Линейные обратные задачи для одного класса уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3, вып. 2. С. 153-171.

УДК 517.95

ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

А. И. Кожанов1,2", Г. В. Намсараева3,6

1 Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия 2Новосибирский государственный университет

(национальный исследовательский университет), Новосибирск, Россия 3Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, Улан-Удэ, Россия "kozhanov@math.nsc.ru, 6gerel@inbox.ru

Изучается разрешимость обратных задач нахождения вместе с решением и(х, также неизвестного множителя ц(Ь) в уравнении

Б2/(и - Ди) + Ви = /0(х,г) + д(1)к0(х, ¿)

€ (0, Т), х € П С М", р — натуральное число, = дк, Д — оператор Лапласа по пространственным переменным, В — линейный дифференциальный оператор второго порядка, также действующий по пространственным переменным, /о(х,Ь) и Но(х,Ь) — заданные функции). В качестве дополнительного условия в изучаемых задачах используется условие интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщённые по С.Л.Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.

Ключевые слова: уравнение соболевского типа, обратная задача, неизвестная правая часть, интегральное условие переопределения, регулярное 'решение, существование 'решения, единственность решения.

Введение

Работа посвящена исследованию разрешимости линейных обратных задач для дифференциальных уравнений соболевского типа, включающих в себя, в частности, уравнение распространения продольных волн (уравнение Буссинеска — Лява), см. [1-3].

Линейными обратными задачами для дифференциальных уравнений называют задачи, в которых неизвестными величинами являются само решение, а также некоторый параметр, определяющий правую часть или внешние источники. Наличие в обратной задаче дополнительной неизвестной величины требует, как правило, задания вместе с краевой информацией, естественной для того или иного класса дифференциальных уравнений, также некоторых дополнительных условий (называемых условиями переопределения). В настоящей работе искомым условием переопределения будет условие интегрального переопределения.

Для уравнения распространения продольных волн разрешимость некоторых линейных и нелинейных обратных задач ранее изучалась в работах [4-8]. Для уравнений соболевского типа, более общих, чем уравнение распространения продольных

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 18-01-00620).

волн (уравнение Буссинеска — Лява), обратные задачи, линейные или нелинейные, ранее не изучались. Отметим, что некоторые из полученных ниже результатов, касающихся уравнений соболевского типа, будут новыми и для уравнений распространения продольных волн.

Техника, используемая в настоящей работе, основана на переходе от исходной обратной задачи к новой уже прямой (т. е. обычной краевой задаче, но для изменённого уравнения), исследовании разрешимости новой задачи, и далее — в обратном переходе к исходной задаче. В свою очередь, исследование разрешимости новой задачи будет проводиться с помощью метода продолжения по параметру и априорных оценок. Метод продолжения по параметру предполагает, что изучаемая задача включается в однопараметрическое семейство задач, относительно которых известно, что при некотором выделенном значении параметра (как правило, при значении параметра, равного нулю) задача имеет решение, и что для всевозможных решений задач из построенного однопараметрического семейства имеет место априорная оценка, равномерная по параметру [9, гл. III, § 14]. Именно на разрешимость соответствующих задач при нулевом значении параметра и на наличие необходимых априорных оценок и будет обращаться внимание авторов в первую очередь.

Опишем структуру настоящей работы. В первом пункте даются постановки изучаемых обратных задач. В последующих пунктах доказываются теоремы существования решений поставленных задач. Далее отдельно изучается разрешимость обратных задач для специального подкласса рассматриваемых уравнений, который непосредственно соответствует уравнению распространения продольных волн (уравнению Буссинеска — Лява). Наконец, в Дополнении описываются возможные усиления и обобщения полученных в основной части работы результатов.

1. Постановка задач

Пусть П есть ограниченная область из пространства Кга с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q есть цилиндр П х (0, Т), 0 < Т < 5 = Г х (0,Т) — боковая граница Q, /о(х,Ь), ^о(х,Ь), N (х), Ьч (х),

г,] = 1,..., п, Ь0(х) — заданные функции, определённые при х Е П, Ь Е [0, Т]. Через В, к = 1, 2,..., будем обозначать производную , через В — дифференциальный оператор, действие которого на заданной функции у(х,Ь) определяется равенством

д

Ву = — (Ьч (х)ул.,.) + Ьо(х)у

(здесь и далее по повторяющимся индексам ведётся суммирование в пределах от 1 до п). Наконец, для натурального числа р через Ь обозначим дифференциальный оператор, действие которого на заданной функции у(х,Ь) определяется равенством

Ьу = В^ (у - Ду) + В у

(А — оператор Лапласа по пространственным переменным).

Обратная задача I: найти функции и(х,Ь) и д(Ь), связанные в цилиндре Q уравнением

Ьи = /о(х,Ь) + д(г)Но(х,г), (1)

при выполнении для функции и(х,Ь) условий

и(х,г)\я = 0, (2)

В и(х,Ь)\4=о = 0, х € П, к = 0,..., 2р - 1, (3)

Iм(х)и(х'г)А = 0 0<г<т (4)

п

Обратная задача II: найти функции и(х, г) и д(г), связанные в цилиндре Q уравнением (1), при выполнении для функции и(х,г) условий (2) и (4), а также условий

Цх,г)|<=0 = 0, х е П, к = 0,... ,р - 1, (5)

Дки(х,г)|4=т = 0, х е П, к = 0,... ,р - 1. (6)

В обратных задачах I и II условие (4) есть условие интегрального переопределения, условия же (2) и (3) или (2), (5) и (6) есть условия прямой задачи (то есть задачи с известной правой частью) гиперболического [3; 10; 11] или эллиптического [12; 13] типов соответственно.

