CC BY
11Леонид Павлович Шильников
К 75-летию со дня рождения
' •
1
щ шщш
ВР| щ у
Л. П. Шильников. Люксембург. Осень 2007 г.
17 декабря 2009 года исполнилось 75 лет замечательному ученому, выдающемуся специалисту по качественной теории и теории бифуркаций многомерных динамических систем, профессору Л. П. Шильникову. Его работы оказали решающее влияние на развитие как этой области математики, так и нелинейной динамики вообще. Результаты, полученные Л. П. Шильниковым, уже стали классическими и включены в большинство учебников и монографий, которые студенты во всем мире, специализирующиеся по дифференциальным уравнениям и нелинейной динамике, используют для изучения качественной теории динамических систем и хаоса. Более того, математические результаты Л. П. Шильникова оказывают столь решительное влияние на современную теорию динамического хаоса, что все больше и больше специалистов точного естествознания (физики, химики, биологи и др.) начинают применять соответствующие результаты и методы в своих конкретных исследованиях: это позволяет им не только лучше понять суть проблемы, но и дать адекватное математическое толкование результатов экспериментов. Все это является также результатом того международного авторитета, который Л. П. Шильников завоевал своими основополагающими работами по теории бифуркаций многомерных динамических систем, теории систем со сложным хаотическим поведением траекторий и теории странных аттракторов. Здесь им получены, за более чем 50-летний период научной работы, многочисленные фундаментальные результаты. Мы попытаемся перечислить некоторые из них, не претендуя. ни в коей мере, на полноту.
Начнем с его работ по теории глобальных бифуркаций многомерных динамических систем, которые заложили основы этой теории. Основные бифуркации систем на плоскости
Обладатель премии М. А. Лаврентьева Л. П. Шильников и А. Н. Шарковский — классики многомерной и одномерной динамики. Киев, Украина, 2005 г.
Л. П. Шильников рассказывает о методе усреднения Боголюбова-Митропольского на заседании Нижегородского математического общества в июне 2007 г. Он был первым президентом этого общества.
были открыты и исследованы А. А. Андроновым, Е. А. Леонтович еще в 30-е годы двадцатого столетия. Среди них было два важных типа нелокальных бифуркаций, связанных с переходом через систему с петлей сепаратрисы либо седлового, либо седло-узлового состояния равновесия. В конце 50-х и начале 60-х годов Л. П. Шильников изучил многомерные аналоги этих нелокальных бифуркаций и нашел условия (называемые теперь условия Шильникова), при которых из петли рождается ровно одна периодическая траектория определенного типа устойчивости (зависящего от характера собственных значений состояний равновесия). Эти исследования были еще в русле традиционных направлений, развивавшихся в горьковской школе А. А. Андронова.
Однако вскоре после этого Шильниковым было обнаружено совершенно неожиданное и принципиально новое явление, полностью изменившее взгляды на динамику многомерных систем (размерности три и выше) и связанное с тем, что бифуркация гомоклинической петли состояния равновесия типа седло-фокус может проходить в классе систем со счетным множеством периодических траекторий. Здесь, как показал Л. П. Шильников, в любой окрестности гомоклинической петли уже имеется счетное число «подков Смейла» для соответствующего отображения Пуанкаре, что свидетельствует о хаотичности системы. Заметим, что это открытие дало пример «живых» систем с хаотическим поведением, и оно фактически ознаменовало начало становления теории «спирального хаоса», теории странных аттракторов, содержащих (шильниковские) седло-фокусы. В настоящее время уже никто не оспаривает существования этого явления в многомерных системах, вне зависимости от их происхождения, будь то математика, физика или биология. А вот в 1965 году никто даже не подозревал, что простая бифуркация способна привести к хаосу. Для самого Шильникова это открытие стало отправной точкой в поиске других примеров этого явления.
На конференции «Bifurcations and Chaos-2005» в честь 70-летия Л. П. Шильникова.
В. С. Гонченко, А. Ю. Жиров, С. В. Гонченко, Л. П. Шильников, Е. А. Сатаев, Р. В. Плыкин.
Нижний Новгород, 2005 г.
Что же касается многомерного обобщения бифуркации петли сепаратрисы состояния равновесия типа седло-узел, то здесь тоже не обошлось без неожиданностей. Оказалось, что если у негрубого состояния равновесия типа седло-седло (в трехмерном случае оно имеет нулевой, положительный и отрицательный характеристические корни) существует несколько трансверсальных гомоклинических петель (это всегда условие коразмерности один, независимо от числа петель), то при исчезновении состояния равновесия на месте гомоклинического букета возникнет сложное хаотическое инвариантное множество. По сути, это был первый пример бифуркации «гомоклинического омега-взрыва», происходящей на границе систем Морса-Смейла, в результате которой хаотическая динамика возникает сразу — взрывом.
К тем же 60-м годам относятся и знаменитые работы Л. П. Шильникова, в которых им была окончательно решена так называемая задача Пуанкаре-Биркгофа о структуре множества траекторий, целиком лежащих в окрестности грубой (трансверсальной) гомо-клинической орбиты Пуанкаре. При этом Шильников показывает, что данное множество является гиперболическим (локально максимальным) инвариантным множеством, сопряженным с некоторой нетривиальной подсистемой топологической схемы Бернулли из двух символов. А это означает, что существование у динамической системы грубой гомоклини-ческой орбиты Пуанкаре можно рассматривать как универсальный критерий хаотического поведения. Заметим, что стандартная ссылка на этот результат в западных работах — это статья С. Смейла, опубликованная несколько ранее. Однако следует отметить, что Шиль-ников дает полное описание указанного множества траекторий, тогда как Смейл описывает только некоторое его инвариантное подмножество, и при этом использует линеаризацию —
А. Д. Морозов, М. И. Малкин, Л. П. Шильников и Л. М. Лерман. Нижний Новгород, 2006 г.
