Об одной задаче импульсного преследования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.857

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ИМПУЛЬСНОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

В.И. Ухоботов1, A.A. Троицкий2

Найдено оптимальное время преследования в линейной дифференциальной игре второго порядка с импульсным управлением. Построены оптимальные управления игроков.

Ключевые слова: дифференциальная игра, импульсное управление, время преследования.

1. Введение

Задачи управления механическими системами переменного состава, в которых допускается мгновенное отделение конечного количества массы топлива с постоянной по величине скоростью, сводятся к задачам с импульсными управлениям [1, стр. 85-87]. Наличие импульсных управлений может приводить к мгновенному изменению фазового состояния системы. Это приводит к специфическим особенностям при исследовании дифференциальных игр с импульсными управлениями [2-6] и, в частности, задачи импульсного преследования [7, 8].

В работе [7] рассмотрена игровая задача, в которой преследователь управляет точкой переменного состава, движущейся только под действием реактивной силы. Убегающий управляет ограниченной по величине скоростью. В работе [8] рассмотрен усложненный вариант задачи, когда на точку переменного состава действует еще сила, пропорциональная скорости.

В данной работе предполагается, что на каждую управляемую точку наряду с силой трения, пропорциональной скорости, действует сила, линейно зависящая от координат.

2. Постановка задачи

Движение точки переменного состава описывается уравнением Мещерского [1]

m (t)

x1 = a1 x1 + a2 x1 + g +-u .

m(t)

Здесь x1 e M” , at e M, g e M” ; u - вектор относительной скорости отделяющихся частиц,

II II , ч ■, m (t)

норма u = c = const; m(t) = 1 +----, m1(t) - масса топлива в момент времени t, m0 - неизмен-

то (t)

ная часть массы.

Эта точка преследует другую управляемую точку, уравнение движения которой имеет вид x2 = a1 x2 + a2x2 + g - v, x2 e M”,v e Ш” ,||v|| < b.

Цель преследования заключается в том, чтобы побыстрее осуществить неравенство ||x1 (t) - x2(t)|| < £ . Здесь £> 0 - заданное число.

В начальный момент времени имеется начальный запас топлива т1 (0) > 0, который не может быть перерасходован в процессе управления.

3. Формализация задачи

В переменных x = x1 - x2 , y = x1 - x2, (p(t) = ln(m(t)), сформулированная задача принимает

вид

x = y, y = aix + a2 y + <p(t)u + v, (1)

||x(t )| < £. (2)

1 Ухоботов Виктор Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории управления и оптимизации, Челябинский государственный университет.

E-mail: ukh@csu.ru

2 Троицкий Антон Александрович - аспирант, кафедра теории управления и оптимизации, Челябинский государственный университет.

E-mail: antonio.troitsky@gmail.com

Поскольку m(t) убывает, то ф(t) < 0 . Преследователь не может перерасходовать имеющийся запас топлива m1(0) > 0 . Условие не перерасхода топлива запишем в виде неравенства m(t) > 1 при t > 0, которое равносильно

ф^) > 0 при t > 0 . (3)

Считаем, что наряду с непрерывным изменением массы m(t) в отдельные моменты времени т может происходить мгновенное отделение конечного количества массы 0 <&m < m(T) — 1 со скоростью и (т) . Это приводит к мгновенному уменьшению скорости [1]

у (т + 0) = у (т)и (т) (ф(т + 0) — ф(т)), ф(т + 0) = ln (m(-r) —Am). (4)

Управление убегающего строится в классе произвольных функций v: М X М” X М” ^ М” , удовлетворяющих ограничению ||v(t, x, у)|| < b .

Управлением догоняющего является невозрастающая функция ф^) > 0 при t > 0 и произвольная функция и : Ш X М” X Ш” ^ М”, удовлетворяющая равенству ||u(t, x,у)|| = с . При выборе функции ф(t) в отдельные моменты времени осуществляется её коррекция, которая проводится следующим образом. Преследователь в начальный момент времени выбирает набор моментов коррекций 0 = т0 <т1 <...<Tq. В момент времени т, зная реализовавшееся состояние

х(т), у(т ),ф(т), он выбирает при тт < t <тт+1 непрерывно дифференцируемую функцию ф(}), такую, что

ф(t) > 0, (p(t) < 0, ф(т + 0) < ф(т),т< t < Т+1. (5)

С помощью формулы (4) при т = тт и при и = и (j, х(тг-), у(т)) определяет значение скорости у(т + 0).

