CC BY
13Лагранжева механика и сухое трение
В. В. Козлов
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН 119991, Россия, г. Москва, ул. Губкина, д. 8 к(м!оу@ргап. ги
Получено 29 октября 2010 г.
Сформулирован обобщенный закон сухого трения Амонтона для общих лагранжевых систем со связями. При заменах обобщенных координат компоненты силы сухого трения преобразуются по ковариантному закону, а сама сила удовлетворяет условию Пенлеве. В частности, давление системы на связь не зависит от тензора анизотропного трения. Такой подход проясняет парадоксы сухого трения Пенлеве. В качестве примера получены общие формулы для силы трения скольжения, а также моментов трения качения и верчения твердого тела, соприкасающегося с поверхностью.
Ключевые слова: лагранжева система, анизотропное трение, условие Пенлеве
V. V. Kozlov Lagrangian mechanics and dry friction
A generalization of Amantons’ law of dry friction for constrained Lagrangian systems is formulated. Under a change of generalized coordinates the components of the dry-friction force transform according to the covariant rule and the force itself satisfies the Painleve condition. In particular, the pressure of the system on a constraint is independent of the anisotropic-friction tensor. Such an approach provides an insight into the Painleve dry-friction paradoxes. As an example, the general formulas for the sliding friction force and torque and the rotation friction torque on a body contacting with a surface are obtained.
Keywords: Lagrangian system, anisotropic friction, Painleve condition MSC 2010: 70F40
§ 1. Введение
Законы сухого трения можно считать твердо установленными в случае скольжения твердых тел. Согласно Амонтону, сила трения равна
-»\N\fy (1-1)
где V — скорость, N — давление, ц — коэффициент трения. Если же тело вначале покоилось, а приложенная сила не превосходит |, то тело останется в покое.
Более общо, трение может быть анизотропным (то есть зависеть от направления скорости). В этом случае (1.1) заменяется более общим выражением
-|Л1Ц, (1.2)
где Ф — оператор трения — неотрицательно определен: (Фv, V) ^ 0 для всех V (см. [1]). В общем случае оператор Ф, конечно, зависит еще и от положения скользящего тела.
Законы сухого трения при произвольном движении твердого тела (когда присутствуют качение и верчение тела) еще в полной мере не установлены. Имеется только продвинутый анализ трения верчения, находящийся в качественном согласии с экспериментом [2].
Считается, что при описании движения твердых тел с учетом односторонних связей и сил сухого трения возможны парадоксальные ситуации, когда соответствующая задача Коши не имеет решений. Эти парадоксы открыты Пенлеве и изложены в его книге [3] (относительно современного состояния вопроса см. [4]). Попытки разрешения парадоксов Пенлеве привели к новым важным идеям в теории реализации связей в механике (см. [5, 6]).
На наш взгляд, парадоксы Пенлеве связаны в том числе и с неточным использованием зако-
нов сухого трения при описании динамики систем со многими степенями свободы и неудерживающими связями.
Предлагается посмотреть на законы сухого трения с более общей точки зрения лагран-жевой механики. С одной стороны, это представляет самостоятельный интерес, а с другой — позволит уточнить закон Амонтона при описании динамики твердых тел с односторонними связями. При таком подходе существенное значение имеет свойство ковариантности выражения для силы сухого трения, характерное для уравнений динамики в лагранжевом формализме.
§ 2. Обобщенный закон Амонтона
Пусть х = (х1, ..., хп) — обобщенные координаты механической системы, Т(х, х, і) — ее кинетическая энергия, Q(X, х, і) — внешняя (активная) сила, действующая на систему, / (х) ^ 0 — односторонняя связь. Все эти функции считаются гладкими. Кроме того, матрица вторых производных
д2Т
А =
(2.1)
дхгдх3
положительно определена, а функция / не имеет критических точек на гиперповерхности связи {х: /(х) = 0}. Совокупность величин (2.1) образует дважды ковариантный тензор — «тензор инерции», который можно рассматривать как метрический тензор в точке х в момент времени і.
