Квазистатический анализ напряженного и деформированного состояния вязкоупругого полупространства с осесимметричной полостью Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОЛОСТЬЮ

Аршинов Г. А. - к. ф.-м. н.

Кубанский государственный аграрный университет

Исследуется релаксация напряжений вблизи осесимметричных полостей различной конфигурации. Учитывается нелинейная ползучесть вмещающего массива каменной соли.

Расчетная модель строилась из предположения, что осесимметричная полость глубокого заложения образована в однородном изотропном весомом массиве, невозмущенное напряженное состояние которого определяется гидростатическим, линейно зависящим от глубины сжимающим полем напряжений и не испытывает влияния полости при удалении от последней на четыре ее характерных размера.

На горизонтальной границе внешнего контура области, определенной четырьмя характерными размерами полости, действует равномерно распределенная нагрузка Р1 = -уг1, соответствующая давлению массива на глубине а на вертикальной - распределенная нагрузка Р2 = -уг . Нижняя горизонтальная граница не перемещается в вертикальном направлении (рис. 1). Выделенная область массива аппроксимируется сеткой треугольных конечных элементов, представляющих собой сечение меридиональной плоскостью кольцевых треугольных элементов, с помощью которых моделируется массив с полостью.

Уравнения, связывающие напряжения и деформации, были приняты

в виде

Ее у (I) = а у (I) + п[ ( (I) - 35гу (( 1)]+ ]1 ] ас1 ((() - Ьу<5(х(х

У

У

У

2-

(1)

0

у

с параметрами Е = 299х 103кг/см2; V =0,3; а =0,73; Б = 6х 10 6(кг/см2)

(объемный вес галита у = 2,16 х 10

-3

3

кг / см

) [11-

Рисунок 1 - Схема к расчету осесимметричной полости, заключенной в массиве каменной соли

Промежуток времени [0, Ц делится на некоторое число интервалов [*к’*к+1 ] таким образом, чтобы с заданной степенью точности приращение

деформации ползучести в каждом из них определялось напряжениями, достигнутыми к моменту времени t = tk (k=1,2, т.е. в каждом промежутке

[tk,tk+1 ] можно положить

sк = const. (2)

Согласно (1) приращения деформации ползучести за k-й интервал

D(tl-? -tk~а)

De кВ =----------kGfi^k-----s 2 (,k)'Si](,k) -dv s(tk>\

Вышеприведенные выражения принимаются за начальные деформации Ае К и решается система линейных алгебраических уравнений относительно приращений узловых перемещений КАик = АQk, где К - матрица жесткости системы конечных элементов, а АQk - вектор начальной узловой нагрузки.

По найденным из АиК вычисляется полное приращение деформаций Аек в е-м конечном элементе, а затем и приращение упругой составляющей

Ае к = Аек - АеК - В соответствии с законом Гука в каждом элементе определяется приращение напряжений Аа к, вызванное приращением деформаций ползучести Ае к за время Агк = гк+1 - гк. Сумма аК и Аак дает новое поле напряжений, по которому вычисляется приращение вязких деформаций в очередном временном интервале [(к+1 +2]. Шаговая процедура по вре-

мени заканчивается, как только поле напряжений стабилизируется.

Изложенный алгоритм реализован в комплексе программ, с помощью которых рассчитывалось напряженное и деформированное состояние мгновенно образованных равнообъемных, свободных от нагрузки осесимметричных полостей различных форм: шаровой, эллипсоидальной, цилиндрической с шаровыми торцами и цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием.

Центры рассматриваемых хранилищ располагались на глубине Я=1000 м, а отношение характерных размеров в/а для эллипсоидальных конфигураций составляло 0,4, для цилиндрических - 0,2 и 0,4 соответственно. Конечно-элементная аппроксимация состояла из 240 кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения и 147 узловых окружностей.

Рассмотрим полученные результаты. На рисунках 2-5 приведены расчетные эпюры напряжений вблизи поверхности (0,8—1,5 м от нее), емкостей в зависимости от времени ? и угла ф (рис. 1).

