 0 до Nm:

1 Nm c Nm т Nm

2 .II |yj+ > IIL2(a)hm + -0т I llyxj]|L2(a)hm < | I ||ф( ^ a)hm+

im—0 im—0 im—0

Nm /2 Nm

+-(е)т I ||y( a)|L2( a)hm + е-3/4mlT I hmba]|L2( a) +

im=0

1 N^ ,, '+ a—1

+ 2 I ll/+^ ll?2( a)hm. (4.4)

im=0

При е < - gm (4.4) перепишем:

1 Nm c Nm т Nm

2 I Иу'+ ' IIL2(a)hm + -0т I |yxa]|?2( a)hm < 2 I ||ф( a) 11L2(a)hm+

im — 0 im — 0 im—0

Nm 1 Nm 1

+ -(е)т I ||y(a) IIL2( a)hm +1 I ||/+- IlL2(a)hm. (4.5)

im—0 im—0

Просуммируем (4.5) по всем iß = ia, ß = 1,2,...,p. Тогда получим

Nm c Nm Nm

I 11/+ ' IIL2 («*), hm + у т I ИУ^ ]lL2(«h)hm < т I ||ф'+ ' ||L2(«h)Äm+

2 /=0

m=

m m . a—1

+-(е)т I ||y(a)lL2(«h)hm + I II'IlL2(«h)hm. (4.6)

Nm I a\ о ^m ■■ a—1

( a)ll2 h

m

im—0 im—0

Просуммируем (4.6) сначала по a = 1,2,...,p:

Nm „ P Nm '+a

I H/^I^m + f I т I II' P ]|L2(«*)hm <

im=0 a—1 im —0

p n» а p n» а

< £ т £ ||фj+* Ц^й» + c(e) £ т £ ||У+* HLa(fflfc)Ä„+

а=1 im=0 а=1 im=0

Nm

+ £ НУ I!2(.h)hm,

затем по / от 0 до /:

Nm c /' Р Nm + а

£ h^'HU)*»+? £ т £ II ||у/7]ii2<»>. <

im=0 /'=0 а=1 im=0

j p Nm j p Nm

< £ т £ £ II ф/,+f II^)*» + Ф) £ T £ £ ||У"+f 11^)*»+

/'=0 а=1 i»=0 /'=0 а=1 i»=0

Nm

+ £ IIy0 Hz^®*)*». (4.7)

Из (4.7) имеем

Лт 7 Р Лт

I Иу^И^юЛ < Ф) £ Т £ £ '1 Ц2(Юй)Йт + V, (4.8)

гт=0 /=0 а=1 гт=0

где

7 Р Лт Лт

= £ Т £ II Цф7' + ' ^(^т + II И/И^к».

7''=0 а=1 /т=0 гт=0

С помощью неравенства (4.8) на основании леммы 4 из [7, с. 171] из неравенства (4.7) получаем априорную оценку

лт 7 Р Лт ■/+ а

£ 11У7'+1 У12(Юк)кт + £ Т £ £ II' ' т <

гт=0 '7=0 а=1 гт=0

M(t)

/ р N» , а N»

£т£ £ |ф/+>Н!2(Юй)*» + £ !Mx,»^L^)*

_/'=0 а=1 i»=0 im=0

(4.9)

Из оценки (4.9) следует

Теорема 1. Локально-одномерная схема (2.4)-(2.5) устойчива по начальным данным и правой части, так что для решения задачи (2.4)-(2.5) при любых к и т < т0 справедлива оценка (4.9).

Сходимость локально-одномерной схемы

По аналогии с [5, с. 528] представим решение задачи (3.1)-(3.2) в виде суммы £(а) = и(а) + П( а), где П( а) определяется условиями

п( а)- п( а-1) „ , . „ лЛ

-(-) = , Xе Юка + 7к, а, а = 1,2,...,Р, (5.1)

Т

П (X, 0) = 0.

Из (5.1) следует п7'+1 = П(р) = П' + т^' + "2 +... + = П' = ... = П0 = 0- Для па =

т(' + "2 + ... + "а) = -т('а+1 + ... + "р) = 0(т). Функция и(а) определяется условиями

и( а) — и( а _1)

---- = Лаиа) + ''а, X € а= 1,2,...,р, (5.2)

т ^ '

и(а) = —п а, X а € %, а, «(а)(*,0) = 0, "а = К + ЛаП( а).

Решение задачи (5.2) оценим с помощью теоремы 1. Так как п' = 0, П( а) = 0(т), ¡г7'|| < ||и'||, то из оценки (4.9) следует Теорема 2. Пусть задача (1.1)—(1.2) имеет единственное непрерывное в решение и(х,т,г) и существуют непрерывные в производные

д 2и д4 и д 3и д2 / = 12 = в

дг2 , д4 дх2 , д4 дг, д4 , = , ^^р = Р,

тогда локально-одномерная схема (2.4)-(2.5) сходится со скоростью 0(|А|2 + т), так что

||У+1 — и'+1||1 < м(|А|2 + т), |А|2 = а2 + а2 +... + Ар.