дополнительное предположение, не относящееся к сути дела, и которого может не быть (например, при наличии резонансов), хотя результат остается верным. Для преодоления трудностей работы с нелинейной системой в окрестности периодической траектории Шильников придумывает новую технику «краевой задачи», которая потом была развита и использована им и его учениками во многих других задачах. В частности, таким путем были изучены структура множества траекторий вблизи гомоклинической трубы инвариантного тора, вблизи гомоклинической траектории в бесконечномерной системе, а также вблизи аналога гомоклинической структуры в неавтономных системах (последние два результата — совместно с Л. М. Лерманом).
Начиная с 70-х годов, основные научные интересы Л. П. Шильникова концентрируются вокруг задач, связанных с исследованием сложной хаотической динамики многомерных систем. В этом цикле задач одними из наиболее важных являются те, решение которых позволяет ответить на естественный вопрос: какие бифуркации приводят от грубых систем с простой структурой (так называемых систем Морса-Смейла) к системам со сложным поведением? Это является частью проблемы о сценариях перехода к хаосу. Здесь было получено много интересных результатов, упомянем только два из них.
Первый — это переход к хаосу через гомоклиническое касание. Основные свойства соответствующих глобальных бифуркаций были изучены первоначально в ставшей теперь классической совместной работе с Н. К. Гавриловым начала 70-х годов. Затем, уже в 80-х, исследования по этой тематике были продолжены с новыми соавторами — С.В.Гонченко и Д. В. Тураевым.При этом были получены весьма значительные, совершенно неожиданные и интересные результаты, которые в совокупности с теорией Ньюхауса о всюду плотной негрубости составляют в настоящее время фундамент теории «гомоклинического хаоса».1 Заметим, что работы по этой тематике активно продолжаются и в настоящее время.
Другая бифуркация, изученная совместно с В. С. Афраймовичем (начиная с 1974 г.), — исчезновение седло-узловой периодической траектории в многомерной системе в случае,
"'"Интересующийся читатель может обратиться к сборнику статей «Гомоклинические касания», опубликованному в 2007 г. в издательстве «РХД».
Как расплести гомоклиническое переплетение?
Л. П. Шильников, Д. В. Тураев и С. В. Гонченко. Берлин, 2004 г.
На «другом заседании»: основные «докладчики» В. С. Афраймович, Я.Уманский,
Л. П. Шильников, Г. М. Заславский, Л. А. Бунимович (хозяин). Председатель в окружении жены Л. И. Шильниковой и внучки Лукии. Атланта, США, 2007 г.
когда неустойчивое многообразие периодической траектории возвращается в устойчивую область периодической траектории. На первый взгляд кажется, что после исчезновения периодической траектории всегда должен появляться двумерный гладкий устойчивый инвариантный тор. Однако здесь было открыто новое динамическое явление, когда при критическом значении параметра существует «негладкий тор», который разрушается при исчезновении седло-узловой периодической траектории, порождая в своей окрестности хаотическое множество. Фактически, здесь был обнаружен и исследован новый типичный механизм перехода к хаосу через разрушение двумерных торов. До этого был известен только сценарий Рюэля-Такенса перехода к хаосу при возмущении квазипериодического движения. Сразу же оказалось, что новый сценарий является типичным для большого класса систем из приложений, и для него было придумано специальное наименование «тор-хаос».
Другая бифуркация такого же типа, связанная с исчезновение седло-узловой периодической траектории, уже имеющей гомоклиническую орбиту, была изучена совместно с В. И. Лукьяновым (1978). Этот результат дал, в частности, теоретическое объяснение
Разговор о регулярной и хаотической динамике. С И. С. Мамаевым и А. В. Борисовым.
Суздаль, 2006 г.
известного явления «перехода к хаосу через перемежаемость», которое обнаруживается во многих прикладных задачах. Позже (1995) в совместной работе с Д. В.Тураевым было получено обобщение этих конструкций, которое дало новые примеры бифуркаций, объединенные термином «катастрофа голубого неба». Было показано, в частности, что такие бифуркации могут приводить к образованию странных гиперболических аттракторов. Кроме того, была указана новая бифуркация такого типа, которая отвечает потере устойчивости периодической траектории. Таким образом, была открыта новая (седьмая, через продолжительное время после известных классических шести) основная граница области устойчивости состояний равновесия и периодических орбит.
Одной из основных традиций горьковской школы нелинейных колебаний Андронова является постоянный интерес к прикладным задачам. Поэтому для Л. П. Шильникова был и остается вполне естественным подход к решению различных теоретических задач при таком разумном минимуме исходных предположений, который позволяет применять развитые методы для исследования прикладных проблем. Одной из таких задач, ставшей очень популярной в середине 70-х годов, оказалась задача исследования хаотического поведения траекторий в системе Лоренца (которая моделирует конвективные движения в плоском слое жидкости, подогреваемом снизу). Изучение соответствующей системы дифференциальных уравнений, как полагал Л. П. Шильников, должно было стать важным шагом в более глубоком понимании природы динамического хаоса. Поэтому для решения данной задачи Шиль-никовым была создана группа из его сотрудников.
