Сравнительный анализ различных компьютерных реализаций моделей трения в динамике систем тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНЫ, АГРЕГАТЫ И ПРОЦЕССЫ

УДК 531.1 + 681.3.06

Сравнительный анализ различных компьютерных реализаций моделей трения в динамике систем тел

Евгений Борисович Александров, старший преподаватель, e-mail: ajon@land.ru

Илья Константинович Гусев, аспирант, e-mail: diskus1@land.ru

ФГОУ ВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», Москва

Проведен сравнительный анализ некоторых математических моделей трения в точечном контакте, играющих важную роль в системах реального времени, где компьютерная модель должна работать не медленнее скорости протекания реального моделируемого процесса; определены точностные характеристики моделей и скорость работы их компьютерных реализаций; показано, что эти модели в той или иной степени обеспечивают так называемую регуляризацию сил трения модели Амонто-на-Кулона; представлены результаты сравнительного анализа вычислительных экспериментов с компьютерными реализациями моделей динамики контактного взаимодействия на классическом примере Маркеева, в котором быстро вращающийся однородный несимметричный тяжелый эллипсоид при помощи сил трения постепенно «поднимается» на свою большую полуось, начиная вращение вокруг малой полуоси.

Article focuses on a comparative analysis of some mathematical models of friction at a point contact, which play an important role in real-time systems, where a computer model should not work slower than the actual simulated process. The authors defined accuracy characteristics of models and the speed of their computer implementations. It's shown that these models are in varying degrees, provide a so-called regularization of the friction model Amonton-Coulomb. The article gives the results of a comparative analysis of computational experiments with computer implementations of dynamic models of contact interaction of the classic example of Markeev, in which a rapidly rotating uniform asymmetrical hard ellipsoid with friction forces gradually «raised» to its semi-major axis from the rotation around the minor semi axis.

Ключевые слова: модель трения Амонтона-Кулона, регуляризация модели трения, динамика твердого тела. Keywords: friction model Amonton-Coulomb, regularization of the friction, rigid body dynamics.

Введение

Хорошо известно, что основной причиной нарушения работоспособности узлов машин и агрегатов являются нарушения в процессах механического контакта. Соприкасающиеся детали изнашиваются под действием сил трения, возникающих при перемещении деталей относительно друг друга. Физические явления, сопровождающие процессы механического контакта, существенно влияют на потребительские свойства машин и могут приводить к отказам в работе.

С другой стороны, образцы техники, содержащие подвижные компоненты - узлы трения, -являются одними из основных объектов математического и компьютерного моделирования в инженерных задачах. Наличие узлов трения критическим образом влияет на время жизни машин и, естественным образом, на стоимость их разработки

и эксплуатации. Решение задач повышения надежности машин как на стадии проектирования, так и во время эксплуатации, невозможно без эффективного решения динамических задач контактного взаимодействия их деталей и узлов.

Целью данной статьи является вычислительная реализация математических моделей контактного взаимодействия твердых тел и проведение сравнительного анализа полученных моделей с целью определения свойств точности и быстродействия динамических компьютерных моделей для дальнейшего использования в процессе виртуального прототипирования.

Трение в узлах машин бытового назначения

Значительное число видов и подвидов машин бытового назначения содержат узлы и агрегаты с подвижными деталями и компонентами. В этом

случае длительность срока эксплуатации конкретного узла или всей машины критическим образом зависит от характера трибологических процессов, протекающих в области контактирующих поверхностей. Не менее сильное влияние эти процессы могут оказать на качество работы всего агрегата машины бытового назначения.

Характер относительных движений в трущихся деталях машин может быть самым разнообразным. Однако анализ механики этих движений сводится к их двум кинематическим подвидам: 1) относительное скольжение, 2) относительное качение деталей. Данное подразделение является идеальным. При практическом анализе зачастую оказывается, что качение сопровождается или перемежается с проскальзыванием, а скольжение может сопровождаться эффектами обкатывания. Это важное обстоятельство в значительной степени учитывается при реализации компьютерных моделей в данной работе. Для иллюстрации сказанного упомянем несколько примеров образцов техники с реализацией обоих основных типов относительных движений (скольжения и качения).