В специальном случае — именно в случае В = в0Д + в для рассматриваемых уравнений будут предложены и другие обратные задачи, исходящие из квазигиперболичности [14] оператора Ь. Точные формулировки этих задач будут даны ниже.

Уточним, что целью настоящей работы является доказательство существования и единственности регулярных, т. е. имеющих все обобщённые по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение, решений тех или иных обратных задач.

2. Разрешимость обратной задачи I

Введём необходимые для исследования разрешимости обратной задачи I обозначения. Именно, положим

= J N(х)/0(х, г) ¿х, = У N(х)^0(х,г) ¿х,

пп

Л(М) = /о(х,0 - , Л1(х,*) = ^,

N1 = [ДМ(х)]2 ¿хотаХ 1 ' ^а(х,£) ¿х

М2 = у [ВМ(х)]2 ¿х так I у ^2(х,*) ¿х | . пп Для заданной функции эд(х,£) определим функцию Ф(и>;¿):

Ф(ш; г) = - ДМ(х)^2Р^(х,^) ¿х + ВМ(х)Цх,г) ¿х.

Для функций ■и(х) из пространства ^^(П) имеет место неравенство

/ ^2(х) ¿х < ¿0 ^^ / г>Х(х) ¿х, (7)

п 1-1 п

число ¿0 в котором определяется лишь областью П. Это неравенство и число ¿0 понадобятся нам ниже.

Наконец, через V обозначим банахово пространство функций у(х,Ь): V = {у(х,Ь): В у(х,Ь) € Ьте(0,Т; Ж>2 (П) П ^(П)), к = 0,1,..., 2р} с нормой

2р

(М!^ = ^ 11Вку1ьто(о,Т;Ж22 (П)ПЖ1 (П)).

к=о

Теорема 1. Пусть выполняются условия

Ьгз(х) € С^П), г,] = 1,..., п, Ьо(х) € С(П),

N(х) € С2(П), ^о(х,Ь) € Ьте(0,Т; Ь2(П));

N(х) = 0 при х € Г; (8)

\^(Ь)\ > 0 при Ь € [0, Т]; (9)

* < (1 + Ъ)2- (10)

Тогда для любой функции /о(х,Ь) из пространства Ьте(0,Т; Ь2(П)) обратная задача I имеет решение {и(х, Ь), д(Ь)}, такое, что и(х,Ь) € VI, д(Ь) € Ьте(0,Т).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ьи - Л,1(х,Ь)Ф(и; Ь) = Л(х,Ь) (11)

и такую, что для неё выполняются условия (2) и (3). Докажем с помощью метода продолжения по параметру, что эта задача имеет решение и(х,Ь), принадлежащее пространству V.

Пусть Л есть число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство задач: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

В2р(и - Аи) + Л [В и - ^1(х,Ь)Ф(и; Ь)] = /1(х,Ь) (11А)

и такую, что для неё выполняются условия (2) и (3). Как уже говорилось во Введении, для разрешимости этой задачи в пространстве V при всех Л (а значит, и при Л = 1) достаточно показать, что задача (11о), (2), (3) разрешима в пространстве V и что для всевозможных решений и(х,Ь) задач (11а), (2), (3) из пространства V имеет место априорная оценка

Му1 < До (12)

с постоянной До, определяющейся лишь функциями Ьгз(х), г,] = 1,...,п, Ьо(х), N(х), Л,о(х,Ь) и /о(х,Ь), а также числом Т и областью П.

Разрешимость в пространстве V краевой задачи (11о), (2), (3) очевидна, поскольку уравнение (11о) вместе с условиями (2) и (3) порождает две независимые задачи, разрешимость каждой из которых известна.

Покажем, что имеет место требуемая оценка (12). Рассмотрим равенство

У {Д2р(и(х, Ь) - Аи(х, Ь)) + Л[Ви(х, Ь) - ^1(х, Ь)Ф(и; Ь)]} ВРи(х, Ь) ^х =

П

/i(x, t)DPu(x, t) dx,

(13)

в котором Ь есть произвольное число из отрезка [0, Т]. После интегрирования по частям и использования равенства (7) нетрудно получить следствие равенства (13):

+ / [D2pu(x,t)]2 dx <

h1(x, ¿)Ф(и; t)D2Pu(x, t) dx

+

+

Bu(x, t)DPu(x, t) dx

+

/1(x, t)D2Pu(x, t) dx

(14)

Имеют место оценки

h1(x, ^Ф(и; t)D2Pu(x, t) dx

< (!+!+21) /[D2p-(x.t)]2

n2 f 2. ч , + 2^2 u (x,t) dx,

1 n

(15)

Bu(x, t)D2Pu(x, t) dx

¿2

< ¿r J [DiPu(x,t)]2 dx + BIMx

n 2

B

2

Iwf(Q),

(16)

/1(x, t)D2Pu(x, t) dx

< f/ [D2Pu(x,t)]2 dx + 21//2(x,t) dx, (17)

в которых ¿о, ¿1, ¿2 и ¿3 есть произвольные положительные числа, число же Во определяется функциями Ьч(х), г,] = 1,... , п, и Ьо. Зафиксируем число ¿о, положив ¿о = Используя условие (10), затем выбирая числа ¿1, ¿2 и ¿2 малыми и

фиксируя, нетрудно от (14) с помощью оценок (15)—(17) перейти к неравенству

[D2Pu(x,t)]2 dx < K1|u(x,t)|

2

W-f(fi)

+ K2,

(18)

в котором K1 и K2 определяются функциями (x), = 1,...,n, b0(x), N(x), ho(x,t) и /о(x, t).

Неравенство (18) можно продолжить, используя второе основное неравенство для эллиптических операторов [15, гл. III, § 8], оценки

u2(x,t) dx < Т / [DTu (x, т)]2 dxdr < Т3 / / u(x, т )] dx dT < ...

