CC BY
44
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2021. Т. 29, № 1 Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics. 2021;29(1)
Обзорная статья УДК 517.925 + 517.93
DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-160-185
О методах проверки псевдогиперболичности странных аттракторов
С. В. Гонченко2'1, М. Н. Кайнов1 А. О. Казаков1Н, Д. В. Тураев3'1
1 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Нижний Новгород, Россия 2Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского, Научно-образовательный математический центр «Математика технологий будущего», Россия 3 Имперский колледж Лондона, Великобритания E-mail: sergey.gonchenko@mail.ru, maxkaynov@gmail.com, Hkazakovdz@yandex.ru, dturaev@imperial.ac.uk Поступила в редакцию 18.12.2020, принята к публикации 30.12.2020, опубликована 1.02.2021
Аннотация. Тема работы - странные аттракторы многомерных отображений и потоков. Странные аттракторы можно разделить на две группы: настоящие аттракторы, которые сохраняют свою хаотичность при малых возмущениях, и квазиаттракторы (по Афраймовичу-Шильникову), внутри которых при малых возмущениях могут возникать устойчивые периодические траектории. Основная цель настоящей работы - это построение эффективных критериев, позволяющих различать такие аттракторы, а также проверка этих критериев с помощью численных экспериментов. В качестве «настоящих» аттракторов мы рассматриваем так называемые псевдогиперболические аттракторы. В работе дается их определение и описываются характеристические свойства, на основании которых строятся два вида численных методов, позволяющих проверить принципиально важное свойство псевдогиперболических аттракторов: непрерывность полей сильно сжимающих пространств и пространств, где есть растяжение объемов. В качестве примеров, на которых протестированы численные методы проверки псевдогиперболичности, рассматриваются классическое отображение Эно, сингулярно-гиперболическое отображение Лози, аносовский диффеоморфизм двумерного тора, классические системы Лоренца и Шимицу-Мориока, а также трехмерное отображение Эно.
Ключевые слова: хаотический аттрактор, псевдогиперболичность, квазиаттрактор, показатели Ляпунова, аттрактор Лоренца, отображение Эно.
Благодарности. Работа выполнена при поддержке грантов РНФ № 19-11-00280 (Введение, разделы 1 и 3.3) и 19-71-10048 (разделы 2 и 3). Численные эксперименты с моделями, представленными в разделе 3, выполнены при поддержке Лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-15-2019-1931). Авторы благодарят РФФИ (гранты № 18-29-10081 и № 19-01-00607) и Фонд развития теоретической физики и математики «БАЗИС» за поддержку научных исследований. Также авторы благодарят П.В. Купцова за полезную дискуссию и ценные замечания.
Для цитирования: Гонченко С.В., Кайнов М.Н., Казаков А.О., Тураев Д.В. О методах проверки псевдогиперболичности странных аттракторов//Известия вузов. ПНД. 2021. T. 29, № 1. С. 160-185. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-160-185
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).
Review
DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-160-185
On methods for verification of the pseudohyperbolicity of strange attractors
V Gonchenko2'1, M. N. Kaynov1, A. O. Kazakov1M, D. V Turaev3'1
1National Research University Higher School of Economics, Nizhny Novgorod, Russia 2National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, Scientific and Educational Mathematical Center «Mathematics of Future Technologies», Russia
3 Imperial College London, UK E-mail: sergey.gonchenko@mail.ru, maxkaynov@gmail.com, Hkazakovdz@yandex.ru, dturaev@imperial.ac.uk Received 18.12.2020, accepted 30.12.2020, published 1.02.2021
Abstract. The topic of the paper is strange attractors of multidimensional maps and flows. Strange attractors can be divided into two groups: genuine attractors, that keep their chaoticity under small perturbations, and quasi-attractors (according to Afraimovich-Shilnikov), inside which stable periodic orbits can arise under small perturbations. Main goal of this work is to construct effective criteria that make it possible to distinguish such attractors, as well as to verify these criteria by means of numerical experiments. Under «genuine» attractors, we mean the so-called pseudohyperbolic attractors. We give their definition and describe characteristic properties, on the basis of which two numerical methods are constructed, which allow to check the principally important property of pseudohyperbolic attractors: the continuity of strong contracting subspaces and subspaces where volumes are expanded. As examples on which numerical methods for checking pseudohyperbolicity have been tested, we consider the classical Henon map, the singularly hyperbolic Lozi map, the Anosov diffeomorphism of two-dimensional torus, the classical Lorenz and Shimizu-Morioka systems, as well as a three-dimensional Henon-like maps.
Keywords: chaotic attractor, pseudohyperbolicity, quasiattractor, Lyapunov exponents, Lorenz attractor, Henon map.
Acknowledgements. This work was supported by the RSF grants No. 19-11-00280 (Introduction, Sections 1 and 3.3) and 19-71-10048 (Sections 2 and 3). Numerical results with models in Section 3 were supported by the Laboratory of Dynamical Systems and Applications NRU HSE, of the Russian Ministry of Science and Higher Education (Grant No. 075-15-2019-1931). Authors also thank RFBR (grants 18-29-10081 and 19-01-00607) and the Theoretical Physics and Mathematics Advancement Foundation «BASIS». The authors also thank P.V. Kuptsov for fruitful discussion and useful comments.
For citation: Gonchenko SV, Kainov MN, Kazakov AO, Turaev DV. On methods for verification of the pseudohyperbolicity of strange attractors. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2021;29(1):160-185. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-160-185
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).
Введение
В теории динамического хаоса особый интерес представляют странные аттракторы, которые демонстрируют устойчивое хаотическое поведение при изменении параметров системы. Примеров таких настоящих странных аттракторов до недавнего времени было совсем немного: гиперболические аттракторы [1] и аттракторы Лоренца [2-4].
Напомним, гиперболичность аттрактора в случае системы дифференциальных уравнений означает, что на траекториях аттрактора имеет место инвариантное относительно линеаризованной системы разложение в прямую сумму Es ® Е° ® Еи трех линейных подпространств, непрерывно зависящих от точки фазового пространства. Здесь Е° всегда направлено по касательной к траектории, и вдоль него вектор в среднем не сжимается и не растягивается (ляпуновский показатель на Е° равен нулю); все векторы в Es экспоненциально сжимаются, а в Еи - растягиваются (все ляпуновские показатели на Es отрицательны, а на Еи положительны). В случае отображений имеет место разложение Es ® Еи без нейтрального подпространства.
Эти условия гиперболичности с математической точки зрения выглядят вполне естественными и простыми, поэтому примеры гиперболических аттракторов, такие как соленоиды Смейла-
Вильямса, аттракторы Аносова, DA-аттракторы, появились уже в 1960-х годах, чуть позже появился аттрактор Плыкина [5]. Но все это были чисто математические модели, а их примеры в приложениях никак не хотели появляться. Как писал Д.В. Аносов в своей работе [6]: «Такое впечатление, что Господь Бог предпочитает пойти на некоторое ослабление гиперболичности, нежели возиться с ограничениями на топологию, возникающими при его настоящей (полной и равномерной) гиперболичности...».
Такое «ослабление гиперболичности» предложено в работе [7], где заложены основы теории псевдогиперболических аттракторов и геометрически построен пример такого аттрактора для четырехмерного потока. Это хорошо известный сейчас дикий спиральный аттрактор, для которого выполняются условия «слабой гиперболичности», состоящие в том, что в окрестности аттрактора существует пара непрерывных инвариантных линейных подпространств Ess и Еси, трансверсальных друг другу, со следующими свойствами: в Ess все векторы экспоненциально сжимаются, а в Еси экспоненциально растягиваются объемы. Это свойство было названо в [7] псевдогиперболичностью (точное определение дано в [7,8], см. также определение 1 настоящей работы).
Соответствующее свойство, очевидно, гораздо слабее гиперболичности, и поэтому может выполняться для более широкого класса систем. Так, гиперболический аттрактор всегда является грубым, структурно устойчивым, а псевдогиперболический - вполне может быть негрубым, и, более того, системы с псевдогиперболическими аттракторами могут принадлежать областям Ньюхауса, то есть открытым областям в пространстве динамических систем, в которых плотны системы с гомоклиническими касаниями. Такие аттракторы были названы в [7] дикими гиперболическими.
Заметим, кстати, что классический аттрактор Лоренца не является гиперболическим, он псевдогиперболический. В его точках касательное пространство раскладывается в прямую сумму подпространств Ess и Еси, где Еss(x) одномерно и Еси(х) двумерно для каждой точки х аттрактора. В частности, для состояния равновесия О подпространства Еss(0) и Еси (О) определяются явно: пусть Xi > 0 > X2 > X3 - собственные значения равновесия О, а £1,£2,£3 - их собственные векторы. Тогда Ess(0) - это прямая с направляющим вектором £3, а Еси(0) - это плоскость, натянутая на векторы £1 и I2. Аттрактор Лоренца - негрубый [4,9], но гомоклиниче-ских касаний он не допускает, то есть не является диким. В то же время спиральный аттрактор из [7] является псевдогиперболическим, с dim Еss(x) = 1 и dim Еси(х) = 3, и диким, благодаря присутствию в нем шильниковского седло-фокуса [10,11].
Что касается гиперболических аттракторов, то они все-таки появились в приложениях. И прежде всего этим своим достижением нелинейная динамика обязана С.П. Кузнецову. Начиная с его первой статьи на эту тему [12], он опубликовал целую серию работ о гиперболических аттракторах в физических системах и монографию 2013 г. [13] на эту тему, в которой можно найти также соответствующие ссылки. После монографии С.П. Кузнецов опубликовал еще ряд работ на тему гиперболических аттракторов. Так, одна из его последних работ [14] была посвящена системам связанных осцилляторов с гиперболическими хаотическими аттракторами. Хаотическая динамика в трехмерных системах дифференциальных уравнений на сегодня изучена достаточно подробно, а вот принципиально новых результатов о хаосе в размерности четыре и выше (так сказать, гиперхаосе) известно сравнительно мало. Мы считаем, что открытие Кузнецовым гиперболических аттракторов в многомерных системах, отвечающих реальным физическим приложениям, явилось одним из важнейших вкладов в формирующуюся теорию гиперхаоса.
