Линейный множественный регрессионный анализ в статистическом машинном эксперименте Текст научной статьи по специальности «Математика»

Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor,

mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Pilipenko Olga Vasilievna, doctor of technical sciences, professor,

mpf-tula@rambler. ru, Russia, Orel, State University — Education-Science-Production Complex,

Pasynkov Andrey Aleksandrovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, docent,

mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 004.021

ЛИНЕЙНЫЙ МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ В СТАТИСТИЧЕСКОМ МАШИННОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

С.В. Недошивин

Предложена методика проведения статистического машинного эксперимента при анализе исследуемой технологической системы с детерминированной моделью. Рассмотрены аспекты проведения линейного множественного регрессионного анализа на заключительных этапах разработанной методики.

Ключевые слова: статистический машинный эксперимент, множественный линейный регрессионный анализ.

В работе [1] рассмотрены начальные этапы реализации методики проведения статистического машинного эксперимента (СМЭ), проводимого для анализа исходных исследуемых систем (ИИС) с детерминированными моделями (ДМ), например, технологических операций пластического формообразования. В частности, к таким относятся этапы планирования, формирования исходных статистических одномерных числовых массивов данных для варьируемых факторов и, далее, используют детерминированную модель, результирующих признаков (выходных параметров). Также рассмотрены этапы анализа указанных одномерных числовых массивов результирующих признаков, расчета их количественных характеристик и статического прогнозирования уровня вероятности брака для различных условий прогноза (различных значений рисков производителя и потребителя). Все указанные этапы сформулированы в 3 первых пунктах работы [1].

На завершающих этапах обработки результатов СМЭ применяют непосредственно математический аппарат множественного корреляцион-

38

но-регрессионного анализа (МКРА).

В данной работе рассмотрим вариант линейного множественного регрессионного анализа [2, 3]. Учитывая общность различных этапов анализа и возможных вариантов их реализации в рамках одной разработанной методики, продолжим пунктуацию исследуемых этапов и вариантов как продолжение рассмотренных в работе [1].

Расчет коэффициентов регрессии. Если обозначить варьируемые факторы х (/ = 1,2,...,п), то выборочное линейное уравнение множественной регрессии с оценочными коэффициентами (/ = 0,1,...,п)можно записать в виде

Ук = Ь0 + Ь1 • х1 + Ь2 • х2 +... + Ь

'п хп'

(1)

где Ук - теоретическое значение (по уравнению регрессии) к -го результирующего признака в таблице условных опытов (табл. 2 [1]).

1. Зависимости для расчета коэффициентов уравнения регрессии при двух независимых переменных ^1 и Х2 .

Наиболее часто оценивание коэффициентов регрессий осуществляют на основе метода наименьших квадратов, разработка которого восходит к К. Гауссу и П. Лапласу. При этом формируемая система нормальных уравнений становится проще и производится нормирование исходных переменных, если перейти к новым переменным, измеряемым в отклонениях

от средних х \ = х1 - х; Ук = у - у.

Формулы для расчета коэффициентов регрессии при двух независимых переменных по результатам трех одномерных массивов, составляющих т условных опытов (табл. 2 [1]), имеют следующий вид:

Ы

т

т

£ У]к £

х

Л

1=1

т

Ы •

1=1

Ъ

т

х

1 2

т

х

11

V 1=1

У

т

£ х12

1=1___

т

т £т . =1

\ Г \

т

£ у 1 • х12 }=1

т

,2

£ хп 1=1 7

В \ с

£ у )к • хи 1=1

т £ х1

11 • х 12

V1=1

11

V1=1

В

(2)

>

где

В =

т

I

V. і=і

Л

т

т

I

V. і=і -2

і 2

т

IX л • X

і=і

і=1

т 2 X

і=1

V і=1

IX;! = IX2! - т • XI2 ; I X_|■2 = IX22 - т • x2 ;

і=1

т У і - т • = I Уік • X! - т • Ук • XI ;

і=1 і=1

т т

I уік • Xі 2 = I Уік - 2 і * • Ук • X2 ;

і=1 і=1

т т

I Xіl і1 * И и 2 -і * Xj 2 - т • X! • X 2 ,

і=1 і=1

т

где т - количество условных опытов в модельной выборке; х\ = X

X

і1

і=1

т

т

соответственно средние варьируемых

х 2 = X ху 2 , = Е У]к -

}=\ }=\

факторов и результативного признака по всем условным опытам в модельной выборке.