о зо 60 90 120 150 180 0 30 60 90 120 150—/8£

100

200

300

400

500

О

100

200

300

О

100

200

Г N > ^ГРЗД

\

\ \ \ \ \ \ \

-7 / / / и / /в \ ч Ч V

t=o

1 кГ 63,сЯг

- — —

лу- \\ . \\

Ф Г А

^ЗОуос

А — — ТТ_ Ч’/рад

1 Ч' Г\ ч/ 1 V

41— Г 1 А

/\ и ^=0 V 1

А кГ ©У,см*

/ / ! |\

У7 /лг ум IV 1А I / -V-

г/ ^=30час 1' \

'> ^ \ \

У /

С

1=1год

1/ \

(/ (Л1 ' ' 1 д |/\

1=1 ГОА •у

а .о*.

Рисунок 2 - Релаксация компоненты ор вблизи полости:

а) 1 - цилиндрической с шаровыми торцами (в/а = 0,2);

2 — той же геометрии (в/а = 0,5);

3 — шаровой;

б) 1 — эллипсоидальной (в/а = 0,4);

2 — цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием (в/а = 0,4)

Из рисунков 2-5 следует, что геометрия полостей-газохранилищ в наибольшей степени влияет на упругое распределение напряжений, которое можно рассматривать как начальное для момента времени 1=0. Все эпюры напряжений, соответствующие этому моменту, существенно отличаются друг от друга, особенно в областях интенсивного изменения напряжений. При ?>0 разворачивается процесс нелинейной ползучести в окрестности полости, вызывающей релаксацию напряжений. Последняя интенсивна в первые часы после образования полости. Значительные изменения поля напряжений приурочены к местам их максимальной концентрации

(ф = 0* ,180*), сглаживаемой за счет релаксации.

Напряжные б9 кг/см Напряжение бе кг/см

Значение угла Ч> град Значение угла % град

О 30 60 90 120 150 160 0 30 60 90 120 150 180

100 200 300 400

500 100

200 300 100

200

300

а 5

Рисунок 3 - Релаксация компоненты о0 вблизи полости:

а) 1 -цилиндрической с шаровыми торцами (в/а = 0,2);

2 - той же геометрии (в/а = 0,4);

3 - шаровой;

б) 1 - эллипсоидальной (в/а = 0,4);

2 - цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием (в/а = 0,4)

Так, к 30 ч компонента ор в точках пересечения оси 02 с эллипсои-

^ /■* _ л

дальнои и комбинированном цилиндрическом полостями уменьшается в 2

раза, с шаровой - в 1,7 раза. На участках менее интенсивной концентрации напряжений релаксация выражена слабее.

Значение ума V, град Значение угла V, град

О 30 60 90 120 150 1800 30 60 90 120 150 ISO

О

N 100

\о

43

5 200 1

300

§

400

\\ 1 / I У / N

\г h х3 '1 и \\ г / 1! (/

у\ 1 ■ / \ — 7\ у N ✓ ~7 1 Л Я \1

-6z, кг/ск гг ~6г* кг/т г ь

о

100

1

§ 200 §

=С 300

о

Z 100

I

| 200 I»

к \\ > lj I //) \ \\ л 2 / (f

> 4,1 \ Ч ./ / 1 i

/ Цо :бл

L 3 2 Ш 4t N Ш "7 // /

Is .— — — — .2Ц и 4j \4 чаявшая» 4| 7—■ 1 \ 1

/ / / ? \

-6fi 1

а &

Рисунок 4 - Релаксация компоненты о2 вблизи полости:

а) 1- цилиндрической с шаровыми торцами (в/а = 0,2);

2 - той же геометрии (в/а = 0,4);

3 - шаровой;

б) 1 - эллипсоидальной (в/а = 0,4);

2 - цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием (в/а = 0,4)

Аналогичная картина наблюдается и для компонент о2, о0, орг, так как процессы ползучести и релаксации органично взаимосвязаны.