Считая поверхность {/(х) = 0} «шероховатой», запишем уравнения движения со множителем связи:
§тХ_§т = 13 + ха1 + к (2.2)
дх) дх дх
Здесь Е — сила сухого трения, которую следует еще доопределить. При движении по поверхности к дифференциальному уравнению (2.2) следует добавить алгебраическое соотношение
I (х) = 0. (2.3)
Замечание. Большинство авторов включают силу трения в реакцию связи, считая тем самым связи неидеальными: работа реакций на возможных перемещениях системы, вообще говоря, отлична от нуля. Но тогда при выводе уравнений движения уже нельзя использовать принцип Да-ламбера-Лагранжа, справедливый только для систем с идеальными связями. Наша точка зрения состоит в том, что связи по-прежнему следует считать «идеальными» (то есть справедлив принцип
Даламбера-Лагранжа), а силу трения надо отнести к «активным» силам, доопределив их в соот-
ветствии с физической природой трения.
Слагаемое Я = {Яг}, где
Щ = А—, (2.4)
дхг
— реакция связи. Ее величина \ Я\ равна давлению, которое оказывает система на связь (2.3). Однако эта величина нуждается в строгом определении. Сила (2.4) — ковектор, и величина \Я\ зависит от выбора метрики в линейном кокасательном пространстве в точке х и в момент времени Ь. Имея естественную метрику (2.1), мы можем положить
|2 = \2 ( д1 л-1 д1
ІяГ-АЧаї’А ё£> (2'5)
Скобка обозначает свертку ковектора и вектора (или, на более инвариантном языке, значение ковектора на векторе). Отметим, что компоненты одновалентного тензора
А~1 —
дх
при заменах переменных преобразуются по контрвариантному закону.
Теперь мы можем определить закон сухого трения:
Р = — |-й|т77) (2.6)
\х \
где \х\2 = (Ах, х), а Ф = ||ФгзУ — тензор сухого трения. Ясно, что наборы чисел
Фгз х 3
(по повторяющимся индексам предполагается суммирование) образуют ковектор; этому условию и должны удовлетворять компоненты силы как ковектора. Тензор Ф, конечно, может зависеть от точки конфигурационного пространства х и времени. Таким образом,
закон (2.6) задает анизотропное сухое трение. Забегая немного вперед, заметим, что изо-
тропное трение отвечает случаю, когда
Ф = кА, (2.7)
где к — «приведенный» коэффициент сухого трения.
Оператор трения Ф должен удовлетворять еще двум важным условиям. Во-первых.
(Фх, х) ^ 0 (2.8)
для всех скоростей х (при всех значениях х и Ь). Это естественное свойство отвечает условию рассеяния энергии при добавлении трения. Неравенство (2.8) эквивалентно условию неотрицательности всех главных диагональных миноров симметричной матрицы Ф + Фт (критерий Сильвестра). Символ «Т» означает транспонирование матрицы.
Во-вторых.
при некотором р £ М. Это условие также должно выполняться для всех х и Ь. Соотношение (2.9) заведомо выполнено для изотропного трения (2.7), если положить р = к.
Механический смысл условия (2.9) мы обсудим в § 4. А сейчас покажем, что при его выполнении из системы уравнений (2.2) и (2.3) можно однозначно найти множитель Лагранжа как функцию от х, х и Ь. Более того, множитель Л не будет зависеть от компонент тензора трения. Таким образом, не решая уравнений движения, мы находим реакцию Я как функцию состояния системы и времени и тем самым уже окончательно задаем закон сухого трения (2.6).
Действительно, при х = 0 уравнение (2.2) можно представить в виде
д!
Ах = X + \— + т/Фх, (2.10)
где X — известная вектор-функция от состояния х, х и времени Ь, а V — пока неизвестный скалярный коэффициент. При движении на связи Л > 0. Следовательно, согласно (2.5),
V = Лф, где ф — известный скалярный множитель. Из (2.10) имеем
х = А~1Х + \А~1 (^^ + фф±^. (2.11)
С другой стороны, дважды дифференцируя (2.3) по Ь, получаем
%' *) = (2Л2)
где 2 — известная функция от х, х и Ь.
Подставляя (2.11) в (2.12), получаем алгебраическое уравнение относительно множителя Лагранжа:
л (а-1
д! 1^.
