CC BY
12
- выполнить классификацию изученных объектов (темы, раздела, теории);
- найти закономерность и продолжить ряд данных объектов;
- назвать объект, про который можно сказать
«_»;
- для данного утверждения сформулировать а) обратное, б) противоположное, в) противоположное обратному; определить их истинность;
пространственное мышление и воображение
- изобразить объект по его описанию (условию задачи);
- найти на чертеже (рисунке, графике, схеме) заданные объекты;
- изменить структуру данного объекта так, чтобы получился новый объект с заданными свойствами.
рациональное восприятие и запоминание информации
- перечислить по памяти как можно больше изученных по данной теме объектов (свойств данного объекта);
- установить соответствие между объектами данной темы, с аналогичными объектами изученных ранее тем; выделить блоки объектов;
- выделить в изучаемом материале главное - основные понятия, свойства, методы, типы задач и способы их решения;
- составить опорную схему (конспект) по изученному материалу;
математическая речь:
- записать с использование математической символики математический диктант по теме (другую математическую информацию);
- прочитать словами данную математическую (графическую, схематическую и т.п.) информацию;
- установить соответствие между терминами и символами данной темы;
- ответить на вопросы по материалу темы (в пособии и другие);
коммуникативные умения, социальное взаимодействие:
- принять участие (выполняя совместные задания) в групповой деятельности на занятии (деловая игра, метод проектов и др.);
- проверить правильность выполнения заданий у товарища, выявить, объяснить и исправить ошибки;
общекультурные качества:
- установить (с выбором ответа или без), к какому историческому отрезку относится данное понятие (теорема, формула, метод, имя ученого и т.д.);
- подготовить сообщение на материале темы (раздела, курса) о роли математики в искусстве, в жизни общества и государства, в будущей профессиональной деятельности.
элементы творчества:
- составить содержательную прикладную математическую задачу на применение данной темы;
- составить математический кроссворд (чайнворд и т. п.).
ЛИНИИ ОБОБЩЕНИИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ БУДУЩЕГО
УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
В.В. Крючкова,
кандидат педагогических наук, доцент, докторант кафедры методики математики МПГУ
Принято считать, что сущность процесса познания - это формирование абстракций и обобщений, которое идет от наблюдения частных случаев к выделению общих признаков, характерных для определенных классов вещей и явлений, составляющих содержание соответствующих понятий. Одной из главных задач современного научного знания является изучение целостных объектов, их становления и функционирования. Чтобы преодолеть проблемы эмпирического познания (мышления «отдельными элементами»), следствием, которого является отрывочность и раздробленность знаний, необходимо изучать каждую отдельную вещь и каждое понятие не как самостоятельные реальности, а обязательно через связи между ними. В этом случае «теоретическое понятие, в отличие от эмпирического, не только находит нечто одинаковое в каждом отдельном предмете класса, но и прослеживает взаимосвязи отдельных предметов внутри целого, внутри системы в ее становлении» [2, с. 314].
