CC BY
25
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УПРУГОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ВБЛИЗИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛОСТЕЙ РАЗЛИЧНОЙ КОНФИГУРАЦИИ
Аршинов Г. А. - к. ф.-м. н.
Кубанский государственный аграрный университет
Исследуется распределение напряжений вблизи осесимметричных полостей различной конфигурации. Принимается гипотеза А. Н. Динника об отклонении невозмущенного поля напряжений от гидростатического.
В естественных условиях напряженное состояние нетронутого массива близко к гидростатическому, но возможны и такие случаи, когда имеет место отклонение от гидростатики. Особенно это касается штоковых и купольных образований, являющихся результатом тектонических движений пород. Если следовать гипотезе А. Н. Динника, то отклонение невозмущенного поля напряжений от гидростатического определяется коэффициентом бокового распора 1 = ——, где V - коэффициент Пуассона. В этом
1 + п
случае в массиве каменной соли с коэффициентом V = 0,3 1 = 0,23. Возможны и другие зависимости 1 от внешних условий, поэтому коэффициент бокового распора варьировался от 0,5 до 1,5 с шагом 0,25.
Рассмотрим распределение напряжений только вблизи поверхности полости (приблизительно в 0,5-1 м от нее). Для различных значений 1 в таблице представлена зависимость компонент тензора напряжений от угла а, отсчитываемого от вертикальной оси симметрии емкости. Анализируя эти данные, легко заметить, что с возрастанием параметра 1 от 0,5 до 1,5
компонента О0 увеличивается по всей поверхности емкостей, достигая своего максимума в вершине потолочин.
Таблица - Расчетные напряжения вблизи поверхности исследуемых полостей для различных значений коэффициентов бокового распора 1
а град. ор / ун о 2/ уН о0 /у# ор2/уЯ
1 2 3 4 5
Эллипсоидальная полость с отношением полуосей в/а=0,2
1 =0,50
0 -0,967 -0,205 -0,967 0,286
4 -0,775 -0,454 -0,986 0,405
6 -0,557 -0,774 -1,045 0,485
8 -0,409 -0,924 -1,072 - 0,416
10 -0,296 -1,017 -1,054 0,522
12 -0,281 -1,099 -1,012 0,250
14 0,254 -1,152 -1,019 0,186
16 -0,199 -1,157 -1,009 0,156
18 -0,176 -1,140 -0,999 0,151
22 -0,161 -1,145 -0,991 0,109
25 -0,149 -1,145 -0,985 0,090
29 -0,141 -1,147 -0,980 0,072
57 -0,155 -1,149 -0,975 0,056
45 -0,151 -1,151 -0,972 0,040
56 -0,125 -1,152 -0,970 0,025
85 -0,110 -1,146 -0,966 0,019
90 -0,102 -1,146 -0,982 0,021
з
1 2 3 4 5
l=1,25
0 -3,060 -0,557 -3,060 0,475
4 -2,1В2 -0,В40 -2,956 0,762
6 -1,221 -1,229 -2,В5В 0,796
В -0,В57 -1,2В7 -2,В09 0,5ВВ
10 -0,615 -1,255 -2,662 0,5ВВ
12 -0,620 -1,262 -2,5В5 0,244
14 -0,52В -1,229 -2,562 0,191