Т— + фФх дх
Далее, по условию (2.9)
согласно уравнению связи. Остается заметить, что
А-% Ш>0
дх дх
ввиду положительной определенности оператора инерции и предположения о регулярности связи. Согласно (2.13), множитель Лагранжа Л становится известной функцией от состояния системы и времени. Но тогда однозначно определяется и сила трения:
§ 3. Принципы покоя и движения
Пусть в некоторый момент времени ¿0 система покоится (х = х0, х = 0). В каком случае она начнет движение при Ь > Можно сформулировать различные принципы покоя и движения систем с сухим трением. Поскольку сила сухого трения имеет сингулярность при х = 0, то эти принципы не вытекают непосредственно из уравнений движения. Их следует считать неотъемлемой частью закона Амонтона.
Обычно исходят из следующего принципа: сила трения покоя по величине не превосходит возможной силы трения того же направления при движении системы (см., например, [7, 8, 4]). В качестве примера рассмотрим систему
которая описывает движение системы в евклидовом пространстве с сухим трением. В равновесном состоянии / = —Е, где Е — сила трения покоя. Возможная сила трения при движении определяется из равенства
то система с сухим трением приходит в движение. Эти условия установлены в [4, 7, 8] при п = 2.
Ниже формулируется другой принцип покоя и движения, применимый для систем самого общего вида. Перепишем уравнение (2.11) в более компактном виде:
д± А-1 —
дх ’ дх
(х, Ах)
(3.1)
где ц> 0 — некоторый вещественный множитель. Отсюда
V = іі\у\Ф-1Г.
Следовательно, соответствующая сила сухого трения при движении равна
Фv
(3.2)
то система остается в покое, и если
(ф-1/, ф-1/) > і,
(3.3)
¡¿ = д + <р*х Ф = А~1Ф.
(3.4)
Здесь ц и ф — известные гладкие функции от х, х и Ь. Представим уравнение второго порядка (3.4) в виде системы из 2п дифференциальных уравнений первого порядка
Ее правые части, очевидно, непрерывны и удовлетворяют условию Липшица. Следовательно, для системы (3.6) справедлива теорема существования и единственности решений. Ясно, что каждое из состояний
будет положением равновесия системы (3.6).
Предложим следующий дополнительный принцип, выражающий условия покоя и движения при сухом трении: если равновесие (3.7) системы (3.6) устойчиво по Ляпунову, то рассматриваемая система с сухим трением будет покоиться, а если это равновесие неустойчиво, то система придет в движение.
Для иллюстрации этого принципа сначала рассмотрим простейший пример одномерного скольжения, описываемый дифференциальным уравнением
Здесь / — постоянная внешняя сила, а ц> 0 — коэффициент трения. Система (3.6) в этой задаче имеет вид
Если \/\ < л, то равновесие (3.7) устойчиво: скорость V экспоненциально быстро стремится к нулю, а значит, и координата х также получает малое приращение. Наоборот, при \/ \ > л имеет место экспоненциальная неустойчивость, поэтому это неравенство выражает условие начала движения. Если \/\ = л, то равновесие (3.7) снова неустойчиво (правда, не экспоненциально). Согласно нашему принципу, при \/\ = л система начинает движение, хотя обычно считается, что сохраняется состояние покоя. Впрочем, это различие не имеет никакого практического значения.
Больший интерес представляет применение нашего принципа к системе (3.1) с постоянной силой /. Будем искать решение второго уравнения соответствующей системы (3.6)
Ф V
х = V, V = д + <р-г-г
(3.5)
и перейдем к новому времени т, полагая
йт = йЬ/^\.
Тогда система (3.5) будет иметь следующий вид:
х = v\v\, V = д^\ + фФ V.
(3.6)
х = х0, V = 0
(3.7)
X = / - тт, ж є м-\х \
X = v\v\
V > 0.
V < 0.
(3.8)
в виде экспоненты
V = СеХт. С Є мга \{0}.
Вектор £ удовлетворяет следующей нелинейной алгебраической системе уравнений
Ф£ + А£ = /\£\.
Полагая п = £/\£\, получим
(Ф + М)п = /,
I — единичный оператор. Если оператор Ф + XI обратим, то
П = (Ф + XI )-1/,
причем «спектральный» параметр X должен удовлетворять соотношению (п, п) = 1.