2. Зависимости для расчета коэффициентов уравнения регрессии при п независимых переменных (общий случай).

Поскольку наблюдение за каждой переменной дает не одно, а ряд значений, соответствующих числу условных опытов, то записывать каждый такой ряд удобно с помощью вектора, а совокупность значений всех независимых переменных - с помощью матрицы. Введем соответствующие векторные и матричные обозначения:

вектор оценок искомых коэффициентов регрессии

Ь = ( Ь ):

К

(3)

вектор значений к -го результативного признака

Ук =( Уік ) =

~Уік~

у2к

Ь

итк

(4)

2

2

2

Ь

0

Ь

1

матрица значений независимых переменных размерностью п х т

X ()

1

X

11

X

12

X

1 •^1 x22

1п x2n

X

31

X

32

X

3п

1

X

тп

(5)

xm1 xm2

е = (е і) - вектор ошибок результативного признака.

В принятых обозначениях линейная модель (1) может быть переписана в виде

Ъ = X • Ь. (6)

Вектор оценок метода наименьших квадратов искомых коэффициентов уравнения регрессии определяется по зависимости

Ь = ( ХТХ )-1 • ХТУ, (7)

где верхний индекс Т здесь и далее означает операцию транспонирования

Т

вектора или матрицы; X - транспонированная матрица значений варьируемых факторов, включенных в уравнение регрессии; (ХТ X) - матрица,

обратная матрице, представляющей собой скалярное произведение матрицы значений независимых переменных (факторов) на собственную транспонированную матрицу; X у - матрица-вектор, представляющая собой скалярное произведение транспонированной матрицы значений факторов на вектор значений результативного признака. Данные матрицы рассчитываются по следующим формулам:

т ... IX

XTX

I xj1 I

xі1 • xі1

I :<іп I

Xj1 • іп

... I ... I

іп

Xj1 • іп

* іп • '^іп

(8)

XTy

I Уі IУ і • •

Л

■X;

(9)

_Е У] ~]п_

Проиллюстрируем использование приведенных формул на частном примере. Пусть число независимых переменных равно двум (х\ и Х2). Результативный признак один (у^ = у\ = у). Пусть переменная у находится в

1

линейной зависимости от х1 и х^. Для оценок параметров уравнения регрессии имеются следующие числовые данные, приведенные в табл. 1.

Таблица 1

Числовые данные для расчета коэффициентов регрессии

№ опыта І хі1 ХІ 2 Уі № опыта І хі1 ХІ 2 уІ

1 2 1 10 6 3 4 10

2 2 2 12 7 5 7 14

3 8 10 17 8 3 3 16

4 2 4 13 9 9 10 12

5 6 8 15 10 10 11 18

Итого 50 60 137

Расчет по системе нормальных уравнений

По приведенным данным рассчитаны также следующие суммы:

т т т т

X У2 = 1947; X ху21 = 336; X ху22 = 480; X у] • ху1 = 756;

І=1

І=1

І=1

т

І=1

т

X Уі ' ХІ2 = 908; X ХІ1 • ХІ2 = 398 І=1 І=1

(10)

т

Сумма X У] = 1947 для данного расчета параметров не нужна, од-]=1

нако она потребуется для последующих расчетов.

В общем виде система нормальных уравнений для двух независимых переменных имеет следующий вид:

т т т

X У]=т • ьо+Ь1 • X х]1+ь2 • Xх] 2;

(її)

І=1 І =1 І =1

т т т т

X у І о II І1 к X хі1+Ь1 • X Х;1 + ь2 • X х 2 І •Х І1

І=1 І=1 І=1 І=1

т т т т

X Уі ХІ 2 = Ь0 • X ХІ 2 + Ь1 2 І •Х 1І Х + Ь2 • ^Х,2 2

І=1 І=1 І=1 І=1

После подстановки в систему (11) рассчитанных значений сумм и количества модельных опытов т = 10 получим следующую систему нормальных уравнений:

>

137 = 10 • Ь0 + 50 • Ь + 60 • Ь2 ;

756 = 50 • Ь0 + 336 • Ь1 + 398 • Ь2 ;

908 = 60 • Ь0 + 398 • Ъ + 480 • Ь2 .

Решение данной системы относительно неизвестных параметров дает искомые оценки: Ь = 9,3873; Ь = 0,1285; Ь2 = 0,6117. Уравнение регрессии примет вид

у = 9,3873 + 0,1285 • х1 + 0,6117 • х2. (12)

3. Расчет по специальным формулам (3) для двух независимых переменных.