16 -0,454 -1,201 -2,524 0,155
18 -0,407 -1,1В5 -2,495 0,12В
22 -0,575 -1,172 -2,46В 0,106
25 -0,551 -1,164 -2,447 0,0В7
29 -0,555 -1,15В -2,451 0,069
57 -0,525 -1,156 -2,41В 0,055
45 -0,515 -1,154 -2,409 0,059
56 -0,505 -1,151 -2,402 0,024
85 -0,269 -1,156 -2,595 0,050
90 -0,246 -1,126 -2,420 0,047
l =1,50
0 -3,75В -0,5В2 -3,75В 0,53В
4 -2,651 -0,96В -3,5В6 0,ВВ1
6 -1,449 -1,5В0 -3,462 0,900
В -1,007 -1,40В -3,3ВВ 0,645
10 -0,722 -1,552 -3,205 0,410
12 -0,755 -1,516 -3,109 0,249
14 -0,625 -1,261 -3,077 0,192
16 -0,559 -1,225 -3,050 0,155
1В -0,4В4 -1,19В -2,990 0,127
22 -0,446 -1,1В1 -2,960 0,105
25 -0,419 -1,170 -2,954 0,0В5
29 -0,400 -1,162 -2,914 0,06В
57 -0,3В6 -1,15В -2,900 0,052
45 -0,376 -1,155 -2,ВВВ 0,05В
56 -0,362 -1,150 -2,В79 0,024
В5 -0,322 -1,152 -2,В6В 0,054
90 -0,295 -1,119 -2,900 0,056
1 2 3 4 5
Эллипсоидальная полость с отношением полуосей //а=0,4
1 =0,50
0 -0,706 -0,148 -0,706 0,155
5 -0,666 -0,245 -0,725 0,201
7 -0,575 -0,422 -0,725 0,516
9 -0,458 -0,670 -0,750 0,590
15 -0,526 -0,820 -0,702 0,429
17 -0,469 -0,958 -0,867 0,408
20 -0,359 -1,045 -0,880 0,365
25 -0,316 -1,096 -0,885 0,300
28 -0,269 -1,152 -0,915 0,265
32 -0,256 -1,184 -0,916 0,229
38 -0,208 -1,206 -0,921 0,198
44 -0,186 -1,226 -0,925 0,162
50 -0,169 -1,240 -0,925 0,128
57 -0,156 -1,248 -0,927 0,094
65 -0,144 -1,252 -0,928 0,065
85 0,124 -1,245 -0,926 0,059
90 -0,116 -1,256 -0,959 0,050
1 =0,75
0 -1,559 -0,190 -1,559 0,199
5 -1,179 -0,547 -1,558 0,266
7 -0,922 -0,548 -1,250 0,597
9 -0,669 -0,885 -1,195 0,468
15 -0,426 -0,967 -1,101 0,510
17 -0,676 -1,090 -1,557 0,468
20 -0,495 -1,142 -1,561 0,400
25 -0,455 -1,162 -1,559 0,520
28 -0,565 -1,180 -1,584 0,260
32 -0,517 -1,195 -1,579 0,250
38 -0,282 -1,204 -1,382 0,198
44 -0,255 -1,211 -1,381 0,160
50 -0,255 -1,216 -1,381 0,126
57 -0,216 -1,217 -1,581 0,092
65 -0,202 -1,215 -1,381 0,064
85 -0,179 -1,205 -1,378 0,042
90 -0,164 -1,204 -1,388 0,058
1
0
5
7
9
J3.
17
20
23
2В
32
3В
44
50
57
63
В3
90
0
3
7
9
13
17
20
23
2В
32
3В
44
50
57
63
В3
90
-1,971
-0,232
-1,971
-1,692
-0,449
-1,951
-1,270
-0,674
-1,775
-0,ВВ1
-0,997
-1,657
-0,527
1,113
-1,500
-0,ВВ4
-1,221
-1,В4В
-0,632
-1,239
-1,В41
-0,550
-1,22В
-1,В35
-0,457
-1,207
-1,В54
-0,39В
-1,206
-1,В43
-0,356
-1,202
-1,В43
-0,321
-1,197
-1,В40
-0,297
1,191
-1,В37
-0,277
1,1В5
-1,В36
-0,260
-1,17В
-1,В35
-0,234
1,161
1,В30
-0,212
1,151
-1,В36
-2,604
-0,274
-2,604
-2,205
-0,551
-2,564
-1,617
-0,В01
-2,300
-1,092
-1,160
-2,120
-0,62В
-1,260
-1,900
-1,091
1,353
-2,33В
-0,76В
1,336
-2,321
-0,667
-1,295
-2,311
-0,551
-1,235
-2,324
-0,479
-1,21В