Один из первых вопросов в теории гиперболических и псевдогиперболических аттракторов и их приложений - нахождение условий, позволяющих надежно отличить их от часто наблюдаемых в экспериментах «ненастоящих» странных аттракторов, так называемых квазиаттракторов [15,16].
Последние могут выглядеть вполне хаотическими, но только «с физической точки зрения», так как теория говорит, что внутри них при сколь угодно малых возмущениях появляются устойчивые периодические траектории с достаточно узкими областями притяжения, так что их легко не заметить в обычных численных экспериментах, см., например, [17]. Окна устойчивости - хорошо известное свойство хаотической динамики. Хотя большинство из них практически невозможно обнаружить, сам факт их наличия говорит о том, что наблюдаемый хаос может отвечать, «на самом деле», очень длинному переходному процессу, и непонятно, можно ли в таких случаях доверять численно определенным показателям Ляпунова, и т.д., и вообще неясно, как здесь теоретически интерпретировать наблюдаемую динамику. Псевдогиперболичность исключает существование окон устойчивости и, по-видимому, является также и необходимым условием хаотичности, устойчивой к малым возмущениям системы.1 При этом, как мы объясняем в данной статье, псевдогиперболичность допускает достаточно легкую проверку, давая таким образом эффективный метод решения (трудной) задачи о существовании или несуществовании окон устойчивости.
Главное в проверке (псевдо)гиперболичности - проверка непрерывной зависимости подпространств Еи Еси от точки фазового пространства. В настоящей работе мы рассматриваем на примере различных моделей два подхода. Первый, основанный на диаграммах непрерывности, был предложен нами в [8, 18-20], другой, основанный на измерении углов между Езя и Еси, разрабатывался группой С.П. Кузнецова [21-25]. Мы показываем, что оба метода хорошо дополняют друг друга.
Статья организована следующим образом. В разделе 1 приведено определение псевдогиперболических аттракторов. В разделе 2 дано описание методов проверки аттракторов на псевдогиперболичность, а в разделе 3 мы применяем эти методы к различным моделям (как потокам, так и отображениям). Дискуссия и выводы приведены в Заключении.
1. Определение псевдогиперболичности
Гиперболические системы являются грубыми (структурно-устойчивыми) и, соответственно, структурно-устойчивым является демонстрируемое ими хаотическое поведение.
Как мы отмечали во Введении, гиперболические странные аттракторы в физических моделях были открыты С.П. Кузнецовым. Как для физиков, так и для математиков такие модели представляют большой интерес, но все равно их мало, и обнаружение новых гиперболических аттракторов в задачах из приложений всегда является большим достижением. Большинство странных аттракторов, наблюдаемых в экспериментах, не являются гиперболическими. Тем не менее, несмотря на это, многие из них могут демонстрировать устойчивое хаотическое поведение траекторий. Однако здесь устойчивость понимается уже не в смысле грубости или структурной устойчивости, а, например, как открытость следующего свойства: у каждой траектории аттрактора максимальный показатель Ляпунова положителен. Открытость здесь означает, что данное свойство выполняется для всех близких систем.
Таким свойством обладают, например, аттракторы Лоренца, которые не являются гиперболическими. Их относят к классу, по разной терминологии, квазигиперболических (Синай) или сингулярно-гиперболических (Пасифико-Моралес-Сатаев) аттракторов. В более широком смысле, аттракторы Лоренца являются специфическими представителями так называемых псевдогиперболических аттракторов [7].
Напомним соответствующее определение, следуя работе [8] (см. также [26] и [27]).
1Это предположение было сформулировано в [8] в форме «Р/р гипотезы»: все аттракторы делятся на два типа -псевдогиперболические аттракторы и квазиаттракторы.
Определение 1. Пусть А является положительно инвариантным множеством п-мерного Сг-гладкого потока F (то есть, Ft(A) С А для t > 0). Множество А называется псевдогиперболическим, если оно обладает следующими свойствами.
a) Для любой точки х Е А существует два непрерывно зависящих от х линейных подпространства, Ei(x) и Е2(х), где dimEi = к и dimЕ2 = п — к, которые инвариантны относительно дифференциала DF потока,
DFtEl(x) = E\(Ft(x)), DFtE2(x) = E2(Ft(x)),
для любых t ^ 0.
b) Разложение на Ei и Е2 является доминирующим, то есть существуют константы Ci>0 и в > 0 такие, что
\\DFt(x)\E2\\-\\(DFt(x)\El)-1|| < Cie-et
для любых t ^ 0 и х Е А. Это означает, что любое возможное сжатие в Е1 (х) равномерно слабее, чем сжатие в Е2 (х), и любое возможное растяжение в Е1 (х) равномерно сильнее любого возможного растяжения в Е2(х).
c) Линеаризованный поток DF на Е1 экспоненциально растягивает любые k-мерные объемы, то есть существуют константы С2 > 0 и о > 0 такие, что
det(DFt(x)\Ei) ^ С2е°
для любых t ^ 0 и х Е А.
Если псевдогиперболическое множество А является аттрактором, мы называем его псевдогиперболическим аттрактором. Заметим, что определение 1 является обобщением соответствующего определения из работы [7].
Аналогичное определение можно дать для диффеоморфизмов. Для этого нужно просто считать, что время t принимает дискретные значения, то есть t Е Z и заменить Ft в приведенном выше определении на итерацию диффеоморфизма f, то есть Ft = ft.
Замечание 1. В случае диффеоморфизмов, если условия (b) и (с) этого определения заменить на более строгие условия:
b') дифференциал DF экспоненциально сжимает любые векторы в Е2, то есть существуют константы Bi > 0 и Oi > 0 такие, что
\\DFt(x)\E2\\ < Bie-Olt
для любых t ^ 0 и X Е А, с') DF экспоненциально растягивает любые векторы в Ei, то есть существуют константы В2 > 0 и о2 > 0 такие, что
\\(DFt(x)\El)-i\\ < B2e-O2t
для любых t ^ 0 и X Е А, то мы получим определение гиперболического множества. В случае гиперболических потоков в каждой точке х Е А существует разложение на 3 подпространства. Помимо подпространств сжатия и растяжения направлений Е2 и Ei, на которых выполняются такие же оценки, как в условиях (b') и (с'), здесь также выделяется нейтральное, касательное к траектории подпространство Е0.
В этой работе мы рассматриваем только примеры, в которых имеется равномерное сжатие в подпространствах Е2(х). Таким образом, используя стандартные обозначения теории нормальной гиперболичности, мы будем называть Е2 (х) сильно сжимающими подпространствами и
обозначать их через Еss (х); центрально-неустойчивые подпространства Е1 (х) будем обозначать через Еси(х).
Теперь, чтобы проверить псевдогиперболичность аттрактора, используя определение , первое и самое простое, что можно сделать, это вычислить спектр его показателей Ляпунова Л1 ^ Л2 ^ ... ^ Лп. Тогда из условия (c) определения 1 вытекает, что
Л1 + ••• + Лк > 0, (1)
а из условия (b), что
Лк > Лк+1. (2)
Отметим, что эти условия должны выполняться для всех траекторий на аттракторе. Эффективный способ проверить это - взять только одну, достаточно длинную «репрезентативную» траекторию на аттракторе, поделить ее на множество относительно коротких частей, а затем проверить условия (1) и (2) для каждой части, вычислив так называемые «короткие» (finite-time) ляпуновские показатели [25,28].
Однако даже если оба этих условия выполняются, то это все еще не свидетельствует о псевдогиперболичности аттрактора. Дело в том, что можно легко пропустить маленькие «дырки», содержащие, например, устойчивые периодические траектории. Вообще говоря, эти «дырки» могут быть настолько маленькими, что их невозможно обнаружить при стандартных вычислениях [17]. Соответственно, нужен метод, позволяющий убедиться как можно увереннее, что таких дырок нет. Такой метод состоит в том, чтобы кроме условий (b) и (c) определения 1 проверять еще и условие (a). Для этого нужно убедиться, что разбиение на пару инвариантных подпространств непрерывно зависит от точки на аттракторе. Это требует построения и анализа инвариантных подпространств Ess(x), соответствующих показателям Ляпунова Л1,..., Лк и Еси(х), соответствующих показателям Лк+1,..., Лп.
2. О методах проверки псевдогиперболичности
Когда условие гиперболичности или псевдогиперболичности для какого-то класса систем удается записать в явной форме,2 это всегда является большой удачей. Такие условия дают возможность разработать основанные на интервальной арифметике методы строгого доказательства (псевдо)гиперболичности некоторых аттракторов, наблюдаемых в конкретных системах. Такого рода методы близки по духу методам доказательных вычислений, разработанных Такером для доказательства хаотичности классического аттрактора Лоренца [30]. Высокая трудоемкость таких вычислений обуславливает потребность в разработке менее строгих, а за счет этого более быстрых, но все же надежных численных методов проверки псевдогиперболичности.
Такой подход был предложен в наших недавних работах [19,20,31]. В его основе лежит главным образом проверка свойства непрерывной зависимости подпространств Е33(х) и Еси(х) от точки аттрактора. Проверка только неравенств (1) и (2) в ряде случаев показывает положительный результат, тогда как проверка непрерывности подпространств разрушает иллюзию псевдогиперболичности [20,25-27]. Таким образом, надежность выявления псевдогиперболичности резко повышается.