о n

о n

t

t

а также аналогичные оценки для производных функции и(ж, £) по пространственным переменным. В результате получим неравенство

у [Д2рм(ж, £)]2 ¿ж < К3 j у [д2Р-1Дм(ж, т)]2 ¿ж ¿т + К4, (20)

П 0 п

числа К3 и К4 в котором определяются функциями Ьч(ж), г,^ = 1,...,п, Ь0(ж), N (ж), Л,0(ж,£) и /0(ж,£), а также числом Т и областью П. На следующем шаге рассмотрим равенство

У у (и(ж, т) - Ди(ж, т)) + А[Ви(ж, т) - ^(ж, т)Ф(и; т)]} Д2Р-1м(ж, т) ¿ж ¿т =

0П

г

= 11 /1(ж,^)^2Р-1Ди(ж,т) ¿ж ¿т.

0П

Интегрируя по частям, используя второе основное неравенство для эллиптических операторов, оценки (19) и (20), нетрудно от этого равенства перейти к неравенству

5 ИР-Чг (ж,£)]2 + [^2Р-1 Ди(ж,£)]2 ¿ж <

г=1

г

-1

< К5 / / [^2Р-1Дм(ж,т)] 2 ¿ж^т + Кб,

т

0П

числа К5 и Кб в котором определяются функциями Ьч(ж), г,^ = 1,...,п, Ь0(ж), N (ж), Л,0(ж,£) и /0 (ж, £), а также числом Т и областью П. Применяя к последнему неравенству лемму Гронуолла, получим, что имеет место априорная оценка

¿У [А2Р-Чг(ж,£)]2 ¿ж + У [Д2Р-1Дм(ж,£)]2 ¿ж < Яь (21)

г=1 п п

в которой £ Е [0,Т], число Д1 определяется числами К5 и Кб, а также числом Т. Из оценок (20) и (21) вытекает вторая априорная оценка

У [^2Рм(ж,£)]2 ¿ж < Д2, (22)

п

число Я2 в которой определяется числами Кз, К4 и Д1, а также числом Т. Следующее равенство

п

{^2Р(м(ж,£) - Ди(ж,£)) + А[Ви(ж,£) - ^1(ж,£)Ф(и; £)]} Д2РДи(ж,£) ¿ж

= У /1(ж, £)^2РДм(ж, £) ¿ж п

г

г

вместе с оценками (21) и (22) позволяет вывести третью априорную оценку

У [Д2рДм(ж,;£)]2 ^ж < Да, (23)

п

постоянная Да в которой определяется функциями Ьч (ж), г, ] = 1,... , п, Ь0(ж), N (ж), Л-1 (ж, £) и / (ж, £), а также числом Т и областью П.

Оценки (21)-(23) в сумме и дают требуемую оценку (12).

Как уже говорилось выше, разрешимость в пространстве VI краевой задачи (110), (2), (3) и априорная оценка (12) дают разрешимость в пространстве V краевой задачи (11), (2), (3). Покажем, что этот факт позволяет установить разрешимость обратной задачи I в требуемом классе.

Пусть и(ж, £) есть решение краевой задачи (11), (2), (3) из пространства V. Определим функцию ^(¿):

«<" = - Ц. (24)

Очевидно, что функция ^(¿) принадлежит пространству (0,Т) и что функции и (ж, £) и ^(¿) связаны в цилиндре ф уравнением (1). Умножим уравнение (1) с найденными функциями и(ж,£) и ^(¿) на функцию N (ж) и проинтегрируем по области П. Условие (8) (единственное, которое до этого не использовалось) означает, что следствием полученного соотношения будет равенство

У N(ж)Д2ри(ж,;£) ^ж = 0, п

в котором £ есть произвольная точка из интервала (0,Т). Из этого равенства и условий (3) вытекает, что для функции и(ж,£) — решения задачи (11), (2), (3) — выполняется условие переопределения (4).

Доказанное выше и означает, что найденные функции и(ж,£) и ^(¿) дают решение обратной задачи I из требуемого класса. Теорема доказана. □

3. Разрешимость обратной задачи II

Исследование разрешимости обратной задачи II проводится в целом вполне аналогично исследованию разрешимости обратной задачи I. Отличие состоит лишь в том, что нельзя будет использовать лемму Гронуолла.

Ввиду очевидности и громоздкости некоторые выкладки (основанные на интегрировании по частям, неравенствах Юнга и Гёльдера, элементарных числовых и интегральных неравенствах, а также на неравенствах (7) и (19)) ниже будем опускать.

Перейдём непосредственно к исследованию разрешимости обратной задачи II. Приведём вначале два неравенства, которые будут использоваться ниже.

Пусть ^(ж, £) есть функция из пространства VI, для которой выполняются условия (5) и (6). Тогда имеет место неравенство

^1(ж,£) \ J ДN(у)^2рм(у,£) | и(ж,£) <5 \п

< со J [^Рм(ж,£)]2 ^ж^, (25) <

число с0 в котором определяется функциями Л,0(ж,£) и N (ж), а также числом Т.

Далее, имеет место также следующее неравенство:

< с1 у и2(ж,*) ¿ж^*, (26) Я

' ^(ж,*) \ j ВЖ(у)и(у,*) ¿у | и (ж,*) ¿ж^* Я \п

число с1 в котором определяется лишь функциями ^0(ж,*) и N (ж).

