Квазистационарные траектории задачи Тейлора для обобщенной модели несжимаемой вязкоупругой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЗАДАЧИ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

О.П.Матвеева, Т.Г.Сукачева

QUASI-STATIONARY TRAJECTORIES OF THE TAYLOR PROBLEM FOR A GENERALIZED MODEL OF INCOMPRESSIBLE VISCOELASTIC FLUID

O.P.Matveeva, T.G.Sukacheva

Институт электронных и информационных систем НовГУ, oltan. 72@mail.ru, tamara.sukacheva@novsu.ru

Рассматривается задача Тейлора для обобщенной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина— Фойгта ненулевого порядка. Указанная задача исследуется в рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа. Доказана теорема существования единственного решения, являющегося квазистационарной траекторией, и получено описание ее фазового пространства.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, фазовое пространство, квазистационарная траектория, несжимаемая вязкоупругая жидкость

This paper considers the Taylor problem for a generalized model of dynamics of the incompressible viscoelastic Kelvin—Voight fluid of nonzero order. This problem is investigated within the theory of the semilinear Sobolev type equations. The theorem of the unique solution existence which is a quasi-stationary trajectory is proved, and the description of its phase space is obtained. Keywords: Sobolev type equations, phase space, quasi-stationary trajectory, incompressible viscoelastic fluid

Введение

Система уравнений

'(1 - XV2)vt = vV2v - (v • V)v +

r nm-1

+ YYA V2w -Vp + f, 0 = V-v,

/ j / j m,s m,s r J ' '

m=1 s=0

dw л —

m,0

- - = v + a w n, m = 1, r,

Pit m m,0> > >

dw

(1)

—т1 = ™ . + а V , ^ = 1, п -1,

Я/ т,£-1 т т,^ ' т ^

а е R , А е Rм

т — т,^ +

моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина—Фойгта ненулевого порядка [1]. Функция V = (Ур..., vn ), V. = V. (х, /), х ей имеет физический смысл скорости течения, функция р = р(х, /) отвечает давлению. Здесь йсК",п = 2,3,4 — ограниченная область с границей Яй класса С 00. Параметры V е К, и X е К характеризуют вязкие и упру-

гие свойства жидкости соответственно. Параметры Ат з определяют время ретардации (запаздывания)

давления, функция f = (/1,...,^), fl = fl(х,/) характеризует внешнее воздействие на жидкость.

Задача Тейлора для системы (1) моделирует ситуацию, когда вязкоупругая несжимаемая жидкость Кельвина—Фойгта занимает пространство между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами

бесконечной длины [2]. Область йсК", п = 2,3,4 (с кусочно-гладкой границей) выбирается так, чтобы на ее границе Я1й (лежащей, например, при п = 3 на двух плоскостях а и р, перпендикулярных оси цилиндров) выполнялось условие периодичности (т е. У(х,айпа = У(х,01 аппр, ^(хЭОпа = ^(х,эапр, 5йп (а и Р) = Я1й, V/ е К+).

Выбирается некоторое стационарное решение V = V (х), V = V (х) системы (1), удовлетворяю-

щее на условию периодичности, а на

З2О = ЗО \ — неоднородным условиям Дирихле (например, течение Куэтта), и исследуется динамика отклонения V = у(х,^,= (х,t) от этого стационарного решения, вызванного начальным условием. Поэтому система (1) приобретает вид

(1 -ХУ2^, = - (V -У)~ - •V)v - (V +

у2.

+ УУ А У2^ -V», 0 = У-V,

/ л / л т,5 т,5 г' ' т=1 5=0

дм Л —

т,0 , 1

-¡г-2- = V + а Л, т = 1, г,

Зt т т,0' > >

(2)

—¡г-2- = ^ , + а ^ ,

Лt т,5-1 т т,5'

5 = 1, и - 1,а е Я , А е Я .

