Локальная сходимость в схеме серий и ветвящиеся процессы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 4, 1997

УДК 519.2

ЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ В СХЕМЕ СЕРИЙ И ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ

Н. И. Казимиров

В статье определены границы применимости известных достаточных условий локальной сходимости серий сумм решетчатых слагаемых для изучения случайных лесов.

В книге [1] при изучении свойств случайных лесов, основанном на взаимосвязи между случайными лесами и ветвящимися процессами Гальтона—Ватсона, возникает необходимость доказательства ряда утверждений о предельном поведении случайной величины (с.в.), равной общему числу частиц, существовавших в процессе Гальтона— Ватсона до его вырождения.

Придерживаясь обозначений, принятых в [1], через Гдг?п обозначим класс лесов, состоящих из N корневых деревьев (корни занумерованы) с п некорневыми вершинами, помеченными некоторым образом. Классу соответствует ветвящийся процесс Гальтона—

Ватсона (?, распадающийся на N процессов ,..., , каждый из

которых начинается с одной частицы. Как ив [1], введем вспомогательную с.в. £, имеющую дискретное распределение

Р {£ = к}=Рк, к = 0,1,..., (1)

с максимальным шагом с? и производящей функцией

оо

= (2)

к=О

© Н. И. Казимиров, 1998

считая при этом, что множество значений £, имеющих ненулевую вероятность, содержит нуль и не совпадает с множеством {0,1}. Пусть = 1, = В и ^ш(1) < оо. Очевидно, что В > 0. Будем считать,

что число прямых потомков одной частицы ветвящегося процесса (7 имеет распределение

Рк{\) = Хкрк/Р(Х), к = 0,1,..., (3)

где 0 < Л < 1. Пусть также обозначает с.в., равную числу ча-

стиц, существовавших в процессе за все время его существования, г Е {1,..., -/V}, V — с.в., равную числу частиц, существовавших в процессе до его вырождения. Очевидно, V — г/1) + ... +

Так как с.в. г/1),..., независимы, а сумма V зависит, вообще говоря, от ТУ, п, то мы имеем схему серий В лемме 2.3.2

книги [1] доказана локальная сходимость суммы V к нормальному закону при стремлении1 параметров N и п к бесконечности так, что п/7У2 —> 0. В ходе доказательства приходится рассматривать различные зоны изменения параметров ТУ, п и различные значения шага (1. Необходимость специального доказательства локальной сходимости для конкретных сумм, связанных с комбинаторными вероятностями, отмечалась в книге [2] в связи с недостаточным развитием теории локальных предельных теорем для схем серий. В последнее время получены значительные продвижения в этой теории (см. [3]). Целью настоящей статьи является установление границ применимости известных достаточных условий локальной сходимости к исследованию предельного поведения V. Ниже будет показано, что лемма 2.3.2 книги [1] является следствием теоремы 1 статьи [3] в случае б? = 1, в то время как при б? > 1 указанная лемма не выводима из данной теоремы.

Обозначим через (а) расстояние от вещественного а до ближайшего целого числа.

Пусть также

= М((г/<1) - г/(2))г)2,

НМ(Ь) = ЯЛг = ЛГ Ы Я^1),*),

1 Здесь и далее все пределы, а также символы Ландау ( о(...),0(...) ) рассматриваются при А/", п —)■ оо, если не оговорено противное.

В2{р(1\и) = 2 ^ к2Р{р(1) - г/(2) = к}, В%(и) = ЛГБ2(г/(1),«),

1 <к<и

Бдт = л/7Усг2, сг2 = Ог/1).

Для дальнейших рассуждений нам потребуется с.в., равная общему числу частиц, существовавших в критическом процессе Гальтона— Ватсона (7*, начавшемся с одной частицы, в котором число потомков одной частицы равно с.в. £, введенной выше. Как ив [1], обозначим эту с.в. через Для того, чтобы можно было рассматривать сим-

метризованную с.в. для обозначим через г/*(2) с.в., одинаково

распределенную с и независимую от Тогда симметризо-

ванная с.в. для примет вид

Заметим, что для V выполняется и.п.т. в силу леммы 2.3.1 книги

[1] при наложении тех же ограничений, что и в лемме 2.3.2, а именно: п/И2 —>• О, NX^ —>• оо, где 3 = тт{1: > 0| Рк > 0}, а Л = \^,п) определяется соотношением