Теорема 2. Пусть выполняются условия (8)—(10), а также условия

ьгз(ж) е С2(П), г,^ = 1,...,п, Ьо(ж) е С(П),

N (ж) е С2(П), ^о(ж,*) е

(—1)р+1Ь4'(ж)&& > Ь1|£|2, ж е П, £ е Ега, Ь1 > 0; (27)

(—1)рЬо(ж) > Ьо > 0, ж е П, (28)

1 + ¿0(1 - со) > 0, (ьо - С1Н + 61 > 0. (29)

Тогда для любой функции /0(ж,*) из пространства £те(0,Т; Ь2(П)) обратная задача II имеет решение {и(ж, *), д(*)}, такое, что и (ж,*) е V!, е £те(0,Т).

Доказательство. Вновь рассмотрим семейство уравнений (11а) и соответствующее семейство задач: найти функцию и(ж,*), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (11А) и такую, что для неё выполняются условия (2), (5) и (6).

Разрешимость краевой задачи (110), (5), (6) в пространстве V очевидна. Покажем, что для всевозможных решений и (ж,*) задачи (11а), (2), (5), (6) выполняется оценка (12).

Рассмотрим равенство

У {в2р(и(ж, *) — Ди(ж, *)) + Л[Ви(ж, *) — ^(ж, ¿)Ф(м; *)]} и (ж, *) ¿ж =

Я

= j /1(ж, ¿)м(ж, *) ¿ж^.

Я

Интегрируя по частям, применяя неравенства (25) и (26) и используя условия (27)-(29), нетрудно получить первую априорную оценку для решений и (ж,*) краевой задачи (11А), (2), (5), (6):

[врм(ж,^)]2 + (ж,*)]2 ¡> ¿ж^ < М1, (30)

Я ^

постоянная М1 в которой определяется функциями Л,0 (ж,*), /о (ж,*) и N (ж), а также числом Т и областью П.

На следующем шаге рассмотрим равенство

у {Д2р (и(ж,*) — Ди(ж, *)) + Л[Ви(ж, *) — ^1(ж,*)Ф(м; *)]} Ди(ж,*) ¿ж^ =

Я

= j /1(ж, ¿)Дм(ж, *) ¿ж^*.

Я

Выполняя интегрирование по частям, применяя аналог второго основного неравенства для пары двух эллиптических операторов [15, гл. III, § 8] и используя неравенство (30), получим, что для решений u(x,t) задачи (11л), (2), (5), (6) имеет место вторая априорная оценка

J [DpAu(x,t)]2 dxdt < M2, (31)

Q

с постоянной M2, определяющейся функциями bij(x), i, j = 1,... , n, b0(x), h0(x,t), /o(x,t) и N(x), а также числом T и областью П. Следующее равенство

{Df(u(x,i) - Au(x,t)) + A[Bu(x,t) - hi(x, ¿)Ф(м; t)]} Д2ри(х,£) dx

n

= J /1(ж,£)Д;2рм(ж,£) ^ж п

вместе с условиями теоремы и оценками (30) и (31) даёт третью априорную оценку

п ^

[А2р«(ж,£)]2 + ^ [Д2р«Жг(ж,*)П ^ж < Мз, (32)

i=1

число Ма в которой вновь определяется функциями Ьч(ж), г,^ = 1,...,п, Ь0(ж), Л,0(ж,£), /0(ж, £), N (ж), а также числом Т и областью П. Последняя априорная оценка

[ [^2РДм(ж,£)]2 ^ж < М4 (33)

очевидным образом теперь вытекает из самого уравнения (11л) и из оценок (30)-

(33).

Оценки (30)-(33) и дают требуемую оценку (12). Как уже говорилось выше, из этой оценки и из разрешимости в пространстве V краевой задачи (110), (2), (5), (6) следует разрешимость в этом же пространстве задачи (111), (2), (5), (6). Имея решение и(ж,£) задачи (111), (2), (5), (6), определим функцию ^(¿) равенством (24). Очевидно, что функции и(ж,£) и ^(¿) будут связаны в цилиндре ф уравнением (1). Выполнение для функции и(ж,£) условия переопределения (4) показывается так же, как показывалось выполнение этого же условия при доказательстве теоремы 1. Принадлежность функций и(ж, £) и ^(¿) требуемым классам очевидна.

Всё сказанное выше и означает, что найденные функции и(ж,£) и ^(¿) дадут требуемое решение обратной задачи II. Теорема доказана. □

4. Обратные задачи для аналогов уравнения распространения продольных волн

В настоящем пункте будет исследована разрешимость обратных задач I и II, а также некоторых новых задач для уравнения (1) в случае Ви = в0Ди + (в = const). Уравнение (1) в этом специальном случае можно назвать непосредственным

аналогом уравнения распространения продольных волн (уравнения Буссинеска — Лява).

Обратная задача III: найти функции u(x,t) и q(t), связанные в цилиндре Q уравнением (1) при выполнении для функции u(x,t) условий (2) и (4), а также условий

\

Dku(x,t)|t=i = 0, x е П, k = 0,... ,p, (34)

Dtfcu(x,i)|i=T = 0, x е П, k = 1,...,p - 1. (35)

Обратная задача IV: найти функции u(x,t) и q(t), связанные в цилиндре Q уравнением (1) при выполнении для функции u(x,t) условий (2), (4) и (34), а также условия

Dk u(x,t)|t=T = 0, x е П, k = p +1,..., 2p - 1.

Как уже говорилось во Введении, обратные задачи III и IV исходят в своих постановках из квазигиперболичности [14] оператора L. Специальный вид оператора B позволит получить как теоремы существования, подобные теоремам 1 и 2, так и новые теоремы, причём новые теоремы существования можно будет получить и для обратных задач I и II.

Положим

Yq(T)= (ПТ2Г , Yi(T) 2'№3

8 ) 2p - 1

N , 2|ei|T3Yq(T) , 2VN2TI7q(T) Y2(T) = ^Ni + 2p - 1 + 2p - 1 .