Движение, порожденное выбранными управлениями на промежутке (тг- ,тг-+1], определим с помощью ломаных. С этой целью фиксируем разбиение:

(О.т, = t(0) <t(1) <...<t(k+1} =т,+1

с диаметром разбиения

d (о) = max (t (+1) — t())

0<j<k\ )

и построим ломаную xm(t), уm(t), т{ < t < т{+1.

Положим В (1) и = и (, х(т), у(тг-) ), v = v(тт, х(тг-), у(т )) и найдем решение xm(t), у0() при

t(0) < t < t(1) с начальным условием xffl(t(0)) = x(tt ), yffl(t(0)) = у(т + 0) . Допустим, что при

t(0) < t < t(j определена ломаная. Положим в (1) и = и(j, v = v(j), где

w (j ) = w (), xa(t( j} ) уо( j} )), w = u, v (6)

и продлим решение xm(t),уо() при t(j) < t < t(j +1) . Продолжая этот процесс дальше, построим ломаную при т < t < Ti+1.

Можно показать, что все ломаные xm(t),у01()удовлетворяют условию Липшица с одной и

той же константой. Следовательно, они удовлетворяют условиям теоремы Арцела [9, стр. 236]. Под движением будем понимать равномерный предел последовательности ломаных x0k (t),уоо (t), У которых диаметр разбиения d(ок) ^ 0 .

Предельные функции x(t) и у(t) удовлетворяют условию Липшица. Поэтому у них почти всюду на отрезке [тт,тт+1 ] существуют производные.

Будем считать, что выполнено следующее предположение.

Предположение 1. Характеристический многочлен Л2 — а2Л — a1 = 0 матрицы в системе (1) имеет два различных действительных корня, один из которых неотрицателен. Это значит, что

4a1 + a 2 > 0 , а корни равны

А =-

а +л/ 4а + а

> 0,А> =:

Предположение 2. Выполнено неравенство

Ь + а£ > 0.

4. Формулировка результатов

Введем в рассмотрение функции

- (7)

(8)

/ )=х-А(еА+АеЛ2()’Л ) А). (9)

Из неравенства А1> Л2 следует, что функция /2 (г) > 0 при г > 0 и строго возрастает. Из ус-

г

ловия А > 0 получим, что 172 (г )^г ^ +°° при г ^ +^ . Поэтому при любом числе £ > 0 уравне-

ние:

= | Л (г Уг

имеет единственный неотрицательный корень г = г£). При г > 0 , £ > 0 положим

Обозначим

и при

положим

g(г,£) = £-Ь|/2 (г)г при 0< г < г£),

0

g(г,£) = -(г-г(£))(г) при г£)<г.

/ (г ) = 71 (г) + ^ 72 (г ) = | (г + еА2г)

0 < г < г (£) + -9(0 ) = Т {£,9(0))

К (х, у, 9(0 ),£, г )= и

0< г <г

а2 ] /2 (г) , с/2 (г)9(0) + g (г,£)

+

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Здесь обозначено 5 = {ге М” : ||г|| < 1}.

Теорема 1. Пусть начальное состояние таково, что

Х(0)г К(х(0),у(0),9(0),£,Т(£,9(0))).

Тогда убегающий может построить свое управление таким образом, что

||х(г)||>£ при всех г > 0. (16)

Пусть в (15) стоит включение. Тогда, как следует из вида множества (14), существует число 0<Т0 <Т(£,9(0)) , такое, что при г = Т0 выполнено включение

х(0)е К(х(0),у(0),9(0),£,г), (17)

а при любом 0 < г < Т0 включение (11) не выполнено.

Теорема 2. Преследователь может построить свое управление таким образом, что при некотором 0 < г < Т0 будет осуществлена поимка (2) при любом поведении убегающего.

Теорема 3. Для любого числа 0 < Т < Т0 убегающий может построить свое управление таким

образом, что неравенство (16) будет выполнено при всех 0 < г < Т и при любом поведении пре-

следователя.

5. Решение задачи преследования

Рассмотрим начальное состояние x(0),y(0),р(0)> 0, у которого ||x(0)|| > £ и в (15) стоит включение. Тогда минимальный корень p = t включения (17) является минимальным неотрицательным корнем уравнения

||/l (P)Х(0) + f2 (Р)У(0)|| = c/2 (P)р(0) + g(P,£). (18)

Обозначим

z = fi (p - t)x+/2 (p - t)y. (19)

Из формулы (4) следует, что

z (т + 0) = z (т) + и (т, Х (), y (т)(р(т + 0)-ç(r))/2 (p-t)). (20)

Дифференцируя равенство (19) и используя уравнение (1) и формулы (9), получим, что

Z = /2 (p -1)р(t)u + /, (p -1)v, t( 1 ) < t < t^+J), j = 0,к . (21)

Далее, x (p ) = z (p ).