Если выполнено условие (3.3), то существует положительное X и, следовательно, тривиальное решение системы (3.8) экспоненциально неустойчиво. Для доказательства положим
с(X) = ((ф + XI)-1/, (Ф + XI)-1/).
Эта функция, очевидно, непрерывна при X ^ 0, причем С(0) > 1 согласно условию (3.3). С другой стороны, С(X) ^ 0 при X ^ +го. Следовательно, С(X) = 1 при некотором X > 0. Что и требовалось.
Покажем, что если условие (3.2) заменить строгим неравенством, то система (3.1) останется в состоянии покоя в соответствии со сформулированным выше нашим принципом. Для этого надо сначала доказать устойчивость тривиального равновесия системы (3.8). Воспользуемся функцией Ляпунова
IV = |(Ф“ V V).
Она положительно определена, а ее производная в силу системы (3.8) равна
М[^,а) — ^ (3.9)
где а = Ф-1/. Согласно неравенству Коши,
(у, а) ^ \/(и, у)\/(а, а).
Следовательно, функция (3.9) не превосходит
(V, v)(\а\ — 1),
что отрицательно при V = 0 согласно неравенству (а, а) < 1. Таким образом,
^ —р(V, V), р = 1 — \а\ > 0.
Следовательно, по теореме Ляпунова, равновесие V = 0 системы (3.8) асимптотически устойчиво. Более того, функция т ^ v(т) экспоненциально быстро стремится к нулю при т ^ +го. Поскольку х' = V\V\, то при возмущении система мало отклоняется от своего начального положения.
§ 4. Трение по Пенлеве
Обсудим теперь смысл условия (2.9). Для этого перепишем уравнение движения в виде (2.11):
х = А_1Х + Л А~1^- + иА~1 Фх. дх
Здесь X и V — скалярные функции. Если Q — сила (ковектор), то A-1Q будет уже вектором. Его условно можно назвать силой-вектором.
Условие (2.9) состоит в том, что сила-вектор сухого трения (2.6) лежит (как и вектор скорости х) в касательной плоскости к поверхности связи {/ = 0}.
Действительно,
для всех х из касательной плоскости
х) = 0
дх
тогда и только тогда, когда выполнено (2.9).
К условию (2.9) можно подойти по-другому, обобщая определение силы трения, данное Пенлеве для случая, когда конфигурационное пространство является евклидовым пространством [3]. С этой целью введем в фиксированный момент времени и в данном положении линейное пространство возможных перемещений (скоростей) £ £ М”, удовлетворяющих условию
' §и=°- <“>
Пусть Л — сумма силы реакции и неизвестной пока силы трения. Рассмотрим ее работу на возможных перемещениях: (Л, £). Этот линейный функционал на пространстве всех возможных перемещений (4.1) не определяет однозначно силу Л. Действительно, если
(Л', £) = (Л, £)
для всех £, удовлетворяющих (4.1), то
Л' = Л + р§, реМ- (4.2)
Среди сил (4.2) найдем минимальную по величине. Другими словами, найдем точку минимума квадратичной формы (А-1 Л', Л')/2:
±1(л-ЧА + т)ЛА + т))-о, п-%.
Отсюда
и, следовательно,
(А 1 Л, п) + р(А 1п, п) = 0, (А-1Л, п)
р
(А 1п, п)
Итак.
(4.3)
— сила трения по Пенлеве.
Эта сила удовлетворяет условию (2.9). Действительно, вектор А-1 Е является возможным перемещением системы, что сразу же следует из (4.3): (А-1Е, п) = 0. Для силы сухого трения (2.6) это равенство принимает вид (А-1 Фж, п) = 0 для всех возможных скоростей х или, что то же самое,
(ФтА 1 п, х) = 0.
Это равенство вместе с условием (п, ж), конечно, эквивалентно условию (2.9).