Теорема 3. Пусть выполняется условие (9), а также условия

N(x) е С2(П), N(x) = 0 при x е Г;

ho(x,t) е L^(0,T; ¿2(П));

(-1)рв1 > 0, (-1)pei < 0;

TYi(T) < 1, TY2(Т) < 1 + 1 (1 - TYi(T)).

di

Тогда для любой функции /Q(x,t) из пространства L^(0,T; L2(Q)) обратная задача III имеет решение {u(x, t), q(t)}, такое, что u(x,t) е V1, q(t) е L^(0,T).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (11) и такую, что для неё выполняются условия (2), (34) и (35). Разрешимость этой задачи в пространстве V нетрудно установить обычным для настоящей работы способом — с помощью теоремы о методе продолжения по параметру и априорных оценок. Схема применения метода продолжения по параметру — такая же, какая использовалась при доказательстве теоремы 1. Поскольку задача (11q), (2), (34), (35) разрешима в пространстве Vi, то тем самым для доказательства разрешимости задачи (11), (2), (34), (35) достаточно показать, что для всевозможных решений u(x,t) краевой задачи (11), (2), (34), (35) имеет место априорная оценка (12).

Покажем, что требуемая оценка действительно имеет место. Итак, пусть u(x,t) есть решение из пространства Vi краевой задачи (11), (2), (34), (35). Для этой функции выполняется равенство

[Dt2pu(x,t)]2 + ^ [Dt2Vi(x,t)]2 [ dx i=i

= во ^^ У (ж,*)А2рих (ж,*) ^ж — в1 У и(ж, ¿)^2рм(ж, *) г=1 п п

+ У ^1(ж,*)Ф(и; ¿)Ц2Рм(ж,*) ^ж + У /1(ж, *)Ц2ри(ж, *) ^ж. пп От этого равенства нетрудно перейти к неравенству

[Ц2ри(ж, *)]2 + £ / [ЦЧ, (ж,*)]2^ж <

г=1

п

^У [А2р «*< (ж,*)]2 ^ж + ( | + § + N2 + + §) / [Ц2ри(ж,*)]2

^=1 о г"»

< Щ и*(ж,*^ ^ж + + -2 + ^ + -2 + -£] I [Ц42ри(

пп

+ 202 £ У (ж,*) + + 2щ) / и2(ж,*) +2^^/ /12(ж,*) ^ (36)

^=1 о г"»

2 л

п п п

в котором есть положительные числа.

Для функции и(ж, *) выполняются оценки

J и2(ж,*) ^ж < Т J (Ци)2 ^ж^*, (37)

п д

У (Ци)2(ж,*) ^ж^* < 70(Т) J(Ар«)2 ^ж^*, (38)

д д

I (Ари)2(ж, *) ^ж < 4Т2Т0(Т) I (А;2ри)2 ^ж (39)

] (2р — 1)2 У

д д

Первая из этих оценок очевидна. Покажем справедливость второй оценки вначале для р =2.

Имеют место равенства

; т

А;и(ж, А2и(ж,т) ^т, А;и(ж,*) = — J Ци(ж, т) ^т.

0 ;

Эти равенства и неравенство Гёльдера дают оценки

(т \ 1/2

У [А2и(ж,т)]2 ^т

(т \ 1/2

У [А2«(ж,т)]2 ^т

из которых следует, что

т 2

У [Аи(ж,*)]2 ^ж^* < У [Ц2и(ж,*)]2 dжdt J /*(Т — *) ^ = ^Т^/[А2и(ж,*)]2 ^ж^*. д д 0 д

Справедливость оценки (38) для р = 2 установлена. Переходя теперь от р = 2 к р = 3, и т. д., получим, что для всех натуральных чисел р для решений «(ж, ¿) краевой задачи (11), (2), (34), (35) выполняется оценка (38).

Для доказательства оценки (39) умножим уравнение А2р« = на функцию (Т — ¿)А«, затем полученное равенство проинтегрируем по цилиндру Применяя формулу интегрирования по частям и используя условия (34) и (35), получим равенство

/(А2«)2¿ж^

я

(Т — ¿)А« • АР« ¿ж ^

я

Из этого равенства, неравенства Гёльдера и неравенства (38) и вытекает оценка (39).

С помощью оценок (37)-(39) нетрудно продолжить неравенство (36):

[А2р«(М)]2 + £ / (М)П ¿ж <

г=1

< +4вс2Т37с2(Т)

2 2«2(2р —

Т^) £/ [АЧ,(ж,^)]2 ¿ж+

"=1 Я

+ 1 2 + 2«2(2р — 1)2 + 2 + 2«2 + 2 + 2«4(2р — 1)2 + 2) } « +

Я

+ 2^/ ^ 5 п

Зафиксируем числа «2, «3 и «4:

«2 = 2|во|Т37о(Т), ^2 = 2|в1|Т37с(Т), = у^, «2 = 2^Т37с(Т)

(40)

2р — 1

2р — 1

2р — 1

С учётом введённых выше обозначений и выбора чисел « получим следствие (40)

О^т I / [а2р«(х,^)]2 | + £ 0тах I / [^«х;(ж,^)]2 | <

г=1

0< *<т

< Т71(Т) £ тех ( / [Д2^ (М)]2 ¿ж ) +

г=1

+

Т72(Т) + |

1

тах о< кт

[д^Ца^] I + 21«2 0тасТ I / I •

пп Из этого неравенства и из условий теоремы при выборе числа «5 малым вытекает первая априорная оценка решений «(ж,£) краевой задачи (11), (2), (34), (35):

[А2р«(ж,^)]2 + £ [А2р«х; (М)]2¿ж < с

(41)

г=1

в которой £ € [0,Т], число С1 определяется числами во и въ функциями ^о(ж,£), /о(ж,£) и N (ж), а также числом Т и областью П.