Далее, следуя [8], более подробно опишем соответствующий алгоритм. Мы берем длинную траекторию системы, отбрасываем достаточно длинный начальный сегмент, отвечающий переходному процессу, чтобы быть уверенным, что оставшаяся часть траектории дает хорошую аппроксимацию аттрактора. Далее мы вычисляем спектр показателей Ляпунова для этой траектории вместе с соответствующими ляпуновскими ковариантными векторами (см. подробнее
2См., например, условия (*) из [3] или (1.1) из [4] для аттракторов Лоренца, лемму 1 из [29] для их периодических возмущений, или теорему 5 из [7] для дикого спирального аттрактора.
о ляпуновском анализе в работах [25, 32-34]). При таком подходе подпространства Е33(х) и Еси (х) вычисляются автоматически, а проверка условия (а) сводится к проверке непрерывной зависимости полученных подпространств от точки х на аттракторе.
В нашей работе [8] это делается следующим образом. Мы строим график функции расстояния между Е33(х) и Е33(у) в зависимости от расстояния между соответствующими точками аттрактора х и у (на участке траектории, которая используется как аппроксимация аттрактора). Если dist (Е33(х), Е33(у)) ^ 0 при ^ 0, то делается вывод, что Е33(х) непрерывно
зависит от точки на аттракторе. Важно отметить, что по построению мы снабжаем полученное численно подпространство Е33 (х) ориентацией, инвариантной относительно линеаризованной системы. Как следствие, мы измеряем расстояние между ориентированными подпространствами Е33 (х) и Е33 (у). Таким образом, метод из работы [8] позволяет проверять больше, чем требуется по условию (а) определения 1. А именно, он позволяет устанавливать существование и непрерывность ориентируемого поля подпространств Е33(х). Такое поле может существовать не для всех псевдогиперболических аттракторов (например, неориентируемый аттрактор Лоренца [4,35] не обладает таким полем). Оно всегда существует, если поглощающая область V (на которую распространяется свойство псевдогиперболичности аттрактора) односвязная. Однако в случае общей топологии аттрактора ориентация Е33 (х) может изменяться при продолжении по нестягиваемой петле. Это несколько сужает класс аттракторов, для которых наш метод применим непосредственно. Для анализа псевдогиперболичности аттракторов с неориентируемым полем Е33(х) необходимо дополнительное исследование.
Аналогичная проверка непрерывности делается и для подпространства Еси(х), также наделенного инвариантной ориентацией. Если оба поля Еси(х) и Е33 (х) непрерывны, то можно сделать вывод о псевдогиперболичности аттрактора.
В данной статье рассматриваются только случаи, когда пространства сильного сжатия Е33 (х) одномерны и, следовательно, подпространства Еси (х) имеют коразмерность 1. Соответственно, непрерывность Еси(х) эквивалентна непрерывности поля нормалей Nси(х) к гиперплоскостям Еси (х). По определению Е33 (х) и Nси (х) - поля прямых линий, а введение ориентации делает их векторными полями. Далее опишем процедуру построения векторных полей Е33 (х) и Nси(х).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
х = ^(х), х е мга (3)
Возьмем некоторую траекторию этой системы и вычислим для нее ляпуновские показатели Л1,..., Лп. Проверим условия (1), (2), которые в нашем случае принимают вид
Л1 + ■ ■ ■ + Лга-1 > 0, (4)
Лп-1 > Лп. (5)
Пусть (ж1, ...,хт} - дискретизация (конечная последовательность точек) рассматриваемой траектории. Возьмем произвольный единичный вектор ит в точке хт и определим последовательность единичных векторов и3 в точках х3, 8 = 1,... ,т, с помощью следующей индуктивной процедуры: если и3 - вектор, полученный на (т3)-й итерации, то и3-1 определяется как и3-1 = ^_1/||^_1||, где из-1 - решение при £ = Ь3-1 следующего уравнения в вариациях
и = ОЕ(х($) и (6)
с начальным условием и(Ь3) = и3; здесь ИЕ - матрица производных от Е, а х(Ь) - решение ( ) с начальным условием х(Ь3) = х3. Подчеркнем, что уравнения ( ) и ( ) решаются в обратном времени (от £ = до Ь = ¿1). Чтобы подавить неустойчивость при проходе по траектории в
обратном времени, на каждом шаге в качестве начального условия используется предварительно сохраненное значение хя, которое вычислено интегрированием (3) в прямом времени. По условию (5) последовательность единичных векторов и3 экспоненциально сходится к ковариантному ляпуновскому вектору, соответствующему минимальному ляпуновскому показателю Лп почти для всех начальных условий ит. Таким образом, если т\, т2 и т достаточно велики, то сегмент траектории для в е [ т\, т — т2] дает хорошую аппроксимацию аттрактора, а векторы и3 -аппроксимацию поля Е(х3).
Аналогичную процедуру мы используем для нахождения векторов Nси(х3) = —3. Начнем с единичного вектора —0 и определим индуктивно —3+1 = 1|, где является
решением в точке Ь = Ь3+1 сопряженного уравнения в вариациях
^ = —[БЕ(х(-£))]т W (7)
с начальным условием W(Ь3) = т3. Очевидно, что если и(Ь) является решением ( ), а —(Ь) решением (7), то скалярное произведение (и(Ь),—(Ь)) остается постоянным, так как
й
— (и, —) = (Аи, —) — (и, АТ—) = 0
(здесь мы обозначили А(Ъ) = БЕ(х(Ь))). Следовательно, для любого подпространства коразмерности 1, ортогонального —о, последовательность его итераций по уравнению в вариациях (() останется ортогональной Ws при £ = Ь3. Поскольку при типичном выборе такого подпространства его итерации экспоненциально сходятся к Еси, отсюда следует, что векторы Ws дают хорошее приближение поля направлений Т^си(х3) (ортогонального Еси) для всех достаточно больших .
Описанная процедура также применима для проверки псевдогиперболичности аттракторов дискретных динамических систем (отображений). Рассмотрим диффеоморфизм х ^ Е(х) и возьмем его траекторию х1,..., хт, где х3+1 = Е(х5). Тогда векторы и3 и т3 определяются по правилу
БЕ(х3)-1и3 [ОЕ(х3)Т]-1—3
= , bs)-lus = [DF(xs)T-1°
Us-1 \\DF (xs)-1us\\' Ws+1 \\DF (xs)T j-1w
Стоит отметить, что аттрактор отображения Е может иметь ориентируемые поля подпространств Еи Ncu, но их ориентация может меняться с каждой итерацией Е. Чтобы этого избежать, можно удалить из последовательности (х3,и3,—3) каждый второй элемент.
Наконец, как только траектория х3, в е [т1, т — т2] и векторы щ и вычислены, мы строим диаграммы непрерывности для Еи Ncu - графики на плоскости (р, ф), где для каждой пары точек (х^х^), т1 ^ г < ] ^ т — т2 отображается точка с координатами (р, ф), где р - расстояние между х1 и Xj, а ф - угол между соответствующими векторами щ и Uj (для диаграммы непрерывности Еили угол между —г и (для Ncu).
Эти диаграммы выглядят как два облака точек на плоскости (р, ф). Если каждое из этих облаков Евв или Ncu касается оси р = 0 только лишь в начале координат (р, ф) = (0, 0), тогда можно считать поля направлений Еи Ncu непрерывными и, следовательно, аттрактор псевдогиперболическим.
С другой стороны, если одно из облаков касается оси ф в точках, отличных от нуля, или между облаком и осью ф нет видимого промежутка, то соответствующее поле подпространств не может считаться непрерывным. Поэтому рассматриваемый аттрактор либо непсевдогиперболи-ческий, либо неориентируемый (точнее, поле Езя(х) неориентируемо на аттракторе). Последний случай возможен, если одно из облаков касается оси р = 0 только в двух точках ф = 0 и ф = п.
В этом случае требуется дополнительный анализ для доказательства псевдогиперболичности аттрактора [36], например, методом углов Купцова-Кузнецова [22,25].
Метод Купцова-Кузнецова - это другой метод проверки непрерывности подпространств Ess(x) и Еси(х). Изначально он был предложен для проверки гиперболичности [22], а в работе [25] был обобщен на случай псевдогиперболических аттракторов. Метод основан на наблюдении, что, если Ess(x) и Еси(х) непрерывно зависят от х, то угол между ними отделен от нуля (в 'силу свойства компактности аттрактора). Искомый угол as вычисляется в каждой точке рассматриваемой достаточно длинной траектории по формуле as = п/2 — arccos ((ws, ^s)/(|ws||^s|)). Результатом работы этого метода является гистограмма углов на плоскости (а,/), где f(а) -аппроксимация плотности распределения угла между подпространствами. Отсутствие близких к нулю углов на такой гистограмме свидетельствует об отсутствии касаний между Ess и Еси, что служит подтверждением псевдогиперболичности.
3. Проверка псевдогиперболичности аттракторов различных моделей
Для начала протестируем описанный выше метод на примерах странных аттракторов в таких классических моделях, как отображения Эно и Лози, возмущенный диффеоморфизм Аносова, система Лоренца, а затем рассмотрим странные аттракторы в менее известном трехмерном отображении Эно.
3.1. Двумерные отображения. Псевдогиперболичность аттрактора двумерного отображения эквивалентна равномерной гиперболичности. Поэтому необходимо уметь отличать равномерно-гиперболические аттракторы от неравномерно-гиперболических (таких как, например, аттрактор Бенедикса-Карлесона [37-39]).
