Линейная дифференциальная игра импульсной встречи с выпуклым терминальным множеством Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА ИМПУЛЬСНОЙ ВСТРЕЧИ . С ВЫПУКЛЫМ ТЕРМИНАЛЬНЫМ МНОЖЕСТВОМ

О Ю Титов , В И Ухоботов Челябинский государственный университет

Рассматривается линейная диффертциальная игра с заданным моментом окончания, терминальное множество в которой определяется условием принадлежности фазового вектора выпуклому симметричному компакту На выбор управлений накладываются импульсные ограничения [1] — [4]

Ключевые слова импульсное управление, игра, стабильный мост

1. Постановка задачи

Рассмотрим игру, уравнение движения ко юрой имеет вид [4]

dz = N(t)du ~t M(t)dv, z e Rn и £ Euv e E2,t <p (1)

Здесь Ьг линеиные конечномерные нормированные пространства с нормами ¡1г||г, х G Ег, N(t), M(t) непрерывные при t < р ма1рицы сооавехствующей размерности

На каждом оi резке времени [t, т} допустимыми программными управлениями явчяются функции w [t, г] —> Ег с ограниченными изменениями Расходы ресурсов, захраненные на формирование управления, определяются вариацией [5]

/ ||<Мг)||, = supIM^+i) -{ ЬЪ=0

Позиция - ючка л, ц, v, где числа ц > 0, и > 0 характеризуют запасы ресурсов mi роков Правило перехода позиции задается формулами [5]

г г

fi(r) = m-J i!<MOIIi, v(t) = v(t)-J \\dv(r)h, (2)

t t

114

О Ю Титов В И Ухоботов

z(t) = z(t) + I N{r)du{r) + J M(r)dv(r) (3)

Интегралы в (3) понимаются в смысле Римана-Стилтьеса Условия неперерасхода запасов имеющихся ресурсов записываются в виде неравенств

Кг) > 0, у{Т) > 0 (4)

Задан выпуклый, симметричный относительно начала координат ком-пак г I С Rn Цель первог о игрока заключается в осуществлении включе ния z(p) £ X В рассматриваемом случае позиция можег меняться мгновен но Это требует специального определения ^словия окончания игры [3],[4] С эгой целью рассмотрим вектограммы игроков

U(t) {х N{t)u Hi < 1}, V{t) = {х = M{t)v ||и||2 < 1} (5) Условия окончания игры запишем в виде

z(p)+v(p)V(p)Cv(p)U(p) + X (6)

Рассмотрим множества достижимости игроков

т г

U; = {х = I N(r)du(r) I ||dti(r)||i - 1}, U\ = U(t), (7)

t t T T

vtr = {т = I M(r)dv(r) I \\dv(r)h = 1}, Vtl = V(t) (8)

t t

Обозначим через (3\(t,ip) и fait, Ф) опорные функции множеств U(t) и V(t) Toi да опорные функции множесхв (7) и (8) таковы

т((£,-0) - тах рг{г,ф), г = 1,2 (9)

Ki <р

Эти функции непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по ф

Обозначим (z, ф) скалярное произведение векторов г,ф G Rn Тогда включение (6) можно записать в виде

(г(р),ф) + v(p)m2(p,il>) < fi(p)mi(p,i/>) +с(ф), Мф € R'1 (10) Здесь

с(ф) = тах(г,ф) (11)

zCX

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ 115

опорная функция компакта X Будем предполагать, что

т1{иф)> 0, ЧКр, Vф£Пп (12)

2. Необходимые условия окончания

Обозначим при и > 0, ф С IIй

{-оо, если с(ф) - ит2{Ь, ф) > О, Ш < р

< р с(ф) - 1УГП2^,ф) > 0}, в противном случае

(13)

( (~с(ф) + ит2{1,ф))т^1{1,ф), Т(»,Ф) <1<р

[ тах1<г<1(и ф) [(г/ш2(г, ф) - с{ф))т1 1(т,фЦ, £ < Т{ь>,ф)