Все следующие оценки легко выводятся теперь с помощью оценки (41). Действительно, анализируя последовательно равенства

У (Д2р(и - Дм) + Ви) (Т - ¿)Ди ^ж ^ ^ У (/1 + ^Ф) (Т - £)Дм От

У [Д2р(м(ж, £) - Ди(ж, £)) + Ви(ж, £)] Д2рДм(ж, £) От = п

= У [/1 (ж,£) + ^ (ж,£)Ф(и; £)] Д2рДм(ж,£) От, п

применяя интегрирование по частям, используя неравенство Юнга и оценку (41), нетрудно получить соответственно вторую и третью априорные оценки решений м(ж,£) краевой задачи (11), (2), (34), (35):

У [ДрДм]2 Ог^ < С2,

У [Д2рДи(ж,£)]2 От < С3,

п

постоянные С2 и С3 в которых определяются числами во и в1, функциями Л,о(ж,£), /о(ж,£) и N (ж), а также числом Т и областью П. Из этих оценок, оценки (41), а также из неравенств (37)-(39) и следует требуемая оценка (12).

Как уже неоднократно говорилось ранее, из оценки (12) и теоремы о методе продолжения по параметру следует разрешимость в пространстве V краевой задачи (11), (2), (34), (35).

Вновь определим функцию ^(¿) с помощью формулы (24). Решение м(ж,£) краевой задачи (11), (2), (34), (35) и построенная функция ^(¿) и дадут решение обратной задачи III из требуемого класса (что устанавливается так же, как устанавливался аналогичный факт при доказательстве теоремы 1). □

Положим

^)= (Т2Г, ? 1(Т) = ,

2(Т ) = ^ + 2ШТН(Т) + 2^5Т17о(Г) 12К ' У 2р - 1 2р - 1 '

Теорема 4. Пусть выполняются условие (9), а также условия

N (ж) € С2(П), N (ж) = 0 при ж € Г; йо(ж,£) € £те(0,Т; ¿2(П));

(-1)рво > 0, (-1)рв1 < 0;

Т71(Т) < 1, Т^(Т) < 1 + 1(1 - Т71 (Т)).

ао

Тогда для любой функции /0(ж,£) из пространства ¿те(0,Т; ¿2(П)) обратная задача IV имеет решение {и(ж, £), ?(£)}, такое, что и(ж,£) € VI, ^(¿) € ¿те(0,Т).

Доказательство этой теоремы проводится вполне аналогично доказательству теоремы 3 с тем лишь отличием, что вместо неравенства (38) необходимо использовать неравенство

J(Аи)2(ж,£) -ж^ < 70(Т) J(Дри)2 -ж^.

я я

Объясняется этот факт тем, что функции Ди, ..., Д 1 и в обратной задаче IV не обращаются в нуль при £ = Т.

Прежде чем перейти к доказательству новых теорем о разрешимости обратных задач 1-^, выполним некоторые преобразования.

Определим функции /0(ж,£) и Л,0(ж,£) как решения задач

/"о - Д/о = /о, /"о = 0 при ж € Г;

Л,0 — ДЛ,о = /о, Л,о = 0 при ж € Г

(переменная £ здесь является параметром). Пусть С(ж, £) есть функция Грина задачи Дирихле в области П для оператора I — Д. Тогда уравнение (1) можно записать в виде

Д2ри — вои = /о(ж,£)+ "о(ж, — (во + в)/ С(ж,£)и(£,£) С (42)

п

Положим

"(£) = У N(ж)/0(ж,£) ¿ж, ^(¿) = J N(ж)/г0(ж,£) ¿ж,

пп

/1(ж,£) = /о(ж,£) — Щ^М, "¡1(ж,£)= (в0 + в^^.

Далее определим для заданной функции и>(ж,£) функцию Ф(ад; £):

"(^) = / Nм (/ ^еми) 4е)

пп

Умножая уравнение (42) на функцию N (ж), интегрируя, вычисляя далее функцию ?(£), получим с учётом введённых обозначений соотношение

Д2р(и — Ди) + в0Ди + в1и = Л (ж, £) + "1(ж, £)Ф (и; £). (43)

Это соотношение и определяет интегро-дифференциальное (нагруженное) уравнение, разрешимость соответствующих краевых задач для которого и даст разрешимость обратных задач 1-^.

Теорема 5. Пусть выполняются условия

N (ж) € С (П), йо(ж,£) € ^(0,Т; ¿2(П)); |"£)| > 0 при £ € [0,Т].

Тогда для любой функции /о(ж,£) из пространства Ьте(0,Т; Ь2(П)) обратная задача I имеет решение {и(ж, £), д(£)}, такое, что и(ж,£) € У1, д(£) € Ьте(0,Т).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу: найти функцию и(ж, £), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (43) и такую, что для неё выполняются условия (2) и (3). Разрешимость этой задачи в пространстве V устанавливается обычным образом — с помощью метода продолжения по параметру и априорных оценок. Сами по себе априорные оценки легко выводятся с помощью техники, использованной при доказательстве теоремы 1. Ключевым моментом в доказательстве необходимых априорных оценок является использование леммы Гро-нуолла.

Имея решение и(ж,£) задачи (43), (2), (3), определим функцию ^(¿):

,(,) = ^5(и; ,) - Ш. (44)

Функции и(ж, £) и ^(¿) связаны в цилиндре Q уравнением (42). Применяя к этому уравнению оператор I - Д, получим, что для функций и(ж,£) и ^(¿) в цилиндре Q выполняется уравнение (1).