§ 5. Парадокс Пенлеве
Сказанное выше позволяет прояснить некоторые принципиальные моменты, связанные с известным парадоксом сухого трения, отмеченным впервые Пенлеве [3]. Рассмотрим классический пример — движение двух материальных точек с массами Ші и Ш2, соединенных невесомым твердым стержнем длины I, опирающимся одним концом на горизонтальную шероховатую ось. Изначально мы имеем систему с тремя степенями свободы; в качестве обобщенных координат возьмем декартовы координаты ж, у массы Ші и угол §, образуемый отрезком с горизонтальной осью. Односторонняя связь задается неравенством f = у ^ 0.
Будем рассматривать движение системы с учетом связи у = 0 в избыточных координатах ж, §, у. Матрица оператора инерции в этих координатах имеет вид
Она, конечно, положительно определена, но ее элементы зависят от положения системы.
Пенлеве рассматривает случай, когда сухое трение возникает лишь в точке контакта (в точке с массой Ші): оно описывается законом Амонтона с учетом давления стержня на горизонтальную ось. Тогда оператор трения имеет диагональный вид: Ф = diag(к, 0, 0). Но, как легко проверить, при к = 0 соотношение (2.9) не выполняется. Следовательно, согласно § 4, такое взаимодействие стержня и горизонтальной оси нельзя назвать трением по Пенлеве. Кстати сказать, этот факт вытекает и из формулы для давления стержня на ось, в которую явно входит величина коэффициента трения. Напомним, что для трения по Пенлеве нормальная реакция не зависит от конкретного вида закона трения (см. [3]). Поэтому парадокс Пенлеве, возникающий в ходе анализа уравнений движения с односторонней связью, обусловлен нарушением условия (2.9): при достаточно больших значениях коэффициента трения давление стержня на ось определено не для всех положений стержня (ввиду наличия сингулярностей).
В рассматриваемой задаче условие (2.9) выполнено лишь в тех случаях, когда сухое трение описывается оператором
ш1 + ш2 —ш21 8ІП § 0
А = —Ш21 8ІП § Ш2Ї2 Ш21 008 §
0 Ш21008 § Ш1 + Ш2
Ф = АПТ,
причем последний столбец матрицы О имеет вид
(5.1)
(0, 0, и)Т
(5.2)
При этом условии движение системы с анизотропным сухим трением однозначно и корректно определено на всей оси времени. В частности, сила трения зависит от наклона стержня, а также зависит не только от линейной скорости х, но и от угловой скорости отрезка $.
Отметим, что условия (5.1) и (5.2) заведомо выполнены для изотропного трения (2.7). В этом случае матрица О имеет диагональный вид с равными элементами по диагонали.
§ 6. Задача о качении твердого тела
Применим общую теорию сухого трения к классической задаче о качении твердого тела по неподвижной поверхности. Эта динамическая система имеет пять степеней свободы. Положение твердого тела можно задать шестью избыточными координатами: например, тремя декартовыми координатами его центра масс и тремя углами Эйлера, определяющими ориентацию тела в пространстве. Функция / в (2.3), задающая связь — условие контакта тела и поверхности, зависит от вида этой поверхности и формы тела.
Чтобы задать обобщенный закон сухого трения Амонтона, надо определить входящие в формулу (2.6) величины. Пусть О — центр масс тела, р — радиус-вектор точки контакта с началом в точке О, N — реакция связи. Более точно, сила N вычисляется в задаче о скольжении тела по поверхности без трения. Формулу для N можно найти, например, в [9].
Надо иметь в виду, что реакция связи К, фигурирующая в (2.6), это ковектор с шестью компонентами. Но эти компоненты выражаются через компоненты силы N в трехмерном евклидовом пространстве. Пусть V — скорость центра масс, и — угловая скорость тела ('V и и — векторы в подвижном пространстве), т — масса тела, а ,10 — его тензор инерции относительно точки О. Кинетическая энергия — внутренняя метрика — это положительно определенная квадратичная форма
у(ги, ад) + ш). (6.1)
Ее матрица вторых производных имеет вид
А=
где /33 — единичная матрица третьего порядка. Матрицу А легко обратить:
т/3 0 0 7о
А-1 =
(6.2)
Динамические уравнения имеют следующий вид:
т' = ... + N, .10ш = ... + р х N.
