Квазистационарность процессов теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Физика»

^^^^^^^^ Энергоресурсосбережение и энергоэффективность ^^ 23

УДК 697.133

Квазистационарность процессов теплопроводности

О. В. Коршунов,

Объединённый институт высоких температур Российской академии наук

М. Н. Слитков,

Центральный научно-исследовательский институт специального машиностроения

О. Н. Будадин,

Технологический институт «ВЕМО»

С целью разработки новой методологии тепловой диагностики теплоизоляционных конструкций и материалов рассмотрены особенности квазистационарной теплопроводности в плоской стене. Выведены соответствующие критерии для использования стационарных соотношений между тепловыми параметрами среды, накладывающие ограничения на скорость изменения граничных условий.

Ключевые слова: квазистационарные условия, тепловые параметры, теплообмен, теплопроводность, нестационарность.

Вопросы о стационарности и квазистационарности характеристик среды неизбежно возникают при анализе любых протекающих в ней процессов. Так, например, в кинетике низкотемпературной плазмы разработана целая система критериев квазистационарности внутренних параметров нестационарной в целом плазмы [1]. Сопоставляя характерные времена релаксации этих параметров, происходящей вследствие различных атомных и молекулярных процессов, даже в короткоживущих плазменных образованиях удаётся выявить квазистационарные состояния, в которых можно не учитывать производные по времени [2, 3].

Свои особенности перехода в квазистационарный режим имеют процессы теплопроводности. В отличие от элементарных процессов и плазмохимических реакций они всегда пространственно направлены и поэтому анизотропны и неравновесны даже в однородной среде. Связь с координатами присуща критериям их стационарности (и квазистационарности), которые мы и рассмотрим здесь на примере одномерной задачи теплопроводности для плоской стены с постоянными теплофизическими характеристиками материала и переменными граничными температурами.

Наша цель состоит в применении понятия квазистационарности к процессам теплопроводности, получении аналитических выражений для условий и погрешности квазистационарного приближения и исследовании их. Это является основой для рассматриваемой в [4-6] новой квазистационарной методологии контроля тепловых параметров различного рода теплоизоляционных конструкций и материалов, включая ограждающие наружные стены зданий и сооружений [7, 8], а также объекты авиационной и ракетно-космической техники [9], энергетики [10] и ряда других отраслей промышленности (более подробно о задачах тепловой диагностики см. [4-10] и цитируемую там литературу).

Сама потребность в квазистационарной методологии, возникшая при тепловой диагностике объектов, находящихся в открытой атмосфере, больше всего обусловлена недостижимостью длительного постоянства теплопередачи из-за постоянно меняющихся граничных условий. Решения же некорректной обратной задачи теплопроводности крайне чувствительны к погрешности измерений тепловых параметров, вследствие чего описываемые в литературе нестационарные численные модели [7-9] имеют ограниченное практическое применение.

В работе [4] квазистационарный метод был предложен и испытан на экспериментальных данных, в [5] разработана система критериев его практической применимости, в [6] он распространён на многослойные стены. Здесь мы рассмотрим общую картину условий квазистационарной теплопроводности.

Стационарные условия

Условия стационарности, как таковые, не зависят от вида процесса и состоят в постоянстве, неизменности внутренних параметров среды, что означает равенство нулю соответствующих производных по времени (скоростей изменения). В задачах теплопроводности это относится к пространственному распределению температур: dТ(Z,t)/dt=Т'=0, где Т - температура, t - время, Z=0-D - поперечная пространственная координата плоской стены толщиной D. Здесь и далее Т ' обозначает только производную по времени.

Соответствующие стационарные соотношения между параметрами теплопередачи среды (стены) хорошо известны [11]. Они следуют из уравнения теплопроводности, которое в нашем простейшем случае принимает вид [10, 11]:

срТ '^,^=М2Т /dZ2=-dq(Z,t)/dZ, (1)

шивпит

= 24

Энергобезопасность и энергосбережение

где

X — теплопроводность;

с - теплоемкость; р - плотность материала стены; q=-XdT/dZ - плотность теплового потока.

В дальнейшем будем использовать также обозначения: R=D/X - термическое сопротивление, ДТ=Тв-Тн - перепад температур между внутренней и наружной (относительно ограждаемого помещения) поверхностями стены, qв - плотность теплового потока на внутренней ^=0) поверхности стены. Для определенности будем полагать ДТ, qв>0 (внутренняя поверхность теплее наружной).