' т ' т - т,5 +

Для системы (1) рассматривается задача Тей-

лора

(3)

v(x,0) = v0(x), (х,0) = (х), Ух е О, v(x, t) = 0, м>т:1 (х, t) = 0, V (х, 0 е З2О х Я, ^ ^ (x, 0 -- удовл. условию периодичности на З1О х Я.

Ранее задача Тейлора для модели нулевого порядка рассматривалась в [3], для ненулевого порядка изучалась в [4], а задача Коши-Дирихле для системы (1) исследовалась в [5]. Целью данной статьи является изучение разрешимости задачи (2), (3). Разрешимость указанной задачи исследуется в рамках теории полулинейных уравнений соболевского типа [6]. В первой части статьи приводятся результаты о разрешимости абстрактной задачи Коши для указанного класса уравнений. Во второй части задача (2), (3) приводится как конкретная интерпретация этой абстрактной задачи.

1. Абстрактная задача Коши

Рассмотрим задачу Коши

и(0) = «0 (4)

для полулинейного уравнения соболевского типа

L и = М(и). (5)

Здесь операторы L е L(U; F) и М е Сш (П; F), и и F — банаховы пространства.

Определение 1. Решением задачи (4), (5) называется вектор-функция

и е Сш((-0;^);П), ^ = У^) > 0, удовлетворяющая уравнению (5) и условию (4).

Хорошо известно, что задача (4), (5) разрешима не для всех начальных данных из банахова пространства П; и даже если решение этой задачи существует, то оно может быть неединственным. Поэтому введем еще два определения.

Определение 2. Банахово Ск-многообразие В называется фазовым пространством уравнения (5), если У«0 е В существует единственное решение

и = и() задачи (4), (5) на некотором интервале

(-^ д т.

Определение 3. Решение и = и(() задачи (4),

(5), для которого выполняется Ь и0 = 0 Vt е (-t0;t0),

где и0 = Ри, называется квазистационарной траекторией уравнения (5).

Здесь и = и0 + и1, и0 еП0, и1 еП1, П = П0 ©П'.

Р — проектор банахова пространства П на П0.

Предположим, что оператор Ь бирасщепляю-щий, т.е. его ядро кегЬ и образ im Ь дополняемы в пространствах П и F соответственно [8]. Обозначим через М7 е Ь(П; F) производную Фреше опера-и0

тора М в точке и0 еП и введем в рассмотрение цепочки М7 -присоединенных векторов оператора Ь,

и0

которые будем выбирать из некоторого дополнения coim Ь к ядру кегЬ в банаховом пространстве П. Введем в рассмотрение условие

(А1). Независимо от выбора сот Ь любая цепочка М7 -присоединенных векторов любого вектора и0

фе кегЬ\ {0} содержит точно р элементов.

Обозначим через Ь сужение оператора Ь на сот Ь. В силу теоремы Банаха о замкнутом графике оператор Ь: сот Ь ^ т Ь — топлинейный изоморфизм. Положим п0 = кег Ь и построим множества П° = АГ9[П00], д = 1, р, где А = Ь-1М^.

Очевидно, множества П0 с со1т Ь являются линейными пространствами, следовательно, образ FP = МО [П»0 ] есть тоже линейное пространство,

причем Fp0 п т Ь = {0} (если выполнено (А1)). Введем в рассмотрение еще одно условие

(А2). F0 © т Ь = F. Уравнение (5) перепишем в виде Ь и = М7 и + F(«),

(6)

где F = М- М е Сш (П; F) по построению. Подейст-

и0

вовав на уравнение (6) последовательно проекторами

Qq : F ^ Fq0 (Fo0 = М^0], д = \~р) и I - 0, получим эквивалентную систему

Ь и0 = М7 и0 + К (и),

1 и 0 0Ч

Ьи0 = М7 и0 , + Б ,(и),

р и0 р-1 р-1ч "

0 = М7 и0 + Б (и),

и0 р р4

Ь и1 = (I - 0)М(и),

(7)

где и° е П°, Б = 0д К(и) + 0д Ми и1, д = 1, р, и1 е П1.