Наши наблюдения за поведением студентов и учащихся, столкнувшихся с нестандартной ситуацией, как
раз подтверждают мысль С.Л. Рубинштейна: «знания, за которыми не стоит собственная аналитико-синтетическая, обобщающая работа мысли, - это формальные знания» [6, С. 201]. Главная трудность возможного решения скрыта в умении или способности испытуемого видеть проявление общей закономерности, в сформированности у него скрытых от прямого наблюдения внутренних психологических обобщенных когнитивных структур. В качестве примера рассмотрим следующую задачу, предлагаемую нами разным группам испытуемых (учащиеся, студенты, учителя): является ли число 9 • 12357668912 + 9 • 1235766891 • 79547839348 + 2 • 795478393482 составным? Выделим в решении предложенной задачи следующие этапы:
• смысл задачи состоит в исследование возможности разложения данного числа в произведение двух натуральных множителей, больших 1;
• исходные числа настолько велики и между собой никак не связаны, что возникает предположение,
что их значения не играют особой роли;
• заменив их переменными а, Ь, мы получим алгебраическое выражение - многочлен от двух переменных 9 а2 + 9аЬ + 2Ь2 и для решения исходной задачи необходимо выяснить, можно ли разложить этот многочлен в произведение многочленов меньшей степени;
• исследование однородного многочлена целесообразно свести к возможности разложения квадрат-
2 а
ного трехчлена 9X + 9х + 2 , где X = —, в произве-
Ь
дение двух биномов;
• последняя задача является уже стандартной учебной задачей: 9X2 + 9X + 2 = (3х +1) • (3х + 2),
1 2
поскольку числа ---- - корни этого квадратного
3' 3
трехчлена;
• вернувшись к заменам, можно последовательно ответить на все ранее поставленные вопросы, а именно:
9а2 + 9аЬ + 2Ь2 = Ь2 • 9 ^Ь +1^а +1) = (3а + 2Ь)(3а + Ь)
и, следовательно, исходное число - составное, так как 3а + 2Ь, 3а + Ь > 1.
Обращение к структуре исследуемого целого - первая идея предложенного поиска, но проникновение в его сущность, как приобретенное особое отношение к объекту, невозможно без установления зависимости между понятиями, образования их системы и осознания собственной мыслительной деятельности. Используемые буквенные обозначения важны как средство выражения, фиксации внимания к целостной структуре исследуемой ситуации. Они удобны не только для организации преобразований над соответствующими выражениями, как средства выражения программы действий, но и как самостоятельные алгебраические объекты изучения.
Способность схватывать и обыгрывать структуры, «внутренние формы» сложных объектов формируется прежде всего в алгебраическом образовании. Последнее особенно актуально, в связи с тем, что современный уровень развития математики характеризуется все более возрастающей ее алгебраизацией. Она означает, во-первых, аксиоматизацию соответствующей области, во-вторых, используемую универсальность алгебраического метода в математике. Высокая концентрация обобщенного знания в алгебре как научной дисциплине, систематическое использование символьного языка, более высокий, чем в других областях математики уровень абстракций, ее прикладная направленность, особенно выявившаяся в XX веке, безусловно, находят отражение и в учебных алгебраических курсах. Во введении к книге [3, с. 11], отмечая абстрактный характер понятий, А.И. Кострикин пишет: «К счастью, под абстрактной оболочкой большинства аксиоматических теорий алгебры скрываются вполне конкретные задачи теоретического или практического характера,
решение которых служило в свое время счастливым, а иногда и неизбежным поводом к далеко идущим обобщениям. В свою очередь, развитая теория давала импульс и средства к решению новых задач».
В данной статье мы предложим анализ линий обобщений в развитии теоретического учебного курса «Алгебра», выделим обобщающие процедуры в его практической составляющей. Это позволит не только совершить некоторый исторический экскурс в развитие алгебраических обобщений, но и наметить основные этапы в развитии способности студентов к обобщению, в формировании системности теоретического мышления и алгебраической культуры будущих учителей математики. Размышляя о предмете алгебры, выдающийся российский математик И.Р. Шафаревич задает вопрос: «Является алгебра частью математики или психологической установкой?» [7, С.9]. На наш взгляд, анализ линии обобщений и соответствующих процедур позволит обратить внимание на фундаментальные, базовые «корневые и стволовые» общенаучные основания формируемой алгебраической культуры. Другим его результатом будет подтверждение схемы познания взаимосвязей внутри целого: расположение изучаемого материала должно быть таково, чтобы все последующее вытекало из предыдущего, было его развитием, а не представляло бы собой какое-то совсем новое знание. Важным психологическим итогом предлагаемого анализа является и то, что логика введения знаний отвечает не только «логике предмета, логике исторического развития знаний о нем, но и логике психологических законов усвоения знаний, логике развития репрезентативных структур в голове обучающегося».