АПА)

Р(Л) лг + п' ' '

В теореме 1 статьи [3] доказаны достаточные условия следования л.п.т. из и.п.т. Перечислим эти условия:

I. В% = О(Ядг).

II. Нн —У оо и существует такое М > О, что Д/у = 0(В]у(М)).

III. Н]\[ —У оо и существует такое /1 < 1/2, что Вдг = 0(В^(Н^)).

IV. Нм —> оо и существуют такие ц < 1/2, а > 0 и р Е (0,2], что для и Е [/Гдо-,Ду] справедливо неравенство В^(и) > аВрми2~р.

Обозначим Мр подмножество Ъ, являющееся множеством значений некоторой целочисленной с.в. 77, принимаемых ею с ненулевой вероятностью, причем с.в. г] имеет максимальный шаг р и удовлетворяет равенству

^ Р{Г) = кр} = 1.

ке Ъ

Такие множество Мр и с.в. г] будем называть соответствующими. Ясно, что одному множеству Мр может соответствовать больше одной с.в.

Для произвольно выбранного д Е N \ {0} обозначим дЪ — {дг| т Е Ъ}.

Очевидно, что с.в. г] имеет максимальный шаг р тогда и только тогда, когда Мр С рЪ, но при любом з > р, з Е М, Мр <2 ^Ъ. Заметим, что в случае конечного множества Мр понятие максимального шага г] совпадает с понятием наибольшего общего делителя (НОД) элементов множества Мр.

Легко проверить справедливость следующего утверждения.

Лемма 1. Если с.в. г] имеет максимальный шаг 1, то в М\ найдется конечное подмножество с НОД, равным 1.

Рассмотрим теперь целочисленную с.в. £ с распределением (1) и максимальным шагом б?. Положим М = {к Е М| Рк = Р{£ = > 0}.

Пусть б? = 1, тогда множество М удовлетворяет лемме 1, в силу которой существует конечное подмножество N = {П1,...,пт} С М с НОД, равным 1, т. е. числа П1,..., пт взаимно просты. Тогда, пользуясь леммой книги [4,с.206], заключаем, что существует такое ко Е М, что при любом натуральном к > ко имеет место равенство:

к = ххпх + ... + жтпт, (5)

где Ху Е М, j Е {1,... ,ш}.

Рассмотрим критический процесс Гальтона—Ватсона, начинающийся с одной частицы, в котором число потомков каждой частицы имеет распределение (1). Используя (5), легко получить, что для этого процесса существует такое натуральное ко, что = к} > 0

при всех А: > Л^о + 1* Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 1. Если максимальный шаг с.в. £ равен 1, то

Р{г/*(1) - И2) = 1} > 0.

Предположим, что максимальный шаг целочисленной с.в. £ с распределением (1) равен б? > 1. Тогда число потомков одной частицы в критическом процессе Гальтона—Ватсона С*, очевидно, будет кратно б?. Отсюда легко видеть, что симметризованная величина принимает с ненулевой вероятностью только значения из множества (1Ъ, т. е.

^2 р{^*(1) - г/*(2) = ы) = 1. (6)

ке Ъ

Теорема 2. Для схемы серий с шагом d > 1 условия I-IV

не выполнены.

Доказательство. Используя равенство (2.2.4) книги [1], заключаем, что

Р^1) = к + 1} = =к + 1}, к = 0,1,...

Так как Л Е (0,1), то Pjz/1) = к + 1} > 0 тогда и только тогда, когда PjH1) = к + 1} > 0. Поэтому и Р{z/1) — v= Л:} > 0 тогда и только тогда, когда Pjz/^1) — > 0 при любом к Е Z.

Теперь, принимая во внимание равенство (6), получаем

^Р{г/(1)_г/(2) = Ы} = 1,

кеЪ

т. е. симметризованная с.в. г/1) — г/2) с ненулевой вероятностью принимает лишь значения, кратные б?, откуда

H{v^\t) = M((i/W -г/(2))*)2 =

= ^(Ы)2Р{^^ - |/2> = А;} = ^<Ы^)2Р{^1} - i/(2) = Ы}.