(14)

ТЕОРЕМА 2 1 Пусть начальное состояние таково, что для некоторого вектора ф € Яп выполнено неравенство

{г0,ф) > т^о,ф)(ц0 - ,Ф))- (15)

Тогда второй игрок сможет сформировать свое управление так, что условие (10) будет не выполнено

Доказательство Пусть Т(щ,ф) < to < р Тогда неравенство (15) примет вид

{г0,ф) + щт2{Ьа,ф) > т^о, ф)ц0 + с{ф) (16)

Вюрой игрок берет управление V такое, чтобы р Р

1(М(г)ду(г),ф) = и0гп2(10,ф), I \\с1'0(г)\\2 = щ. (]7)

Тогда и(р) — 0 и при любом управлении первого игрока (г{р),ф) > (г0,ф) + щт2(1ъ,ф) - (/¿0 - ^(р)(¿0, Ф) >

ll(j О Ю Титов , В И У хоботов

> с{ф) + t*(p)m {to, Ф) > с{ф) + fi{p)mi (р, ф)

Следовательно, неравенство (10) не выполнено

Пусть ¿о < Т(щ, ф) Тогда, как следует из формулы (14), существует число ¿у < т < Т{уq,i¡>) такое, что

+ (18) V ГП1(Т,Ф) )

Второй и1рок берет при to < t < т управление dv(r) = 0 Тогда из формулы (18) получим, что

(г{т),ф) > (z0,ф) - m1(í0,V')(^o - ц(т))

Отсюда и из (18) следует, что

( ( \ \ >> (f i\( ^ , с{ф) - и{т)т2{т,ф)\

{z{T),ip) > гпфо^Цшт) +------, ¡у(т) = v0 (19

V ^ ТП\ (т, ф) )

Пусть выражение стоящее в скобках в правой части неравенства (19), больше нуля Тогда, учитывая неравенство mi(£o,^>) > т\(т,ф), будем иметь

(z(r), ф) > 771, (т ф)ц(т) +({ф)- и{т)т2{т, ф) (20)

Если выражение, стоящее в скобках в правой части неравенства (19), меньше нуля, то неравенство (20) будет выполнено для одного из векторов ±ф Здесь использована четность по ф функций (9) и (11)

Второй игрок, используя неравенство (20), строит на отрезке [т,р] свое управление по правилу (17) Теорема доказана

Обозначим

F(t,v) = supnmxíF{t, и, ф), О) (21)

Ф V '

СЛЕДСТВИЕ 2 1 Если до < F(to,uо), то для любого z € Rn найдется вектор ф £ Rn, для которого выполнено неравенство (16)

Доказательство Из (18) следует, что До < F{to, ио,ф) при некотором ф С R" Отсюда получим, что дчя одного из векторов ±ф выполнено неравенство (15) Следе i вие доказано

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ 3. Достаточные условия окончания

Воспользуемся понятием стабильного моста [3], [7] и будем искать его в следующем виде [6]:

H>G{t,v),

z(z {ix-G{t,v])Upt +W{t,iy). (22)

Здесь G(t,v) - произвольная функция, удовлетворяющая условиям

И

G(t, v) > F{t, и); t < т <р, 0 < и, < v G(t,v) > G(r,i/t). (23)

Семейство множеств W{t, v) должно удовлетворять следующим условиям стабильности [6]:

W{t,v) + {v-v,)VtT С (G(t,v)-G(t,v*))uf + W(t,v>), (24)

W(t,v)c(x + G{t,v)U?)-vVtp. (25)

*

Здесь t < т < р, 0 < и* < и, а посредством А - В обозначена геометрическая разность [8] двух множеств А и В.

В [6] разработан алгоритм синтеза гарантированного управления первого игрока по известному стабильному мосту (22). Для построения семейства множеств W(t,u), удовлетворяющих включениям (24) и (25), в [6] используется метод итераций. В этом разделе будет обоснован другой метод итераций, который более удобен при его численной реализации.