Исторический анализ развития алгебры свидетельствует о том, что удачные обобщения, как правило, изменяют содержание предмета. Основные свойства действий над числами, известные на ранних этапах развития математики, позволили уже в ХУН-ХУШ вв. понимать под алгеброй науку о буквенных вычислениях - тождественных преобразованиях буквенных формул. В математической энциклопедии [1, с. 115] отмечается, что «первоначальные попытки аксиоматического изучения алгебраических операций прослеживаются уже в "теории отношений» Евклида, однако они не получили развития из-за невозможности геометрически интерпретировать даже простейшие действия над числами как отношения длин или площадей». Дальнейший прогресс оказался возможным после углубления понятия числа и в результате появления примеров алгебраических операций другой природы. Выделение понятия алгебраической операции, сделанное в середине XIX в., и дальнейшее изучение свойств алгебраических операций - другой пример обобщенности знания. Более того, именно оно во многом определяет лицо современной алгебры. Например, понятие группы возникло в связи с исследованием разрешимости алгебраического уравнения в радикалах, и в работах Ж. Лагранжа, Н. Абеля и Э. Галуа речь идет, по существу, о группах подстановок. В XIX веке теоретико-групповые идеи активно развиваются в геометрии,
где постепенно осознается, что в основу классификации различных геометрий следует положить понятие группы преобразований. Такие же идеи появляются и в теории чисел благодаря работам Л. Эйлера и К.Ф. Гаусса. В конце XIX века осознается принципиальное единство теоретико-групповых идей и С. Ли определяет понятие группы преобразований. В 1916 г. с выходом книги О.Ю. Шмидта группы начинают изучаться без каких бы то ни было предположений о природе элементов и операций над ними. Переход к этим общим идеям позволяет теории групп занять одно из основополагающих мест в алгебре. В понятии «группа» сконцентрированы такие идеи, которые позволяют находить многочисленные применения теории групп как в естествознании, так и в самой математике. Более того, теория групп становится инструментом научных исследований.
Развитие идеи числа как объекта алгебраических операций не только приводит к линии обобщений свойств алгебраических операций, но и к самостоятельному независимому изучению структуры алгебраических объектов, представляющих другую обобщенную линию: группа, кольцо, поле, алгебраическая система. Эти понятия чрезвычайно абстрактны, но их раннее введение формирует определенный язык, на котором строится дальнейшее изучение курса. Современные учебники для высшей школы предлагают различные варианты использования данной линии в организации теоретического развития изложения. Например, в учебнике Л.Я. Куликова [4] понятие «алгебраические системы», появляясь в начале курса, закладывает словарь учебной дисциплины, представление о них как математическом инструменте исследования алгебраических объектов. Грамотное использование основных свойств указанных объектов позволяет в дальнейшем изучать многие понятия путем содержательных обобщений. Введение основных алгебраических структур, несомненно, должно сопровождаться достаточным количеством «модельных» примеров групп, колец, полей. Анализируя в дальнейшем эти модели, обучаемые могут формулировать возможные гипотезы о строении общих объектов и даже намечать возможные доказательства прогнозируемых утверждений. Безусловно, основной алгебраической структурой, подлежащей изучению, является понятие группы. Раннее введение понятия группы обусловлено многими причинами. В первую очередь это связано с тем, что группа является той «клеточкой», которая лежит в основе дальнейшего изучения многих алгебраических понятий. Наличие групповой структуры на некотором множестве объектов позволяет «сжать» многие доказательства, уяснить их происхождение, осознать их естественность. Понятие группы в дальнейшем активно будет использоваться при изучении колец и полей, векторных пространств, линейных операторов и т. д.