-2,306
-0,430
-1,199
-2,304
-0,337
-1,154
-2,290
-0,2ВВ
1,119
-2,2В2
-0,260
1,09В
-2,2В5
1 2 3 4 5
1=1,50
0 -3,256 -0,315 -3,256 0,550
3 -2,719 -0,625 -5,177 0,460
7 -1,964 -0,927 -2,854 0,658
9 -1,504 -1,524 -2,584 0,702
15 -0,729 -1,406 -2,299 0,755
17 -1,299 -1,482 -2,859 0,647
20 -0,904 -1,455 -2,802 0,510
25 -0,784 -1,561 -2,787 0,585
28 -0,646 -1,262 -2,794 0,288
52 -0,560 -1,229 -2,769 0,252
58 -0,505 -1,197 -2,765 0,197
44 -0,457 -1,168 -2,756 0,155
50 -0,424 -1,145 -2,748 0,121
57 -0,598 -1,122 -2,744 0,089
65 -0,575 -1,105 -2,741 0,065
85 -0,545 -1,077 -2,755 0,052
90 -0,508 -1,045 -2,754 0,060
Цилиндрическая полость с шаровыми торцами, //а=0,2
1 =0,50
0 -0,633 -0 ,146 -0,633 0,154
4 -0,630 -0,226 -0,658 0,208
6 -0,635 -0,456 -0,742 0,349
8 -0,576 -0,771 -0,827 0,440
10 -0,474 -1,077 -0,888 0,420
12 -0,375 -1,269 -0,908 0,305
14 -0,304 -1,275 -0,882 0,158
16 -0,147 -1,247 -0,848 0,049
18 -0,170 -1,177 -0,975 0,086
20 -0,313 -1,141 -1,106 0,033
22 -0,303 -1,099 -0,962 0,017
26 -0,194 -1,144 -1,089 0,018
55 -0,212 -1,124 -1,044 -0,012
45 -0,218 -1,132 -1,049 0,008
51 -0,228 -1,113 -1,050 0,015
70 -0,188 -1,101 -1,054 0,023
90 -0,137 -1,090 -1,068 0,056
1
0
_4_
6
В
10
12
Л
16
1В
20
22
26
33
43
51
70
90
0
_4_
6
_8_
10
12
Л
16
1В
20
22
26
33
43
51
70
90
-1,271
-0,188
-1,271
-1,167
-0,326
-1,282
-1,044
0,586
-1,305
-0,В62
-0,881
-1,331
-0,664
-1,156
1,350
-0,504
-1,324
1,349
-0,404
-1,305
1,32В
-0,263
-1,242
-1,316
-0,2В0
-1,198
-1,472
-0,424
-1,172
-1,611
-0,419
-1,135
-1,460
-0,2В2
-1,178
1,609
-0,303
-1,156
1,576
-0,352
-1,162
1,553
-0,350
-1,136
1,56В
-0,27В
-1,110
-1,582
-0,207
-1,0В5
1,600
1,910
-0,231
1,910
1,703
-0,427
1,906
1,453
-0,716
-1,868
1,14В
-0,992
1,В36
0,В55
-1,234
-1,812
-0,634
-1,379
1,791
-0,502
-1,137
1,775
-0,379
-1,238
1,7В3
-0,390
-1,219
1,969
-0,534
-1,203
-2,116
-0,535
-1,172
1,95В
-0,371
-1,212
-2,227
-0,394
-1,187
-2,108
-0,369
-1,120
-2,110
в
1 2 3 4 5
1=1,25
0 -2,548 -0,275 -2,548 0,289
4 -2,240 -0,528 -2,551 0,414
6 -1,865 -0,846 -2,451 0,607
В -1,455 -1,102 -2,540 0,657
10 -1,045 -1,512 -2,275 0,557
12 -0,754 -1,455 -2,252 0,570
14 -0,600 -1,569 -2,221 0,167
16 -0,495 -1,255 -2,251 0,044
1В -0,450 -1,240 -2,466 0,075
20 -0,644 -1,255 -2,621 -0,062
22 -0,651 -1,208 -2,456 -0,026
26 -0,459 -1,247 -2,648 0,050
55 -0,485 -1,219 -2,640 -0,055
45 -0,619 -1,2255 -2,560 0,004
51 -0,592 -1,185 -2,605 0,058
70 -0,459 -1,150 -2,658 0,056
90 -0,546 -1,077 -2,662 0,081
1=1,50
0 -5,187 -0,51 6 -5,187 0,554
4 -2,777 -0,628 -5,155 0,485
6 -2,272 -0,997 -2,995 0,695
В -1,721 -1,215 -2,845 0,729