Определим средние значения переменных и другие необходимые

значения сумм по результатам 10 модельных опытов:

- 137 - 50 - 60

у =-----= 13,7; Х1 = — = 5; Х2 = — = 6.

10 10 10

Перейдем от переменных хI и у к переменным, измеренным в отклонениях от средних х \ = хI — х; у = у — у:

т 2 т 0

X х^1 = X х21 — т • х = 336 —10 • 52 = 86;

7=1 7=1

т 2 т

X х72 = X х 2 2 — т • х2 = 480 —10 • 62 = 120;

і=1 і=1

т т

Е у'і • Хі1 = Е Уі' Хі1- т •у • Х1 =756 -10 • 13,7 • 5 = 71;

і=1 і=1

т т

Е у і • Хі 2 = Е Уі ' хі 2 - т • У • Х2 =908 -10-13,7 • 6 = 86;

і=1 і=1

т т

Е Хі1 - 2 і •Х 1і Х Е N 2 •Х Х1 • Х2 =398 -10 • 5 • 6 = 98 .

і=1 і=1

Далее

В = 86 120 - 982 = 716;

, 120 • 71 - 98 • 76 , 86 • 86 - 98 • 71

Ь =----------------= 0,1285; Ь2 =-----------------= 0,6117;

1 716 2 716

Ь0 = 13,7 - 0,1285 • 5 - 0,6117 • 6 = 9,3873.

4. Расчет по общим формулам в матричной форме.

Запишем в матричной форме вектор значений результирующего признака у и матрицу значений независимых переменных (факторов) X:

У =

"10" "1 2 1"

12 1 2 2

17 ; X = 1 8 10

18 1 10 11

Откуда

"1 1 1

хтх = 2 2 8

1 2 10

1

10

11

1 2 1

1 2 2 8

1

10

1 10 11

10 50 60

50 336 398

60 398 480

Матрица, обратная X X, имеет следующий вид:

0,40168 -0,01676 -0,03631'

-0,01676 0,16760 -0,13687

-0,03631 -0,13687 0,12011

Матрица - второй сомножитель в результирующей зависимости:

ХТУ =

1 1 1 2 2 8 1 2 10

1

10

11

18

10"

12 "137

17 = 756

908

Окончательно определим вектор-столбец искомых коэффициентов регрессии:

Ь

(л- )-1

" 0,40168 -0,01676 -0,03631" "137" "9,3872

ХТУ = -0,01676 0,16760 -0,13687 756 = 0,1285

-0,03631 -0,13687 0,12011 908 0,6117

Оценка степени влияния факторов на результативный признак. После расчета коэффициентов регрессии можно оценить долю каждого фактора х^ в изменении уровня результативного признака у. В общем случае, когда факторы Х1 и Х2 имеют различные единицы измерения, например, рубли, метры или тонны, сопоставление коэффициентов при натуральных значениях факторов не имеет смысла. В этих случаях, для оправданного сравнения, проводят нормирование (кодирование, масштабирование) коэффициентов регрессии (определение частных бета-

коэффициентов).

Влияние каждого фактора на функцию отклика (результативный показатель) можно определить по частным коэффициентам эластичности , Д -коэффициентам и Аг- -коэффициентам.

Так, частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется у с изменением признака-фактора хг- на 1 % при фиксированном положении других факторов и рассчитываются по формуле

с и Хі

3Хі = ьі,

і Ук

(13)

где Ь - величина коэффициента регрессии при факторе хг-; х\ - среднее значение I -го варьируемого фактора в таблице условных опытов (табл. 2 [1]); Ук - среднее значение к -го результирующего признака в таблице условных опытов (табл. 2 [1]).

Ь -коэффициенты показывают, на какую часть среднеквадратического отклонения Syk изменится зависимая переменная Ук с изменением

соответствующего фактора х^ на величину своего среднеквадратического отклонения sx., и определяются по зависимости

Ь = Ь . (14)

Ук

Отмеченное выше нормирование коэффициентов регрессии как раз и сводится к вычислению указанных бета-коэффициентов.

В продолжение примера по данным табл. 2 и полученного уравнения (12) определим среднеквадратические отклонения переменных sx^, sx^

и я

У

т

Ъ

І=1

ХЛ

т

86 = 3,09; 9

т

Яу =

Ъ у і

І т -1

І

70,1

т

Ъ

І=1

х

І 2

120

т

9

= 3,65;

= 2,79.