Здесь выписаны только слагаемые, существенные для нашего анализа. Следовательно, векторы N и р х N составляют «полную» реакцию связи К. С помощью формул (2.4), (2.5) и (6.2) вычисляется квадрат ее длины во внутренней метрике:
|Е|2 = АО + х Л0, р х М).
Если в каждый момент времени векторы р и N коллинеарны, то
т
Это условие заведомо выполняется, если тело имеет форму шара, центр масс которого совпадает с его геометрическим центром. В частности, в задаче о качении тяжелого однородного шара по горизонтальной плоскости
\К\ = у/тд,
(6.3)
где д — ускорение свободного падения.
Величина скорости |ж| в знаменателе (2.6) определяется как \/‘2Т, где Т задана формулой (6.1). Остается задать тензор анизотропного трения Ф, который должен удовлетворять неравенству (2.8) и условию (2.9). В нашем случае компоненты ковектора д//дх пропорциональны компонентам векторов
п и р х п, (6.4)
где п — нормаль к поверхности в точке контакта.
Все это выглядит особенно просто в задаче о качении тяжелого однородного шара по горизонтальной плоскости. Пусть г — радиус этого шара, V — скорость точки контакта шара с неподвижной плоскостью. Воспользуемся естественным разложением и = О + и1, где О — вертикальный вектор — угловая скорость верчения, а и1 — горизонтальный вектор — угловая скорость качения шара. В этих обозначениях
|ж|2 = т(ь + сУ х г)2 + |тг2(П2 + и'2), а оператор инерции принимает вид
А=
т 0 0 0 тг 0
0 т 0 -тг 0 0
0 0 т 0 0 0
0 -тг 0 3 0 0
тг 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 3
,] = ^тг2. 5
Укажем простое семейство тензоров анизотропного трения
Ф = diag(m^1, т^1, т^1, тг2^2, тг2^2, тг2ц,3), т^ ^ 0.
Безразмерные величины интерпретируются как коэффициенты трения. Этот тензор удовлетворяет условию (2.9), поскольку (согласно (6.4)) компоненты ковектора д//дх пропорциональны 0, 0, 1, 0, 0, 0.
Если ^2 = Лз = 0, то имеем только сухое трение скольжения:
Р = —тдц1~, Б
(V + и' х г)2 + |т,г2{{}2 + и'2) 5
1/2
(6.5)
В отличие от распространенной точки зрения, сила сухого трения скольжения зависит от угловых скоростей верчения и качения.
Пусть Лз = 0. Тогда кроме трения скольжения будем иметь трение верчения, момент которого определяется формулой
М = —тдг2ц2^,
(6.6)
схожей с формулой (6.5). Из (6.5) и (6.6) вытекает, что сила трения и момент уменьшаются с увеличением угловой скорости качения. В принципиальном плане этот эффект допускает экспериментальную проверку.
В самом общем случае, когда = 0, возникает еще дополнительный момент сухого трения качения, формула для которого схожа с (6.6). Если же оператор анизотропного трения Ф не диагональный, то в числителе формул (6.5) и (6.6) будут фигурировать линейные формы по v, Q и ш'. Отметим еще, что если все коэффициенты положительны, то без воздействия дополнительных сил шар прекращает свое движение за конечное время. Этот же вывод справедлив и в общем случае, когда оператор трения положительно определен.
Сделаем несколько замечаний. Формулы (6.5) и (6.6) стоит сравнить с формулами В. Ф. Журавлёва [2], которые аппроксимируют более сложные формулы Контенсу для сухого трения скольжения и верчения. Вместо нашей функции D в знаменателе (6.5) и (6.6), однородно зависящей от скоростей, в [2] фигурируют линейные функции а| v| + в|Q |; а, в = = const > 0. Стоит иметь в виду, что исходная теория Контенсу основана на огрублении физического механизма взаимодействия катящегося шара и плоскости: соответствующая контактная задача упругого взаимодействия рассматривается как статическая. Добавим еще хорошо известный факт, что на самом деле коэффициент трения «чистого» скольжения зависит от скорости и убывает с ее ростом (см., например, [10]). Аналогичные замечания относятся и к более полному анализу, основанному на тех же идеях и учитывающему трение качения [11]. Было бы интересным уточнить теорию Контенсу-Журавлёва, заменяя статические контактные задачи стационарными контактными задачами, когда тело движется с постоянной линейной и угловой скоростью. В нашем подходе структура тензора анизотропного трения Ф должна определяться в ходе решения задачи идентификации неизвестных параметров — элементов матрицы Ф при обработке данных эксперимента.