Подставляя вместо t число [d/2]/б?, где [а] — целая часть вещественного а, получаем

H(^1\[d/2]/d) = 0.

Поэтому H]\f = inf t) = 0, откуда 7^ 00, и условия

II, III, IV не ВЫПОЛНЯЮТСЯ. Условие I, которое требует, чтобы В^ = O(Hn), очевидно, не выполняется, т. к. lim Hn/В% равен нулю. □

ЛГ—>-оо

Предположим теперь, что шаг распределения с.в. £ равен 1. В этом случае, как утверждает теорема 1, симметризованное распределение с.в. удовлетворяет следующему неравенству

Р{г/*(1) - И2) = 1} > 0. (7)

Дальнейшее наше исследование справедливости л.п.т. для схемы серий мы разобьем на три части в зависимости от поведе-

ния дроби n/N при стремлении n,N —>■ оо, которые будут выражены

следующими тремя теоремами (символы Сі, С2,... обозначают положительные постоянные, не зависящие от п и N). Как и раньше, положим j = min{& > ОI pk > 0}, где pk заданы соотношением (1), а Л удовлетворяет (4).

Теорема 3. Если n,N —у оо так, что 0 < С\ < n/N < С2 < 00, то для схемы серий выполнена л.п.т.

Доказательство. Справедливость и.п.т. для схемы серий следует, как уже было отмечено выше, из леммы 2.3.1 книги [1].

Оценим Вjy- = Ncr2. Используя соотношение (2.3.2) книги [1], имеем:

a2 = Dv^ = Bx{l-m)-3, (8)

где m и В\ обозначают, соответственно, математическое ожидание и дисперсию распределения (3).

В [1] показано, что

m = n/(n + N) (9)

и 0 < Сз < В\ < С4 < оо. Тогда из (8) и (9) следует, что 0 < С5 < < а2 < Сб <оо. Окончательно для В^ = N а2 получаем следующую оценку:

В% = 0{N). (10)

Оценим теперь H]\f = N inf Во-первых, заметим,

1 /4<£<1 /2

ЧТО

Я(г/(1),^) = M((i/W - г/(2))*)2 < 1/4.

Во-вторых,

= ^(Ы)2Р{^^ - і/2) = &} >

k£Z

> (t)2P{vW - = 1} > P{vW - = 1}/16.

Теперь, в силу (7) PjH1) — z/*(2) = 1} > 0. А так как Pjz/*^ = = 0} = 0, то найдется І Є N \ {0}, при котором P{is*^ = 1} > On Р{г/*(1) = I + 1} > 0, причем обе эти вероятности не зависят от n,7V, т. к. распределение числа потомков в процессе G* не зависит от п, N. Поэтому

оо

Р{„(1) - „(2) = 1} = P{v(1) = k + 1}Р{г/2) =k} =

k=1

00 \2fc-l

= £ узпщ1РК'11 = * + ЧРК™ = *> >

л2г_1

> Я+1(А)Р{^(1) = 1 + 1}РК(1) = 1} > 16С7т > О,

где мы воспользовались равенством (2.2.4) книги [1] и тем, что и одинаково распределены.

Итак, 0 < С7 < Н(ь< С% < оо. Тогда = О (И), откуда в силу (10) получаем В^ = О {Нм) и, следовательно, условие I выполнено. □

Теорема 4. Если п, А^ —>• оо так, что п/А^ —>• О, А'А-7 —у оо, то для схемы серий }^_1 выполнена л.п.т.

Доказательство. Проверим выполнение условия I, так как и.п.т. верна для схемы серий в силу условия ТУ А-7 —у оо и леммы

2.3.1 книги [1].