Преследователь берет

z

и (t, x, y) = cw; w = ^-¡| при z Ф 0 и любой w = 1 при z = 0 . (22)

Z

Пусть 0 < p < t (о). Равенство (18) принимает вид

||z (°)|| = c/2 (p )^(0 ) + f- b J /2 (r )dr . (23)

0

Преследователь берет ç(t) = 0 при 0 < t < p . Тогда из формулы (20) получим, что

z(0+) = z (0)- и (0, x (0), y (0)/(0)/2 ( p ).

Подставляя сюда функцию (22), будем иметь ||z(0+)|| =||z(0) - cç(0)/2 (p) . Отсюда и из (23) получим, что

p

||z (0+)|| = £- h j /2 (r )dr .

0

При выбранном управлении убегающего реализуется движение x (t ) и y (t ). Подставим его в формулу (19). Получим функцию z (t ). Из (21) следует, что ||z(t)|| < h /2 (p -1 ). Поэтому

||x(p)|| = ||z(p)||<||z(0 +) + hif2 (Г )dr = £ .

0

Пусть t(f)< p < T(f,^(0)). Тогда равенство (18) принимает вид

||z (0 ) = c/2 (p )^(0 )-( - t (£))//2 (p ). (24)

Преследователь выбирает функцию

llz (0 ) h

ç(t ) = ^(0 )-У ( ') —t при 0 < t < p -1 (f) (25)

c/ 2(p ) c

и ç(t) = 0 при p -1 (£) < t < p . Тогда из (24) получим, что

<р(0+)=(p -10)) >0, <p{p -1 (f))=0 .

Используя формулы (20), (22), (25) получим, что || z(0 +)|| = 0. Покажем, что

||z {p -1 (°))| = 0.

Ухоботов В.И., Об одной задаче импульсного преследования

Троицкий A.A.

Допустим, что || z( — t(е))> 0. Тогда, учитывая, что || z(0 +)|| = 0, найдем число 0 < t0 < p — t(е) такое, что ||z(t)|| > 0 при to < t < p — t(е) и || z(t0 )|| = 0. Функция z(t) является абсолютно непрерывной на отрезке [t0,p — t(е) . Поскольку || z(t)|| > 0 при t0 < t < p — t(е), то можно показать, используя формулы (21), (22) и (25), что

z(t) = bf2 (p — t^iTT-i + f2 (p —t)V,||v\\ (26)

P (t)ll

для почти всех te (t0,p — t(е) . Так как функция ||z|| удовлетворяет условию Липшица, то норма

|| z(t)|| является абсолютно непрерывной функцией. Поэтому ее производная существует почти всюду и [10, стр. 118]

d|| z(t)|| || z(t) + hz(t)|| —1| z(t)||

ii ii = jim ii ii ii ii

dt h^o+ h

| z(t dt

^|| г (г )||

Отсюда и из формулы (26) следует, что —--------------------- < 0. Из этого неравенства получим, что

|| г ( - г (£))||<|| г (г)|| при любом г е (, р - г (£)). Устремляя г ^ г0, будем иметь требуемое равенство ||г (Р - г (£))|< 0.

При р - г £)< г < р из формул (21) и (25) получим, что г (г ) = /2 (р - г )у, ||^| < Ь . Поэтому, учитывая определение числа г£), будем иметь ||г(г)|| < £ .

6. Задача убегания

Для построения управления убегающего потребуется некоторые свойства множества (14). Лемма 1. Множество (14) является выпуклым компактом.

Доказательство. Замкнутость и ограниченность множества (14) следует из непрерывности функций /2 (г), / (г) и g (г,£) попеременной г. Для доказательства его выпуклости перейдем к новой переменной

f (t)

T = t > 0.

f (t)

Поскольку

f2(0)= o lim f2(t)- 2 " d ' f2(t) e

a2t

f(0) ,?^+~ f(t) 4-4 dt^f(t)) f2(t)

2

то при 0 <T<-------- определена обратная функция t — щ(т), у которой

4 -42

dV(T) — ,2

> 0,

dt

С помощью переменной т множество (14) представимо в виде

Л

— f (t)e a2t при t — y(t) (27)

U l( arX-•y)T + G(t)5 • (28)

0<r<r(í)\V 2 J )

Здесь обозначено

G(T)=l(Tr+c^(0)T. (29)

Покажем, что функция G(т) является вогнутой. Отсюда будет следовать выпуклость множества (28).