Выполнение для функции и(ж,£) условия переопределения (4) легко показывается с помощью умножения уравнения (42) на функцию N (ж), интегрирования по области П и использования представления (44). Принадлежность функций и(ж, £) и ^(¿) требуемым классам очевидна. Следовательно, функции и(ж,£) и ^(¿) дадут искомое решение обратной задачи I. □

Положим

N-1 = / N2(ж) аж тах I / Л,1(ж,£) ^ж I .

у о<<т и /

пп Теорема 6. Пусть выполняются условия

N (ж) € С (П), йо(ж,£) € £те(0,Т; ¿2(П));

|/£)| > 0 при £ € [0,Т],

(-1)р+1во > 0, (-1)рв1 > 0;

(-1)р+1во

ао

+ (-1)рв1 - N1 > 0.

Тогда для любой функции /о(ж,£) из пространства Ьте(0,Т; Ь2(П)) обратная задача II имеет решение {и(ж, £), д(£)}, такое, что и(ж,£) € € Ьте(0,Т).

Доказательство. Равенство

У (^2р(м - Дм) + воДм + в1м) м аж = J / + л,1 ф^ и аж

даёт оценку (30). Следующие оценки выводятся так же, как выводились соответствующие оценки при доказательстве теоремы 2. Наличие оценок (оценки (12)) стандартным (для настоящей работы) образом влечёт разрешимость обратной задачи II. □

Положим

N = У N2(x) dx J(T - t)27hi(x,i) dxdt.

П Q

Теорема 7. Пусть выполняются условия

N(x) g C(П), ho(x,t) g L2(Q);

|#£)| > 0 при t G [0,T], (-1)Рво > 0, (-1)p+1 в1 > 0;

1

2 (N2T) 2 y(T)

< 1.

2р - 1

Тогда для любой функции /0(ж,£) из пространства £те(0,Т; Ь2(П)) обратная задача III имеет решение {м(ж, ¿), ^(¿)}, такое, что м(ж,£) С VI, € £те(0,Т).

Доказательство. Равенство

/ (Д2р(м - Дм) + воАм + (Т - ^ж ^ = (^/1 + ф) (Т - ^ж ^

(u

Q Q

после интегрирования по частям и использования условий теоремы дает оценку (30). С помощью этой оценки выводятся все остальные требуемые оценки. Наличие оценок влечет требуемую разрешимость обратной задачи III. □

Теорема 8. Пусть выполняются все условия теоремы 7. Тогда для любой функции f0(x,t) из пространства L^(0,T; L2(Q)) обратная задача IV имеет решение {u(x, t), q(t)}, такое, что u(x,t) G V1, q(t) G L^(0,T).

Доказательство этой теоремы очевидно.

5. Дополнение

Укажем на некоторые возможные обобщения полученных результатов.

1. Очевидно, что оператор Лапласа в уравнении (1) можно заменить более общим эллиптическим оператором второго порядка. Коэффициенты этого оператора а также коэффициенты оператора В и функция N (ж) (в частности, и коэффициенты в0 и в1) вполне могут быть функциями, зависящими от переменных ж и ¿. В описанных ситуациях суть применяемой техники и полученных результатов не изменится, все выкладки будут отличаться лишь большей громоздкостью.

2. Методами, предложенными в п. 2-4, вполне можно исследовать разрешимость обратных задач, подобных изученным выше, для уравнений вида (1) с заменой оператора Лапласа на эллиптический оператор произвольного порядка 2т (с добавлением естественных дополнительных граничных условий на поверхности Б).

3. Некоторые из вышеприведённых условий можно ослабить. Так, от функции N (ж) достаточно потребовать, чтобы она принадлежала пространству Ж|(П). Используя методы вариационного исчисления, можно уменьшить множитель 70(Т) в неравенстве (38) (связав его с собственными числами одномерного оператора Лапласа). И т. д.

4. И наконец, последнее. Единственность решений во всех рассматриваемых задачах очевидна — она вытекает из априорных оценок.

Список литературы

1. Whitham, G.B. Linear and Nonlinear Waves / G.B.Whitham. — New York : John Wiley, 1974. — 635 p.

2. Ikezi, H. Experimental research of solitons in plasma / H. Ikezi // Solitons in Action. — New York : Academic Press, 1978. — P. 153-172.

3. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С.В.Успенский. — Новосибирск : Науч. кн., 1998. — 456 с.

4. Мегралиев, Я. Т. Обратная краевая задача для уравнения Буссинеска — Лява с дополнительным интегральным условием / Я. Т. Мегралиев // Сиб. журн. индустр. математики. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 75-83.

5. Мегралиев, Я. Т. Обратная краевая задача для одного уравнения Буссинеска с интегральным условием / Я. Т. Мегралиев, Ф. Х. Ализаде // Чебышев. сб. — 2013. — Т. 14, вып. 4. — С. 167-179.

6. Касымалиева, А. А. Обратные задачи для уравнения Буссинеска — Лява : дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. А. Касымалиева. — Бишкек, 2014.

7. Намсараева, Г. В. Линейные обратные задачи для некоторых аналогов уравнения Буссинеска / Г. В. Намсараева // Мат. заметки Сев.-Вост. федер. ун-та. — 2014. — Т. 21, № 2. — С. 47-59.

8. Намсараева, Г. В. Обратные задачи определения внешних источников в уравнении распространения продольных волн / Г. В. Намсараева // Сиб. журн. индустр. математики. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 28-40.

9. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М. : Наука, 1980. — 496 с.

10. Якубов, С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С. Я. Якубов. — Баку : Элм, 1985. — 220 с.

11. Амиров, Ш!. Глобальная разрешимость начально-краевых задач для некоторых нелинейных аналогов уравнения Буссинеска / Ш. Амиров, А. И. Кожанов // Мат. заметки. — 2015. — Т. 99, вып. 2. — С. 171-180.