т -1 9

Тогда значения Д-коэффициентов (нормированных коэффициентов регрессии)

ях ............3,09

Дх. = *1 • — = 0,1285-^- = 0,1423; Д = *2 '

1 Я„ 2,79 2

ЯХ

0,6117 •

я,

3,65

2,79

0,8002.

у ’ у

Таким образом, воздействие фактора Х2 на результирующий при-

я

я

Х

2

1

1

знак у в 5, 623 раза больше, чем фактора х.

Коэффициенты эластичности и Р-коэффициенты связаны между собой следующим образом:

’Х

Ь = ЭХ1 , (15)

’Ук

где ’х - коэффициент вариации г -го варьируемого фактора; ’у - коэффициент вариации к -го результативного признака.

Чтобы оценить долю влияния каждого фактора в суммарном влиянии факторов, включенных в уравнение регрессии, рассчитывают А -коэффициенты

А = ГхгУк ' Рхг = ГхгУк ' Рх, , (16)

хг п и

Е ГхгУк Р У"

г=1

где тхук - парные коэффициенты корреляции между г -м фактором и к -м

выходным параметром.

Содержательный анализ моделей в целях уточнения приоритетности факторов опирается на сравнение перечисленных коэффициентов. В этих целях, особенно при достаточно большом числе факторов, включаемых в уравнение регрессии, проводится ранжирование факторов по величине коэффициентов эластичности, бета- и дельта-коэффициентов. Приведем пример анализа степени влияния факторов на следующем примере, когда в уравнение регрессии были включены пять факторов (табл. 2).

Таблица 2

Ранжирование факторов по величине коэффициентов их воздействия на результирующий признак

Факторы Значения коэффициентов Ранг факторов по величине коэффициентов Средний ранг

Эхг Ь А Х Эхг Ь А Х

1 2 3 4 5 6 7 8

Хі 0,173 0,204 0,162 2 3 2 2

Х2 0,133 0,114 0,076 4 5 5 5

Х3 0,108 0,144 0,104 5 4 4 4

х4 0,158 0,253 0,133 3 2 3 3

Х5 1,795 0,732 0,525 1 1 1 1

Если сопоставить значения коэффициентов эластичности (столбцы

2 и 5 табл. 2), то можно видеть, что главным фактором изменения результативного признака является фактор Х5: при его увеличении на 1 % величина у возрастает на 1,795 %. Вторым по силе влияния на результативный показатель является фактор Х1 и т. д. (см. столб. 5 табл. 2).

Сравнение значений ЬХ позволяет сделать вывод, что с учетом

уровня колеблемости факторов наибольшие резервы в изменении результативного признака заложены в увеличении факторов Х5, Х4 и Х1 (см. столб. 6 табл. 2).

Сопоставление значений коэффициентов АХ позволяет сделать вывод, что наибольшая доля влияния падает на фактор Х5 : роль этого фактора в вариации (разбросе частных значений) результативного признака составляет 52,5 % общего влияния пяти факторов. Доля влияния других факторов значительно уступает Х5. Резюмируя указанное, можно утверждать, что наибольшие возможности в изменении результативного признака связаны с изменением фактора Х5, затем фактора Х1 и далее Х4.

Дисперсия оценок коэффициентов линейной множественной регрессии. Оценки параметров (коэффициентов) множественной регрессии, являясь выборочными оценками, естественно, будут отклоняться от их истинных значений. Для того, чтобы измерить дисперсии оценок параметров, требуется найти матрицу ковариаций для Ь = ( Ь.) - вектора оценок параметров. Приняв, что вектор ошибок е = (еу ) = у у - у и, следовательно, ге-

2 2

неральная дисперсия ошибок соответствует выборочной ое = se , получим зависимость для расчета матрицы ковариаций для вектора коэффициентов регрессии

ооу(Ь) = se2 •(ХТХ) 1, (17)

где выборочная дисперсия ошибок

т

s2 =-У^~,, (18)

т - п -1

где т - количество модельных (условных) опытов; п - количество переменных, включенных в уравнение регрессии.

Далее на основе зависимости (17) можно записать для среднеквадратических ошибок коэффициентов регрессии

^ь. = Se2 Ч-;, (19)

47

где й. - диагональный элемент матрицы (ХТX) .