Во-первых, это кривошипно-кулисный механизма привода компрессора холодильного агрегата, в котором реализуются оба типа относительных движений деталей данного устройства. Качение реализуется в подшипниковых узлах подвески ротора компрессора. Данный узел сам по себе может представлять значительный интерес для механического анализа его работы, поскольку здесь возникают процессы контактного взаимодействия, приводящие, например, к высокочастотным колебаниям деталей всего агрегата и, как следствие, к его износу, и негативно влияющие на работу остальных компонент холодильного агрегата. В кривошипнокулисном приводе больший интерес для анализа могут представлять узлы трения скольжения.

Во-вторых, еще один достаточно типичный пример - подшипниковый узел стиральноотжимной или сушильной машины. Этот узел играет критическую роль при работе агрегата, обеспечивающего работоспособность барабана. Учитывая большие угловые скорости вращения барабана, следует ожидать значительных динамических усилий, возникающих между шариками подшипников и дорожками их колец. Данные динамические усилия являются существенно нестационарными и изменяются сложным образом в процессе вращения барабана. В данной работе (в упрощенной форме) учитывается также возмущенное качение одного твердого тела по другому,

что соответствует внутренним движениям динамически нагруженного подшипника. Следует заметить, что в численных экспериментах оказались реализованными и такие сложно анализируемые эффекты, как фрикционные колебания, когда с высокой частотой периодически или почти периодически перемежаются режимы относительного качения и микропроскальзывания.

Сухое трение в контакте: идеальная модель и методы ее регуляризации

При рассмотрении модели трения следует, прежде всего, выполнить унификацию описания освобождающей связи при помощи кинематических и/или силовых уравнений. Рассмотрим взаимодействие двух тел, имеющих условные обозначения A и B. Силу, действующую на тело A со стороны тела B, обозначим символом FA, а на тело B - символом FB. Введем следующие вспомогательные обозначения:

Fau = (Fa,Па),

FAt FA FAnnA,

Vr = Vpa - VPB ,

Vrn = (Vr,nA),

vrz vr vrn nA.

Если тела разъединены и связь находится в состоянии «полет», то силы взаимодействия равны нулю. Так что имеем три скалярных уравнения:

Fax = 0, FAy = 0, Faz = 0.

С целью дальнейшей унификации уравнений связи для всевозможных направлений вектора nA (нормали к внешней поверхности тела A) введем вспомогательную скалярную переменную v такую, что уравнения разъединенной связи примут вид

Fau = 0, Fat - И1а = 0. (1)

Получилась невырожденная система из четырех линейных уравнений относительно четырех неизвестных величин FAx, FAy, FAz, v. В этом нетрудно убедиться, вычислив определитель соответствующей матрицы: |nA|2 = 1.

В случае контакта силовое условие FAu = 0 заменяется кинематическим условием vrn = 0.

Состояния «скольжение» и «качение» различаются условиями в касательной плоскости. Предполагая для простоты при проскальзывании реализацию модели сухого трения, получаем векторное силовое уравнение в касательной плоскости:

Fat - d-FAn ■ Vri/|Vrr| - vnA = 0, (2)

где d - коэффициент трения скольжения.

При качении же должна быть равна нулю касательная скорость vrT - vnA = 0.

В итоге, можно следующим образом систематизировать уравнения (1) - (2) в различных состояниях связи:

«полет» «скольжение» «качение»

1 1 о vrn = 0 Vrn = 0

Fat - Va = 0 Fat - d-FAn-vJ\vA - via = 0 VrT- Va = 0

Уравнение (2) хорошо «работает» в модели в случае скольжения, если относительная скорость тел в точке контакта не очень мала. Однако при переходе связи из состояния «качение» в состояние «скольжение» и обратно возникает проблема регуляризации уравнения связи (2). Оказывается, здесь можно применить известную аппроксимацию сухого трения регуляризованным выражением для касательной силы:

FAt- vn A =

dF,

ЛгГ

v

dF,

8

при |v rT\>S,

при |vJ<£,

(3)

где предполагается, что 8 << 1 (математические модели других, более сложных регуляризаций касательной силы сухого трения будут далее проанализированы в ходе вычислительного эксперимента).

Известно [1], что в случае применения вышеописанной регуляризации решение приближенной задачи остается близким к решению регуляризо-ванной на асимптотически больших временах. Реализация и моделирование показали, что эта близость выполняется с очень высокой степенью точности. Данный подход полностью решает проблему моделирования переходов между состояниями «скольжение» и «качение».

