CC BY
25
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗМЕРОВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДЗЕМНЫХ ПОЛОСТЕЙ В ВЯЗКОУПРУГИХ ГОРНЫХ ПОРОДАХ
Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук Кубанский государственный аграрный университет
Методом конечных элементов определяется поле напряжений в окрестности осесимметричных полостей, сооружаемых в вязкоупругой среде. Для оценки их допустимых размеров используется статистическая теория хрупкого разрушения и полученные компоненты напряжений в массиве с полостью.
В основу исследования допустимых размеров подземных полостей положена статистическая теория хрупкого разрушения [1], согласно которой процесс разрушения материала зависит от местного напряжения в точке, где встречается наиболее опасный дефект структуры. Чем крупнее тело, тем больше вероятность обнаружить первичный элемент низкой прочности. Если п - среднее число дефектов в единице объема тела, Б(о) -функция распределения дефектов, равная вероятности выявить дефектный элемент, местный предел прочности которого меньше о, и допускается, что разрушение произойдет в случае превышения напряжением о минимального предела прочности в совокупности п V дефектов, то функция распределения пределов прочности тела представима в виде [1]:
Р V (о п ) = 1 - [1 - Р( а п ) У . (1)
Пусть о есть некоторое приведенное напряжение, полученное по какой-нибудь теории прочности для однородного поля напряжений. Если число nV достаточно велико и функция (о) удовлетворяет условиям:
а) ¥у (о) = 0 при о < ап, Б(о)>0 при о> аП;
б) при достаточно малых величинах е > 0 имеет место
Р V ( а + е )
lim v
e ® 0
= c
где с и а - некоторые положительные числа,
то при больших значениях п¥ справедливо асимптотическое представление ¥у (о) [1]:
Fv (о) = р = 1 - exp [- cnV (о - о П )a ], (2)
где s0n - минимальное значение прочности дефектного элемента, в предельном случае равное нулю. Если в (2) произвести замену cn =1/V0oca, где V0 , например, объем стандартного образца, ос - константа с размерностью напряжения, то
P = 1 - exp
V
V
У
о Лб У n
У
(3)
В случае неоднородного напряженного состояния область V разбивается на микрообъемы А Vк, в каждом из которых поле напряжений близко к однородному. Вероятность сохранения прочности тела в целом равна произведению вероятностей сохранения прочности каждого микрообъема А V: , поэтому вероятность разрушения объема V вычисляется по формуле
Р = 1 - exp
1
V
■I A Vt
о к
о
о
\ a
о
(4)
где суммирование ведется по тем объемам А^, в которых о> оп , т.е. по области возможного разрушения.
Авторы работы [2] оценивают допустимые размеры выработок в горных породах, сравнивая вероятности разрушения проектируемой и не-
a
e
0
c
c
которой успешно эксплуатируемой (эталонной) выработок, вычисляемые по формуле
р
ехр
V
I
0 Vp
а V
, (5)
где а - приведенное напряжение, определяемое по критерию прочности, а интеграл берется по области вероятного разрушения Vp (а >оп0).
Предполагается, что проектируемая полость будет устойчивой, если вероятность ее разрушения не превысит вероятности разрушения эталонной емкости, т.е.
Р < Рэ.
(6)
В зависимости от геометрии полости величина интеграла в (5) пропорциональна квадрату или кубу ее характерного размера. С учетом (5), (6), получается отношение характерных размеров проектируемой и эталонной полостей
\ а
1
О
О
О
с
V
П
О
а V
7 э
V
а V
(п=2,3),
(7)
где индексом э отмечены величины, соответствующие эталонной полости.
Зная параметры, входящие в (7), и размеры эталона, можно найти величину характерного размера проектируемой емкости. Авторы статьи [2] отмечают, что по косвенным признакам сложно оценить условия успешной эксплуатации, поэтому в качестве эталона проще выбирать устойчи-
вые не эксплуатируемые выработки и желательно сопоставлять геометрически подобные хранилища, что накладывает ограничения на выбор эталона.