Сначала рассмотрим двумерное
п/2
гЩШЩШШ
I v.' ' В
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
о т , ш,—т—о
с 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 d 0
Рис. 1. Аттрактор отображения Эно (8) при 6=0.1, М= 1.7 (a); гистограмма углов между Ess и Еси (b); Еss- и JVси-диаграммы непрерывности для рассматриваемого аттрактора (c, d)
Fig. 1. An attractor in the Henon map (8) at b = 0.1, M = 1.7 (a); the histogram of angles between Ess and Ecu (b); Ess- and Ecu-continuity diagrams for the attractor under consideration (c, d)
отображение Эно
У,
M — bx — y-
(S)
На рис. 1 показаны численные результаты проверки псевдогиперболичности аттрактора Эно при значениях параметров Ь = 0.1, М = 1.7. Портрет аттрактора показан на рис. 1, а. Поглощающая область аттрактора односвязная, поэтому в случае равномерной гиперболичности соответствующие линейные поля Е8в и Еси должны быть ориентируемыми. Однако поскольку аттрактор Эно содержит седловую неподвижную точку с отрицательными мультипликаторами, на каждой итерации отображение будет менять ориентацию. Следовательно, при построении диаграмм непрерывности нужно учитывать только каждую вторую итерацию отображения.
Диаграммы непрерывности показаны на рис. 1, с и 1, d. Наличие на этих
графиках точек, близких к (0, ф), с ф, отделенным от нуля, указывает на отсутствие непрерыв-
—*
ности векторных полей Е88 и Nси. Кроме того, гистограмма углов между подпространствами Е88 и Еси, изображенная на рис. 1, ^ показывает, что эти подпространства могут касаться. Эти результаты согласуются с хорошо известным фактом [5], что сжимающие площадь диффеоморфизмы плоскости, в частности отображение Эно, не могут иметь равномерно-гиперболических странных аттракторов (то есть любой странный аттрактор в отображении Эно должен быть квазиаттрактором в соответствии с нашей Р/р гипотезой [8]).
На рис. 2 аналогичные результаты представлены при значениях параметров Ь = -0.3, М =1.4. Обе диаграммы рис. 2, с и ^ а также гистограмма углов рис. 2, Ь, подтверждают отсутствие непрерывности подпространств Е88 и Еси и наличие касаний между ними, соответственно. Следующий пример - это отображение Лози
х= 1 + у - М|х|, (9)
у = Ьх.
Хорошо известно, что в этом отображении имеется сингулярно-гиперболический аттрактор при некоторых значениях параметров М и Ь (например, при Ь = 0.5 и М = 1.7, см. портрет аттрактора при этих параметрах на рис. , a. Легко видеть, что при х = 0 производная рассматриваемого отображения претерпевает разрыв. Таким образом, нарушается непрерывность Е88
и Еси. Однако, поскольку отображение является кусочно-непрерывным, скачок вдоль направле-
—*
ний Е88 и №и в точках разрыва должен образовывать некоторое дискретное множество. Этот факт подтверждается рис. 3, c и ^ где диаграммы непрерывности Е88 и Nси образованы горизонтальными линиями, которые касаются линии р = 0 на дискретном множестве значений ф.
ФИ EFI
^Щйя
-ЩЯ '•"^'"•'ЖЗяй
['.■ы^Шщ щ
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Рис. 2. Аттрактор отображения Эно (8) при Ъ = -0.3, М = 1.4 (a); гистограмма углов между Еss и Еси (b); Ess-и iV^-диаграммы непрерывности для аттрактора (c, d)
Fig. 2. An attractor in the Henon map (8) at b = -0.3, M = 1.4 (a); the histogram of angles between Ess and Ecu (b); Ess- and E^-continuity diagrams for the attractor (c, d)
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
а
JV
M=\.l у
Ь=0.5 / X
-1.0-0.5 0 0.5 1.0
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Рис. 3. Аттрактор Лози в отображении (9) при Ъ = 0.5, М = 1.7 (а); гистограмма углов между Ess и Еси (b); Еss- и iVси-диаграммы непрерывности для аттрактора (с, d)
Fig. 3. The Lozi attractor in map (9) at b = 0.5, M = 1.7 (a); the histogram of angles between Ess and Ecu (b); Ess- and ECu-continuity diagrams for the attractor (c, d)
Распределение углов между подпространствами Ess и Еси, изображенное на рис. 3, с, подтверждает сингулярную гиперболичность рассмотренного аттрактора.
Далее рассмотрим аносовские диффеоморфизмы тора. По определению эти отображения равномерно гиперболические, а значит и псевдогиперболические. Классический их пример задается линейным отображением,
х = 2х + у (mod 1),
, 1 (10)
у = х + у (mod 1).
Для этого отображения все точки на диаграммах непрерывности Ess и TVси ожидаемо ложатся на горизонтальную прямую ф = 0. Небольшие возмущения не разрушают гиперболичность отображения (10). Далее рассмотрим в качестве примера двумерное возмущенное аносовское отображение, предложенное в [40]:
х = Ms(2x + у) (mod 1), у = х + у (mod 1),
где М£(х) - одномерное отображение Мёбиуса:
1 ( (1 - £2)sin(2nx)
х У arctan I ttz г
2п V2^ + (1 + £2)cos(2nx)
Заметим, что при £ = 0 отображение (11) совпадает с отображением (10).
Рис. 4. Аттрактор возмущенного отображения Аносова (11) при г = 0.6 (a); гистограмма углов между Ess и Еси (b); Еss- и N ^-диаграммы непрерывности для аттрактора (c, d)
Fig. 4. An attractor in the perturbed Anosov map (11) at s = 0.6 (a); the histogram of angles between Ess and Ecu (b); Ess- and ECw-continuity diagrams for the attractor (c, d)
Портрет аттрактора, соответствующие диаграммы непрерывности подпространств Ess и Ncu, а также гистограмма распределения углов между Ess и Еси (при фиксированном е = 0.6) представлены на рис. 4. Эксперименты наглядно подтверждают псевдогиперболичность отображения (11).
3.2. Классическая модель Лоренца. Одним из самых наглядных примеров трехмерных потоков, демонстрирующих псевдогиперболический аттрактор на открытом множестве значений параметров, является модель Лоренца
X = о (у — X),
у = x(r — z) — у, (12)
i = ху — bz,
где о, г и b - параметры.
С помощью методов доказательных вычислений Такером в работе [30] было показано, что в этой системе при классических значениях параметров (о = 10, г = 28, b = 8/3), существует аттрактор Лоренца. Из результатов Такера следует, что эта система удовлетворяет условиям геометрической модели Афраймовича-Быкова-Шильникова [3,4].
Это означает, что аттрактор системы Лоренца (12) при указанных значениях параметров является псевдогиперболическим. Таким образом, существует инвариантная поглощающая область V, внутри которой находится аттрактор Лоренца; в каждой точке V есть пара таких линейных подпространств Е\ = Еси и Е2 = Ess (dim Ess = 1 и dim Ecu = 2), для которых выполняются условия определения 1.
Так как свойство псевдогиперболичности является открытым (грубым), система Лоренца обладает псевдогиперболическим аттрактором также в некоторой окрестности этих значений параметров. Численно область LA на плоскости параметров (о, г), где существует псевдоги-
перболический аттрактора Лоренца при фиксированном значении Ь = 8/3, была определена в работах [41,42]. Левая граница области ЬА (см. рис. 5, a) определяется кривой 12, на которой неустойчивые сепаратрисы седлового состояния равновесия 0(0, 0, 0) ложатся на устойчивые многообразия некоторых седловых предельных циклов Ь\ и Ь2. Эти циклы рождаются из гомо-клинической восьмерки бабочки седла О, которая образуется при параметрах (о, г), лежащих на бифуркационной кривой 1\. Когда гомоклиническая бабочка расщепляется, вместе с седловыми циклами Ь\,2 также рождается непритягивающее гиперболическое множество. Далее, при пересечении кривой ¿2 это множество становится притягивающим (образуется аттрактор Лоренца), а его бассейн притяжения ограничивается устойчивыми многообразиями седловых циклов Ь\ и ¿2. Слева от кривой ¿2 сепаратрисы О стремятся к устойчивым состояниям равновесия 0\ и О2, а справа от этой кривой - к аттрактору Лоренца. Однако изначально аттрактор Лоренца сосуществует с устойчивыми состояниями равновесия 0\ и О2, которые теряют устойчивость на кривой 13, соответствующей субкритической бифуркации Андронова-Хопфа [43]. В момент бифуркации предельные циклы Ь\ и ¿2 сливаются с состояниями равновесия 0\ и О2 (при г = Г3 ~ 24.74, если зафиксировать Ь = 8/3 и о = 10). Справа от кривой 13 состояния равновесия 0\ и 02 становятся седло-фокусами с двумерными неустойчивыми многообразиями, а аттрактор Лоренца становится единственным аттрактором системы; см. более подробную информацию в [4,44] и пятой главе [45].