После проведения компьютерных экспериментов бифуркационный сценарий образования аттрактора стал ясным (здесь-то и сработал весь предыдущий опыт изучения бифуркаций в дифференциальных уравнениях, он помог понять, что нужно считать). При этом возникла естественная проблема создания адекватной математической модели, имеющей обнаруженные свойства. Это было сделано в двух знаменитых работах 1977 и 1982 годов, написанных совместно с В. С. Афраймовичем и В. В. Быковым. В них описана структура аттрактора Лоренца, показано, что это настоящий странный аттрактор (без устойчивых периодических траекторий), который, однако, структурно неустойчив, что существенно отличает его от хорошо изученных к тому времени гиперболических аттракторов. Заметим,
Леонид Шильников — студент физ.-мат. факультета Горьковского государственного университета. Лучшие мысли приходят на реке при хорошем табаке.
За любимым занятием: «починка рыболовной снасти». Главным увлечением ЛП после науки всегда была и по-прежнему остается рыбалка. На озере Ланьер в Атланте, 2007 г. Людмила Ивановна и ЛП во Флориде, на берегу Мексиканского залива, весна 2007 г.
Во время работы над книгой: с сыном Андреем в Беркли, США, 1993 г.
что практически в то же самое время появились многочисленные работы других исследователей, посвященные аттрактору Лоренца (Р. Вильямса, Дж. Гукенхеймера, Дж. Каплана, Дж. Йорка и др.), т. е. эта тема была на самом переднем фронте исследований в этой области. При этом теория Афраймовича-Быкова-Шильникова оказалась наиболее полной, и она позволила даже предсказать некоторые специфические особенности аттракторов ло-ренцевского типа (существование лакун и т. п.).
С тех пор появилось большое число работ, в которых развивались исследования в направлениях, начатых как самим Л. П. Шильниковым, так и совместно с его учениками и сотрудниками. Многие важные результаты появились совсем недавно. Так, совместно с Д. В.Тураевым была разработана «теория псевдо-гиперболических странных аттракторов», которую можно рассматривать как далеко идущее обобщение теории аттракторов Лоренца. Такие аттракторы были обнаружены уже в ряде конкретных систем и, более того, с определенной долей уверенности можно думать, что вместе с гиперболическими аттракторами и аттракторами Лоренца они составляют тот самый класс «настоящих странных аттракторов».
В течение многих лет Л. П. Шильников был заведующим лабораторией в отделе дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики (НИИ ПМК), руководимом Е. А. Леонтович-Андроновой. С 1984 г. он становится заведующим этим отделом. Леонид Павлович всегда был заинтересованным и внимательным руководителем для своих учеников (Н. К. Гаврилов, В. С. Афраймович, А. Д. Морозов, Л. М. Лерман, Л. А. Беляков, В. В. Быков, В. И. Лукьянов, С. В. Гонченко, М. И. Малкин, Д. В.Тураев,
А. Н. Баутин, А. Л. Шильников, М.В.Шашков, И. В. Белых, О.В. Стенькин, В. С. Гонченко, И. И. Овсянников, В. С. Бирагов), многие из которых стали активными, самостоятельно работающими математиками, и чутким по отношению к коллегам и сотрудникам (С. Х. Арансон, Я. Л. Уманский, В.З.Гринес, Г. М. Полотовский и др.). При этом всем им была хорошо известна его принципиальная научная позиция, которая приводила к тому, что плохие или недоделанные работы просто не могли «выйти из отдела». С другой стороны, многие интересные, но «сырые» результаты активно обсуждались на знаменитых (для нижегородских математиков) семинарах под руководством Шильникова. В результате соот-
ветствующего «бурного обсуждения» часто появлялось новое, порою весьма неожиданное, понимание предмета, о котором автор доклада и не догадывался.
Л. П. Шильников является автором почти двух сотен статей и нескольких монографий, включая книги «Теория бифуркаций» (в соавторстве с В. И. Арнольдом, В. С. Афраймови-чем, Ю. С. Ильяшенко) на русском (1986) и английском (1994) языках и «Методы качественной теории в нелинейной динамике», части I и II (в соавторстве с А. Л. Шильниковым, Д. В.Тураевым и Л. Чуа) (1998, 2001), недавно выполнены переводы этой книги на русский (издательство «РХД», 2003, 2009) и китайский (2010) языки.
Для нас, учеников и сотрудников Леонида Павловича Шильникова — бывших и настоящих, совершенно очевидно, что он является одним из наиболее видных специалистов в этой области с широким кругозором и тонким пониманием деталей. Хочется отметить одну особенность стиля Шильникова — «неаксиоматический» подход к динамическим системам: условия его теорем всегда легко проверяемы, а заключения дают существенное новое знание о сложной динамике системы. Это служит одной из основных причин, почему многие специалисты из различных областей науки (математики, физики, химики, биологи, инженеры) имели и продолжают поддерживать тесные контакты с Л. П. Шильниковым. Многие ученые признают большое влияние на их собственное профессиональное развитие идей, да и самой личности, Шильникова. В 2001г., по представлению видных немецких деятелей науки, ему была присуждена стипендия немецкого фонда А. Гумбольдта. Признанием научных заслуг Л. П. Шильникова стало присуждение ему премии А. М. Ляпунова Российской академии наук (1998) и премии М .А. Лаврентьева Национальной академии наук Украины (2005). Л. П. Шильников — член редакций нескольких международных журналов. Его постоянно приглашают на различные конференции, проводимые в России и за рубежом; его лекции слушали в ведущих университетах и исследовательских центрах Англии, США, Бельгии, Франции, Израиля, Германии, Италии, Китая.
Мы желаем ЛП, как мы его обычно называем между собой, крепкого здоровья, успехов в науке, хороших учеников и удачи!
В. С. Афраймович, профессор университета Сан Луис Потоси, Мексика,
Л.М.Лерман, профессор ННГУ, Россия
С. В. Гонченко, ведущий научный сотрудник
НИИ ПМК, Россия
Список научных и учебно-методических трудов Л. П. Шильникова
1. О симметричных периодических движениях многокаскадной системы. // «Автоматика и телемеханика», 1959, 11, 1459-1466. / Неймарк Ю. И.