Оценим В2М = А'сг2. Из (9) получаем

(1 - ш)“3 = (1 + п/АО3 ^ 1. (11)

По лемме 2.2.1 [1] при п/Ы —У 0 имеем А-7 = 0(п/Ы), откуда, во-первых, А —у 0, во-вторых, ^(А) —у ро > 0 и при любом к > ^ имеем Хк = о(А-7 ). Поэтому в силу равенства

m

й t,

получаем, что ш2 = o(AJ). А так как

о 7 2 2

Б» = 2> ад-™ •

k=j

то 1?а = 0(AJ). Отсюда и из (8), (11) заключаем, что a2 = 0(AJ) = = 0(n/N), откуда

= N a2 = 0(п). (12)

Оценим теперь Hjif = N inf Hiv^Kt).

l/4<i<l/2

H{v^\t) = M((I/<1) - v^)t)2 = Yj (kt)2P{v{1) - = k}. (13)

ke Z\{0}

Рассмотрим вероятность Р{и^ — г/2) = к}. Полагая К = тах{0, к} и учитывая, что Р{и^ = /} = 0 при I < 0, имеем

оо

р{г,(1) _ р(2) =к} = ^2 Р{г/1} = 1}Р{р(2) =1-к} =

1 = 1

00 \2l-k

= Е = ! + ЧР^*111 =1-^ + 1},

1=К v ;

где мы воспользовались равенством (2.2.4) [1] и одинаковой распределенностью с.в. и 1У*(2\ Из определения числа ] видно, что

Р{г/*(1) = ^ + 1} > 0, но Р{г/*^ = /} = 0 при 0 </<,?, т. к. число потомков одной частицы в процессе (?* либо равно нулю, либо не меньше

Пусть к < 0, тогда К — 0 и

о° \2l-k

Р{г/(1) _ „(2) = к} = '£ р21+2-к(Х) Р{^(1) = 1 + 1}Р{^(1) =/-& + !}■

/=0 ' '

Очевидно, при любом I > 0 получим 21 —к > 0. Рассмотрим только такие /, для которых 21 —к < При этом получим / + 1 <^'/2+ш/2 + 1, откуда I + 1 < Тогда при выбранных I имеем Р{г/*^ = I + 1} = 0, если I > 0, а при I = 0 получим —к < ] и Р{г/*^^ = I — к + 1} = 0. Итак, при 21 — к < j имеем Р{г/*^ = I + 1}Р{г/*(1) = I — к + 1} = 0 и, следовательно,

_ */2) = =

\2l-k

= Е р21таттРК(1)=^ + 1}РК(1) = /-А; + 1}<С'1л^ (14)

21-к^ ^ }

Пусть теперь к > 0, тогда К — к и

00 Д2/-&

Р{г/(1) _ „(2) = &} = £ ^2г+2_,(л)Р{^(1) = / + 1}Р{^(1) = / - к + 1}.

Рассуждая аналогично предыдущему, получаем, что

р.^1) _ г,(2) =к} =

\2l-k

= Е р21+2-к(Х)Р{»*{1) = I + 1}РК(1) =1-к + 1} < С2Х (15)

21-к^ ^ ’

Если \к\ > то нетрудно видеть, что

Р{„(1) - 1/(2) =к}< с3\1к1 = о(Х:>).

Поэтому в сумме (13) только конечное число слагаемых (не больше 2^’) может быть величиной порядка X3. Тогда

#(г/(1\г) < (16)

С другой стороны,

00 \2 l-j

р{^)-^) =1} = ^ рП+2-НХ) Р{^(1) = 1 + 1}РК(1) = 1~3 + 1} >

1=3 1 ;

- ^л)Р{-*(1) = *+ = 1} > о-

Следовательно, Р{и^ — = Л > С*5Л-7*, откуда

Н{р^\г) > Са\*. (17)

Окончательно из (16) и (17) получаем

н{р(1\г) = 0{х>) = о(п/и).

Проведенные оценки справедливы при любом £ Е [1/4,1/2], поэтому

Нм = N Ы Я(г/(1),£) = 0(п). (18)

1 /4<£<1 /2

Из (12) и (18) получаем В2М = О(Н^) и теорема доказана. □

Теорема 5. Если п,7У —у оо так, что n/N —у оо, п/7У2 —>• 0, то для

схемы серий }^_1 выполнена л.п.т.

Доказательство. Как и в предыдущей теореме, справедливость и.п.т. следует из леммы 2.3.1 [1]. Покажем теперь, что для схемы серий выполнено условие IV.

Оценим В2М = Ист2. Из (8), (9) получаем

а2 = В\(1 - ш)-3 = В\(1 + п/7У)3 = БлО(п3/7У3).