В рассматриваемом сквозном примере диагональные элементы матрицы (ХТ X) равны (с округлением): йц = 0,4017; ^2 = 0,1676;

^33 = 0,1201. По данным этого же примера находим числитель формулы (18), для чего составим табл. 3, похожую на табл. 1, в которой исключены столбцы с данными Ху1, Ху 2 ик столбцамс модельными значениями результативного признака у у добавлен столбец со значениями результативного признака у у, полученными по уравнению регрессии при подстановке в него соответствующей комбинации признаков-факторов, а также столбец со значениями разности еу = у у - у у. Просуммировав значения квадратов

т

указанных разностей, находим ^е2 = 8,3678, откуда по зависимости (18)

получим

у=1

2 8,3678

sez = —---------= 1,1954.

10 - 2 -1

Таблица 3

Числовые данные для расчета дисперсий оценок

№ опыта у уу уу еу № опыта у уу уу еу

1 10 10,2559 -0,2559 6 10 12,2195 2,2195

2 12 10,8676 1,1324 7 14 14,3117 0,3117

3 17 16,5324 0,4676 8 16 11,6078 0,3922

4 13 12,0910 0,9090 9 12 16,6609 0,6609

5 15 15,0520 -0,0520 10 18 17,4012 0,5988

Итого 137 137 0

Далее по зависимости (19):

sl^ = 1,1954-0,4017 = 0,4802;

s2 = 1,1954-0,1676 = 0,2003;

= 1,1954-0,1201 = 0,1436;

Sb0 = 0,6930; Sbl = 0,4476; sЬ2 = 0,3789.

Полученные среднеквадратические ошибки могут быть использованы для определения доверительных интервалов параметров и для проверки значимости отличия Ь от нуля.

В рассматриваемом примере уже простое сопоставление оценки Ь с ее квадратической ошибкой (Ь = 0,1285 и 8^ = 0,4476) говорит о том,

что этот параметр оказывается незначимым в статистическом смысле. Проверка параметра ^ дает следующее расчетное значение критерия Стьюдента

В числителе в качестве вычитаемого принят нуль, поскольку проверяется нулевая гипотеза (отличие значения коэффициента регрессии от нуля). Табличное значение критерия Стьюдента при уровне доверительной вероятности Ь = 0,95 и двухсторонней проверке для числа степеней свободы / = т - п -1 = 10 - 2 -1 = 7 по статистическим таблицам соответствующего распределения составило Т = 2,365. Напомним, что в формуле определения числа степеней свободы т - количество наблюдений (модельных опытов); п - число независимых переменных х^. Поскольку

? = 1,442 < Т = 2,365, нет основания отклонять нулевую гипотезу. Значимость данного коэффициента регрессии здесь можно признать, лишь приняв 80 %-ную доверительную вероятность. В этом случае критическое (табличное) значение ? -статистики будет равно 1,415. Подобный результат обусловлен тем, что выборка т охватывала небольшое число наблюдений. В практических разработках при определении регрессии на два независимых признака обычно требуется не менее 15 - 17 наблюдений (при умеренной колеблемости значений переменных).

Доверительные интервалы регрессии и прогноза. Пусть значение результативного признака у определяется по уравнению регрессии (1) с оцененными параметрами (коэффициентами). В силу того, что Ь - несмещенные оценки некоторых неизвестных параметров, величина у - лишь одно из возможных значений прогнозируемой величины для заданных значений х , другими словами, это оценка среднего значения у в этих условиях. Поскольку Ь - случайная величина, то и оценка у также случайна и имеет дисперсию, выборочная оценка которой определяется по зависимости

В общем случае «истинное» среднее значение у лежит в пределах (доверительные интервалы)

2-----= --------= 1,442

^ 0,3789

(20)

У ± = У ± іг^є-

Х

•( ХтХ) *• хр ,

(22)

где р - табличное значение критерия Стьюдента, определяемое в зависимости от принимаемого уровня доверительной вероятности Ь и числа степеней свободы / = т - п -1, где т - число наблюдений (модельных опытов) и п - число независимых переменных, включенных в уравнение рег-

рессии; *у = *

хт єр

(Хт-Х )'■

• Хр - среднеквадратическое отклонение ре-

зультативного признака у; *є - среднеквадратическое отклонение вектора ошибок (17), (18); Хр - вектор заданных значений независимых переменных Хр; =(і,Хрі,Хр2,...,ХрП), для которого определяются доверительные

= т

интервалы результативного признака у; Хр - соответствующая транспонированная матрица,

Хр

" 1

Хр1

Х

рп

Хт = р

1 Х

р1

Х

рп

(23)

Допустим, что прогноз осуществляется по уравнению (12), в котором, несмотря на то, что параметр Ь (коэффициент регрессии) оказался незначимым, сохраним его для общности расчетов. Требуется найти доверительные границы для значения у, соответствующего следующим данным