Правая граница 1а=о области ЬА соответствует появлению «крючков» в отображении Пуанкаре, см. рис. 5, c. Плоскость П : {г = г — 1} является сечением системы (12). Отображение
в [42]. Отображения Пуанкаре Т на секущей П (секущая г = г — 1 в модели Лоренца) при значениях параметров в области LA, когда существует аттрактор Лоренца (b) и справа от Ia=o (c)
Fig. 5. The domain LA on (a, r)-parameter plane (for b = 8/3) where the pseudohyperbolic Lorenz attractor exists (a); the curves I1J2 and l3 were described in [44], the curve Ia=o was calculated first in [41] and studied in details in [42]. The Poincare maps T in the cross-section П (the section г = r — 1 for the Lorenz model) at values of the parameters from the domain LA where the Lorenz attractor exists (b); and from a domain to the right of Ia=o (c)
Пуанкаре Т разрывно на линии По, соответствующей пересечению П с двумерным устойчивым многообразием седла О. Эта линия делит сечение на две части: П+ и П-. Образы площадок Т(П+) и Т(П-) имеют треугольную форму с вершинами в точках М- и М+, где неустойчивые сепаратрисы седла О пересекают П в первый раз. Стоит отметить, что треугольники становятся бесконечно тонкими вблизи точек М±. В области существования аттрактора Лоренца отображение Пуанкаре Т является (сингулярно) гиперболическим (гиперболичность отображения Пуанкаре здесь эквивалентна псевдогиперболичности потока). Из гиперболичности следует существование гладкого инвариантного слоения ^^, вдоль которого отображение Т является сжимающим, см. рис. 5, Ь. Можно предположить, что это слоение все еще существует на границе 1а=о, и эта граница соответствует касанию слоения остриями М± треугольников Т(П±). При пересечении границы гиперболичность отображения Т разрушается. Правдоподобная гипотеза, объясняющая такое разрушение, состоит в том, что кривая 1а=0 плотно заполнена точками, соответствующими существованию гомоклинических петель к О со значением сепаратрисы А, равным нулю. Бифуркации таких петель приводят к возникновению устойчивых предельных циклов [46]. Следовательно, граница ¡а=0 отделяет область псевдогиперболичности аттрактора Лоренца от области, в которой он становится квазиаттрактором.
Мы построили диаграммы непрерывности Е^ и Nси в системе Лоренца для значений параметров слева и справа от кривой ¡а=0, см. рис. 6. Приведенные диаграммы подтвержда-
Рис. 6. Два различных аттрактора системы Лоренца (первый столбец), соответствующие им диаграммы непрерывности для Еss (х) (второй столбец) и для Nси (х) (третий столбец), а также гистограмма углов между Еss и Еси (четвертый столбец) при значениях параметров: (верхняя строка) г = 28, а = 10,6 = 8/3, когда аттрактор псевдогиперболический, и (нижняя строка) г = 35, а = 10,6 = 8/3, когда нарушается условие 1 псевдогиперболичности (см., определение 1). Стоит отметить, что визуальной разницы между формой этих двух аттракторов практически нет, несмотря на различие в динамике
Fig. 6. Two different attractors of the Lorenz system (first column), the corresponding continuity diagrams for Ess (ж) (second column) and for TVcu (ж) (third column), and also the histogram of angles between Ess and Ecu (fourth column) for the following parameter values: (top row) r = 28, а = 10,6 = 8/3, when the attractor is pseudohyperbolic, and (bottom row) r = 35, а = 10, 6 = 8/3 when the pseudohyperbolicity condition 1 is violated (see, Definition 1). It should be noted that there is practically no visual difference between the shape of these two attractors, despite the difference in dynamics
Рис. 7. Неориентируемый псевдогиперболический аттрактор Лоренца в системе Шимицу-Мориока при (а, X) = = (0.565, 0.61631369): портрет аттрактора и его увеличенный фрагмент вблизи точки 0(0,0,0) (a); Ess- и Nси-диаграммы непрерывности для рассматриваемого аттрактора (b, c); гистограмма углов между Еss и Еси (d)
Fig. 7. A nonorientable pseudohyperbolic Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka system for (а, X) = (0.565,0.61631369): the attractor portrait and its enlarged fragment near the point 0(0,0,0) (a); Ess- and TVcu-continuity diagrams for the attractor (b, c); the hystogram of angles between Ess and Ecu (d)
ют псевдогиперболичность аттрактора Лоренца в области LA и потерю псевдогиперболической структуры при пересечении границы этой области.
Отметим также, что для аттрактора справа от кривой 1а=0 соответствующие диаграммы непрерывности для Ess и Ncu касаются линии р = 0 только при ф = 0 и ф = п. Как написано в разделе 2, это означает либо отсутствие непрерывности соответствующих полей Еss и Nси, либо их неориентируемость. От последней возможности сразу отказаться нельзя, так как окрестность аттрактора неодносвязна (это шар вокруг седлового состояния равновесия О и две ручки вокруг двух неустойчивых сепаратрис О). Более того, известно, что бифуркации пары симметричных гомоклинических петель с нулевой сепаратрисной величиной А могут привести к рождению неориентируемого аттрактора Лоренца [35,47,48] - такие пары должны существовать для значений параметров на границе кривой 1а=о, поэтому мы можем предсказать существование «тонких» неориентируемых псевдогиперболических аттракторов Лоренца вне области LA для значений параметров внутри так называемых «шильниковских сполохов» («Shilnikov flames») [49]. Однако, как показывает гистограмма углов, приведенная на рис. 6, h, в рассматриваемом случае аттрактор все же не является псевдогиперболическим из-за наличия касаний между подпространствами Еss и Еси.
Более того, нам не удалось найти неориентируемые псевдогиперболические аттракторы Лоренца в системе (12). По-видимому, их там нет, что должно вытекать из бифуркационного анализа, проведенного в работе [41]. Совсем другая картина наблюдается с неориентируемыми аттракторами Лоренца в трехмерной системе Шимицу-Мориока
х = у,
< у = х — Xy, (13)
z = — az + х2,
зависящей от двух параметров а и X. Здесь мы фиксируем параметры (а, X) = (0.565, 0.61631369) внутри некоторого шильниковского сполоха вблизи кривой 1а=0 в области, где аттрактор системы (13) является неориентируемым, и проверяем его псевдогиперболичность. Результаты соответствующих экспериментов приведены на рис. 7. Как и для неориентируемого аттрактора системы (12), диаграммы непрерывности для Еss и Nси касаются линии р = 0 только при ф = 0 и ф = п. Однако при этом углы между этими подпространствами хоть и оказываются малыми, но все же отделены от нуля, см. рис. 7, d.
3.3. Аттракторы лоренцевского типа в трехмерных отображениях. В работе [29] показано, что добавление небольшого периодического по времени возмущения к системе с псевдогиперболическим аттрактором не разрушает его псевдогиперболичность.3 В частности, отображение Пуанкаре (отображение за период возмущения) для малого периодического по времени возмущения системы с аттрактором Лоренца будет демонстрировать дискретный аттрактор Лоренца - псевдогиперболический аттрактор, похожий по форме на аттрактор Лоренца в потоке [18]. Одним из следствий этого является тот факт, что дискретные аттракторы Лоренца возникают при локальных бифуркациях периодических траекторий в системах произвольной природы. Действительно, в [35] было показано, что нормальная форма бифуркации предельного цикла с триплетом мультипликаторов (-1, -1,1) описывается отображением, каждая вторая итерация которого является отображением Пуанкаре малого периодического по времени возмущения системы Шимицу-Мориока [51]. Эта система обладает аттрактором Лоренца в некоторой области значений параметров [52,53] (строгое доказательство этого факта с помощью методов доказательных вычислений дано в работе [54]). Следовательно, бифуркация коразмерности 3 периодической траектории с триплетом мультипликаторов (-1, -1,1) может, при дополнительных предположениях [35,55], приводить к рождению дискретного аттрактора Лоренца.4
Пример такой бифуркации рассмотрен в работе [18], где были найдены дискретные аттракторы лоренцевского типа в трехмерном отображении Эно
х = у, У = г, X = М1 + Вх + М2у - г2, (14)
в некоторой области значений параметров М\, М2 и В, примыкающей к точке (М\ = 1/4, М2 = 1,В = 1). При этих параметрах неподвижная точка отображения имеет триплет мультипликаторов (-1, -1,1).В работе [18] показано, что нормальная форма такой бифуркации в этом отображении удовлетворяет условиям рождения аттрактора Лоренца. Как следствие, здесь подразумевается существование псевдогиперболического аттрактора в области значений параметров, достаточно близких к этой точке, см. [54]. Однако визуально похожие на аттрактор Лоренца в системе Шимицу-Мориока аттракторы отображения (14) были также обнаружены достаточно далеко от точки бифуркации. Псевдогиперболичность таких аттракторов не очевидна и требует проверки.
На рис. 8 показаны примеры дискретных аттракторов лоренцевского типа для отображения (14) при В = 0.7. Диаграммы непрерывности вычислялись для каждой второй итерации отображения (рассматриваемое отображение обращает ориентацию на Е, поскольку наименьшее, то есть сильно устойчивое собственное значение неподвижной точки является отрицательным). Аттракторы на рис. 8, а и 8, е обладают непрерывностью поля подпространств Е(х) и Еси(х), поэтому можно сделать вывод об их псевдогиперболичности, см. также [27] (необходимые условия Л1 + Л2 > 0 и Л2 > Л3 проверены в [18]).
В свою очередь, аттрактор на рис. 8, I хоть и имеет положительный максимальный ляпу-новский показатель (см. численные результаты в [18]), но не является псевдогиперболическим (поля подпространств Езя(х) и Еси(х) не являются непрерывными, см. рис. 8, у—к, а сами под-
3Отметим также, что в работе [50] было показано, что при таких возмущениях в аттракторе не появляются устойчивые периодические траектории.
4Этот факт был использован в [56-60], чтобы показать, что дискретные аттракторы лоренцевского типа могут возникать при глобальных бифуркациях многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями и с нетрансверсальными гетероклиническими циклами. Более общие универсальные сценарии бифуркаций, приводящие к дискретным аттракторам лоренцевского типа, были предложены в [19]. Такие сценарии реализуются в трехмерных отображениях Эно [20,31,36] и в неголономных моделях кельтского камня [61,62].