12. Уткина, Е. А. Задача Дирихле для одного уравнения четвёртого порядка / Е.А.Уткина // Дифференц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 4. — С. 400-404.

13. Уткина, Е. А. Единственность решения задачи Дирихле для одного n-мерного псевдопараболического уравнения / Е. А. Уткина // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48, № 10. — С. 1443-1449.

14. Кожанов, А. И. Краевые задачи для некоторых неклассических дифференциальных уравнений / А. И. Кожанов, Н.Р. Пинигина // Мат. заметки. — 2017. — Т. 101, вып. 3. — С. 403-412.

15. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А.Ладыженская, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1973. — 578 c.

Поступила в 'редакцию 12.04-2018 После переработки 03.05.2018

Сведения об авторах Кожанов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории дифференциальных и разностных уравнений, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН; заведующий кафедрой математики факультета информационных технологий, Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия; e-mail: kozhanov@math.nsc.ru.

Намсараева Гэрэлма Владимировна, старший преподаватель кафедры высшей математики строительного факультета, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, Улан-Удэ, Россия; e-mail: gerel@inbox.ru.

170

A. H. Ko^aHOB, r. B. HaMcapaeBa

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 2. P. 153-171.

LINEAR INVERSE PROBLEMS FOR A CLASS OF EQUATIONS OF SOBOLEV TYPE

A.I. Kozhanov1'2", G.V. Namsaraeva3b

1Sobolev Institute of Mathematics of SB RAS, Novosibirsk, Russia 2Novosibirsk State University (National Research University), Novosibirsk, Russia 3East Siberia State University of Technology and Management, Ulan-Ude, Russia akozhanov@math.nsc.ru, bgerel@inbox.ru

We study the solvability of inverse problems of finding together with the solution u(x, t) also an unknown factor q(t) in equation

D2tp(u - Au) + Bu = f0(x,t) + q(t)h0(x,t)

(t G (0, T), x G Q c Rn, p is a natural number, D^ = dk, A is the Laplace operator with respect to the spatial variables, B is a linear second-order differential operator, acting also on the spatial variables, f0(x,t) and h0(x,t) are given functions). Integral overdetermination condition is used as an additional condition in these problems. The existence and uniqueness theorems for regular solutions (i. e. having all the generalized derivatives in the sense of S.L. Sobolev, presenting in the equation) are proved.

Keywords: Sobolev type equation, inverse problem, unknown right-hand side, integral overdetermination, regular solution, solution existence, solution uniqueness.

References

1. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. New York, John Wiley, 1974. 635 p.

2. Ikezi H. Experimental Study of Solitons in Plasma. Solitons in Action. New York, Academic Press, 1978. Pp. 153-172.

3. Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative. New York, Basel, Marcel Dekker, Inc., 2003. 481 p.

4. Megraliev Ya.T. Obratnaya krayevaya zadacha dlya uravneniya Bussineska — Lyava s dopolnitel'nym integral'nym usloviem [The inverse boundary problem for the Boussinesq — Love equation with the additional integral condition]. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki [Siberian journal of industrial mathematics], 2013, vol. 16, no. 1, pp. 75-83. (In Russ.).

5. Megraliev Ya.T., Alizade F.Kh. Obratnaya krayevaya zadacha dlya odnogo uravneniya Bussineska chetvyortogo poryadka s integral'nym usloviem [An inverse boundary value problem for a fourth-order Boussinesq equation with an integral condition]. Chebyshevskii Sbornik, 2013, vol. 14, iss. 4, pp. 167-179. (In Russ.).

6. Kasymalieva A.A. Obratnye zadachi dlya uravneniya Bussineska — Lyava [Inverse problems for Boussinesq — Love equation], PhD Thesis. Bishkek, 2014. (In Russ.).

7. Namsaraeva G.V. Lineynye obratnye zadachi dlya nekotorykh analogov uravneniya Bussineska [Linear inverse problems for some analogs of the Boussinesq equation]. Matematicheskiye zametki Severo-Vostochnogo federal'nogo universiteta [Mathematical Notes of North-Eastern Federal University], 2014, vol. 21, no. 2, pp. 47-59. (In Russ.).

8. Namsaraeva, G.V. Inverse problems of recovering external sources in the equation of longitudinal wave propagation. Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2016, vol. 10, no. 3, pp. 386-396.

The work is supported by the Russian Foundation for Basic Research (grant 18-01-00620).

9. Trenogin V.A. Funktsional'nyy analiz [Functional Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 496 p. (In Russ.).

10. Yakubov S.Ya. Lineynye differentsial'no-operatornye uravneniya i ikh prilozheniya [Linear differential-operator equations and their applications]. Baku, Elm Publ., 1985. 220 p. (In Russ.).

11. Amirov Sh., Kozhanov A.I. Global solvability of initial boundary-value problems for nonlinear analogs of the Boussinesq equation. Mathematical Notes, 2016, vol. 99, iss. 1-2, pp. 183-191.

12. Utkina E.A. Dirichlet problem for a fourth-order equation. Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 4, pp. 599-603.

13. Utkina E.A. Uniqueness of the solution of the Dirichlet problem for an n-dimensional pseudoparabolic equation. Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 10, pp. 1423-1428.

14. Kozhanov A.I., Pinigina N.R. Boundary-value problems for some higher-order nonclassical differential equations. Mathematical Notes, 2017, vol. 101, no. 3-4, pp. 467474.

15. Ladyzhenskaya O.A., Ural'tseva N.N. Linear and Quasilinear Equations of Elliptic Type. Moscow, Nauka Publ., 1973. 578 p. (In Russ.)

Accepted article received 12.04-2018 Corrections received 03.05.2018