CC BY
27
ЛИНЕЙНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА ИМПУЛЬСНОЙ ВСТРЕЧИ . С ВЫПУКЛЫМ ТЕРМИНАЛЬНЫМ МНОЖЕСТВОМ
О Ю Титов , В И Ухоботов Челябинский государственный университет
Рассматривается линейная диффертциальная игра с заданным моментом окончания, терминальное множество в которой определяется условием принадлежности фазового вектора выпуклому симметричному компакту На выбор управлений накладываются импульсные ограничения [1] — [4]
Ключевые слова импульсное управление, игра, стабильный мост
1. Постановка задачи
Рассмотрим игру, уравнение движения ко юрой имеет вид [4]
dz = N(t)du ~t M(t)dv, z e Rn и £ Euv e E2,t <p (1)
Здесь Ьг линеиные конечномерные нормированные пространства с нормами ¡1г||г, х G Ег, N(t), M(t) непрерывные при t < р ма1рицы сооавехствующей размерности
На каждом оi резке времени [t, т} допустимыми программными управлениями явчяются функции w [t, г] —> Ег с ограниченными изменениями Расходы ресурсов, захраненные на формирование управления, определяются вариацией [5]
/ ||<Мг)||, = supIM^+i) -{ ЬЪ=0
Позиция - ючка л, ц, v, где числа ц > 0, и > 0 характеризуют запасы ресурсов mi роков Правило перехода позиции задается формулами [5]
г г
fi(r) = m-J i!<MOIIi, v(t) = v(t)-J \\dv(r)h, (2)
t t
114
О Ю Титов В И Ухоботов
z(t) = z(t) + I N{r)du{r) + J M(r)dv(r) (3)
Интегралы в (3) понимаются в смысле Римана-Стилтьеса Условия неперерасхода запасов имеющихся ресурсов записываются в виде неравенств
Кг) > 0, у{Т) > 0 (4)
Задан выпуклый, симметричный относительно начала координат ком-пак г I С Rn Цель первог о игрока заключается в осуществлении включе ния z(p) £ X В рассматриваемом случае позиция можег меняться мгновен но Это требует специального определения ^словия окончания игры [3],[4] С эгой целью рассмотрим вектограммы игроков
U(t) {х N{t)u Hi < 1}, V{t) = {х = M{t)v ||и||2 < 1} (5) Условия окончания игры запишем в виде
z(p)+v(p)V(p)Cv(p)U(p) + X (6)
Рассмотрим множества достижимости игроков
т г
U; = {х = I N(r)du(r) I ||dti(r)||i - 1}, U\ = U(t), (7)
t t T T
vtr = {т = I M(r)dv(r) I \\dv(r)h = 1}, Vtl = V(t) (8)
t t
Обозначим через (3\(t,ip) и fait, Ф) опорные функции множеств U(t) и V(t) Toi да опорные функции множесхв (7) и (8) таковы
т((£,-0) - тах рг{г,ф), г = 1,2 (9)
Ki <р
Эти функции непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по ф
Обозначим (z, ф) скалярное произведение векторов г,ф G Rn Тогда включение (6) можно записать в виде
(г(р),ф) + v(p)m2(p,il>) < fi(p)mi(p,i/>) +с(ф), Мф € R'1 (10) Здесь
с(ф) = тах(г,ф) (11)
zCX
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ 115
опорная функция компакта X Будем предполагать, что
т1{иф)> 0, ЧКр, Vф£Пп (12)
2. Необходимые условия окончания
Обозначим при и > 0, ф С IIй
{-оо, если с(ф) - ит2{Ь, ф) > О, Ш < р
< р с(ф) - 1УГП2^,ф) > 0}, в противном случае
(13)
( (~с(ф) + ит2{1,ф))т^1{1,ф), Т(»,Ф) <1<р
[ тах1<г<1(и ф) [(г/ш2(г, ф) - с{ф))т1 1(т,фЦ, £ < Т{ь>,ф)