Рис. 8. Дискретные аттракторы лоренцевского типа в отображении (14) (первый столбец), соответствующие им диаграммы непрерывности Еss (второй столбец) и Nси (третий столбец), а также гистограммы углов между Еss и Еси (четвертый столбец). Значения параметров: (первая строка) М\ = 0.044, М2 = 0.77, В = 0.7; (вторая строка) Mi = 0.0275, М2 = 0.8, В = 0.7; и (третья строка) Mi =0, М2 = 0.85, В = 0.7. Аттрактор, показанный на i, не является псевдогиперболическим
Fig. 8. Discrete Lorenz-like attractors in map (14) (first column), the corresponding continuity diagrams for Ess (second column) and Ncu (third column), and the histograms of angles between Ess and Ecu (fourth column). The parameter values: (first line) Mi = 0.044, M2 = 0.77, В = 0.7; (second line) Mi = 0.0275, M2 = 0.8, В = 0.7; and (third line) Mi = 0, M2 = 0.85, В = 0.7. The attractor shown in Fig.(i) is not pseudohyperbolic
пространства Ess (x) и Ecu (x) касаются в некоторых точках, см. рис. 8, l). Фактически можно показать, что при некоторых значениях параметров существует устойчивая периодическая траектория, то есть видимый «хаотический аттрактор», представленный на рис. 8, i, является скорее результатом (артефактом) очень малого численного шума, связанного с округлением.5
Кроме того, убедиться в отсутствии псевдогиперболичности аттрактора, приведенного на рис. 6, i, можно с помощью проверки условий (1) и (2) для коротких показателей Ляпунова. Соответствующие гистограммы распределения таких показателей изображены на рис. 9 (нижний ряд). Среди достаточно коротких кусков длинной траектории всегда есть такие, для которых не выполняется условие растяжения площадей (1) (см. четвертый столбец). Отметим, что для
5Как нам сообщил Жорди Фигуерас, он обнаружил внутри аттрактора рис. 8, I устойчивую точку периода 80, размеры области притяжения которой имеют порядок 10-40.
a
0.10
-0.392 -0.384 -0.376 -0.368 -0.360 J 0.000 0.008 0.016 0.024 0.032
-0.40 -0.39 -0.38 -0.37 -0.36 ^ °'00 °'01 °'02 °'03 £10 1- 0.10
, -0.42 -0.39 -0.36 -0.33 -0.30 ,
г j к l
Рис. 9. Гистограммы распределения коротких показателей Ляпунова для траекторий отображения (14), состоящих из 1 млн. точек, порезанных на куски длины 100 (синий цвет) и 200 (оранжевый цвет). Первая строка - для аттрактора, изображенного на рис. 8, a, вторая строка - для аттрактора с рис. 8, e, третья строка - для аттрактора с рис. 8, i. Первый столбец - распределение максимального показателя Xi, второй столбец - распределение Х2, третий столбец -распределение Хз и четвертый столбец - распределение Xi + Х2
Fig. 9. Histograms of distribution of short Lyapunov exponents for orbits of map (14) consisting of 1 million points cutting into pieces of length 100 (blue color) and 200 (orange color). The first line is for the attractor shown in Fig. 8, a, the second line is for the attractor shown in Fig. 8, e, the third line is for the attractor shown in Fig. 8, i. The first three columns show the distribution for the maximum exponent Xi, for X2 and for Хз, respectively, and the fourth column shows the distribution
for Xi + X2
e
аттракторов, приведенных на рис. 9, a и 9, е, условия (1) и (2) для коротких показателей Ляпунова выполняются.
Заключение
Мы рассмотрели в работе два метода проверки псевдогиперболичности, которые можно условно назвать «методом диаграмм непрерывности» и «методом углов». Оба эти метода допускают естественную и несложную реализацию в виде численных алгоритмов, основанных на ляпуновском анализе. По своей структуре эти методы являются независимыми и дополняют друг друга, и они, вместе со стандартным расчетом показателей Ляпунова, позволяют проверить все три условия псевдогиперболичности из определения (1).
Мы провели обзор некоторых моделей отображений и потоков, для которых проверили псевдогиперболичность при помощи данных методов. Мы также приводим новый результат: в системе Шимицу-Мориока (13) найден пример неориентируемого аттрактора Лоренца (см. рис. 7, а), для которого установлена псевдогиперболичность. Отметим, что этот аттрактор лежит в очень узкой области, так называемом шильниковском сполохе, и поэтому «запас» его псевдогиперболичности очень маленький, что наглядно демонстрирует диаграмма углов, приведенная на рис. 7, d, в то же время неориентируемость этого аттрактора подтверждается его диаграммой непрерывности, см. рис. 7, Ь и 7, c.
Мы считаем псевдогиперболичность важнейшим свойством, отличающим настоящие хаотические аттракторы от квазиаттракторов. Подход, обсуждаемый в данной работе, позволяет достаточно надежно и быстро установить или опровергнуть устойчивость хаотического поведения по отношению к малым возмущениям системы. По нашему мнению, это как раз то, что нужно делать в первую очередь при исследовании хаоса в конкретных прикладных моделях. Поэтому проверка псевдогиперболичности, в том числе методами, представленными в нашей статье, должна стать частью стандартного инструментария численного исследования нелинейной динамики.
Список литературы
1. Аносов Д.В., Арансон С.Х., Гринес В.З., Плыкин Р.В., Сатаев Е.А., Сафонов А.В., Соло-дов В.В., Старков А.Н., Степин А.М., Шлячков С.В. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». М.: ВИНИТИ, 1991. T. 66. С. 5-242.
2. Lorenz ^.^Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130-141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.C0;2.
3. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. T. 234, № 2. С. 336-339.
4. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО. 1982. Т. 44. С. 150-212.
5. Плыкин Р.В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов поверхностей // Матем. сб. 1974. Т. 94(136), № 2(6). С. 243-264. DOI: 10.1070/SM1974v023n02ABEH001719.
6. Аносов Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // В книге: Математические события ХХ века. М.: ФАЗИС, 2003. С. 1-18.
7. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 2. С. 137-160. DOI: 10.4213/sm300.
8. Gonchenko S.V., Kazakov A.O., TuraevD.V. Wild pseudohyperbolic attractor in a four-dimensional Lorenz system // Nonlinearity. 2021. Vol. 34(2). P. 1-30.
9. Guckenheimer J., Williams R.F. Structural stability of Lorenz attractors // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1979. Vol. 50, no. 5. P. 59-72. DOI: 10.1007/BF02684769.
10. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР. 1965. Т. 160, № 3. С. 558-561.
11. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 92-103.
DOI: 10.1070/SM1970v010n01ABEH001588.
12. Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale-Williams type // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95, no. 14. P. 144101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.95.144101.
13. Кузнецов С.П.Динамический хаос и гиперболические аттракторы. От математики к физике // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. 488 с.
14. Kuznetsov S.P. Some lattice models with hyperbolic chaotic attractors // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 16, no. 1. P. 13-21. DOI: 10.20537/nd200102.
15. Aframovich VS., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence (eds. G.I. Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph), Boston, Pitmen. 1983.
16. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Quasiattractors and homoclinic tangencies // Computers & Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34, no. 2-4. P. 195-227.
DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00124-7.
17. Galias Z., Tucker W. Is the Henon attractor chaotic? // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2015. Vol. 25, no. 3. P. 033102. DOI: 10.1063/1.4913945.
18. Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I., Simo C., Turaev D.V. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3493-3508. DOI: 10.1142/S0218127405014180.
19. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3-28. DOI: 10.20537/nd1201001.
20. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337. P. 43-57.
DOI: 10.1016/j.physd.2016.07.006.
21. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Hyperbolic attractor in a system of coupled non-autonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 365, no. 1-2. P. 97-104. DOI: 10.1016/j.physleta.2006.12.071.
22. Kuptsov P.V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85, no. 1. P. 015203. DOI: 10.1103/PhysRevE.85.015203.
23. Круглое В.П. Методика и результаты численной проверки гиперболической природы аттракторов для редуцированных моделей распределенных систем // Известия вузов. ПНД. 2014. Т. 22, № 6. С. 79-93. DOI: 10.18500/0869-6632-2014-22-6-79-93.
24. Kuznetsov S.P., Kruglov V.P. Verification of hyperbolicity for attractors of some mechanical systems with chaotic dynamics // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21, no. 2. P. 160-174. DOI: 10.1134/S1560354716020027.
25. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 56, no. 3. P. 227-239. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.08.016.
26. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4-36. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-2-4-36.
27. Gonchenko A.S., Gonchenko S.K, Kazakov A.O., Kozlov A.D. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036. DOI: 10.1142/S0218127418300367.
28. Kuptsov P.V., Politi A. Large-deviation approach to space-time chaos // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 107, no. 11. P. 114101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.114101.
29. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // ДАН. 2008. Т. 418, № 1. С. 23-27.
30. Tucker W. The Lorenz attractor exists // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I - Mathematics. 1999. Vol. 328, no. 12. P. 1197-1202. DOI: 10.1016/S0764-4442(99)80439-X.
31. Gonchenko A.S., Gonchenko S.K, Kazakov A.O., Turaev D.V. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. P. 1440005. DOI: 10.1142/S0218127414400057.
32. Ginelli F., Poggi P., Turchi A., Chate H., Livi R., Politi A. Characterizing dynamics with covariant Lyapunov vectors // Phys. Rev. Let. 2007. Vol. 99, no. 13. P. 130601.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.99.130601.
33. Wolfe C.L., Samelson R.M. An efficient method for recovering Lyapunov vectors from singular
vectors // Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography. 2007. Vol. 59, no. 3. P. 355-366. DOI: 10.1111/j.1600-0870.2007.00234.x.
34. Kuptsov P. V., Parlitz U. Theory and computation of covariant Lyapunov vectors // Journal of Nonlinear Science. 2012. Vol. 22, no. 5. P. 727-762. DOI: 10.1007/s00332-012-9126-5.