200 ы 100

Значение угла У, град Значение угла У град О 30 60 90 120 150180 0 30 60 90 120 150 180

I *

ц

\-100

S'

Сз

^ -200

100 о

N

/V /3 1 А 1

V _ >*. ? \

\ \/Cij / 2 ' ч ♦< * t ІІ (

6j>Z, КГ/СК <у 6jOZ, кґ/сь г*

SJ -юо

чГ

3d 100 %

1"

$ О

■юо

хз Л

брг /7 N •

ш

брг. / 1 • • ч \

f ч 1 1

N / * V.y

ш

6pz / 2 's

Q

Рисунок 5 - Релаксация компоненты Opz вблизи полости:

а) 1 - цилиндрической с шаровыми торцами (в/а = 0,2);

2 - той же геометрии(в/а = 0,4);

3 - шаровой;

б) 1 - эллипсоидальной (в/а = 0,4);

2 - цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием (в/а = 0,4)

Ползучесть, описываемая соотношениями (1), и вызываемая ею релаксация напряжений носят затухающий характер. В первые 30 ч после образования полости деформации наиболее интенсивны, и в этом временном интервале происходят значительные изменения поля напряжений вблизи полостей.

По истечении 30 ч ползучесть среды ослабевает, вызывая незначительное перераспределение напряжений. Достаточно отметить, что в промежутке времени от 30 ч до года значение напряжений ор в вершинах эллипсоидальной полости уменьшилось приблизительно в 1,2 раза, тогда как в течение первых 30 ч - в 2 раза. Подобным образом ведут себя и остальные компоненты тензора напряжений. После годичного промежутка времени ползучесть массива практически прекращается и напряженное состояние стабилизируется.

Далее обратимся к анализу распределения перемещений, вызванных деформированием массива каменной соли. На рисунках 6-8 приведены расчетные эпюры дополнительных перемещений точек поверхности полости, фиксируемых углом ф (рис. 1), которые соответствуют начальному (?=0) и конечному ^=1 год) моментам времени.

Перемещения, вызванные ползучестью среды, значительно превосходят соответствующие им упругие перемещения. Так, например, по истечении года максимальные перемещения (ф = 0*,ф = 90°, ф = 180*) превышают упругие (=0) приблизительно в 5 раз в случае шаровой конфигурации; в 4-7 раз - цилиндрической с шаровыми торцами (в/а = 0,2 и в/а = 0,4) и эллипсоидальной (в/а = 0,4); в 4-6 раз - цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским основанием конфигураций полостей.

Аналогично распределению напряжений наибольшие градиенты перемещений наблюдаются в области потолочины и оснований хранилищ,

причем более интенсивно меняется вертикальная составляющая вектора перемещений V.

Максимальные смещения приурочены к вершинам (ф = 0,180*) и экваториальной окружности (ф = 90*). Сравнение максимальных вертикальных

ф = 0,180*) и горизонтальных и (ф = 90*) начальных (?=0) перемещений показало, что первые значительно меньше вторых для всех полостей, исключая шаровую и цилиндрическую с шаровой потолочиной и плоским основанием. В процессе ползучести это различие стирается: максимальные значения компонент и, V приблизительно становятся равными. Таким образом, ползучесть массива каменной соли сглаживает влияние особенностей геометрии хранилища на перемещение точек его поверхности, что вполне согласуется с характером изменения эпюр напряжений в процессе релаксации. Сопоставление упругих деформаций с вязкими и максимальных значений перемещений точек поверхности полости с ее исходными размерами показало, что для данного типа вязкоупругой среды характерны малые деформации, практически не изменяющие начальные размеры, а следовательно, и объемы хранилищ.

Перемещения и,У,СМ

Значение угла %ерад Значение угла % град

а 5

Рисунок 6 - Компоненты перемещений точек поверхности полости: а) - шаровой; б) - эллипсоидальной (в/а = 0,4)

а | ■ &

Рисунок 7 - Компоненты перемещений точек поверхности

полости:

а) - цилиндрической с шаровыми торцами (в/а = 0,4);

б) - цилиндрической с шаровой потолочиной и плоским

основанием (в/а = 0,4)

Рисунок 8 - Компоненты перемещений точек цилиндрической поверхности с шаровыми торцами полости (в/а = 0,2)

Таким образом, в квазистатических задачах нелинейная вязкоупругость существенным образом влияет на процесс деформирования среды в окрестности осесимметричной полости, вызывая заметное перераспределение концентрации напряжений и увеличение перемещений точек сред в сравнении с упругими перемещениями.

Список литературы

1. Ержанов, Ж. С. Ползучесть соляных пород / Ж. С. Ержанов, Э. И. Бергман. - Алма-Ата : Наука, 1977.