¿Я (,£)

Из формулы (11) получим, что производная ---------- является непрерывной при 0 < t. По

&

теореме о производной сложной функции производная функции (29) является непрерывной при 2

0 < т < —--— . Дифференцируя формулу (29) и учитывая равенство (27), получим, что

Здесь обозначено

= в Мг)) +)■

в (* )_

(*,є)

/ (*)-5 (*,є)

Ж/ (*)

з-а2 *

(30)

(31)

Нужно показать, что производна (30) не возрастает. Для этого достаточно проверить, что

*)

Ж

< 0 при * > 0 ■

Функция (12) удовлетворяет уравнению

Ж 2/(*)_ Ж/ (*)

_ а2~— + а1/ (* ) ■

Поэтому

ад _ Г Ж 2 5 (* ,є) - а ^ (* ,є) - а£ ( ) ( ) а2І л ~ ж*2 а2 ж* а15(*,є) у (*)е ■

(32)

(33)

Жв (*)

Пусть 0 < t < t£). Тогда, как следует из формул (11) и (33), неравенство ----------< 0 принимает

Ж

вид

- а2/2 (*) - а1 {Л (Г)Жг

+ а1є > 0 .

(34)

Функция /2 (7) удовлетворяет уравнению (32). Поэтому левая часть неравенства (34) является постоянной величиной. При t = 0 она равна Ь + а1£ . Согласно предположению 2 неравенство (34) выполнено.

При t(£)< t формула (33) принимает вид

¿О (t) ( й/2 (у) ,Л 7/ ч

¿к = [ ^ ¿Т + а2/2 ^)] Ь/^ ) = -2Ь/2 (t )< 0.

Лемма 2. Пусть выполнено условие (15). Тогда существует вектор ||^|| = 1 такой, что

(Л (5 )Х (0 ) + /2 (5 ) У (0)^)> с/2 (5 М0 ) + Я (5,£) (35)

при всех 5 > 0 .

Здесь посредством ( , ) обозначено скалярное произведение в Мп.

Доказательство. Из (14) следует, что вектор х(0) не принадлежит множеству (28), в котором объединение берется по всем 0<т<т(т(,^(0))) = т0 . Из формул (11), (13) и (29) следует, что О(т0 ) = 0. Из формул (9), (10) и (12) получим, что при У(£) < У функция (31) равна

О (У) = Ь /2 (У) / (У )в~а2(-(У-У (£))Ь .

Отсюда и из формулы (30) следует, что йО (Т))

- _-/ (Т)/(Т)е<0, Т _Т(є,р(0)).

Применяя лемму из работы [7], найдем требуемый вектор / .

Геометрический смысл неравенства (35) заключается в том, что гиперплоскость, перпендикулярная вектору /, отделяет точку х (0) от выпуклого множества К , которое задается формулой (14) при х _ х(0),у _ у(0), * _Т(є,р(0)) (см. рисунок).

Лемма 3. При любых є1 >є2 > 0 и * > 0 выполнено неравенство

5 (*,єі )> 5 (*,є2 ) + єі є2 ■ (36)

Лемма 4. При любых є > 0 , (р(0) > 0, 0 < 5 < Т(,р(0)), т > 0 выполнено неравенство

5

(5 + о\є)-5(,є) + Ь ] /, (т))т>-( + а-*(є))( (5 + а)-/2 (5))■ (37)

Доказательство неравенств (36) и (37) следует из формулы (11). При доказательстве неравенства (37) используется монотонность функции /2 (у).

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим начальное состояние, для которого выполнено (15). Тогда существует число П > 0, такое, что выполнено (15) с заменой £ на (1 + п)£ .

Зафиксируем число Т > Т((1 + п)£,^(0)). Разобьем отрезок [0,Т] на конечное число равных частей точками ^ = ¡о . Число о возьмем из условия

0 <о< * (є), в(а)_пєє

тах (((5 + а)- /г (5))> 0. Обозначим

єі _(і + пе~,а')є.