35. Shilnikov A.L., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Normal forms and Lorenz attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, no. 5. P. 1123-1139.
DOI: 10.1142/S0218127493000933.
36. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors// International Journal of Bifurcation and Chaos. 2021 (в печати).
37. Benedicks M., Carleson L. The dynamics of the Henon map // Annals of Mathematics. 1991. Vol. 133, no. 1. P. 73-169. DOI: 10.2307/2944326.
38. Mora L., Viana M. Abundance of strange attractors // Acta mathematica. 1993. Vol. 171, no. 1. P. 1-71. DOI: 10.1007/BF02392766.
39. Wang Q., Young L.-S. Toward a theory of rank one attractors // Annals of Mathematics. 2008. Vol. 167, no. 2. P. 349-480. DOI: 10.4007/annals.2008.167.349.
40. Chigarev V., Kazakov A.O., Pikovsky A.S. Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2020. Vol. 30, no. 7. P. 073114. DOI: 10.1063/5.0007230.
41. Быков В.В., Шильников А.Л. О границах области существования аттрактора Лоренца // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1989. С. 151-159.
42. Creaser J.L., Krauskopf B., Osinga H.M. Finding first foliation tangencies in the Lorenz system // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2017. Vol. 16, no. 4. P. 2127-2164.
DOI: 10.1137/17M1112716.
43. Roshchin N.V. Unsafe stability boundaries of the Lorentz model // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1978. Vol. 42, no. 5. P. 1038-1041. DOI: 10.1016/0021-8928(78)90049-7.
44. Шильников Л.П.. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В книге: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С. 317-335.
45. Шильников Л.П. Избранные научные труды Л.П. Шильникова // Университет ННГУ им. Лобачевского (ред. Афраймович В.С., Беляков Л.А., Гонченко С.В., Лерман Л.М., Морозов А.Д., Тураев Д.В., Шильников А.Л.), 2017.
46. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019. 546 с.
47. Шильников А.Л.Бифуркации и хаос в модели Мариока-Шимицу. Часть 2 // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр. Горький: ГГУ, 1988. C. 130-138.
48. Golmakani A. and Homburg A.J.Lorenz attractors in unfoldings of homoclinic-flip bifurcations //Dynamical Systems. 2011. Vol. 26, no. 1. P. 61-76. DOI: 10.1080/14689367.2010.503186.
49. Xing T., Barrio R. and Shilnikov A.L. Symbolic quest into homoclinic chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. P. 1440004.
DOI: 10.1142/S0218127414400045.
50. Сатаев Е.А. Отсутствие устойчивых траекторий у неавтономных возмущений систем типа системы Лоренца// Матем. сб. 2005. Т. 196, № 4. С. 99-134. DOI: https://doi.org/10.4213/sm1288.
51. Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model // Phys. Lett. A. 1980. Vol. 76, no. 3-4. P. 201-204. DOI: 10.1016/0375-9601(80)90466-1.
52. Шильников А.Л.Бифуркации и хаос в системе Мариока-Шимицу // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр., Горький: ГГУ, 1986.
C. 180-193.
53. Shilnikov A.L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka model // Physica
D. 1993. Vol. 62, no. 1-4. P. 338-346. DOI: 10.1016/0167-2789(93)90292-9.
54. Capirnki M.J., Turaev D.V., Zgliczyrnki P. Computer assisted proof of the existence of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka system // Nonlinearity. 2018. Vol. 31, no. 12. P. 5410-5440. DOI: 10.1088/1361-6544/aae032.
55. Gonchenko S.V., Gonchenko A.S., Ovsyannikov I.I., Turaev D.V. Examples of Lorenz-like attrac-tors in Henon-like maps // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 48-70. DOI: 10.1051/mmnp/20138504.
56. Gonchenko S.V., Meiss J.D., Ovsyannikov I.I. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation // Regular and Chaotic Dynamics. 2006. Vol. 11, no. 2. P. 191-212. DOI: 10.1070/RD2006v011n02ABEH000345.
57. Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I., TatjerJ.C. Birth of discrete Lorenz attractors at the bifurcations of 3D maps with homoclinic tangencies to saddle points // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, no. 4. P. 495-505. DOI: 10.1134/S1560354714040054.
58. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. On global bifurcations in three-dimensional diffeo-morphisms leading to wild Lorenz-like attractors // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. Vol. 14, no. 1. P. 137-147. DOI: 10.1134/S1560354709010092.
59. Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I. On global bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms leading to Lorenz-like attractors // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 71-83. DOI: 10.1051/mmnp/20138505.
60. Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I. Homoclinic tangencies to resonant saddles and discrete Lorenz attractors // Discrete & Continuous Dynamical Systems Series S. 2017. Vol. 10, no. 2. P. 273-288. DOI: 10.3934/dcdss.2017013.
61. Gonchenko A.S., Gonchenko S.K, Kazakov A.O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. P. 521-538. DOI: 10.1134/S1560354713050055.
62. Гонченко А.С., Самылина Е.А. Об области существования дискретного аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня // Известия вузов. Радиофизика. 2019. Т. 62, № 5. С. 412-428. DOI: 10.1007/s11141-019-09984-9.
References
1. Anosov DV, Aranson SH, Grines VZ et al. Dynamical systems with hyperbolic behavior. Results of Science and Technology. Ser. «Modern problems of mathematics. Fundamental directions». All-Russian Institute of Scientific and Technical Information, Moscow. 1991;66:5-242 (in Russian).
2. Lorenz EN. Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences. 1963;20(2): 130-141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.m;2.
3. Afraimovich VS, Bykov VV, Shilnikov LP. On the origin and structure of the Lorenz attractor. Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. 1977;234(2):336-339 (in Russian).
4. Afraimovich V.S., Bykov V.V., Shilnikov L.P. Attractive nonrough limit sets of Lorenz-attractor type. Proceedings of the Moscow Mathematical Society. 1982;44:150-212 (in Russian).
5. Plykin RV. Sources and sinks of A-diffeomorphisms of surfaces. Mat. sb. 2007;23(2):233-253. DOI: 10.1070/SM1974v023n02ABEH001719.
6. Anosov DV. Dynamical systems in the 1960s: the hyperbolic revolution. In the book: Mathematical Events of the Twentieth Century. Springer, Berlin, Heidelberg. 2006:1-17.
DOI: 10.1007/3-540-29462-7_1.
7. Turaev DV, Shilnikov LP. An example of a wild strange attractor Mat. sb. 1998;189(2): 291-314. DOI: DOI: 10.4213/sm300.
8. Gonchenko SV, Kazakov AO, Turaev DV. Wild pseudohyperbolic attractor in a four-dimensional Lorenz system. Nonlinearity. 2021;34(2):1-30.
9. Guckenheimer J, Williams RF. Structural stability of Lorenz attractors. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1979;50(5):59-72. DOI: 10.1007/BF02684769.
10. Shilnikov LP. A case of the existence of a denumerable set of periodic motions. Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. 1965;160(3):558-561 (in Russian).
11. Shilnikov LP. A contribution to the problem of the structure of an extended neighborhood of a rough equilibrium state of the saddle-focus type. Mat. sb. 1970;10(1):91-102.
DOI: 10.1070/SM1970v010n01ABEH001588.
12. Kuznetsov SP. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale-Williams type. Phys. Rev. Lett. 2005;95(14):144101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.95.144101.
13. Kuznetsov SP. Dynamical Chaos and Hyperbolic Attractors. From Mathematics to Physics. Izhevsk Institute of Computer Science, Moscow, Izhevsk. 2013:488. (in Russian)
14. Kuznetsov SP. Some lattice models with hyperbolic chaotic attractors. Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2020;16(1):13-21. DOI: 10.20537/nd200102.
15. Aframovich VS, Shilnikov LP. Strange attractors and quasiattractors. Nonlinear Dynamics and Turbulence (eds. G.I. Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph), Boston, Pitmen. 1983.
16. Gonchenko SV, Shilnikov LP, Turaev DV. Quasiattractors and homoclinic tangencies. Computers and Mathematics with Applications. 1997;34(2-4):195-227.
DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00124-7.
17. Galias Z, Tucker W. Is the Henon attractor chaotic? International Journal of Bifurcation and Chaos. 2015;25(3):033102. DOI: 10.1063/1.4913945.
18. Gonchenko SV, Ovsyannikov II, Simo C, Turaev DV. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005;15(11): 3493-3508. DOI: 10.1142/S0218127405014180.
19. Gonchenko AS, Gonchenko SV, Shilnikov LP. Towards scenarios of chaos appearance in three-dimensional maps. Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2012;8(1):3-28.
DOI: 10.20537/nd1201001. (in Russian)
20. Gonchenko AS, Gonchenko SV. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps. Physica D. 2016;337:43-57. DOI: 10.1016/j.physd.2016.07.006.
21. Kuznetsov SP, Sataev IR. Hyperbolic attractor in a system of coupled non-autonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones. Phys. Lett. A. 2007; 365(1-2):97-104. DOI: 10.1016/j.physleta.2006.12.071.
22. Kuptsov PV. Fast numerical test of hyperbolic chaos. Phys. Rev. E. 2012;85(1):015203. DOI: 10.1103/PhysRevE.85.015203.
23. Kruglov VP. Technique and results of numerical test for hyperbolic nature of attractors for reduced models of distributed systems. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2014;22(6): 79-93. DOI: 10.18500/0869-6632-2014-22-6-79-93. (In Russian)
24. Kuznetsov SP, Kruglov VP. Verification of hyperbolicity for attractors of some mechanical systems with chaotic dynamics. Regular and Chaotic Dynamics. 2016;21(2):160-174.