Наибольшее распространение в инженерной практике получил эмпирический закон трения Амонтона-Кулона

Ft = fFN, (4)

где FT - сила трения; / - коэффициент трения; Fn - нормальная сила.

Зависимость силы трения Амонтона-Кулона от относительной касательной скорости vrT изображена на рис. 1. Впервые этот закон были сформулирован (в неявном виде) Леонардо да Винчи в 1508 г. [2, 3]. В 1699 г. появляются исследования Амонтона, установившего основные законы трения: сила трения пропорциональна нормальной нагрузке и не зависит от площади касания тел. Эти законы получили окончательную формулировку в работах Кулона. Модель (4) хотя и имеет приближенный характер, является вполне пригодной для многих инженерных систем,

рассматриваемых на макроскопическом уровне [3]. Полный анализ физики трения и условий, определяющих величину коэффициента трения,

можно найти в [2 - 6].

В законе Амонто- Рис- 1 йшюстрщж зак°на на-Кулона трение рас- А^нгош-Кулош сматривается только с

механической точки зрения. Более сложные модели [2 - 5, 7, 8], учитывающие физические и химические процессы, протекающие на поверхности взаимодействующих тел, рассматриваются в рамках трибологии и трибохимии. Например, сегодня активно развивается адгезионно механическая теория трения [2 - 5], с точки зрения которой более общим является двухчленный закон [2, 3, 7]

Р = Р + /л. (5)

где Р0 и /1 - параметры, зависящие от свойств поверхности и поверхностных пленок, сил молекулярного взаимодействия между телами и т. д.

Необходимо также отметить работы [8, 9], в которых на основе уравнений топохимической кинетики построена обобщенная модель внешнего трения, представляющая собой решение для кинетики образования и роста ядер адгезионного схватывания на пятнах фрикционного контакта. Такая модель позволяет описать ряд зависимостей силы трения от скорости скольжения, в том числе экспериментальную зависимость Штрибека.

Известно [6, 10, 11], что при переходе из состояния скольжения в состояние качения и обратно возникает проблема регуляризации силы трения, задаваемой при помощи зависимости, представленной на рис. 1. Решению данной задачи посвящено большое количество исследований [6, 11], упомянем лишь некоторые из них. Так, достаточно широко в механике машин применяется следующая аппроксимация сухого трения [6, 10] (рис. 2):

Д

при vr

при vr

> Д,

<Д,

(6)

где А характеризует переход от режима относительного скольжения к режиму относительного почти качения и обратно. (Эта аппроксимация уже упоминалась ранее (см. (3)) с регуляризирующим параметром 3)

v

v

Применяя на практике приближение (6), необходимо помнить, что при угт, близкой к нулю, малые ошибки, возникающие при неустойчивой работе вычислительных алгоритмов, могут привести к существенному искажению динамики исследуемого объекта. Преодолеть указанную трудность позволяет, например, такое решение [12] (рис. 3):

*гт\<^

0

v 1 т J -Д0

Ді -Д0

1

при

при Д0 <|vJ<Ai, (7)

при

vJ >Д

где Л0 и Ai - заданные пороговые значения скорости.

1 - exp I -

(8)

2-J

(9)

дения системы требуется применение более сложных законов трения, например учитывающих не только скольжение, но и верчение.

Рис. 2. Регуляризация модели Рис. 3. Регуляризация модели Амонтона - Кулона по фор- Амонтона-Кулона по форму -мулам (6) лам (7)

Алгоритмы (6) и (7) представляют собой простейшие модификации классического закона Амонтона-Кулона. Более сложную характеристику силы трения (рис. 4) позволяет получить уравнение [13]

где 1 - exp(-3|ут|/д) - множитель регуляризации,

который сглаживает силу трения при переходе от -FT к +FT и обратно.

Похожее решение (рис. 5) можно также получить в рамках модели контактного взаимодействия, предложенной в [14, 15]. При этом для вычисления касательной силы при \игт | < А следует использовать выражение

А V А

Известно [16], что на асимптотически больших временах решение приближенной задачи (6), (9) остается близким к решению классической (4).