Изучение свойств алгебраических операций немыслимо без использования символьного языка. Символьные преобразования занимают значительное место в различных разделах современной алгебры. Нельзя не согласиться с мнением выдающегося русского фило-
софа А.Ф. Лосева: «... всякий символ есть некоторого рода обобщение. Если символ вещи не есть ее обобщение, зовущее за пределы этой вещи и намечающее огромный ряд ее разнородных перевоплощений, словом, если в символе нет обобщения, создающего бесконечную смысловую перспективу, тогда не стоит говорить специально о символе ...» [5, с. 258]. Считается, что символьный аппарат сложился в основном благодаря работам Ф. Виета - до этого в алгебре практически не было общих правил. Исследователи отмечают исключительное обилие примеров, потому даже элементарные учебники того времени трудны, в них даются десятки частных правил вместо одного общего. Но использование подходящей символики для формулирования общих утверждений - это только одна сторона дела. А.Ф.Лосев подчеркивает: «Символ вещи действительно есть ее смысл. Однако это такой смысл, который ее конструирует и модельно порождает... Символ вещи есть ее обобщение. Однако это обобщение не мертвое, не пустое, не абстрактное и не бесплодное, но такое, которое позволяет, а вернее даже повелевает вернуться к обобщаемым вещам, внося в них смысловую закономерность. Другими словами, та общность, которая имеется в символе, implicite уже содержит в себе все символизируемое, хотя бы оно и было бесконечно» [5, с. 272-273]. Удачный символ или их комбинация позволяет «свернуть» большой объем информации. Например, лаконичная запись R(+) = R + (•) означает не только краткую и легко запоминающуюся (в силу ее графической простоты) фразу «аддитивная группа всех действительных чисел изоморфна мультипликативной группе положительных действительных чисел», но и глубокий математический факт. Непонимание студентами данной фразы означает не только незнание данного факта, но и неумение различать смысл каждого фрагмента символа. Эту же проблему мы видим в ошибке ученика, не различающего два
уравнения: sin х = 1, arcsin х = 1.
Таким образом, символьный аппарат, используемый в алгебре - это тоже отражение обобщенности алгебраического знания, другая линия обобщений. Выделим основные типы символов, употребляемые в алгебре: теоретико-множественные символы, знаки действий и отношений, имена классов объектов, схемы (формулы) вычислительных алгоритмов, алгебраические законы. Переход от привычных обозначений стандартных операций «сложение» и «умножение» и
соответствующих знаков +, х будет более доступным, если использовать сначала символы Ф, 0 потом более «нейтральные» символы типа * или °. Лишь постепенно студенты «перестают обращать внимание» на конкретное содержание, зависящее от природы алгебраических объектов, и поднимаются к настоящему смыслу символа - обозначению абстрактной алгебраической операции. Аналогично обстоит дело и со знаками отношений. Еще важнее пример алгебраических законов. Основные алгебраические законы -
суть символы. Но эти символы несут в себе мощный источник преобразующей деятельности. Комбинация алгебраических законов отражает смысловую закономерность обобщаемых объектов. С символами можно оперировать самостоятельно. Поэтому когда на символическом языке получено некоторое утверждение, оно допускает конкретную реализацию в любой модели. Получаемые таким образом утверждения часто «внешне не похожи» на своих «родителей».
Анализируя дальнейшие линии обобщений, заметим, что развитие всего курса, как и отдельных тем, предполагает выделение разных уровней линий обобщения, каждому из которых «соответствуют своя специфическая система общности и отношения общих и частных понятий». Проиллюстрируем это положение на примере только некоторых тем, имеющих непосредственное приложение и особую значимость в школьном курсе математики. В рамках числовой линии в курсе алгебры мы сталкиваемся с идеей расширения понятия «число». Изучаемые еще в школе натуральные, потом целые, затем рациональные и действительные числа не просто приводят к цепочке расширений числовых областей N е 2 е Q е Я, но и к обобщению понятия числа в новых понятиях «комплексное число», «поле комплексных чисел», принципиально иной общей идее - комплексное расширение поля. Столкновение модельного и формально-аксиоматического путей введения комплексных чисел позволяет уже первокурсникам правильно воспринимать обобщенные характеристики объектов, схватывая ядро свойств, которыми обладают новые (комплексные) числа.