2. О применении метода малого параметра к системам дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. // «Известия АН СССР ОТН», 1959, 6, 52-59. / Неймарк Ю. И.
3. Исследование динамических систем, близких к кусочно-линейным. // «Радиофизика», 1960, т. 3, 3, 478-495. / Неймарк Ю.И.
4. К исследованию устойчивости периодических движений квазилинейных систем // «Радиофизика», 1961, т. 4, 4, 776-779. / Неймарк Ю.И.
5. Некоторые случаи рождения периодических движений в п-мерном пространстве. // «ДАН СССР», 1962, т. 143, 2, 289-292.
6. О рождении периодических движений в п-мерном пространстве. // «Мат. сб.», 1963, 4, с.443-466.
7. Об одном случае существования счетного множества периодических движений. // «ДАН СССР», 1965, т. 169, 3, 558-561.
8. Об одном случае рождения периодических движений. // «ДАН СССР», 1965, т. 169, 6, 1261-1264. / Неймарк Ю. И.
9. Об одном случае рождения периодических движений. // «Радиофизика», 1965, т. 8, 2, 330-340. / Неймарк Ю. И.
10. О рождении периодических движений из траектории, идущей из состояния равновесия типа седло-седло в него же. // «ДАН СССР», 1966, т. 170, 1, 49-52.
11. О существовании счетного множества периодических движений в окрестности гомо-клинической кривой. // «ДАН СССР», 1967, т. 172, 1, 54-57.
12. О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса. // «ДАН СССР», 1967, т. 172, 2, 298-301.
13. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа. // «Мат. сб.», 1967, т. 74(116), 3, 378-397.
14. К вопросу о структуре окрестности гомоклинической трубы инвариантного тора. // «ДАН СССР», 1968, т. 180, 2, 286-289.
15. О рождении периодического движения из траектории двоякоасимптотической к состоянию равновесия типа седло. // Матем. сборник, т. 77 (119), 1968, №3, 461-472.
16. Об одном новом типе бифуркаций многомерных динамических систем. // «ДАН СССР», 1969, т. 182, 1, 53-56.
17. К работам Майера о центральных движениях. // «Матем. заметки», 1969, т. 5, 4, 335339.
18. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус. // «Мат. сб.», 1970, т. 81 (123), 1, 92-103.
19. Современное состояние теории бифуркаций динамических систем. // «Труды 5 Меж-дунар. конф. по нелин. колебаниям», Киев, 1970, т. 2, 282-291. / Леонтович Е.А.
20. О существовании устойчивости почти периодических труб. // «Труды 5 Междунар. конф. по нелин. колебаниям», Киев, 1970, т. 2, 292-297. / Лерман Л.М.
21. Об особых траекториях динамических систем. // «УМН», 1972. / Афраймович В. С.
22. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклиниче-ской кривой I. // «Мат. сб.», 1972, т. 88(130), 4, с. 475-492. / Гаврилов Н.К.
23. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклиниче-ской кривой II. // «Мат. сб.», 1973, т.90(132), 1, с. 139-156. / Гаврилов Н.К.
24. Об особых множествах систем Морса-Смейла. // «Труды ММО», 1973, т. 28, 181-214. / Афраймович В. С.
25. О классификации двумерных неавтономных систем второго порядка с конечным числом ячеек. // «ДАН СССР», 1973, т. 209, 3, 544-547. / Лерман Л.М.
26. О малых периодических возмущениях автономных систем. // «ДАН СССР», 1974, т. 214, 4, 739-742. / Афраймович В. С.
27. О достижимых переходах от систем Морса-Смейла к системам со многими периодическими движениями. // «Известия АН СССР, серия мат.», 1974, т. 38, 6, 1248-1288. / Афраймович В. С.
28. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел. // «ДАН СССР», 1974, т. 219, 6, 1281-1284. / Афраймович В. С.
29. К математической теории синхронизации колебаний. // «ДАН СССР», 1975, т. 223, 6, 1340-1343. / Морозов А. Д.
30. О синхронизации колебаний. // «МТТ», 1975, 5, 1340-1343. / Морозов А. Д.
31. Теория бифуркаций динамических систем с гомоклиническими кривыми Пуанкаре. // «Труды 7 Междунар. конф. по нелин. колебаниям», 1977, 16 с.
32. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца. // «ДАН СССР», 1977, т. 234, 2 / Афраймович В. С., Быков В. В.
33. Принцип кольца в задаче взаимодействия двух автоколебательных систем. // «ПММ», 1977, т. 41, 4, 618-627. / Афраймович В. С.
34. Некоторые вопросы теории бифуркаций динамических систем. // «Препринт НИР-ФИ», 1978, 58, 25 с.
35. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами. // «ДАН СССР», 1978, т. 243, 1, 26-29. / Лукьянов В. И.
36. О существовании устойчивых периодических движений в модели Лоренца. // «УМН», 1980, т. 35, в. 4(214). / Афраймович В. С., Быков В. В.
37. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости состояний равновесия и периодических движений («опасные» и «безопасные» границы). // Дополнение I к книге Дж. Марсдена и М. Мак-Кракена «Бифуркация рождения цикла и ее приложения». М., Мир, 1980. / Баутин Н. Н.
38. Теория бифуркаций и модель Лоренца. // Дополнение I к книге Дж. Марсдена и М. Мак-Кракена «Бифуркация рождения цикла и ее приложения». М., Мир, 1980, 19с.
39. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы. // «УМН», 1981, т. 36, в. 4.
40. О притягивающих негрубых множествах типа аттрактора Лоренца. // «Труды ММО»,
1982, т. 44, с. 150-212. / Афраймович В. С., Быков В. В.
41. О бифуркациях коразмерности один, приводящих к появлению счетного множества торов. // «ДАН СССР», 1982, т. 262, 4, 777-780. / Афраймович В. С.
42. О динамических системах с негрубой гомоклинической кривой. // «Успехи мат. наук»,
1983, т. 38, 5 / Гонченко С. В.
43. О неконсервативных периодических системах, близких к двумерным гамильтоновым. // «ПММ», 1983, т. 47, 5, 385-394. / Морозов А. Д.
44. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. // Межвуз. сб. «Методы КТДУ», Горький, 1983, 3-26. / Афраймович В. С.
45. Strange attractors and quasiattractors. // «Nonlinear Dynamics and Turbulence», eds G. I. Barenblatt, G.Iooss, D.D. Joseph (Boston, Pitmen), 1983. / Aframovich V. S.
46. Грубые состояния равновесия и периодические движения. // (Методическое пособие) Метод. пособие 1, изд-во ГГУ, Горький, 1983, 35 с. / Афраймович В. С., Лукьянов В. И.
47. Теория бифуркаций и странные аттракторы. // «Труды IX Междунар. конф. по нелиным колебаниям», Киев, 1984, т. 2 8 с.
48. О бифуркациях состояний равновесия гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. // «Межвуз. сб. Методы КТДУ», Горький, 1984, 60-72 / Гаврилов Н. К.
49. Теория бифуркаций и турбулентность. // (англ.) В кн. «Нелинейные и турбулентные процессы», 1984, изд. «Процесс», 8 c.
50. О сложных стационарных волнах вблизи стационарной волны. //В кн. «Самоорганизация, автоволны и структуры», 1985, из-во Шпрингер, 8c.
51. Гомоклинические кривые и сложные стационарные волны. // «Межвузовский сб., Методы КТДУ», Горький, 1985, 22-35. / Беляков Л. А.
52. Теория бифуркаций и турбулентность. //В кн. «Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике», т. II, 1985, «Наукова думка», 118-124.
53. Основные бифуркации динамических систем. // (Учебное пособие) Учебное пособие,
1985, Горький, изд-во ГГУ, 88с. / Афраймович В. С., Гаврилов Н.К., Лукьянов В. И.
54. Грубые состояния равновесия и периодические движения II. // (Методическое пособие), 1985, Горький, изд-во ГГУ, 27c. / Афраймович В. С., Лукьянов В. И.
55. О динамических системах с негрубыми гомоклиничесеими кривыми. // ДАН СССР, т. 286, №5, 1986, 1049-1052. / Гонченко С. В.
56. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса. // Матем. сб., т. 130, №4(8),
1986, 557-574. / Овсянников И. М.
57. О бифуркациях гомоклинической восьмерки седла с отрицательной седловой величиной. // ДАН СССР, т. 290, №6, 1986, 1301-1305. / Тураев Д. В.
58. Бифуркации квази-аттракторов тор-хаос. //В кн. «Матем. Механизмы турбулентности», Киев, 1986, 9 c. / Тураев Д. В.
59. Динамические системы-5. // [монография] Книга в серии «Современные проблемы матем. фундаментальных направлений», Москва, ВИНИТИ, 1986, 282 c. / Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С.
60. Теория бифуркаций и турбулентность — I. // «Межвузовский сб. Методы КТДУ», Горький, 1986, 150-163.
61. Об арифметических свойствах топологических инвариантов систем с негрубой гомоклинической кривой. // УМЖ, т. 39, №1, 1987, 21-28. / Гонченко С. В.
62. Гомоклинические структуры в бесконечномерных системах. // Сиб. мат. журнал, т. 29, №3, 1988, 92-103. / Лерман Л.М.
63. On Hamiltonian systems with homoclinic curves of a saddle. //In book: «Nonlinear and turbulent processes in physics». Naukova Dumka, 1988, 148-151. / Тураев Д. В.
64. О классификации самолокализованных состояний электромагнитного поля в нелинейной среде. // «Межвуз. сб. Методы КТДУ», 1988, 49-57. / Елеонский В. М, Кулагин Н. Е., Тураев Д. В.
65. О гамильтоновых системах с гомоклиническими кривыми седла. // ДАН СССР, т. 304,
4, 1989, 811-814. / Тураев Д. В.
66. О гамильтоновых системах с гомоклиническими кривыми седла. // УМН, т. 44, вып. 4, 1989, 1c./ Тураев Д. В.
67. О бифуркации петли седло-фокуса в трехмерной консервативной динамической системе. // сб. «Методы качеств. теории и теории бифуркаций», Горький, 1989, 25-34. / Бирагов В. С.
68. О бесконечномерных системах с гомоклинической траекторией седла. // сб. «Динамические системы и турбулентность», 1989, Киев, 83-86. / Лерман Л. М.
69. Стационарные импульсы в нелинейном двулучепреломляющем волокне. Процессы размножения солитонов. // «Письма в ЖТФ», т. 15, вып. 15, 1989, 19-23. / Ахме-диев И.Н., Елеонский В. М., Кулагин Н.Е.
70. О классификации самолокализованных состояний электромагнитного поля в нелинейной среде. // ДАН СССР, т. 309, 4, 848-851. / Елеонский В. М., Кулагин Н.Е., Тураев Д. В.
71. О классификации самолокализованных состояний электромагнитноного поля в нелинейной среде. // (англ.) «Труды IV Междунар. конф. по нелин. процессам и турбул.», Киев, 1989, 235-238. / Елеонский В. М., Кулагин Н.Е., Тураев Д. В.