10 -1,256 -1,590 -2,755 0,605
12 -0,894 -1,488 -2,674 0,592
14 -0,699 -1,401 -2,667 О,266
16 -0,611 -1,228 -2,719 0,045
1В -0,610 -1,260 -2,962 0,071
20 -0,754 -1,266 -5,127 -0,072
22 -0,767 -1,245 -2,955 0,029
26 -0,548 -1,281 -5,168 0,061
55 -0,576 -1,251 -5,171 -0,067
45 -0,755 -1,255 -5,064 0,002
51 -0,714 -1,206 -5,121 0,075
70 -0,549 -1,140 -5,166 0,067
90 -0,549 -1,140 -5,166
1
0
Т
~9~
12
17
20
23
28
з1
35
39
44
52
б1
70
80
90
0
Т
~9~
"12
77
20
25
28
з1
35
19
44
52
б1
70
80
"о"
Цилиндрическая полость с шаровыми торцами, в/а=0,4
-0,555
-0,100
-0,555
-0,555
-0,125
-0,549
-0,592
-0,256
-0,611
-0,598
-0,419
-0,678
-0,572
-0,652
-0,746
-0,517
-0,910
-0,810
-0,454
-1,115
-0,859
-0,597
-1,514
-0,918
-0,298
-1,565
-0,951
-0,212
-1,505
-0,925
-0,161
-1,221
-0,919
-0,148
-1,179
-0,917
-0,141
-1,166
-0,924
-0,140
-1,167
-0,927
-0,142
-1,184
-0,952
-0,155
-1,217
-0,956
-0,125
-1,262
-0,950
1,166
-0,157
-1,166
-1,114
-0,208
-1,172
-1,075
-0,565
-1,204
-0,987
-0,557
-1,254
-0,870
-0,779
-1,265
-0,757
-1,015
-1,296
-0,615
-1,181
-1,295
-0,506
-1,557
-1,550
-0,577
-1,565
-1,556
-0,281
-1,291
-1,558
-0,228
-1,207
-1,569
-0,206
-1,149
-1,584
-0,204
-1,162
-1,591
-0,191
-1,190
-1,590
-0,172
-1,221
-1,594
1
0
_4_
9
12
17
20
23
2В
31
35
39
44
52
61
70
80
90
0
_4_
9
12
17
20
25
2В
31
35
39
44
52
61
70
80
90
-1,799
-0,174
-1,799
-1,672
-0,292
-1,796
-1,555
-0,490
-1,796
-1,577
-0,694
-1,790
-1,169
-0,906
-1,784
-0,95В
1,115
-1,7В5
-0,775
-1,247
-1,747
-0,615
1,360
-1,782
-0,456
1,360
-1,781
-0,350
-1,279
-1,795
-0,295
-1,195
-1,818
-0,2В0
-1,147
-1,828
-0,270
-1,152
-1,844
-0,26В
-1,129
-1,848
-0,266
-1,140
-1,В50
-0,249
-1,162
-1,844
-0,220
-1,179
-1,В37
-2,452
-0,212
-2,432
-2,251
-0,575
-2,419
-2,056
-0,616
-2,388
-1,766
-0,851
-1,345
-1,467
1,055
-2,306
-1,178
-1,218
-2,269
-0,955
1,515
-2,201
-0,724
1,5В5
-2,214
-0,555
1,55В
-2,206
-0,420
-1,267
-2,22В
-0,562
-1,179
-2,267
-0,555
1,115
-2,304
-0,552
-1,109
-1,309
-0,507
-1,154
-2,29В
-0,269
1,157
-2,281
1 2 3 4 5
1=1,50
0 -5,064 -0,249 -5,064 0,267
4 -2,790 -0,459 -5,045 0,598
9 -2,517 -0,745 -2,980 0,626
12 -2,155 -0,969 -2,901 0,769
17 -1,765 -1,161 -2,825 0,802
20 -1,599 -1,521 -2,756 0,756
23 -1,096 -1,579 -2,655 0,550
28 -0,855 -1,406 -2,647 0,425
31 -0,615 -1,556 -2,651 0,280
35 -0,489 -1,256 -2,665 0,165
39 -0,429 -1,166 -2,717 0,097
44 -0,415 -1,116 -2,758 0,072
52 -0,400 -1,098 -2,764 0,064
61 -0,596 -1,090 -2,769 0,056
70 -0,591 -1,095 -2,768 0,054
80 -0,565 -1,107 -2,752 0,055
90 -0,518 -1,096 -2,725 0,061
Компоненты ор и арг интенсивно нарастают в интервале углов