Закон сухого трения Амонтона-Кулона позволяет описать простейшую из всех возможных ситуаций, возникающих при контактном взаимодействии узлов машин и механизмов. Во многих задачах для удовлетворительного описания пове-

Рис. 4. Регуляризация модели Рис. 5. Регуляризация модели Амонтона-Кулона по форму- Амонтона-Кулона по формулам (8) лам (9)

Компьютерные модели

для виртуального тестового стенда

Экспериментальные вычисления и верификация разработанных моделей проводились при помощи классического примера из механики: движение тяжелого твердого тела по шероховатой горизонтальной плоскости. В качестве тестового был рассмотрен пример Маркеева, в котором при помощи сил трения быстро вращающийся однородный несимметричный тяжелый эллипсоид постепенно «поднимается» на свою большую полуось, начиная вращение вокруг малой полуоси.

Для оценки точности разработанной ранее в рамках аказуального подхода модели выполнялось сравнение результатов вычислений с поведением точной модели гибридного автомата, построенной по казуальному принципу. Последняя модель представлена в виде трех объектов систем дифференциальных алгебраических уравнений, описывающих частные случаи движения тела: полет, скольжение, качение. Анализируемая же модель представляется в виде одного объекта, в котором реализуются описанные выше регуляризующие процедуры.

Анализ результатов численных экспериментов

Для всех описанных выше моделей трения в точке контакта выполнена компиляция с языка Modélica и прогоны модели на отрезке времени большой длительности (200 с), показавшие высокое качество аппроксимации движения тела.

Общий вид результатов моделирования в визуальном интерфейсе компилятора Dymola показан на рис. 6. Контролировались, в частности, значения х-координаты точки контакта, х-координаты силы трения в контакте и нормальной силы в контакте. Рассмотрим более подробно данные графики.

Рис. 6. Общий вид результатов моделирования

Из рис. 7 видно, что наиболее близкой к поведению точной модели (кривая 1) гибридного автомата является модель, описанная формулой (7) (кривая 2). Самой же дальней по отношению к эталону является компьютерная реализация (кривая 3) следующей формулы:

2 V

*Г = Ая -аг^ —.

На рис. 8. изображена зависимость х-координаты точки контакта от времени, полученная в результате прогона модели на 200-секундном промежутке времени.

Рис. 7. Фрагмент зависимости х-координаты силы трения от времени в увеличенном масштабе

Рис. 8. Зависимость х-координаты точки контакта от времени

На рис. 9 представлена х-координата точки контакта вращающегося и катящегося / скользящего по горизонтальной плоскости тяжелого эллипсоида эталонной модели гибридного автомата

(кривая 1), модели, описанной формулой (7) (кривая 2), а также модели, описанной формулой (10) (кривая 3). Из этого рисунка видно, что модель, реализованная с помощью формулы (10), существенно отличается от остальных моделей, в том числе и от эталонной.

S Plot l£jxl

AcausaCoutomb Con$tre*itSurfeces rAJl] и« j - Acausa

S 1 -2SE-4.

I I ‘

u p* — *2 OP-4 -

3 * U *1 Я-4 -

Й 3 *1 OE-4 -

і § *5 0€-5- 0.661 ss -

74.7? 9S67 ' l 1 ♦2 5£-6 і i > *5 0Є-6

Время, с

Рис. 9. Зависимость х-координаты силы трения от времени в увеличенном масштабе

-7

-8

-9 I

-10

£

п-П

-12

-13

[

|

■ m MW

1 m Mi

I

f

50

100

150

200 Время, с

Рис. 11. Увеличенный фрагмент зависимости нормальной силы в точке контакта от времени

ния в контакте от времени

Рис. 10. Зависимость нормальной силы в точке контакта от времени

На рис. 10 и 11 изображены зависимости нормальной силы в точке контакта от времени (на рис. 11 в увеличенном масштабе). Графики на рис. 11 отражают отличие эталонной модели (кривая 1 ) от моделей, полученных по формулам (7) (кривая 2) и (10) (кривая 3).

По графикам скорости относительного проскальзывания в контакте (рис. 12, 13) можно судить о степени точности компьютерных моделей. Видно, что компьютерная модель, использующая формулу (10) (кривая 3), заметно отклонена от других моделей (кривые 1 и 2).

Рис. 13. Увеличенный фрагмент зависимости скорости относительного проскальзывания в контакте от времени

Таким образом, был проведен обзор моделей контактного взаимодействия, вычислительная реализация математических моделей контактного взаи-

модействия твердых упругих тел. Также был осуществлен сравнительный анализ полученных моделей с целью определения наиболее точных динамических моделей для дальнейшего использования в компьютерном моделировании.