Для того чтобы получить условия стационарности, определяющие область применимости равенства Т'=0, и вытекающих из него стационарных соотношений, проинтегрируем (1) в общем виде от 0 до Z<D:

срО

= ф/Л7(м) = <?в(0-<7(лО. (2)

срD |Т/(^)| <^в(<).

(3)

мой скорости изменения средних температур, что и понятно: тепловой баланс стены не может перестраиваться моментально в силу ее тепловой инерции. Для того чтобы при этом не нарушались стационарные соотношения, изменения должны происходить медленно, соответствуя условиям (3) и (5).

При таком умеренном, ограниченном этими условиями, изменении тепловых параметров следует говорить о квазистационарном процессе теплопроводности, который подчиняется стационарным соотношениям. В этом смысле их можно записать для слабых временных зависимостей температур и тепловых потоков:

q(z,t)=q(0,t), ДТ^)^ q(0,t), т^)=Тв^)-ДТ(Ф,

(6)

(7)

(8)

Для упрощения записи здесь введена приведённая координата z=Z/D.

Меняя местами знаки интегрирования и дифференцирования, видим слева в квадратных скобках скорость изменения первой интегральной температуры Т1, характеризующей слой стены между координатами 0 и z. Условием малости левой части, которое сводит выражение (2) к постоянству по z теплового потока, является условие малости этой производной по сравнению с любым из двух членов правой части:

Это условие стационарности теплового потока. Другое условие стационарности получается после второго интегрирования уже по всей толщине стены:

= срОХХО = Яъ (/)£>" АТ(Г)Х. (4)

Также меняя местами знаки интеграла и производной, видим слева в квадратных скобках скорость изменения второй интегральной температуры Т2, являющейся результатом усреднения Т1 по всей толщине стены. Пренебречь левой частью уравнения (4) и привести его к стационарному виду можно при условии, схожем с (3):

срD |Т2'^) «qв(t)=ДT(t)/R. (5)

Это условие стационарности отношения общего перепада температур к плотности теплового потока.

Последнее условие стационарности, определяющее область действия стационарного температурного распределения ДT(z)=zДT, получается при интегрировании уравнения (2), но уже не до z=1, а по толщине слоя 0^. Подставляя qв(t)D из (4) и опуская несложные выкладки, находим, что это условие мягче условия (5) и далее нами не рассматривается.

Квазистационарность

Данные условия ограничивают применимость стационарных соотношений, ставя предел допусти-

и это уже квазистационарные соотношения. Они получаются из интегральных уравнений теплопроводности при выполнении условий (3) и (5), соответственно, которые поэтому можно назвать условиями квазистационарности, понимая, что стационарность является идеальной физической абстракцией.

Итак, квазистационарными являются такие изменения характеристик среды, к которым применимы стационарные соотношения. В пределе возникает стационарность - неизменность этих характеристик. Их слабые изменения - это квазистационарность. Меру «слабости» определяют квазистационарные условия (3) и (5), накладываемые на левые части интегральных уравнений теплопроводности (2) и (4) соответственно.

Полученные таким образом малые параметры срD|Тl'|^в и т0|Т2' |/ДТ позволяют контролировать точность выполнения соотношений (6)-(8), являясь погрешностями квазистационарного приближения.

Влиянием начальных условий на условия квазистационарности пренебрегаем по определению. Временной масштаб квазистационарных процессов должен быть намного больше времени тепловой инерции стены, поскольку включает в себя время экспоненциального спада нестационарной составляющей до пренебрежимо малой величины. При этом тепловые параметры достигают своих асимптотических значений, которые в общем случае не являются квазистационарными, а лишь при выполнении найденных нами условий.

Следует отметить, что понятие квазистационарности используется и для одного, и для нескольких параметров нестационарного в целом процесса. Подобные определения имеют место и в фундаментальной литературе по теплопроводности [11], относясь к тепловым режимам, неизменным в движущейся системе координат. Рассматриваемый же в данной работе тип квазистационарности в любой системе координат определяется именно как «почти стационарность». Между данными понятиями нет противоречия, и к этим режимам вполне применим изложенный здесь подход.