DOI: 10.1134/S1560354716020027.
25. Kuptsov PV, Kuznetsov SP. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple
time delays. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018;56(3): 227-239. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.08.016.
26. Gonchenko AS, Gonchenko SV, Kazakov AO, Kozlov AD. Mathematical theory of dynamical chaos and its applications: review part 1. Pseudohyperbolic attractors. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2017;25(2):4-36. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-2-4-36. (in Russian)
27. Gonchenko AS, Gonchenko SV, Kazakov AO, Kozlov AD. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: a tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018;28(11):1830036. DOI: 10.1142/S0218127418300367.
28. Kuptsov PV, Politi A. Large-deviation approach to space-time chaos. Phys. Rev. Lett. 2011; 107(11):114101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.114101.
29. Turaev DV, Shilnikov LP. Pseudohyperbolicity and the problem on periodic perturbations of Lorenz-type attractors. Doklady Mathematics. 2008;77(1):17-21.
DOI: 10.1007/s11472-008-1005-4.
30. Tucker W. The Lorenz attractor exists. Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I -Mathematics. 1999;328(12):1197-1202. DOI: 10.1016/S0764-4442(99)80439-X.
31. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014;24(8):1440005. DOI: 10.1142/S0218127414400057.
32. Ginelli F, Poggi P, Turchi A, Chate H, Livi R, Politi A. Characterizing dynamics with covariant Lyapunov vectors. Phys. Rev. Lett. 2007;99(13):130601. DOI: 10.1103/PhysRevLett.99.130601.
33. Wolfe CL, Samelson RM. An efficient method for recovering Lyapunov vectors from singular vectors. Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography. 2007;59(3):355-366.
DOI: 10.1111/j.1600-0870.2007.00234.x.
34. Kuptsov PV, Parlitz U. Theory and computation of covariant Lyapunov vectors. Journal of Nonlinear Science. 2012;22(5):727-762. DOI: 10.1007/s00332-012-9126-5.
35. Shilnikov AL, Shilnikov LP, Turaev DV Normal forms and Lorenz attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993;3(5):1123-1139. DOI: 10.1142/S0218127493000933.
36. Gonchenko AS, Gonchenko SV, Kazakov AO, Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2021 (in print).
37. Benedicks M, Carleson L. The dynamics of the Henon map. Annals of Mathematics. 1991; 133(1):73-169. DOI: 10.2307/2944326.
38. Mora L, Viana M. Abundance of strange attractors. Acta mathematica. 1993;171(1):1-71. DOI: 10.1007/BF02392766.
39. Wang Q, Young L-S. Toward a theory of rank one attractors. Annals of Mathematics. 2008;167(2): 349-480. DOI: 10.4007/annals.2008.167.349.
40. Chigarev V, Kazakov AO, Pikovsky AS. Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2020;30(7): 073114. DOI: 10.1063/5.0007230.
41. Bykov VV, Shilnikov AL. On the boundaries of the domain of existence of the Lorenz attractor. Selecta Mathematica. 1992;11(4):375-382.
42. Creaser JL, Krauskopf B, Osinga HM. Finding first foliation tangencies in the Lorenz system. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2017;16(4):2127-2164.
DOI: 10.1137/17M1112716.
43. Roshchin NV. Unsafe stability boundaries of the Lorentz model. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1978;42(5):1038-1041.
DOI: 10.1016/0021-8928(78)90049-7.
44. Shilnikov LP. Bifurcation theory and the Lorenz model. Appendix to Russian edition of «The Hopf Bifurcation and Its Applications». Eds. J. Marsden and M. McCraken. 1980:317-335.
45. Shilnikov LP. Selected works of L.P. Shilnikov. Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod (ed. Afraimovich VS, Belyakov LA, Gonchenko SV, Lerman LM, Morozov AD, Turaev DV, Shilnikov AL). 2017 (in Russian).
46. Shilnikov AL, Shilnikov LP, Turaev DV, Chua LO. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part 2. World Scientific Series on Nonlinear Science Series A: Volume 5. 2001:592. DOI: 10.1142/4221.
47. Shilnikov AL. Bifurcations and chaos in the Morioka-Shimizu model. Part II. Methods in Qualitative Theory and Bifurcation Theory, Gorky St. Univ. 1989:130-138 (in Russian).
48. Golmakani A and Homburg AJ. Lorenz attractors in unfoldings of homoclinic-flip bifurcations. Dynamical Systems. 2011;26(1):61-76. DOI: 10.1080/14689367.2010.503186.
49. Xing T, Barrio R and Shilnikov AL. Symbolic quest into homoclinic chaos. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014;24(8):1440004. DOI: 10.1142/S0218127414400045.
50. Sataev EA. Non-existence of stable trajectories in non-autonomous perturbations of systems of Lorenz type. Sb. Math. 2005;196(4):561-594. DOI: https://doi.org/10.4213/sm1288.
51. Shimizu T, Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model. Phys. Lett. A. 1980;76(3-4):201-204. DOI: 10.1016/0375-9601(80)90466-1.
52. Shilnikov AL. Bifurcation and chaos in the Morioka-Shimizu system. Selecta Mathematica. 1991;10(2):105-117.
53. Shilnikov AL. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka model. Physica D. 1993;62(1-4):338-346. DOI: 10.1016/0167-2789(93)90292-9.
54. Capinski MJ, Turaev DV, Zgliczynski P. Computer assisted proof of the existence of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka system. Nonlinearity. 2018;31(12):5410-5440.
DOI: 10.1088/1361-6544/aae032.
55. Gonchenko SV, Gonchenko AS, Ovsyannikov II, Turaev DV. Examples of Lorenz-like attractors in Henon-like maps. Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2013;8(5):48-70.
DOI: 10.1051/mmnp/20138504.
56. Gonchenko SV, Meiss JD, Ovsyannikov II. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation. Regular and Chaotic Dynamics. 2006;11(2): 191-212. DOI: 10.1070/RD2006v011n02ABEH000345.
57. Gonchenko SV, Ovsyannikov II, Tatjer JC. Birth of discrete Lorenz attractors at the bifurcations of 3D maps with homoclinic tangencies to saddle points. Regular and Chaotic Dynamics. 2014;19(4):495-505. DOI: 10.1134/S1560354714040054.
58. Gonchenko SV, Shilnikov LP, Turaev DV. On global bifurcations in three-dimensional diffeo-morphisms leading to wild Lorenz-like attractors. Regular and Chaotic Dynamics. 2009;14(1): 137-147. DOI: 10.1134/S1560354709010092.
59. Gonchenko SV, Ovsyannikov II. On global bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms leading to Lorenz-like attractors. Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2013;8(5): 71-83. DOI: 10.1051/mmnp/20138505.
60. Gonchenko SV, Ovsyannikov II. Homoclinic tangencies to resonant saddles and discrete Lorenz attractors. Discrete & Continuous Dynamical Systems Series S. 2017;10(2):273-288.
DOI: 10.3934/dcdss.2017013.
61. Gonchenko AS, Gonchenko SV, Kazakov AO. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone. Regular and Chaotic Dynamics. 2013;18(5):521-538.
DOI: 10.1134/S1560354713050055.
62. Gonchenko AS, Samylina EA. On the region of existence of a discrete Lorenz attractor in the nonholonomic model of a Celtic stone. Radiophysics and Quantum Electronics. 2019;62(5):369-384. DOI: 10.1007/s11141-019-09984-9.
Гонченко Сергей Владимирович - родился в 1953 году в Горьком. Окончил Горьков-ский государственный университет имени Н.И. Лобачевского (1975). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1983, ГГУ) и доктора физико-математических наук (2004, ГГУ) по специальности «дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Автор монографии «Гомоклинические касания» (в соавторстве с Л.П. Шильниковым). Опубликовал более 150 научных статей по направлениям, указанным выше. Федеральный профессор в области математики. Работает в ННГУ, заведующий лабораторией динамических и управляемых систем (с 2011).
Россия, 603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 Нижегородский национальный исследовательский университет имени Н.И. Лобачевского E-mail: sergey.gonchenko@mail.ru
Кайнов Максим Николаевич - родился в 1987 году, окончил радиофизический факультет Нижегородского государственного университета имени Н.И. Лобачевского. Занимается разработкой быстрых методов параллельных вычислений для изучения хаотической динамики многомерных систем.
Россия, 603155 Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» E-mail: maxkaynov@gmail.com
Казаков Алексей Олегович - родился в 1987 году, окончил Нижегородский государственный университет имени Н.И.Лобачевского (2010). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (2013, НИУ МИФИ) по направлению «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». Работает доцентом на кафедре фундаментальной математики и ведущим научным сотрудником международной лаборатории динамических систем и приложений, НИУ ВШЭ (Нижний Новгород). Его научные интересы связаны с исследованиями динамического хаоса, бифуркаций и странных аттракторов. Опубликовал более 50 научных работ, в том числе более 30 статей в журналах, индексируемых в Web Of Science.
Россия, 603155 Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д.25/12 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» E-mail: kazakovdz@yandex.ru
Тураев Дмитрий Владимирович - родился в 1963 году, окончил Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1991, ГГУ) под рук. Л.П. Шиль-никова. Работает профессором в Имперском колледже (Лондон, Великобритания), является научным руководителем лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ. Специализируется в области теории динамических систем и бифуркаций. Опубликовал более 130 статей, (около 100 из которых в журналах WebOfScience), 2 монографии на английском, русском и китайском языках. Является членом редколлегий журналов «Nonlinearity» (Q1) и «Dynamical systems» (Q2).
United Kingdom, SW7 2AZ London, 180 Queen's Gate
Department of Mathematics, Imperial College London
Россия, 603155 Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д.25/12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
E-mail: d.turaev@imperial.ac.uk