72. О несимметричной модели Лоренца (англ.) // Там же, 1989, 428-431. / Шильни-ков А. Л.
73. Стационарные импульсы в нелинейном двулучепреломляющем оптическом волокне. Процессы размножения солитонов. // (англ.) Там же, 1989, 26-29. / Елеонский В. М., Ахмедиев И. Н., Кулагин Н. Е.
74. Инварианты Q-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией. // УМЖ, т. 42, вып. 2, 153-160. / Гонченко С. В.
75. Бифуркации векторных солитонов огибающих и интегрируемость гамильтоновых систем. // сб. «Методы качеств. теории и теории бифуркаций», Н. Новгород, 1990, 123—
137. / Елеонский В. М., Кулагин Н.Е., Королев В. Л.
76. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре. // ДАН СССР, 1991, т. 320,
2, 269-272. / Тураев Д. В., Гонченко С. В.
77. О системах с гомоклинической кривой многомерного седло-фокуса и спиральный хаос. // Матем. сб., 7, 1991, 1043-1073. / Овсянников И. М.
78. Бифуркации и хаос в несимметричной модели Лоренца. // сб. «Методы качеств. теории и теории бифуркаций», Н. Новгород, 1991, 85-96. / Шильников А. Л.
79. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре. // Там же, 1991, 36-60. / Тураев Д. В., Гонченко С. В.
80. Бифуркации ветвления векторных солитонов огибающих. // Письма в ЖТФ, т. 17, вып. 2, 1991, 786-793. / Елеонский В. М., Кулагин Н.Е., Королев Г. Л.
81. Ветвление векторных солитонов и интегрируемость гамильтоновых систем. // ЖЭТФ, т. 99, вып. 4, 1991, 1113-1120. / Елеонский В. М., Кулагин Н.Е., Королев Г. Л.
82. Multidimensional Hamiltonian Chaos. // Int. J. Chaos, v. 1, N.2, 1991, 134-136.
83. On a non-symmetric Lorenz model. // Int. J. Bifurcation and Chaos, v. 1, N.4, 1991, 773-776. / Shilnikov A. L.
84. О структуре окрестностей грубых состояний равновесия. (Методическое пособие). // Изд-во ГГУ, Горький, 1991, 35 с. / Афраймович В. С., Лукьянов В. И.
85. Stationary pulses in a nonlinear birefringent optical fiber processes of soliton reproduction. // Proc. of Eur. Quantum Electr.conf., NOT up 38, 1991, 142-143. / Ахмедиев Н. Н., Елеонский В. М., Кулагин Н. Е.
86. Теорема существования и единственности неявной функции в банаховых пространствах. (Методическая разработка). // ВМК, ННГУ, 1992, 51c. / Шашков В. М.
87. О качественном и численном анализе гомоклинических петель в гамильтоновых системах. // (англ.) in book: Optical Solitons, 1992, World Scientific, 8 c. / Елеонский В. М., Королев Г. Л., Кулагин Н. Е.
88. Ветвление пакетов векторных солитонов. // (англ.) Там же., 8c. / Елеонский В. М., Королев Г. Л., Кулагин Н. Е.
89. Модули эквивалентности с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре. // Дифф. уравн., т. 28, 12, 1992, 1c. / Гонченко С. В.
90. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре. // Изв. РАН, сер. матем., т. 56, 6, 1992, 1165-1197. / Гонченко С. В.
91. Homoclinic structures in nonautonomons systems: nonautonomons chaos. // Int. J. Chaos, v. 2, N. 3, 1992, 447-454. / Lerman L.M.
92. Bifurcations of the trajectories at the saddle level in a Hamiltonian system generated by two coupled Schrodinger equations. // Int. J. Chaos, v. 2, N. 4, 1992, 571-579. / Королев Г. Л., Елеонский В. М., Кулагин Н. Е.
93. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай). // Докл. РАН, т. 329, 1993, 404-407. / Тураев Д. В., Гонченко С. В.
94. Динамические явления в системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре. // Доклады РАН, т. 330, 2, 1993, 144-147. / Тураев Д. В., Гонченко С. В.
95. О существовании гладкого слоения в аттракторах Лоренца. // Дифф. уравн., 6, 1993, c. 1092 / Шашков М. В.
96. Mathematical problems of dynamical chaos. // «Dynamic of Systems», 1993, 163-170.
97. Homoclinic orbits and the Bifurcations in dynamical systems with 2 degrees of freedom: methods of qualitative and numerical analysis. // «Int. J. Bifurcation and Chaos», v. 3, N.2, 1993, 385-397. / Королев Г. Л., Елеонский В. М., Кулагин Н.Е.
98. Normal forms and Lorenz attractors. // «Int. J. Bifurcation and Chaos», v. 3, N. 5, 1993, 1123-1139. / Shilnikov A.L., Тураев D.V.
99. Contemporary problems of dynamical chaos. // Int. Workshor «Non-linear Dynamics of Electronics Systems», Dresden, 1993, 12 c.
100. On models with non - rough Poincare homoclinic curves. // «Physica D», v. 62, 1993, 1-14. / Gonchenko S.V., Turaev D.V.
101. Chua’s Circuit: Rigorous result and future problems. // «Int. Symp. on Nonlinear Theory and Applications», Hawaii, 1993, 4 c.
102. Strange attractors and dynamical models. // «J. of Circuits, Systems and Computers», v. 3, N. 1, 1993, 1-10.
103. О существовании гладкого слоения у отображений Лоренцевского типа. «Дифф. Уравнения», т. 30, N. 4, 1994, c. 586-595. / Шашков М. В.