По лемме 2.2.1, в силу условий теоремы Л,ш —> 1, поэтому

00 л к / оо \

Bx = Y к2 jJtt - ш2 = О I ^ к2рк I - т2 = 0(В + 1 - то2) = 0(B),

к=1 ^ ' \к=1 /

где В — D£ > 0. Следовательно, о2 = 0(n3/7V3), откуда

B2N = 0(n3/N2). (19)

Оценим Hn = N inf Так же, как в теореме 3 (здесь

1 /4<£<1 /2

замена условия 0<Л<А<1?<1на условие Л —>• 1 на доказательство не влияет), доказывается, что Hn = O(N).

Оценим теперь величину Btf(u) = 2N ^ к2Pji/1) — i/2) = к}.

1 <к<и

Снова из (2.2.4) [1] имеем

о° \2l-k

Р{г/(1) _ „(2) = fc} = £ р,2<+2->(Л)Р{^(1) = ^ + 1}РК(1) = I - к + 1}.

Из леммы 1.3.12 [1] следует, что при I —>• оо имеет место асимптотическое равенство

р{И1,=,1=да?ж',{-4}=°<г1/2>-

Поэтому, выбирая произвольно к Е [Kq,oo), где Ко —> оо, из последних двух соотношений получаем

(оо

Y(l + l)-z/2(l-k + l)-z/2 1=к

(оо

Е w~kT3/2 1=к+1

Тогда

и

53 к2Р{г/(1) - j/(2> = А:} > Сх ^ к2 53 W ~ к)]~3/2, (20)

1 <k<u к=Ко l=k-\-1

где и > Ко, причем, не ограничивая общности, мы считаем u Е Z.

Правую часть последнего неравенства можно оценить следующим образом:

оо „

[/(/ — к)]~3/2 > / (х2 — хк)~3/2с1х. (21)

1=к+1 к{г

Вычисляя интеграл, из (20) и (21) получаем:

У к2= к} >С2 У ---------------------------------------, к* , ч ._=. (22)

хк<п к=к, к + 1 + (! + к/2)^к + 1

Аналогично рассуждая, приходим к следующему неравенству. Если Ко и и —> оо таким образом, что Ко = о(и), например, при и е [Щ, оо), 7 > 1, то:

к2 [ х2

ах =

к ^ Г X'

к + 1 + (1 + к/2)у/к + 1 У х + 1 + (1 + ж/2)\/х + 1

= ^(^ТТТ- і)3 - |(У^о - I)3 = 0(«3/2).

Итак,

у' _____________к2 > с из/2

к —Ко ^ ^ ^/^)л/^ “1“ 1

поэтому из (22) имеем

Л:2Р{^(1) - г/2) = &} > с4и3/2.

1 <к<и

Таким образом, В2м(и) > С^Аи3/2.

В условии IV положим р = 1/2. Тогда в силу проведенных выше оценок из (19) заключаем, что

Врми2~р = 1/В^ и3'2 = 0(п3/4АГ“1/2гб3/2).

Так как в силу условия теоремы п/Ы2 —> 0, то

пЗ/4М-1/2^/2 _ пЗ/4

Д^З/2 ~ N3/2 ^ °’

поэтому BpNu2~p = o(Nu3//2). Это означает, что найдутся натуральные по, Nq и вещественные а,/3 > 0 такие, что для всех п > no, iV >

> Nq справедливы неравенства

aBpNu2~p < 0Nu3/2 < B2n(u)

при u е [Kq, оо), 7 > 1.

Теперь, полагая Ко = , где 0 < /л < 1/2, получим Kq =

= 0(Нн) (например, /I = 1/4, 7 = 5/4).

Окончательно имеем: Ндг ->оо и существуют такие /х < 1/2, се > О и р Е (0,2], что для u Е [Я^,Бдг] справедливо неравенство B2N{u) >

> aBpNu2~p. Теорема доказана. □

Resume

Borders of applicability of known sufficient conditions of local convergence of series of sums discrete components for study random forests are determined.

Литература

[1] Павлов Ю. Jl. Случайные леса/ КНЦ РАН. Петрозаводск, 1996.

[2] Колчин В. Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1984.

[3] Мухин А. Б. Локальные предельные теоремы для решетчатых случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. 1991. Т. 36. Вып. 4. С. 660-674.

[4] Боровков А. А. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972.