Лемма 1. Пусть операторы Ь е L(U; F),

М е Сш (П; F), причем Ь — бирасщепляющий оператор, и выполнены условия (А1) и (А2). Тогда уравнение (5) эквивалентно системе (7).

Замечание 1. В условиях леммы 1 оператор Mu (L, p) ограничен в точке u0 [9].

Займемся поисками решения задачи (4), (5). Для выделения квазистационарных траекторий из множества возможных решений задачи (4), (5) наложим еще одно условие.

Рассмотрим множество U = {u eU :u°q = const,

q = 1, p}. Как нетрудно видеть, U — полное аффинное многообразие, моделируемое подпространством U00 © U1. Пусть точка u0 e U, через Ou с U обозначим некоторую окрестность точки u0.

(А3). F (u) = 0 Vu e O , q = 1, p.

q u0

Теорема 1. Пусть

(i) выполнены условия леммы 1;

(ii) точка u0 e B, где B = {u e U :Q0 M(u) = 0};

(iii) выполнено условие (А3).

Тогда существует единственное решение задачи (4), (5), являющееся квазистационарной траекторией, причем u(t) e B Vt e (-t0,t0).

Доказательство теоремы 1 см., напр., в [4].

2. Конкретная интерпретация

Для редукции задачи (2), (3) к задаче (4), (5) перейдем от системы (2) к ее модификации

y2v. ..тг2.

-Р, 0 = v-v,

(1 - XV2)vt = vV2v - (v • V)v - (v • V)v - (v • V)v +

r nm-1

+ УУ A V2w

/ j / j m,s m,s m=1 s=0

dw Л —

m,0

—¡т-2- = v + a w Л, m = 1, r,

dt m m,0> > >

dw

(8)

-^r-2- = sw , + a w ,

dt m,s-1 m m,s'

; e Л , A e Д .

s = 1, n -1,

Замена р = Ур объясняется тем, что в большинстве гидродинамических задач рассмотрение градиента предпочтительнее рассмотрения давления [10].

Редуцируем задачу (8), (3) к задаче (4), (5). Для этого положим

и = ®КМ,, F = ®К К, К = п + п + ... + п ,

1=0 V 1=0 V 12 г*

где и = Н2 х Н2 х Н , К = Н2 х Н2 х Н , и = Н2 п Н1 =

^ 0 ал р 0 ал р г

= Н2 х Н2, К = L2 = Н х Н , г = 1К. Здесь Н2 —

а Л г а л' ' ^ а

подпространство соленоидальных векторов пространства Н2 п II1, Н2 = (Ж22(й))п, Н1 = #21(й))п, Н —

ортогональное (в смысле L2(й) = (L2(й))n) дополнение к На; На и Нл — замыкания подпространств Н2 и Н2 в норме L2 соответственно, Н = Н .

а л * р л

Обозначим через Е: L2(й) ^ На ортопроектор вдоль Нл . Тогда Ее ¿(Н2пНН1), причем imЕ = На, кег Е = Ц. Элемент пространства и, вектор и(х, /), будет иметь вид

и(х,/) = (и ,и ,и ,ж„,...,V „,ж,,...,ж,,...,V ,,...,V ,), где и = Еv, и = (/ - Е)v, и = р, / = п -1, 5 = 1, г, и

^ а 'л 4 р г' 5 5 ^ ''

/ 000000ч

и(0) = (uа0, ^ Up0, w10,., ^ w11,., wU1,., wr1,., ^), где иа0 = ЕV0, ил0 = (1 - Е)V0, ир0 = ^ Жг°0 = Wг0(X,0),

г = 1, г,Vе1 = ж.(х,0),г = 1,г,у = 1,/; м(х,/) = 0 V(x,/) е ейхК.