а = 0* - 40* (максимумы достигаются на вертикальной оси симметрии), а вне этого промежутка - незначительно зависят от 1 и от формы хранилища.
Меньше всего изменения коэффициента бокового распора сказываются на распределении аксиальной компоненты тензора напряжений о2, остающейся практически неизменной и имеющей максимум, близкий к значению о2 в основном поле напряжений.
На рисунке изображены эпюры напряжений Ор, о2, ае, Ор2 вблизи поверхности полостей, соответствующие гидростатической внешней нагрузке (1= 1). Из рисунков следует, что наиболее интенсивное изменение компоненты ор наблюдается в диапазоне углов ф = 0* - 40*, а в угловых точках цилиндрических конфигураций имеют место пики напряжений. Максимумы Ор формируются в точках пересечения вертикальной оси симметрии с поверхностью емкостей (с
худшей стороны отличается эллипсоидальная геометрия с отношением полуосей в/а = 0,2).
О
20
ио
60
80
(00
о
ол
1,0
1,5
г. \ ч ,
- С5г//Н
О
1,6
2. В
г - .....-.-V-
ш , И1 .-|||1Г в -
^—ч Щ .
- <5о/*Н
10
0,5
О
05і/зН /V 1 ^ 4
Г . Я:Л^
Рисунок - Эпюры напряжений вблизи поверхности:
- эллипсоидальной (в/а=0,2),
- - той же геометрии (в/а=0,4),
... цилиндрической с шаровыми торцами
(в/а=0,2),
- • - той же геометрии (в/а=0,4)
В отличие от ар распределение компоненты о2 в меньшей степени зависит от геометрии хранилища: это прослеживается и в близости ее максимальных значений, мало отличающихся от значения в невозмущенном поле напряжения, и в близости градиентов, имеющих место с изменением а. По распреде-
лению О0 эллипсоидальная и цилиндрическая с шаровыми торцами конфигурации аналогичны.
Как явствует из рисунка, тангенциальное напряжение О0 играет определяющую роль в масштабе концентрации напряжения, вызванной присутствием полости. Максимальные значения О0 хотя и совпадают с максимумами компоненты Ор, однако в отличие от последней незначительно уменьшаются при
удалении от вершины потолочины (а =0). Близко распределение тангенциальной составляющей вблизи поверхности эллипсоидальной и цилиндрической с шаровыми торцами емкостей (в/а = 0,4), причем вторая конфигурация характеризуется практической независимостью от величины а. Самые существенные
вариации напряжения О0 находятся в диапазоне углов а = 0* - 20*, а в интервале
20* - 90* его градиенты близки к нулю. По сравнению с нормальными величины касательных напряжений незначительны. Их максимумы, приблизительно равные для всех полостей, достигаются в интервале углов а = 0* - 20* .
По распределению 0р2 эллипсоидальная и цилиндрическая с шаровыми
торцами конфигурации аналогичны (в/а = 0,4).