(14)
ТЕОРЕМА 2 1 Пусть начальное состояние таково, что для некоторого вектора ф € Яп выполнено неравенство
{г0,ф) > т^о,ф)(ц0 - ,Ф))- (15)
Тогда второй игрок сможет сформировать свое управление так, что условие (10) будет не выполнено
Доказательство Пусть Т(щ,ф) < to < р Тогда неравенство (15) примет вид
{г0,ф) + щт2{Ьа,ф) > т^о, ф)ц0 + с{ф) (16)
Вюрой игрок берет управление V такое, чтобы р Р
1(М(г)ду(г),ф) = и0гп2(10,ф), I \\с1'0(г)\\2 = щ. (]7)
Тогда и(р) — 0 и при любом управлении первого игрока (г{р),ф) > (г0,ф) + щт2(1ъ,ф) - (/¿0 - ^(р)(¿0, Ф) >
ll(j О Ю Титов , В И У хоботов
> с{ф) + t*(p)m {to, Ф) > с{ф) + fi{p)mi (р, ф)
Следовательно, неравенство (10) не выполнено
Пусть ¿о < Т(щ, ф) Тогда, как следует из формулы (14), существует число ¿у < т < Т{уq,i¡>) такое, что
+ (18) V ГП1(Т,Ф) )
Второй и1рок берет при to < t < т управление dv(r) = 0 Тогда из формулы (18) получим, что
(г{т),ф) > (z0,ф) - m1(í0,V')(^o - ц(т))
Отсюда и из (18) следует, что
( ( \ \ >> (f i\( ^ , с{ф) - и{т)т2{т,ф)\
{z{T),ip) > гпфо^Цшт) +------, ¡у(т) = v0 (19
V ^ ТП\ (т, ф) )
Пусть выражение стоящее в скобках в правой части неравенства (19), больше нуля Тогда, учитывая неравенство mi(£o,^>) > т\(т,ф), будем иметь
(z(r), ф) > 771, (т ф)ц(т) +({ф)- и{т)т2{т, ф) (20)
Если выражение, стоящее в скобках в правой части неравенства (19), меньше нуля, то неравенство (20) будет выполнено для одного из векторов ±ф Здесь использована четность по ф функций (9) и (11)
Второй игрок, используя неравенство (20), строит на отрезке [т,р] свое управление по правилу (17) Теорема доказана
Обозначим
F(t,v) = supnmxíF{t, и, ф), О) (21)
Ф V '
СЛЕДСТВИЕ 2 1 Если до < F(to,uо), то для любого z € Rn найдется вектор ф £ Rn, для которого выполнено неравенство (16)
Доказательство Из (18) следует, что До < F{to, ио,ф) при некотором ф С R" Отсюда получим, что дчя одного из векторов ±ф выполнено неравенство (15) Следе i вие доказано
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ 3. Достаточные условия окончания
Воспользуемся понятием стабильного моста [3], [7] и будем искать его в следующем виде [6]:
H>G{t,v),
z(z {ix-G{t,v])Upt +W{t,iy). (22)
Здесь G(t,v) - произвольная функция, удовлетворяющая условиям
И
G(t, v) > F{t, и); t < т <р, 0 < и, < v G(t,v) > G(r,i/t). (23)
Семейство множеств W{t, v) должно удовлетворять следующим условиям стабильности [6]:
W{t,v) + {v-v,)VtT С (G(t,v)-G(t,v*))uf + W(t,v>), (24)
W(t,v)c(x + G{t,v)U?)-vVtp. (25)
*
Здесь t < т < р, 0 < и* < и, а посредством А - В обозначена геометрическая разность [8] двух множеств А и В.
В [6] разработан алгоритм синтеза гарантированного управления первого игрока по известному стабильному мосту (22). Для построения семейства множеств W(t,u), удовлетворяющих включениям (24) и (25), в [6] используется метод итераций. В этом разделе будет обоснован другой метод итераций, который более удобен при его численной реализации.