Возьмем

G(t,u) = ug(t), g(t)= sup maxf^rT)-

t<T<p Ф Vmi(T,V0/

'26)

Предполагаем, что д{€) < +оо. Эта функция удовлетворяет условиям (23). Рассмотрим процедуру

Wi

oM = (x + vg{t)U?)-vVtp, (27)

Wk+1 (t,v) = П

t<T<p

v{g (t)-g{t))U? + Wk{t,v)

(28)

118 О Ю Титов В И У хоботов

Получим последовательность выпуклых замкнутых множеств, удовлетворяющих включению

Wk+i{t,v)cWk{t,v)cW0{t,v) (29)

ГЕОРЕМА 3 1 Многозначная функция

W{t,u)= Ç]Wk(t,u) (30)

k> О

удовлетворяет включению (24)

Доьа штелъетво Из (28), (29) и (30) следует, чго

W(t, у) С v{q{t) - g(r))Uf + W{t, и), t <т <р, (31)

W(t, и) -t vVf С X + vg{t)Uf > (32)

Возьмем любое 0 < vt < v Toi да можно представить и — у* = (1 -A)îv, и* — Л /v, Л Ç- [0,1] Далее, VtT С Vf Поэтому, умножив включение (31) на Л, а включение (32) на (1 — Л) и затем их сложив, получим

W(t, + ^)VtT С H(t) vtg(r))Uf + (l-X)X + XW(r, и) Следовательно, включение (24) будет выполнено, если

XW(L, v) + (1 - Х)Х С W(t, Xv), VA 6 [0,1] (33)

Покажем, что каждая многозначная функция Wk удовлетворяет включению (33)

* *

Из формулы (27), а также из свойства А-В + Сс (А + С) - В I соме три ческой разности [8] получим, чго Wq удовлетворяет включению (33)

Пусть Wk удовлеiворяеI включению (33) Тогда из (28) следует, что при t < т < р

АИч,]М) h(l-A)XcMj(/) ç(t))U? -т XWl(t,v) + (I ~ Х)Х С С ~ 9(r))U? \-Wk(r, \v)

Следовательно,

AlVM1(i,;,) + (l Х)Х С П {(^Mt)--g(T))U?+Wk(T,Xv)) = Wk+l(t,Xv)

t<T<p^ '

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ 119

Имеем равенство

и) + (1 - \)Х = П (\\¥к(1, и)) + (1 - Х)Х. ^

к>0

Так как и) и X являются замкнутыми множествами, а и) С

то

к>0 к> О к> о

Следовательно, включение (28) доказано. Теорема доказана.

Список литературы

1 Красовский H H , Третьяков ВЕК задаче о преследовании в случай ограничения на импульсы управляющих сил//Дифференц уравнения 1966 Т 2, №5 С 587-599

2 Субботина H H Субботин А H Альтернатива для дифференциальной игры (ближения уклонения при мраничениях на импульсы управлений игроков // Прикладная Mai и мех 1975 Т 39, вып 3 С 387-396

3 Пожарицкий Г К Импульсное преследование в случае однотипных объектов второго порядка // Прикладная мат и мех 1966 Т. 30, вып 5 С 897-907

4 Ухоботов В И Линейная дифференциальная игра с ограничениями на импульсы управлений // Прикладная мат и мех 1988 Т 52, вып 3 С 355-362

5 Красовский H H Теория управления движением M Наука, 1968 475 с

6 Ухобоюв В И Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями общего вида Учеб пособие Челябинск Че-ляб гос ун-т, 1998 78 с

7 Красовский H II , Субботин А H Позиционные дифференциальные ш ры M Наука, 1974 456 с

8 Понгрягин Л С О линейных дифференциальных играх // Докл АН СССР 1967 Т 175 M 4 С 764-766

SUMMARY

The linear differential games with given moment of termination is considered Its tei mmal set is defined the condition that phase vector belongs to a symmetrical coin ex compact set The impulse limitations imposes on choice of a contiols