V V г

Оператор L определим формулой ^ 0

L =

0 E

(ЕЛ.. Е

где L =

0

0А

ПД П 0

к

П = I-Е, A = 1 -KV2.

0

0 0 0у

Здесь единичная матрица ЕК имеет порядок

К = п. + п +... + п .

1 2 г

Оператор М определим равенством М(и) = М1 и + М2(м),

где матрица М1 порядка К + 3 имеет вид

(

м1 =

vA vA 0 A10A • A 0A r0 A11A • • A4A • AA

vA vA -1 A10A • A0A r0 A11A • • A4A • r „ ■ A, A rln

ЕС ПС 0 0 0 0 0 0

I I 0 a,j 0 0 0 0

I I 0 0 a r 0 0 0

0 0 0 I 0 a1 • 0 0

0 0 0 0 0 0 a1 • 0

0 0 0 0 0 0 0 a

Г

М2(и) — вектор-столбец с К + 3 компонентами, который можно записать в виде М2 = (ЕВ(«а + «л),

ПВ(«а + «л),0, „.,0). Здесь А = ЕД,А = ПД С(иа+ «л) = = У(У • (иа + «л)), В(иа + «л) = -((ита + «л) • У)~ - (А -V) х х(и + и ) - ((и + и ) -У)(и + и ).

4 а л' 44 а л' /ч а л7

Можно доказать аналогично [4], что оператор Ь е L(U;F), причем кегЬ = {0}х{0}хНр х{0}х„.х{0},

К

imL = НахНр х{0}х^ х„.х^, М е Сш(П;F).

Выполнимость условий (А1)-(А3) проверяется аналогично [4]. Доказывается, что любой вектор

ф е кег {0} имеет точно один М7 -присоединенный

и0

вектор независимо от точки и е П. После проверки условий (А1)-(А3) устанавливается справедливость следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть и0 е В. Тогда для некоторого

t0 = t0(u0) существует единственное решение задачи (8), (3), являющееся квазистационарной траекторией и = ^А p, ^^''', Wг0, w11,„, WUl,■■■, Wг1,„, ™НГ) класса Сш((-t0,t0);В) и такое, что и е В для всех

t е (^У.

Здесь В = {и е П: А^ПА^ЕВГ« ) = и , и = 0,

^ кл к 4 а' р л '

иа е На, о е На х Н i = 1, К} — фазовое пространство рассматриваемой задачи Тейлора, где входящие в множество В операторы имеют тот же смысл, что и в [4].

Замечание 1. Вычислительный эксперимент для модели термоконвекции несжимаемой вязкоупру-гой жидкости ненулевого порядка приведен в [11].

Замечание 2. Впервые понятие относительно ограниченного оператора было введено в [12], некоторые направления развития теории уравнений соболевского типа были предложены в [13, 14], а впоследствии были развиты в работах профессора Г.А.Сви-ридюка и его учеников.

Работа выполнена в рамках проекта, поддержанного программой стратегического развития Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого на 2012-2016 гг.

1. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина—Фойгта и жидкостей Олдройта // Труды матем. ин-та АН СССР. 1988. №179. С.126-164.

2. Марсден Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 368 с.

3. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб. матем. журнал. 1990. Т.31. №5. С.109-119.

4. Матвеева О.П. Квазистационарные траектории задачи Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка // Вестник ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирования и программирования. 2010. Вып.5. №16(192). С.39-47.

5. Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельви-

на—Фойгта ненулевого порядка // Изв. вузов. i998. №3(430). С.47-54.

6. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht-Boston: VSP. 2003. i79 p.

7. Свиридюк T.A., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений // Дифф. уравнения. i990. Т.26. №2. С.250-258.

8. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере— Шаудера // Успехи матем. наук. i977. Т.32. №4. С.3-54.