вяэмипиии

Энергоресурсосбережение и энергоэффективность ^^ 25 =

Условия квазистационарности

Конкретизируем полученные критерии (3) и (5) применительно к квазистационарному распределению температур (8), которое асимптотически устанавливается в стене при их выполнении. При этом первая интегральная температура (см. левую часть уравнения (2)) равна:

Т!^)=ТВ^ z-ДТ(t)z2/2, (9)

а вторая интегральная температура (см. левую часть уравнения (4)) равна:

Т2(^=ТВ№/3+Тн^/6. (10)

Таким образом, в квазистационарном тепловом режиме между внутренними T1 и T2) и граничными (Тн и Тв) температурами стены существуют асимптотические связи (8)-(10), которые можно использовать для уточнения самих условий квазистационарности (3) и (5). Соотношения (8)-(10) при этом становятся функциями времени и выполняются с точностью, задаваемой неравенствами (3) и (5), т. е. в квазистационарном приближении. Это позволяет конкретизировать условия квазистационарности, подставляя в них производные по времени, полученные при дифференцировании уравнений (9) и (10) в квазистационарном приближении.

Подставив в неравенства (3) и (5) эти производные, получаем:

Т{ =|^2/2)Тн' (t)+(z-z2/2) Тв' ^)|<^в№Д0, 3(а)

Т2' (t)=|Тн' (t)+2Тв' (t)|/6<<ДT(t)/т0. 5(а)

Это и есть условия квазистационарности уравнений (2) и (4) в окончательном виде.

Правую часть условия (3а) (квазистационарности теплового потока) при выполнении условия (5а) (квазистационарности связи перепада температур и теплового потока) можно заменить на ДT (см. (5)).

Условия квазистационарности упрощаются в наиболее распространённых на практике тепловых режимах контролируемого постоянства внутренней температуры Тв' «0 (например, внутри жилых и производственных помещений).

Сопоставляя найденные критерии, видим, что более сложное, зависящее от координаты, условие (3а) при z=1 становится жёстче условия (5а), т. е. оно менее выполнимо для наружных слоёв (внутренний тепловой поток сравнивается с наружным дольше всего). Для внутренних же слоев ^~0) из него следует, что первое квазистационарное соотношение (6) будет работать в любых условиях, даже когда второе квазистационарное соотношение (7) становится неприменимым. В целом можно сказать, что независимое от координаты условие (5а), определяющее малый параметр уравнения (4) и относительную погрешность соотношения (7), более универсально и практично, если исследование не сосредоточено исключительно на распределении тепловых потоков или температур в стене.

Итак, полученные при помощи выражений (8)-(10) условия квазистационарности (3а), (5а) не противоречат единственной при их выводе исходной

предпосылке медленного изменения теплового режима стены (граничных температур). Данное требование малой скорости изменения ^ и Tв даже заложено в этих условиях, которые, тем самым, детализируют исходную предпосылку, выявляя малый параметр задачи и погрешность решения 5. Таковым является наиболее универсальное с практической стороны, не зависящее от координаты отношение: 5=|Тн' +2Тв' К^Д^

Нестационарные состояния

Рассмотрим теперь, оставаясь в рамках той же общей краевой задачи с переменными граничными условиями I рода, могут ли использоваться стационарные соотношения в нестационарном случае.

Проинтегрируем по времени уравнение теплопроводности (4) между такими моментами времени «1» и «2», которые соответствуют стационарным состояниям теплопроводности. Тогда соотношения (8)-(10) выполняются по определению. Опуская несложные выкладки, приведём усреднённый аналог интегрального уравнения теплопроводности (4): Д^/6+ДТв^ =(RqвCP-ДTсP)Дt/т0.

Подобным образом преобразится и уравнение (2).

Условие квазистационарности как малости, ответственной за нестационарность левой части уравнения по сравнению с любым из двух слагаемых правой части, теперь относится к усреднённым по времени значениям температур и тепловых потоков и, в отличии от предыдущих, записывается для средних, а не мгновенных скоростей изменения температур. Это то же самое условие (5а), только записанное в конечных разностях. Такой же замене знаков дифференцирования d на знаки разности подлежат в этом случае и другие условия квазистационарности, оставаясь в остальном неизменными. То же относится к малому параметру усреднённого по времени интегрального уравнения теплопроводности и погрешности квазистационарного приближения.

Таким образом, любой нестационарный переход между двумя стационарными тепловыми состояниями может рассматриваться в рамках квазистационарного приближения. Эта возможность использования средних по времени значений нестационарных тепловых параметров в квазистационарных соотношениях представляет интерес для тепловой диагностики зданий в меняющихся погодных условиях.

Тепловая диагностика

Данные понятия и полученные критерии имеют практическую применимость, так как могут быть положены в основу метрологических методик теплового неразрушающего контроля, связанных с определением тепловых характеристик наружных стен зданий и других термоизоляционных конструкций и материалов [4-9].