104. Chua’s Circuit: Rigorous result and future problems. // «Int. J. Bifurcation and Chaos», v. 4, N. 3, 1994, 489-519.
105. Dynamical system in the theory of nonlinear waves with allovance for nonlocal integrations (the Whitham - Benjamin equation).// «Int. J. Chaos» v. 4, N.2, 1994, 377-384. / Елеон-ский В. Н., Кулагин Н. Е., Королев Г. В.
106. О катастрофах голубого неба. // УМН, т. 49, вып. 4 (298), 1994, 93. / Тураев Д. В.
107. On the Structure of nonwandering sets of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies. //in book: «Chaos and Nonlinear Mechanics» Proc. of Eurumech Colloquium 308, «Chaos and Noise in Dynamical Systems», 1994, World Scientific, 16-29. / Gonchenko S. V.
108. О катастрофах голубого неба. // Докл. РАН, т. 342, вып. 5, 1995, 596-599. / Тура-ев Д. В.
109. On geometrical properties of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies. // «Int. J. Bifurcation and Chaos>, v. 5, 1995, 819-829. / Gonchenko S.V.
110. Dangerous and Safe Stability Boundaries of Equlibria and periodic Orbits // «Proc. 3d Int. Workchop of Nonlinear Dynamics of Electronics System (NDES 1995)», Dublin, 55-65. / Shilnikov A. L.
111. О катастрофах голубого неба. // «Дифф. уравнения», N.12, 1995, 1c. / Тураев Д. В.
112. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits. // «Int. J. Chaos», 1996, v. 6, N. 1, 15-31. / Gonchenko S.V., Turaev D.V.
113. Bifurcation of two-dimensional diffeomorphisms with nonrouch homoclinic contours. // «Int. J. of Technical Physics» (Polish Academy of Science), 1997, v. 37, N.3-4, 349-352. / Gonchenko S. V., Turaev D. V.
114. Homoclinic Chaos. // «Int. J. of Technical Physics» (Polish Academy of Science), 1997, v.37, N.3-4, 119-143.
115. On Simple Bifurcations Leading to Hyperbolic Attractors. // Int. J. «Computers & Mathematics with Appl.», v. 34, N.2-4, 173-193, 1997. / Turaev D.V.
116. О бифуркациях периодических движений вблизи негрубой гомоклинической кривой. // «Дифф. Уравнения», 1997, т. 33, №.3, 377-384. / Стенькин О. В.
117. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics: A Tutoraial. // J. Franklin Inst., Elsevier Science Ltd, Pergamon., v. 334, N. 5/6, 793-864, 1997.
118. Homoclinic Chaos. // «Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems», Cambridge University Press, 39-63, 1997.
119. Bifurcations of systems with structurally unstable homoclinic orbits and moduli of Q-equivalence. // Int. J. «Computers & Mathematics with Applications», v. 34, N.2-4, 111-142, 1997. / Gonchenko S. V., Stenkin O. V., Turaev D. V.
120. Quasiattrctors and homoclinic tangencies. // Int. J. «Computers & Mathematics with Applications», v. 34, N.2-4, 195-227, 1997. / Gonchenko S.V., Turaev D.V.
121. Superhomoclinic orbits and multipulse homoclinic loops in Hamiltonian systems with discrete symmetries. // «Регулярная и хаотическая динамика», 1997, Т. 2, №3-4, 126-
138. / Turaev D. V.
122. О бифуркациях периодических движений в системах с гомоклинической петлей седло-фокуса. // «Дифф. Уравнения», 1997, т. 33, №4, 440-447. / Алексеева С. А.
123. О двумерных аналитических сохраняющих площадь диффеоморфизмах со счетным множеством устойчивых эллиптических периодических точек. // «Регулярная и хаотическая динамика», 1997, Т. 2, №3-4, 106-123. / Гонченко С. В.
124. Об областях Ньюхауса двумерных диффеомрфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром. // Труды МИ РАН им. Стеклова, т. 216, 76-125, 1997. / Гонченко С. В., Тураев Д. В.
125. Mathematical problems of nonlinear dynamics: a Tutorial. // Int. J. Bif. and Chaos, V. 9, No. 7, (1997), 1953-2001.
126. Об интервалах Ньюхауса семейств двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром. // УМН, т. 53, вып. 4 (322), с. 206, 1998, 1c., / Гонченко С. В.
127. Пример дикого странного аттрактора. // Матем. сб., т. 189, №2, 137-160, 1998. / Ту-раев Д. В.
128. Гомоклинический Q-взрыв и области гиперболичности. // Матем. сб., т. 189, №4, 127-
144, 1998. / Стенькин О. В.
129. Elliptic periodic orbits near a homoclinic tangency in four-dimensional symplectic maps and Hamiltonian systems with three degree of freedom. // «Regular and Chaotic Dynamics», 1998, v. 3, N.4, 3-26. / Gonchenko S.V., Turaev D.V.
130. Methods of Qualitative theory in nonlinear Dynamics. Part 1. // World Scientific. 1998., 412 c., A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, L. O. Chua [Русский перевод — Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 416с. / Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л.]
131. Mathematical problems of nonlinear dynamics: a Tutorial. // in book: Visions of Nonlinear Sciences in the 21st Century, 69-156. World Scientific. 1999.
132. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Труды Междунар. конф., посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина, Динамические системы, 1999, т. 6, 69-128, ВИНИТИ. / Гонченко С. В., Тураев Д. В.
133. Гиперболические свойства четырехмерных симплектических отображений с негрубой гомоклинической траекторией к неподвижной точке типа седло-фокус. // Дифф. уравнения, 1999, т. 36, №1, 1-12. / Гонченко С. В.