В работе [2] исследовались протяженные горизонтальные выработки, имеющие в поперечном сечении эллипс или квадрат. На основе линейной огибающей Мора и полей напряжений, полученных методами плоской задачи теории упругости, строятся зоны вероятного разрушения в окрестности выработок и для различных значений параметров ос, 8, on°, a табулируются интегральные функции в (5).
Методика определения допустимых размеров, предложенная в [2], применялась в исследовании прочных размеров осесимметричных полостей, сооружаемых в вязкоупругих массивах соляных пород. Экспериментальные исследования прочностных свойств соляных пород свидетельствуют о применимости критерия Мора к анализу прочности стенок подземных сооружений, возводимых в соляных отложениях. Поэтому в расчетах использовались:
линейный критерий Мора
a — ---1—-[a ! -a 3 - (a ! + a 3)sin 8], (8)
1 - sin 8
где o1,o2 - главные напряжении (o1> a3), 8 - угол внутреннего трения породы,
и нелинейная огибающая Мора
с i + a 3 a
3U i
a, + 1
(a i - a з)( с i) • ai + 1
a 1 —
b a'
a a
(9)
где ас, ар - напряжения разрушения при одноосных сжатии и растяжении,
а,Ь - параметры, принимающие для одного из видов каменной соли числовые значения а =2, Ь =1, а1, а 2, а 3 - главные напряжения.
Предполагалось, что проектируемое хранилище будет возведено в соляной толще с такими же прочностными характеристиками, как и соль, в которой сооружена эталонная полость.
В расчетах зон разрушения использовались компоненты исходного поля линейно-упругих напряжений вблизи полостей исследуемых форм, определяемые методом конечных элементов. Релаксация напряжений, вызываемая вязкоупругостью каменной соли, не учитывалась, поскольку снижала их начальную максимальную концентрацию. Для аппроксимации массива с полостью применялись неравномерные сетки кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения. После замены интегрирования суммированием по конечным элементам, соотношение (9) было преобразовано к виду:
Ь
Ь э
' X А V к ( а ) ?
К
о
>п
(11)
В проведенных расчетах оп изменялось в сегменте [0, ос] с шагом 0,25 ос (ос - средний предел прочности образцов каменной соли на одноосное сжатие), а а выбиралось из интервала (0,5) с шагом 1. Параметры 8 и % варьировались соответственно в промежутках (0,25°) с шагом 5° и в (0,10,5) с шагом 0,1.
Расчетные напряжения, зоны вероятного разрушения и соотношение (11) позволили оценить допустимые размеры полостей различной гемет-рии. Эталонной считалась шаровая полость радиуса Я и предполагалось, что исследуемые полости будут сооружены на той же глубине и при тех же прочностных параметрах соляных пород, что и эталонная. Определялась
1
3
величина отношения а/Я, в котором а - радиус осесимметричной проектируемой полости.
В таблицах 1,2 представлены расчетные значения отношения а/Я, полученные на основе вышеназванных критериев прочности для различных осесимметричных полостей. Из этих данных следует, что увеличение параметров а и оп0 вызывает уменьшение объема полостей, равнопрочных шаровой, причем с возрастанием отношения характерных размеров в/а (в -половина высоты полости) увеличивается и объем хранилища, т.е. при прочих равных условиях емкости с отношением в/а = 0,4 более объемны в сравнении с подобными им, но более вытянутыми (в/а = 0,2). Среди расчетных равнопрочных конфигураций наибольшими объемами обладают шаровая и цилиндрическая с шаровыми торцами (в/а = 0,4) полости.