Обобщение другого уровня и порядка происходит, когда от работы с числовыми выражениями, имеющими идентичную форму, мы приходим к изучению объектов новой природы - многочленов. С ними можно оперировать так же, как с числами. Появляются более общие понятия: многочлены от одной переменной, с несколькими переменными, кольцо многочленов. Выстраивается цепочка обобщений 2 е 2[х]е К[х]е К[х,у]е К[х1з...,хп]. А далее
мы наблюдаем отмеченный еще Гегелем «очерченный порядок все большего обогащения абстрактного и все большей его конкретизации, присущий не только развитию понятий, но и касающийся также и порядка познания вообще». Свойства делимости натуральных (целых) чисел, алгоритм деления с остатком - служат основой других линий обобщения: кольцо целых чисел - евклидово кольцо, кольцо целых чисел - фактори-альное кольцо. Две уже взаимосвязанные темы курса -«Кольца», «Многочлены» - дают простор для организации и развития обобщающей мыследеятельности, обобщающие процедуры здесь возникают повсеместно и непрерывно. Достаточно привести только один пример. Доказательство теоремы о факториальности кольца многочленов К [х] над факториальным кольцом К позволяет легко обобщить результат о факториально-сти кольца многочленов от нескольких переменных
К к , х2,..., хп ]. Вопросы, естественным образом возникающие, связывают воедино познавательный процесс в его составляющих - специализации и обобщения, например, такие вопросы: как устроены простые
или составные элементы колец Я[х] С[х]? Каковы достаточные признаки неприводимости многочленов над Q (полем рациональных чисел)? От этих вопросов можно перейти к серии вопросов, раскрывающих идеи расширения полей, разрешимости уравнений в радикалах, т. е. к проблематике, связанной со знаменитой теорией Галуа.
Таким образом, алгебраическая подготовка «в один узел» связывает логику исторического развития алгебраического знания в содержании предмета с естественным путем развития психологических когнитивных структур - «путем многозвенной системной дифференциации исходного целого». Приведенный в начале статьи пример показывает, что обращение к структуре исследуемого целого, к его свойствам есть одновременно обращение к обобщенной постановке задачи, нередко позволяющей прояснить ситуацию. Внимание к обобщенной форме постановки задачи есть также обращение к целостности исследуемой ситуации. Способность схватывать и обыгрывать структуры, «внутренние формы» сложных объектов формируется прежде всего как способность к погружениям исследуемых ситуаций в рассмотрение с позиций «разумной общности», позволяющее прояснить, проявить эти «внутренние формы».
Формированию данной способности отвечают выделяемые нами в дальнейшем обобщающие процедуры. Они играют роль хорошо расчлененных когнитивных структур-матриц, сквозь которые обучаемые видят возможные связи в развитии системы алгебраических понятий со сложнослоистой дифференциацией ее составляющих. Обобщающие процедуры - своеобразные «первомеханизмы» развития математики, лежащие в ее деятельностных основаниях, ведущие не только к формированию общих понятий, но и к многообразным далеко идущим приложениям. Приобщение учащихся и студентов к таким процедурам приводит к изменению их способа мышления, к окультуриванию способов действий, к преображению математической деятельности.
В учебной практике имеется достаточное количество задач, которые, будучи должным образом акцентированными, начинают направленно работать на развитие отмеченной выше способности. В рамках данной статьи только предложим классификацию обобщающих процедур в процессе изучения курса алгебры:
1) процедуры, в которых дается корректное определение математических понятий, известных на интуитивном уровне из школьного курса математики;
2) процедуры, в которых вводятся понятия, являющиеся обобщениями известных из школьного курса понятий;
3) процедуры, с помощью которых решаются задачи, являющиеся обобщениями известных из школьно-
го курса определенных классов задач и методов их решения;
4) процедуры, с помощью которых новое понятие вводится как обобщение известного в данном курсе, но в основу определения нового понятия кладутся не свойства, аналогичные определяющим свойствам старого понятия, а некоторые характеристические свойства старого;
5) процедуры, в которых определяющее свойство является модификацией заключения некоторой теоремы, справедливой для более узкого класса объектов и важной в том или ином отношении;
6) обобщающие процедуры алгоритмического характера;
7) процедуры обобщения (и специализации), которые можно назвать аксиоматическими.