(38)

(39)

Допустим, что убегающий смог обеспечить в момент времени ^ условие

х)е к(х)У),р(У,),£,,Т((ф,)).(40)

Отметим, что при , = 0 это условие выполнено. Согласно лемме 2 существует единичный вектор такой, что

Л (5)х(У,) + /2 (5)У (У, ),¥,) > с/2 (5)ф, ) + Я(5,£, ) (41)

множества К, отделяемого гиперплоскостью, перпендикулярной вектору /

для всех 5 > 0 .

Убегающий берет при У, < У < У,+1 управление V(у) = ^,. При выбранном управлении первого игрока реализуется движение х(у), у (у ). Подставим эти функции в формулу (19) с произвольным фиксирован-

ным числом р > ґі. Тогда из уравнений движения (20) и (21) следует, что

(Л (р - *)Х() + /2 (р - *)у (*)/■) >

р-Ч

>

(Л1 (р - )Х ( ) + Л2 (р - )у ( )/) - (і ) - Р(* ))с/2 (р - ) + Ь | Л2 (Т)ЖТ

Отсюда из неравенства (41) при 5 _ р - їі получим, что

{Л (р - * )х ( ) + Л2 (р - *)у (О/) > с/2 ( - М* ) + 5 ( - ,єі ) + Ь | Л2 Т)Т (42)

р-*

р-Ч

р-*

Положим в этом неравенстве р = У. Получим, что х(у) = ^х(у),^г) > £ > £ при У, < У < +1 . Покажем, что при любом

0 < 5 < у(£+1) + С^(уг+1) (43)

х

выполнено неравенство А (5) > 0 . Здесь обозначено

А (5 ) = ( /1 (5 )х (¡+1 ) + /2 (5 ) У (¡+1 )&,) - с/2 (5 )р(+1 )-Я (5,£,+1 ).

Тогда условие (40) будет выполнено и при , +1. Возьмем любое число 5 , удовлетворяющее условиям (43), и положим в неравенстве (42) р = 5 + У,+1, У = У,+1. Получим

5+0

А (5 )> с ( (5 + 0)- /2 (5 )))+! ) + Я ( + 0,£, )- Я (5,£,+1 )+ Ь | /2 (Т)&Т.

t+1 ■

Отсюда, используя неравенства (36), (37), будем иметь

А (s )>((+1)-bs + bt (e+1))( (s + a)-/2 (s))( (s + a)-f2 ()) + £, -Отсюда, используя монотонность функции f2 (t), неравенства (43) и формулу (39), получим, что

( 1 - р~а \

А(s)>а e~Т —----/(s + а) + f2(s) >cß(a).

V )

Из второго условия в (38) получим требуемое неравенство А (s) > 0 .

По описанному выше алгоритму убегающий строит свое управление на отрезке [Т,2Т] и т.д.

Доказательство теоремы 3. Пусть начальное состояние и число 0 < Т < Т(,^(0)) таковы, что включение (17) при t = Т не выполнено. Тогда существует число п > 0 и единичный вектор у такие, что при всех 0 < s <Т выполнено неравенство (35) с заменой в нем e на (1 + п)е . Разобьем отрезок [0,Т] точками tt = ta . Число а выбирается из условий (38). Допустим, что в момент времени tt выполнено неравенство (41) на некотором единичном векторе y/t при всех 0 < s < Т -1,.

Убегающий берет управление v(t) = /, при t, <t <t,+1. Тогда при всех tt < t < tt+1 и при любом p > tt выполнено неравенство (42). Как и ранее из него, получим, что ||х(t)>et >е при tt < t < tt+1. Далее, при любом 0 < s < Т - tt+1 будет выполнено неравенство А (s )> 0. Поэтому, если Т - tt+1 < Т iyei+1,@(tj+1)), то неравенство (41) выполнено при t +1. Если Т (+1,^(tt+1 ))< Т - tt+j , то реализовавшееся в момент времени tt+1 состояние удовлетворяет условию (40).

Литература

1. Красовский, H.H. Теория управления движением / H.H. Красовский - М.: Наука, 1970. -420 с.

2. Красовский, H.H. Об игровой встрече движений с ограничениями на импульсы /

H.H. Красовский // Прикл. матем. и мех. - 1968. - Т. 32. - Вып. 2. - С. 177-184.

3. Пожарицкий, Г.К. Импульсное преследование в случае однотипных объектов второго порядка / Г.К Пожарицкий // Прикл. матем. и мех. - 1966. - Т. 30. - Вып. 5 - С. 897-907.