Таблица 1. Отношения а/Я размеров полостей, соответствующие линейному критерию Мора (8)
а Величина а/Я при 8, равном
50 100 150 2 о о 2 01 о
1 2 3 4 5 6
Эллипсоидальная полость, в/а=02
1 1 0 _ а п а с 1,67
1,64 ,73 1,36 1, 95
2 1,25 1 ,17 0,88 0, 59 0,48
3 0,94 0 ,80 0,58 0, 40 0,54
4 0,70 0 ,55 0,59 0, 28 0,25
5 0,52 0 ,39 0,26 0, 20 0,18
1 1,62 1 а0п = 0,75 а с 2.11 1,72
,68 1,95
2 1,47 1 ,54 1,66 1, 58 1,29
3 1,31 1 ,35 1,55 1, 21 0,91
4 1,15 1 ,14 1,09 0, 95 0,78
5 0,99 0 ,95 0,87 0, 75 0,62
а 0п = 0,50 а с
1 2,12 1 ,93 1,63 1, 85 2,21
2 1,86 1 ,70 1,59 1, 75 1,88
3 1,64 1 ,53 1,50 1, 57 1,56
4 1,46 1 ,38 1,36 1, 58 1,50
5 1,29 1 ,23 1,22 1, 19 1,09
а 0п = 0,25 а с
1 2,15 2 ,15 2,18 1, 85 1,84
2 1,99 1 ,98 1,95 1, 74 1,80
3 1,85 1 ,81 1,75 1, 64 1,69
4 1,70 1 ,65 1,57 1, 52 1,55
5 1,55 1 ,50 1,45 1, 40 1,39
а 0п = 0,00 а с
1 2,25 2 ,21 2,16 2, 22 2,00
2 2,14 2 ,09 2,05 2, 05 1,87
1 2 3 4 5 6
3 2,02 1,95 1,91 1,86 1,77
4 1,89 1,82 1,77 1,71 1,66
5 1,76 1,69 1,64 1,58 1,54
Эллипсоидальная полость , в/а = 0,4
0 а п = а с
1 1,49 1,45 1,16 0,85 1,74
2 1,22 1,10 0,85 0,64 0,61
3 0,99 0,84 0,64 0,50 0,49
4 0,80 0,65 0,49 0,40 0,40
5 0,65 0,52 0,59 0,55 0,55
0 а п = 0,75 а с
1 1,50 1,45 1,65 1,58 1,33
2 1,27 1,57 1,44 1,55 1,15
3 1,21 1,26 1,26 1,12 1,00
4 1,12 1,14 1,09 0,97 0,88
5 1,05 1,01 0,95 0,84 0,78
0 а п = 0,50 а с
1 1,61 1,46 1,28 1,50 1,68
2 1,48 1,56 1,52 1,47 1,51
3 1,37 1,50 1,31 1,58 1,36
4 1,28 1,24 1,25 1,28 1,22
5 1,20 Т,17 1,18 1,17 1,11
а 0п = 0,25 а с
1 1,56 1,64 1,66 1,58 1,42
2 1,51 1,58 1,51 1,37 1,45
3 1,45 1,49 1,41 1,56 1,42
4 1,40 1,40 1,54 1,52 1,56
5 1,55 1,51 1,27 1,27 2,28
а 0п = 0 п и
1 1,61 1,65 1,58 1,76 1,47
2 1,57 1,57 1,58 1,59 1,44
3 1,55 1,52 1,55 1,48 1,42
4 1,48 1,46 1,47 1,41 1,38
1 2 3 4 5 6
б 1,42 1,41 1,40 1,3б 1,34
а п а с
1 2,3б 2,27 1,92 1,74 1,67
2 1,8б 1,71 1,48 1,б0 1,б1
3 1,41 1,28 1,10 0,97 1,01
4 1,09 0,96 0,81 0,7б 0,76
б 0,84 0,72 0,60 а 0п - 0,75 а с 0,б4 0,б7
1 2,07 2,б9 2,б2 2,бб 2,б8
2 2,00 2,2б 2,29 2,2б 2,б0
3 1,86 2,00 2,02 1,99 2,04
4 1,69 1,76 1,76 1,74 1,78
б 1,49 1,б2 1,б2 а 0п - 0,50 а с 1,б0 1,бб
1 2,б9 2,40 2,20 2,48 2,61
2 2,б6 2,2б 2,22 2,40 2,б0
3 2,16 2,10 2,16 2,28 2,б6
4 1,99 1,97 2,0б 2,14 2,21
б 1,82 1,8б 1,91 а 0п - 0,25 а с 1,98 2,06