Возьмем
G(t,u) = ug(t), g(t)= sup maxf^rT)-
t<T<p Ф Vmi(T,V0/
'26)
Предполагаем, что д{€) < +оо. Эта функция удовлетворяет условиям (23). Рассмотрим процедуру
Wi
oM = (x + vg{t)U?)-vVtp, (27)
Wk+1 (t,v) = П
t<T<p
v{g (t)-g{t))U? + Wk{t,v)
(28)
118 О Ю Титов В И У хоботов
Получим последовательность выпуклых замкнутых множеств, удовлетворяющих включению
Wk+i{t,v)cWk{t,v)cW0{t,v) (29)
ГЕОРЕМА 3 1 Многозначная функция
W{t,u)= Ç]Wk(t,u) (30)
k> О
удовлетворяет включению (24)
Доьа штелъетво Из (28), (29) и (30) следует, чго
W(t, у) С v{q{t) - g(r))Uf + W{t, и), t <т <р, (31)
W(t, и) -t vVf С X + vg{t)Uf > (32)
Возьмем любое 0 < vt < v Toi да можно представить и — у* = (1 -A)îv, и* — Л /v, Л Ç- [0,1] Далее, VtT С Vf Поэтому, умножив включение (31) на Л, а включение (32) на (1 — Л) и затем их сложив, получим
W(t, + ^)VtT С H(t) vtg(r))Uf + (l-X)X + XW(r, и) Следовательно, включение (24) будет выполнено, если
XW(L, v) + (1 - Х)Х С W(t, Xv), VA 6 [0,1] (33)
Покажем, что каждая многозначная функция Wk удовлетворяет включению (33)
* *
Из формулы (27), а также из свойства А-В + Сс (А + С) - В I соме три ческой разности [8] получим, чго Wq удовлетворяет включению (33)
Пусть Wk удовлеiворяеI включению (33) Тогда из (28) следует, что при t < т < р
АИч,]М) h(l-A)XcMj(/) ç(t))U? -т XWl(t,v) + (I ~ Х)Х С С ~ 9(r))U? \-Wk(r, \v)
Следовательно,
AlVM1(i,;,) + (l Х)Х С П {(^Mt)--g(T))U?+Wk(T,Xv)) = Wk+l(t,Xv)
t<T<p^ '
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ 119
Имеем равенство
и) + (1 - \)Х = П (\\¥к(1, и)) + (1 - Х)Х. ^
к>0
Так как и) и X являются замкнутыми множествами, а и) С
то
к>0 к> О к> о
Следовательно, включение (28) доказано. Теорема доказана.
Список литературы
1 Красовский H H , Третьяков ВЕК задаче о преследовании в случай ограничения на импульсы управляющих сил//Дифференц уравнения 1966 Т 2, №5 С 587-599
2 Субботина H H Субботин А H Альтернатива для дифференциальной игры (ближения уклонения при мраничениях на импульсы управлений игроков // Прикладная Mai и мех 1975 Т 39, вып 3 С 387-396
3 Пожарицкий Г К Импульсное преследование в случае однотипных объектов второго порядка // Прикладная мат и мех 1966 Т. 30, вып 5 С 897-907
4 Ухоботов В И Линейная дифференциальная игра с ограничениями на импульсы управлений // Прикладная мат и мех 1988 Т 52, вып 3 С 355-362
5 Красовский H H Теория управления движением M Наука, 1968 475 с
6 Ухобоюв В И Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями общего вида Учеб пособие Челябинск Че-ляб гос ун-т, 1998 78 с
7 Красовский H II , Субботин А H Позиционные дифференциальные ш ры M Наука, 1974 456 с
8 Понгрягин Л С О линейных дифференциальных играх // Докл АН СССР 1967 Т 175 M 4 С 764-766
SUMMARY
The linear differential games with given moment of termination is considered Its tei mmal set is defined the condition that phase vector belongs to a symmetrical coin ex compact set The impulse limitations imposes on choice of a contiols