4. Субботина, H.H. Альтернатива для дифференциальной игры сближения-уклонения при ограничениях на импульсы управлений игроков / H.H. Субботина, А.Н. Субботин // Прикл. матем. и мех. - 1975. - Т. 39. - Вып. 3. - С. 397-406.

5. Петров, H.H. Задача группового преследования в классе импульсных стратегий преследователей / H.H. Петров // Известия РАН, Теория и системы управления. - 2009. - № 2. -С. 38-44.

6. Ухоботов, В.И. Метод одномерного проектирования в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями: учебное пособие / В.И. Ухоботов. - Челябинск: Челябинский государственный университет. - 2005. - 124 с.

7. Ухоботов, В.И. Модификация игры изотропные ракеты. Многокритериальные системы при неопределенности и их приложениях / В.И. Ухоботов // Межвузовский сборник научных трудов: Челябинский государственный университет. - Челябинск: изд-во Башкирского университета, 1988.- С. 123-130.

8. Ухоботов, В.И. Одна задача импульсного преследования при ограниченной скорости убегающего / В.И. Ухоботов, О.В. Зайцева // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2010. - Вып. 11. - № 2 (178). - С. 29-32.

9. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. -М.: Наука, 1965. - 520 с.

10. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. - М. Наука, 1985. - 224 с.

ONE PROBLEM OF PULSE PERSUIT

V.I. Ukhobotov1, A.A. Troitsky*

Optimum time is found in second order linear differential game with pulse control. Optimum control has been developed for players.

Keywords: differential game, pulse control, pursuit time.

References

1. Krasovskii N.N. Teoriia upravleniia dvizheniem (The Theory of Motion Control). Moscow: Nau-ka, 1970. 420 p. (in Russ.).

2. Krasovskii N.N. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1968. Vol. 32. Issue 2. pp. 177-184. (in Russ).

3. Pozharitskiy G.K. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1966. Vol. 30. Issue 5. pp. 897-907. (in Russ).

4. Subbotina N.N., Subbotin A.N. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1975. Vol. 39. Issue 3. pp. 397-406. (in Russ.).

5. Petrov, N.N. Izvestiya RAN, Teoriya i sistemy upravleniya. 2009. no. 2. pp. 38-44. (in Russ.).

6. Ukhobotov V.I. Metod odnomernogo proektirovaniya v lineynykh differentsial'nykh igrakh s in-tegral'nymi ogranicheniyami: uchebnoe posobie (Method of one-dimensional design in linear differential games with integral constraints: study guide). Chelyabinsk: Chelyabinskiy gosudarstvennyy univer-sitet. 2005. 124 p. (in Russ.).

7. Ukhobotov V.I. Modifikatsiya igry izotropnye rakety. Mnogokriterial'nye sistemy pri neoprede-lyennosti i ikh prilozheniyakh (Modification of the isotropic rockets game. Multi-criterion systems in indeterminedness and its applications) // Mezhvuzovskiy sbornik nauchnykh trudov: Chelyabinskiy go-sudarstvennyy universitet (Interuniversity collection of scientific papers: Chelyabinsk State University).

- Chelyabinsk: izd-vo Bashkirskogo universiteta, 1988. pp. 123-130. (in Russ.).

8. Ukhobotov V.I., Zaytseva O.V. Odna zadacha impul'snogo presledovaniya pri ogranichennoy skorosti ubegayushchego (About one Problem of Impulse Pursuit at the Limited Velocity of the Escaping) Vestnik YuUrGU. Seriya «Komp'yuternye tekhnologii, upravlenie, radioelektronika». 2010. Issue

11. no. 2(178). pp. 29-32. (in Russ.).

9. Ljusternik L.A., Sobolev V.I. Jelementy funkcional'nogo analiza (Elements of functional analysis). Moscow, Nauka, 1965. 520 p. (in Russ.).

10. Filippov A.F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoy pravoy chast'yu (Differential equations with diffuse right member). Moscow: Nauka, 1985. 224 p. (in Russ.).

Поступила в редакцию 9 апреля 2013 г.

1 Ukhobotov Viktor Ivanovich is Dr.Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Theory of Control and Optimization Department, Chelyabinsk State University.

E-mail: ukh@csu.ru

2 Troitsky Anton Aleksandorvich is Post-graduate Student, Theory of Control and Optimization Department, Chelyabinsk State University. E-mail: antonio.troitsky@gmail.com