Ограничимся примерами процедур шестого типа, так как это процедуры, в которых появляются алгоритмы, имеющие в дальнейшем многочисленные применения: приведение матрицы к ступенчатому виду, деление с остатком и алгоритм Евклида, схема Горне-ра, представление симметрического многочлена в виде многочлена от основных симметрических многочленов и др. Например, в линейной алгебре первый алгоритм непосредственно используется в решении систем линейных уравнений, вычислении ранга матрицы, обращении матрицы, вычислении определителей и т.п. Использование указанных процедур может существенно
изменить стратегии обучения. Традиционная линейная схема предъявляет студенту организованную структуру учебного материала, в которой каждый блок информации следует за другим, прибавляясь к развивающейся структуре. Другая стратегия («паутинное обучение») направлена на представление основных узлов информации, выделение важнейших смысловых блоков, которые далее будут развиваться, их общий обзор и затем более детальное изучение конкретных структур.
Литература
1. Алгебра. Математическая энциклопедия. Т 1. -М.: Советская энциклопедия, 1977.
2. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. - М.: Педагогическое общество России, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. - М.: Физматлит, 2004.
4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
5. Лосев А.Ф. Логика символа. - В кн.: Лосев А.Ф. Философия, мифология, культура. - М.: 1991.
6. Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание. Человек и мир. - СПБ: Питер, 2003.
7. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО ВОСПИТАНИЯ УЧАЩИХСЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ
Л.И. Боженкова, доцент МПГУ
Интеллектуальное развитие и воспитание в процессе обучения воздействуют на один и тот же объект (ученика) с одной и той же целью - полной реализации себя в обществе. Если интеллектуальное развитие направлено на свойства, которые присущи индивиду и которые изменяются качественно и количественно, то воспитание, кроме этого, обращено к тому, чего у индивида нет и исходит из требований общественной морали, из качеств, необходимых обществу, которые присваиваются человеком в процессе воспитания, всегда социального [3, 7, 8, 10]. Обществу ХХ1 века требуются умные, достойно мыслящие, компетентные люди, способные управлять собственной интеллектуальной деятельностью в продуктивном социальном взаимодействии. Поэтому приоритетные цели школьного образования связаны с реализацией в процессе обучения личностно-ориентированного (ЛО) и компе-тентностного подходов, акцентирующих внимание на результатах образования, которые признаются значимыми за пределами системы образования [4, 11].
Обучение каждому предмету вносит свой вклад в получение этого результата, однако, специфические черты математики, как науки и как учебного предмета определяют её особую роль в интеллектуальном становлении личности. Исследования, направленные на оценку способности учащихся применять полученные
в школе математические знания и умения в жизненных ситуациях (РЕА), показали невысокие результаты российских школьников [6]. Анализ содержания направлений исследования РКА 2003 показал, что они характеризуются несколькими группами умений, тесно связанными с содержанием разработанной нами концепции интеллектуального воспитания (ИВ) учащихся при обучении геометрии [1]. Интеллектуальное воспитание учащихся при обучении геометрии -управление обогащением умственного опыта учащихся, содействующее развитию базовых интеллектуальных способностей, неразрывно связанных с математическими способностями, становлению математической грамотности и субъектных качеств ученика, необходимых для полноценного функционирования в современном обществе. Умственный опыт определяется совокупностью знаний и интеллектуальных навыков личности, приобретённых в ходе социализации с раннего детства до конца жизни, и является мерой овладения культурой общества [3, 10, 11]. В концепции ИВ учащихся при обучении геометрии умственный опыт содержит: I - опыт, обеспечивающий переработку информации школьного курса геометрии (приобретение, преобразование, применение); II - опыт, позволяющий учителю и ученику осуществлять управление интеллектуальной деятельностью при освоении геометрии -