§ 7. Некоторые обобщения
Развиваемый подход к теории сухого трения просто обобщается на случай, когда на систему наложено несколько связей. Пусть они представляются уравнениями
Л(х) = 0, ..., /р(х) = 0; р<п. (7.1)
Эти уравнения предполагаются независимыми: в каждой точке конфигурационного пространства {х} ковекторы
—, — (7-2)
дх ’ ’ дх [ ;
линейно независимы. Как и в случае одной связи (р = 1), обобщенные координаты х1, ..., хп будут избыточными.
И в этом более общем случае закон сухого трения Амонтона имеет тот же вид (2.6). При этом реакция Я вычисляется с учетом нескольких связей (7.1). Как и при р = 1, формула Я как вектор-функции состояния системы вычисляется без учета трения.
Оператор анизотропного трения Ф снова должен удовлетворять двум условиям. Во-первых,
(Фх, х) ^ 0
для всех возможных скоростей х, удовлетворяющих уравнениям связей
д/1 Л (д/р ^
вх'* =-=Ы'* =0- (7'3)
Во-вторых.
(7.4)
для всех 1 ^ г ^ р и некоторых £ М. Это условие обобщает условие (2.9) при р = 1. Другими словами, линейное пространство размерности р, порождаемое линейными комбинациями ковекторов (7.2), должно быть инвариантным подпространством линейного опе-
инерции А гарантирует, что множители Лагранжа А1, ..., Хр можно однозначно найти как функции состояния системы. В частности, реакция связей
не зависит от тензора трения Ф. Отметим, что условие (7.3) заведомо выполняется в случае анизотропного трения (2.7).
Имеется еще одна возможность обобщения, носящая, впрочем, несколько формальный характер. Речь идет о замене внутренней метрики, в которой вычисляются величины \Я\ и \Х\ в формуле (2.6), на какую-то другую риманову метрику. При таком обобщении возникают новые параметры, подлежащие определению при решении задачи идентификации. По-видимому, такое обобщение на самом деле не вносит ничего принципиально нового в закон сухого трения Амонтона для общих лагранжевых систем.
Наконец, вся эта теория легко распространяется на случай, когда связи зависят от времени: (х, Ь) = 0. Только соответствующие формулы выглядят более громоздко. Вирту-
альные перемещения по-прежнему удовлетворяют уравнению (4.1), а уравнения для действительных скоростей (7.3) усложняются:
Список литературы
[1] Аргатов И. И., Дмитриев Н. Н. Основы теории упругого дискретного контакта. СПб.: Политехника, 2003. 233 с.
[2] Журавлёв В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ, 1998, т. 62, вып. 5, с. 762-767.
[3] Painlevé P. Leçons sur le frottement. Paris: Hermann, 1895 [Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954. 316 с.].
[4] Иванов А. П. Основы теории систем с трением. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», ИКИ, 2011. 304 с.
[5] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2002. 414 с.
[6] Козлов В. В., Трещев Д. В. Биллиарды: Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: МГУ, 1991. 168 с.
[7] Ванторин В. Д. Движение по плоскости с анизотропным трением // Трение и износ в машинах, 1962, т. 16, с. 81-120.
[8] Дмитриев Н. Н. Начало движения тел по плоскости с ортотропным трением // Динамика и устойчивость механических систем. СПб.: СПбГУ, 1995. С. 14-20.
ратора ФтA 1. Условие (7.4) вместе с условием положительной определенности оператора
[9] Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 336 с.
[10] Sommerfeld A. Vorlesungen über theoretische Physik: Bd. 1: Mechanik. 2. Aufl. Leipzig: Akad. Verl., 1944 [Зоммерфельд А. Механика. М.: ИЛ. 1947. 391с.].
[11] Карапетян А. В. О моделировании сил трения в динамике шара на плоскости // ПММ, 2010, т. 74, вып. 4, с. 531-535.