Nm j Р Nm .+а

НУ+1 II? = I (|yj+1li2(.h)hm + I T £ £ ||j

im=0 j'=0 а=1 im=0

Список литературы

[1] Ашабоков Б. А., Шаповалов А. В., Конвективные облака: численные модели и результаты моделирования в естественных условиях и при активном воздействии, Издательство КБНЦ РАН, Нальчик, 2008, 252 с. [Ashabokov B. A., SHapovalov A. V., Konvektivnye oblaka: chislennye modeli i rezul'taty modelirovaniya v estestvennyh usloviyah i pri aktivnom vozdejstvii, Izdatel'stvo KBNC RAN, Nal'chik, 2008, 252 pp.]

[2] Коган Е. Л. и др., Численное моделирование облаков, Гидрометеоиздат, М., 1984, 178 с. [Kogan E. L. i dr., CHislennoe modelirovanie oblakov, Gidrometeoizdat, M., 1984, 178 pp.]

[3] Berry E. X., "Cloud Droplets Growth by Collection", J. Atmos. Sci., 24:6 (1967), 688-701.

[4] Berry E. X., Reinhardt R. L., "An Analysis of Gloud Drop Growth by Collection", J. Atmos. Sci, 31:7 (1974), 1825-1831.

[5] Самарский А. А., Теория разностных схем, Наука, М., 1977, 656 с. [Samarskij A. A., Teoriya raznostnyh skhem, Nauka, M., 1977, 656 pp.]

[6] Андреев И. Б., "О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений", Ж. вычисл. матем. и матем. физ, 8:6 (1968), 1218-1231. [Andreev I. B., "O skhodimosti raznostnyh skhem, ap-proksimiruyushchih vtoruyu i tret'yu kraevye zadachi dlya ehllipticheskih uravnenij", ZH. vychisl. matem. i matem. fiz., 8:6 (1968), 1218-1231].

[7] Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, Наука, М., 1973, 480 с. [Samarskij A. A., Gulin A. V., Ustojchivost' raznostnyh skhem, Nauka, M., 1973, 480 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

[1] Ашабоков Б. А., Шаповалов А. В. Конвективные облака: численные модели и результаты моделирования в естественных условиях и при активном воздействии. Нальчик: Издательство КБНЦ РАН, 2008. 252 с.

[2] Коган Е. Л. и др. Численное моделирование облаков. М.: Гидрометеоиздат, 1984. 178 с.

[3] Berry E. X. Cloud Droplets Growth by Collection // J. Atmos. Sci. 1967. vol. 24. no.6. pp. 688-701.

[4] Berry E. X., Reinhardt R. L. An Analysis of Gloud Drop Growth by Collection // J. Atmos. Sci. 1974. vol. 31. no. 7. pp. 1825-1831.

[5] Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 c.

[6] Андреев И. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. №6. С. 1218-1231.

[7] Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 480 c.

Для цитирования: Ашабоков Б. А., Тайсаев И. Д., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для параболического уравнения общего вида, описывающего микрофизические процессы в конвективных облаках // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 158-167. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-158-167

For citation: Ashabokov B.A., Taisaev I.D., Shkhanukov-Lafishev M. Kh. A local one-dimensional scheme for parabolic equation of general form, describing microphysical processes in convective clouds, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 158-167. DOI: 10.18454/20796641-2018-23-3-158-167

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.06.2018

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2018. no.3(23). pp. 158-167. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-158-167

NUMERICAL METHODS OF SOLVING THE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS

MSC 35K10

A LOCAL ONE-DIMENSIONAL SCHEME FOR PARABOLIC EQUATION OF GENERAL FORM, DESCRIBING MICROPHYSICAL PROCESSES IN CONVECTIVE CLOUDS

B.A. Ashabokov1, I.D. Taisaev2, M. Kh. Shkhanukov-Lafishev2

1 Institute of Computer Science and Problems of Regional Management Kabardin-Balkar

Scientific Center of RAS, 360000, Nalchik, Inessy Armand st., 37 A, Russia

2 Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Center

of RAS, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89 A, Russia

E-mail: ashabokov.boris@mail.ru, taisauti@yandex.ru, lafishev2014@yandex.ru

This paper considers a locally one-dimensional scheme for a parabolic equation of general form in a p-dimensional parallelepiped.To describe coagulation processes in the cloud, the equation under study involves a non-local source of a specific type [1]. An a priori estimate for the solution to the locally one-dimensional scheme is obtained and its convergence is proved. Sign definiteness for the operator in the principal part of the equation is not assumed.

Key words: boundary value problem, locally one-dimensional scheme, stability, scheme convergence, approximation error.

© Ashabokov B.A., et al., 2018