9. Свиридюк T.A., Сукачева Т.Г. Некоторые математические задачи динамики вязкоупругих несжимаемых сред // Вестник МаГУ. 2005. №8. С.5-33.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, i986. 736 с.

11. Матвеева О.П. Модель термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка. Вычислительный эксперимент // Вестник ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирования и программирования. 20i3. № 6(i). C.i34-i38.

12. Свиридюк T.A. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // Доклады Aкадемии наук. i99i. T.18. №4. С.828.

13. Свиридюк T.A., Ефремов A.A. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно p-секториальными операторами // Дифференц. уравн. 1995. Т.31. №4. С.1912.

14. Свиридюк T.A., Семенова И.Н. О разрешимости неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Биссинеска // Дифференц. уравн. i988. Т.24. №9. С.1607.

Bibliography (Transliterated)

1. Oskolkov A.P. Nachal'no-kraevye zadachi dlia uravnenii dvizheniia zhidkostei Kel'vina—Foigta i zhidkostei Oldroita // Trudy matem. in-ta AN SSSR. 1988. №179. C.126-164.

2. Marsden Dzh. Bifurkatsiia rozhdeniia tsikla i ee prilozheniia. M.: Mir, 1980. 368 s.

3. Sviridiuk G.A., Sukacheva T.G. Zadacha Koshi dlia odnogo klassa polulineinykh uravnenii tipa Soboleva // Sib. matem. zhurnal. 1990. T.31. №5. C.109-119.

4. Matveeva O.P. Kvazistatsionarnye traektorii zadachi Teilora dlia modeli neszhimaemoi viazkouprugoi zhidkosti nenulevogo poriadka // Vestnik IuUrGU. Ser.: Mat. modelirovaniia i programmirovaniia. 2010. Vyp.5. №16(192). S.39-47.

5. Sukacheva T.G. O razreshimosti nestatsionarnoi zadachi dinamiki neszhimaemoi viazkouprugoi zhidkosti Kel'vi-na— Foigta nenulevogo poriadka // Izv. vuzov. i998. №3(430). S.47-54.

6. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht-Boston: VSP. 2003. 179 p.

7. Sviridiuk G.A., Sukacheva T.G. Fazovye prostranstva od-nogo klassa operatornykh uravnenii // Diff. uravneniia. i990. T.26. №2. S.250-258.

8. Borisovich Iu.G., Zviagin V.G., Sapronov Iu.I. Nelineinye fredgol'movy otobrazheniia i teoriia Lere—Shaudera // Uspekhi matem. nauk. 1977. T.32. №4. S.3-54.

9. Sviridiuk G.A., Sukacheva T.G. Nekotorye matematicheskie zadachi dinamiki viazkouprugikh neszhimaemykh sred // Vestnik MaGU. 2005. №8. S.5-33.

10. Landau L.D., Lifshits E.M. Gidrodinamika. M.: Nauka. 1986. 736 s.

11. Matveeva O.P. Model' termokonvektsii neszhimaemoi viazkouprugoi zhidkosti nenulevogo poriadka. Vychisli-tel'nyi eksperiment // Vestnik IuUrGU. Ser.: Mat. mo-delirovaniia i programmirovaniia. 20i3. №6 (i). S.i34-i38.

12. Sviridiuk G.A. Polulineinye uravneniia tipa Soboleva s otnositel'no ogranichennym operatorom // Doklady Akademii nauk. 1991. T.18. №4. S.828.

13. Sviridiuk G.A., Efremov A.A. Optimal'noe upravlenie lineinymi uravneniiami tipa Soboleva s otnositel'no p-sektorial'nymi operatorami // Différents. uravn. 1995. T.31. №4. S.1912.

14. Sviridiuk G.A., Semenova I.N. O razreshimosti neodnorodnoi zadachi dlia obobshchennogo fil'tratsionnogo uravneniia Bissineska // Differents. uravn. 1988. T.24. №9. S.1607.