1 2,б4 2,60 2,б9 2,44 2,б1
2 2,б4 2,б1 2,44 2,б9 2,49
3 2,29 2,б7 2,б2 2,бб 2,4б
4 2,19 2,22 2,20 2,2б 2,б6
б 2,07 2,09 2,09 0 0 а п - 0 2,16 2,27
1 2,бб 2,49 2,б0 2,68 2,67
2 2,б6 2,42 2,б2 2,б6 2,б7
3 2,бб 2,б7 2,46 2,46 2,б0
4 2,28 2,б0 2,б7 2,б8 2,4б
б 2,20 2,22 2,27 2,29 2,36
1 2 3 4 5 6
Цилиндрическая полость с шаровыми торцами, в/а = 0,4
0 _ а п 0 & с
1 1,29 1,22 1,00 0,77 0,59
2 1,07 0,96 0,77 0,57 0,49
3 0,88 0,76 0,59 0,44 0,40
4 0,75 0,60 0,46 0,55 0,55
5 0,60 0,48 0 а п 0,56 = 0,75 а с 0,28 0,27
1 1,18 1,29 1,47
2 1,14 1,21 1,29
3 1,08 1,12 1,12 1,01 1,88
4 1,01 1,02 0,98 0,87 0,76
5 0,93 0,91 0 а п 0,85 = 0,50 а 0 с 0,75 0,66
1 1,46 1,55 1,12 1,29 1,52
2 1,55 1,25 1,16 1,50 1,56
3 1,25 1,16 1,15 1,25 1,21
4 1,26 1,11 1,11 1,14 1,08
5 1,08 1,05 0 а п 1,05 =0,25 а 0с 1,04 0,97
1 1,45 1,45 1,51 1,25 1,25
2 1,37 1,40 1,36 1,22 1,27
3 1,32 1,55 1,37 1,20 1,25
4 1,27 1,25 1,20 1,17 1,20
5 1,21 1,18 0 а п 1,14 =0 1,55 1,14
1 1,52 1,52 1,59 1,58 1,52
2 1,47 1,44 1,59 1,42 1,28
5 1,41 1,57 1,56 1,55 1,25
4 1,56 1,52 1,50 1,26 1,22
5 1,50 1,27 1,25 1,20 1,18
Таблица 2. Отношения а/Я размеров полостей, соответствующие
нелинейному критерию Мора (9)
а Величина а/Я при а 0п , равном
0 а с 0,75 а 0с 0,5 а 0с 0,25 а 0с 0 а с
1 2 3 4 5 6
Эллипсоидальная полость, в/а=0,2
1 1,91 1,87 1,87 1,85 1,95
2 1,86 1,84 1,82 1,79 1,79
3 1,74 1,75 1,72 1,70 1,67
4 1,59 1,59 1,59 1,58 1,55
5 1,42 1,44 1,45 1,45 1,4З
Эллипсоидальная полость, в/а=0,4
1 1,47 1,44 1,43 1,59 1,45
2 1,48 1,46 1,44 1,41 1,40
3 1,43 1,43 1,41 1,39 1,56
4 1,37 1,37 1,56 1,35 1,52
5 1,29 1,30 1,50 1,50 1,27
Цилиндрическая полость с шаровыми торцами, в/а=0,2
1 2,54 2,55 2,55 2,49 2,54
2 2,52 2,51 2,51 2,46 2,41
3 2,47 2,46 2,44 2,40 2,51
4 2,40 2,39 2,57 2,55 2,22
5 2,32 2,31 2,29 2,24 2,15
Цилиндрическая полость с шаровыми торцами, в/а=0,4
1 1,30 1,25 1,26 1,22 1,55
2 1,32 1,29 1,27 1,24 1,25
3 1,29 1,27 1,25 1,25 1,21
4 1,22 1,22 1,21 1,20 1,18
5 1,15 1,16 1,16 1,16 1,13
Список литературы
1. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М., 1965.
2. Кислер Л.Н. Об оценке прочности подземных емкостей различной формы в соляных отложениях / Л.Н. Кислер, Н. М. Крюкова, В.А. Мазуров // Труды ВНИИ-промгаза. 1971. Вып. 5.