Полученный результат показал, что построенные модели механического контакта позволяют изучить различные динамические эффекты, влияющие на потребительские свойства машин, и могут быть использованы при оценке времени жизни машин с более высокой степенью точности. Выполнен анализ скорости работы различных моделей и их точностных свойств.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новожилов И. В.. Фракционный анализ. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ. 1995.

2. Крагельский И. В., Добычин М. Н., Комбалов В. С. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение. 1977.

3. Современная трибология: Итоги и перспективы // Под ред. К. В. Фролова. М.: Издательство ЛКИ. 2008.

4. Боуден Ф. П., Тейбор Д. Трение и смазка твердых тел. М.: Машиностроение. 1968.

5. Mate, C. M., Tribology on the small scale. A bottom up approach to friction, lubrication, and wear. New-York: Oxford University Press. 2008.

6. Wriggers, P., Computational contact mechanics. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 2006.

7. Горячева И. Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука. 2001.

8. Юдин В. М., Лукашев Е. А., Ставровский М. Е. Трибохи-мия водородного износа. М.: ГОУВПО «МГУС». 2004.

9. Лукашев Е. А. Топохимическая кинетика адгезионного взаимодействия двух твердых тел в процессе трения скольжения // Теоретические и прикладные проблемы сервиса. 2003. № 2(7). С. 13 - 22.

10. Косенко И. И. Реализация компьютерной модели динамики систем твердых тел с освобождающими связями // Математическое моделирование. 2006. Т. 18. № 2. С. 95 - 106.

11. Flores, P., Ambrosio, J., J. Claro, C. P., and Lankarani, H. M, Kinematics and dynamics of multibody systems with imperfect joints. Models and case. Berlin - Heidelberg: SpringerVerlag, 2008.

12. Ambr'osio J., Schiehlen W., ValsekM. (Eds.) Impact of rigid and flexible multibody systems: deformation description and contact models // Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Virtual Nonlinear Multibody Systems, Prague, Czech Republic, June 23 - July 3, 2002. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 2003. p. 57-82

13. Threlfall, D. C, The inclusion of Coulomb friction in mechanisms programs with particular reference to DRAM au programme DRAM // Mechanism and Machine Theory. 1978. V. 13. Iss. 4. P. 475 - 483.

14. Ebrahimi, S., Hippmann, G., and Eberhard, P. Extension of the polygonal contact model for flexible multibody systems // International Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2005. V. 1. Iss. 1. P. 33 - 50.

15. Hippmann, G., An algorithm for compliant contact between complexly shaped bodies // Multibody System Dynamics. 2004. V. 12. No. 4. P. 345 - 362.

16. Новожилов И. В. Условия застоя в системах с кулоновским трением // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. Т. 8. № 1. С. 8 - 14.

Поступила 07.09.2010 г.

Уважаемые коллеги!

Издательство Российского государственного университета туризма и сервиса предлагает вам подписку на ежеквартальные научные журналы, включенные в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, публикации в которых учитываются при защите диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук:

■S «Сервис plus» - индексы 36945, 81641

■S «Вестник Ассоциации вузов туризма и сервиса» - индексы 81617, 81617 ■S «Современные проблемы туризма и сервиса» - индексы 81607, 81607 ■S «Электротехнические и информационные комплексы и системы» - индексы 18064, 42391

ПОДПИСКА производится:

S ЧЕРЕЗ РЕДАКЦИЮ/с любого месяца

■S ЧЕРЕЗ ИНТЕРНЕТ/ http://www.arpk.org/ с любого месяца. Стоимость подписки включает доставку почтой по РФ. Данный вид подписки осуществляется через отделения Сбербанка в течение всего года ■S ЧЕРЕЗ ОТДЕЛЕНИЯ СВЯЗИ по каталогам Агентства «Роспечать» и «Почта России»

■S ЧЕРЕЗ ООО «Интер-почта» по телефону (495)500-00-60, (495)580-9-580 или на сайте www.interpochta.ru ■S ЧЕРЕЗ ООО «Урал-Пресс» на сайте www.ural-press.ru

Подписку на электронные версии журналов, а также отдельных статей можно оформить на сайте Российской универсальной научной электронной библиотеке (РУНЭБ) www.elibrary.ru

Контакты:

Тел./факс (495) 940-83-61, доб. 395

e-mail: redkollegiamgus @maiLru Логачева Ирина Николаевна