х„,- : Хр1 = 10 и Хр2 = 10. Тогда хр =[1 10 10] и у = 16,789 (по уравне-

■рі

2

нию регрессии). Для определения дисперсии результативного признака *=

У

необходима матрица

(ХГХ)-'

Эта матрица уже была определена ранее

при оценке коэффициентов регрессии. В соответствии с зависимостью (21) можно записать

*2

у

" 0,40168 -0,01676 -0,03631" " 1 "

1,1954 [1 10 10] • -0,01676 0,16760 -0,13687 10

-0,03631 -0,13687 0,12011 10

0,9201.

Определим далее 95 %-ный доверительный интервал. Число степеней свободы / = т - п -1 = 10 - 2 -1 = 7 и соответствующее табличное значение критерия Стьюдента составило р = 2,365. Тогда

50

y ± tp-sy = 16,789 ± 2,365-70,9201 »16,79 ± 2,27 •

Под прогнозным ожиданием результативного признака у можно понимать его математическое ожидание, т. е. X •Ь . Доверительный интервал в этом случае соответствует доверительному интервалу регрессии (21). Однако часто больший интерес представляют включение в прогнозное значение и возможное отклонение от регрессии. В этом случае к дисперсии

= 2 у необходимо добавить и дисперсию вектора ошибок є, т. е. *'є . В такой

постановке дисперсия прогнозного значения у составит

Доверительные интервалы для индивидуальных прогнозных значений результативного признака у определяются по зависимости

вал прогноза равен 16,789 ± 2,365 • ^/2,1155 »16,79 ± 3,44.

В такой постановке проводится один из завершающих этапов обработки результатов статистического машинного эксперимента с детерминированной моделью в случае, когда полученная многопараметрическая регрессионная модель имеет линейный вид.

1. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Калинин С.С. Планирование и первичная обработка результатов статистического машинного эксперимента на основе множественного корреляционно-регрессионного анализа // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ. 2011. Вып. 4. С.

2. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: учебник. М.: ИНФРА-М, 2009. 416 с.

3. Четыркин Е.М., Калихман И. Л. Вероятность и статистика. М.: Финансы и статистика, 1982. 319 с.

Недошивин Сергей Владимирович, канд. техн. наук, доц., Archon80@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE LINEAR MULTIPLE REGRESSION ANALYSIS IN STA TISTICAL MACHINE

EXPERIMENT

(25)

1,1954 + 0,9201 = 2,1155 и интер

Список литературы

27-34^

S. V. Nedoshivin

51

The technique of carrying out statistical machine experiment is offered in the analysis of studied technological system with the determined model.Aspects of carrying out the linear multiple regression analysis at the final stages of the developed technique are considered.

Key words: statistical machine experiment, multiple linear regression analysis.

Nedoshivin Sergey Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, Archon80@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.983; 539.974

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ ВНУТРЕННИХ КОНЦЕВЫХ УТОЛЩЕНИЙ НА ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДЕТАЛЯХ В РЕЖИМЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ

А.А.Перепелкин, Г.А.Нуждин, А.А.Пасынков, Б.С.Яковлев

Выявлены закономерности влияния степени деформации, условий трения на контактной поверхности рабочего инструмента и заготовки, скорости перемещения инструмента на кинематику течения материала, напряженное и деформированное состояния заготовки, силовые режимы и допустимую величину накопленных микроповреждений при изотермическом выдавливании внутренних концевых утолщений на осесимметричных деталях в режиме кратковременной ползучести.

Ключевые слова: выдавливание, сила, деформация, вязкость, кратковременная ползучесть, давление, температура, повреждаемость.

Осесимметричные детали (корпуса) из высокопрочных металлических сплавов и полимеров применяют в ряде изделий оборонной техники. Один из типов конструкций имеет утолщенную концевую часть на одном или обоих краевых диаметрах для соединения с другими элементами изделия. Рациональной технологией формообразования такого утолщения является выдавливание с местным нагревом на гидропрессовом оборудовании. Силовые и деформационные параметры процесса, а также качество изделий зависят от температурно-скоростных условий обработки [1, 2].

В работе [3] предложена математическая модель изотермического выдавливания внутренних концевых утолщений на осесимметричных деталях в режиме кратковременной ползучести. Использован энергетический метод обработки давлением при осесимметричном деформировании [4].

Полагалось, что деформируемому материалу заготовки соответст-