Главным образом, это относится к квазистационарному уравнению (7), записанному как для средних, так и мгновенных значений qв и Д^ и условиям, при которых оно работает - неравенству (5а).

Использование уравнения (7) позволяет избежать физико-химических исследований внутреннего

шивпит

= 26

Энергобезопасность и энергосбережение

состава стены или сложных численных расчетов некорректной обратной задачи теплопроводности [4, 8, 9] при определении важнейшей теплотехнической характеристики стены - термического сопротивления R, требуя для этого только одних внешних измерений температуры и теплового потока.

Использование условия (5а) позволяет правильно сформулировать эту экспериментальную задачу и обработать полученные данные [4, 5], выявляя области действия квазистационарного уравнения (7) и экспериментальную погрешность.

Этот подход был применен нами к экспериментальным данным тепловых обследований кирпичной стены в реальных погодных условиях. В результате выявлен временной интервал действия квазистационарного соотношения (7), в котором условие (5а) выполняется в пределах указанных ГОСТом 15 %, и рассчитано термическое сопротивление стены [4].

Случаи применения рассмотренного выше усреднения по времени интегрального уравнения теплопроводности для определения термического сопротивления стен исследованы на примере разных видов тепловых возмущений наружной поверхности, характерных для реальных атмосферных условий [5].

Таким образом, в настоящей работе понятие квазистационарности применено к процессам теплопроводности, найдены условия квазистационарной теплопроводности и погрешности квазистационарного приближения, обоснована квазистационарная методология контроля теплотехнических параметров.

Авторы выражают благодарность сотрудникам Технологического института «ВЕМО» Д. В. Сеннов-скому и Т. Е. Троицкому-Маркову, предоставившим материально-техническую базу тепловых исследований и способствовавшим появлению на свет цикла статей [4-6], включая данную работу.

Литература

1. Биберман Л. М., Воробьев В. С., Якубов И. Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. -М.: Наука, 1982.

2. Батенин В. М., Коршунов О. В., Чиннов В. Ф. Эволюция состояний пучковой плазмы инертных газов. «Холодная» квазистационарная плазма // ТВТ. - 1986. - Т. 24. - № 1. - С. 9.

3. Эволюция состояний пучковой плазмы инертных газов. Нестационарная плазма // ТВТ. - 1989. -Т. 27. - № 4. - С. 625.

4. Коршунов О. В., Зуев В. И. Измерения термического сопротивления наружных стен // Энергобезопасность и энергосбережение. - 2011. - № 2. - С. 40-45.

5. Коршунов О. В., Зуев В. И. Применимость квазистационарного метода определения термического сопротивления стен // Энергобезопасность и энергосбережение. - 2011. - № 3. - С. 27-34.

6. Коршунов О. В., Зуев В. И. Время тепловой инерции и термическое сопротивление слоистых стен // Энергобезопасность и энергосбережение. - 2011. - № 4. - С. 23-26.

7. Будадин О. Н., Потапов А. И., Колганов В. И. и др. Тепловой неразрушающий контроль изделий. - М.: Наука, 2002.

8. Лебедев О. В., Будадин О. Н., Баранов С. В., Авраменко В. Г. Тепловая дефектометрия многослойных изделий на основе решения обратных задач нестационарной теплопроводности // Контроль. Диагностика. -2007. - № 6. - С. 16-23.

9. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности / Пер. с англ. -М.: Мир, 1989.

10. Петухов Б. С., Генин Л. Г., Ковалев С. А., Соловьев С. Л. Теплообмен в ядерных энергетических установках. Изд. 3. Гл. 2. Уравнение теплопроводности и методы его решения. - М.: Изд-во МЭИ, 2003.

11. Лыков А. В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

Quasi-stationarity of heat conductivity processes O. V. Korshunov,

Joint Institute for High Temperatures of Russian Academy of Sciences. M. N. Slitkov,

Central Science-research Institute of Special Machinebuilding O. N. Budadin

Technological Institute of Energy survey, diagnosis and nondestructive testing «Vemo»

To work out new method of the thermal investigation of heat-insulating constructions and materials was considered of the features of quasi-stationary heat-conduction in flat wall. The applicability criteria for the stationary relations between the wall thermal parameters are shown out, which restrict to the speed of boundary temperatures varying.

Keywords: quasi-stationary conditions, thermal parameters, heat transfer, thermal conductivity, non-stationarity.

вяэмипиии