134. Леонтович-Андронова Евгения Александровна // Сб. «Личности в науке. Женщины-ученые Нижнего Новгорода», Изд. ННГУ, 1999, 83-102.
135. On Cusp-Bifurcations of Periodic Orbits in Systems with a Saddle-Focus Homoclinic Curve // Methods of Qualitative Theory of Dufferential Equations and Related Topics, AMS Translations, Ser. 2, 2000, V. 200 (Advances in Mathematical Sciences), 23-34. / Alekseeva S. A.
136. Evgeniya Aleksandrovna Leontovich-Andronova (1905-1996) // Ibid, 1-14.
137. A New Simple Bifurcation of Periodic Orbit of «Blue Sky Catastrophe» Type // Ibid, 165-188. / Turaev D. V.
138. Странные аттракторы // Труды средневолжского математического общества, 2000, т. 2, №1, 340-37.
139. On two-dimensional area-preserving diffeomorphisms with infiniteley many elliptic islands // J. Stat. Phys., 2000, v. 101, Nos. 1/2, 321-356. / Gonchenko S.V.
140. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. (Part 2) // World Scientific Series on «Nonlinear Science», series A, vol. 5, (Part1+Part2), 2001. — 957p. / Shilnikov A. L., Turaev D.V., Chua L. O. [Русский перевод — Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. Москва-Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», ИКИ, 2009 548стр. / Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л.]
141. О двумерных сохраняющих площадь отображениях с гомоклиническими касаниями. // Доклады РАН. —2001, T. 378, №6, 727-732. / Гонченко С. В.
142. On Newhouse regioms with infinitely many stable and unstable invariant tori // Proc. Int. Conf. dedicated to the 100th Anniversary of A. A. Andronov «Progress in Nonlinear Science», Nizhny Novgorod, Russia, July 2-6 — 2002.—Vol. 1, 80-102. / Gonchenko S.V., Stenkin O. V.
143. Bifurcations and Strange Attractors / Shilnikov L. // Proc. Int. Congress of Mathematicians, Beijing (China), August 29-28 2002 (Invited Lectures). — 2002.— Vol.3, 349-372.
144. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней // В книге: Математические события ХХ века. Изд. ФАЗИС, Москва.—2003, 466-489.
145. On two-dimensional area-preserving maps homoclinic tangencies that have infinitely many generic elliptic periodic points. // Записки научных семинаров ЛОМИ. —2003. —T. 300, 155-166. / Gonchenko S. V.
146. On some mathematical topics in classical synchronization. A tutorial. // Int. J. of Bifurcation and Chaos. — 2004. — Vol. 14, No. 7, 2143-2160. / Shilnikov A., Turaev D.
147. Development of Synchronization Theory. // Proc. of 2nd IEEE Int. cjnf. On Circuits and Systems for Communications, June 30 — July 2, 2004, Moskow, Russia. — 2004. / Shilnikov A.
148. Существование счетного множества эллиптических периодических траекторий у четырехмерных симплектических отображений с гомоклиническим касанием. // Труды МИРАН. — 2004. — T. 244, 115-142 / Гонченко С. В., Тураев Д. В.
149. Blue sky catastrophe in singularly-perturbed systems. // Moscow Mathem. J.—2005.— Vol. 5, No. 1, 269-282. / Shilnikov A., Turaev D.
150. On dynamical properties of diffeomorphisms with homoclinic tangencies. // Proc. of the Simposium Henri Poincare (Brussels, 8-9 October, 2004), electronic preprint of Int. Solvay Institutes for Physics and Chemistry. - 2005. / S. Gonchenko, D.Turaev http://www.ulb.ac.be/sciences/ptm/pmif/ProceedingsHP/Proceedings.html
151. Некоторые математические проблемы классической синхронизации. // Труды школы «Нелинейные волны’ 2004».—2005, 426-449. / Шильников А. Л., Тураев Д. В.
152. О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантных торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиническими касаниями. // Нелинейная динамика, 2006, том 2, №1, 3-26 / Гонченко С. В., Стенькин О. В.
153. Гомоклинические касания произвольно высоких порядков в консервативных двумерных отображениях. // Доклады РАН, 2006, т. 407, №1, 299-303. / Гонченко С. В., Ту-раев Д. В.
154. О бифуркациях гомоклинической петли к седло-фокусу индекса 1/2. // Доклады Академии Наук, 417 (6), 2007. / Гонченко В. С.
155. Гомоклинические касания // Монография (сборник статей), НИЦ «Регулярная и Хаотическая Динамика», Москва-Ижевск. 523с., 2007 / Гонченко ^В.
156. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative twodimensional maps // Nonlinearity, 2007, 20(2), 241-275 / S. Gonchenko, D.Turaev
157. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней. // Математика в высшем образовании. 2007, 5, 75-94.
158. Shilnikov Bifurcation. Scholarpedia http://www.scholarpedia.org, Scholarpedia, the free peer-reviewed encyclopedia, Internet. 2007, 18712 / A. Shilnikov
159. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцев-ского типа // Доклады Академии Наук. 2008, 418(1). / Тураев Д. В.
160. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions // Nonlinearity, 21 (5), 923-972, 2008 / Gonchenko S. V., Turaev D.
161. Shilnikov saddle-node bifurcation. Scholarpedia // http://www.scholarpedia.org 2008. / A. Shilnikov
162. On global bifurcations in three-dimensional diffeomorphisms leading to wild Lorenz-like attractors // Regular and Chaotic Dynamics. 2009, V. 13, 1, 136-146. / S. V. Gonchenko,
D. Turaev
