КВАЗИПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЛАБЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2021. Том 28, № 1

УДК 517.946

КВАЗИПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЛАБЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ А. И. Кожанов

Аннотация. Изучается разрешимость краевых задач в цилиндрических областях Q = Q х (0, T), ^ С Rn, 0 < T < +го, для дифференциальных уравнений

f)2p+1 и

h(V^7+T + (-1)Р+1Д« + ФЛ)« = /(*, t),

в которых p — целое неотрицательное число, h(t) — непрерывная на отрезке [0,T] функция такая, что ^(t) > 0 при t Є (0,T), ^>(0) > 0, <^(T) > 0, A — оператор Лапласа по пространственным переменным x±,...,xn. Особенностями изучаемых задач является то, что, несмотря на вырождение, граничные многообразия в них не освобождаются от несения краевых условий. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений. Кроме того, описываются некоторые возможные усиления и обобщения полученных результатов.

DOI: 10.25587/SVFU.2021.85.42.003

Ключевые слова: квазипараболические уравнения, вырождение, краевые задачи, регулярные решения, существование, единственность.

Введение

Работа посвящена исследованию разрешимости в цилиндрической области О х (0,T), О С Rn, 0 < T < +го, краевых задач для дифференциальных уравнений

h(t)D‘^p+1u + (— 1)p+1Au + c(x, t)u = f (x, t), (*)

в которых D, = (D\ = Dt), A — оператор Лапласа по пространственным

переменным, p — целое неотрицательное число, h(t), c(x, t) и f (x, t) — заданные функции, причем h(t) неотрицательна.

Если в дифференциальных уравнениях (*) коэффициент h(t) будет непрерывной положительной функцией, то в случае p = 0 эти уравнения будут обычными параболическими уравнениями. Именно этот факт позволяет автору называть такие уравнения в случае p > 0 квазипараболическими.

Разрешимость краевых задач для квазипараболических уравнений (*) в случае непрерывной положительной на отрезке [0, T] функции h(t) (а также для более общих уравнений, именно, уравнений со всеми младшими членами) хорошо изучена (см. [1-5]).

© 2021 Кожанов А. И.

Если в дифференциальных уравнениях (*) функция h(t) положительна при t Є (0, T), может обращаться в нуль при t = 0 или (и) при t = T, и при этом функция h(t) имеет ограниченную производную при t Є [0,T], то, как показано в работах [6-11], корректная краевая задача для уравнений (*) будет представлять собой задачу, в которой множества О0 = {х Є О, t = 0} или (и) От = {х Є О, t = T} освобождаются от части граничных условий.

В настоящей работе будут изучаться краевые задачи для вырождающихся при t = 0 или (и) при t = T уравнения (*), но при этом от функции h(t) не будет требоваться существования ограниченной производной и множества О0 или (и) От не будут освобождаться от несения граничных данных.

Все построения и рассуждения в работе ведутся с использованием пространств Лебега Lp и Соболева Wp. Свойства функций из этих пространств можно найти в монографиях [12-15].

Уточним, что цель настоящей работы — доказательство существования и единственности регулярных решений той или иной краевой задачи для уравнения (*). Регулярным решением в работе будем называть функцию, имеющую все суммируемые с квадратами по соответствующей области обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение.

1. Постановка задач

Пусть О — ограниченная область из пространства Rn с гладкой (бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q — цилиндр О х (0,T) переменных х = (xi,... ,xn) и t,x Є О, t Є (0,T), 0 < T < +ro. Далее, пусть h(t), c(x,t) и f(x,t) — заданные функции, определенные при t Є [0, Т], х Є О, р — фиксированное целое неотрицательное число, L — дифференциальный оператор, действие которого на заданной функции v(x, t) определяется равенством Lv = h(t)Dpp+1v + (—1)p+1Av + c(x, t)v.

Краевая задача I. Найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lu = f (x,t) (1)

и такую, что для нее выполняются условия

u(x,t)| S = 0, (2)

Dt u(x,t)| xen,t=0 = 0, k (3)

Dt u(x,t)|xeo,t=T = 0, k = 0,...,p - 1- (4)

Краевая задача II. Найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3), а также условия

u(x,t)|x£0t=T = 0, k = p +1,..., 2p. (5)

Как уже говорилось во введении, целью настоящей работы будет доказательство разрешимости краевых задач I и II в классе регулярных решений — в изучаемом случае в пространстве W2’2p+1(Q).

2. Разрешимость краевых задач I и II

Доказательство разрешимости краевых задач I и II проводится с помощью метода регуляризации и априорных оценок.

Пусть |єт}т=і — последовательность положительных чисел, сходящаяся к 0. Положим

hm(t) = h(t) + Єт.

Определим число

Р і

h3/2(t)'

1, если Р = 1,

1 + 1, если Р > 1.

и h(t):

tPl /Л 6 h(t) = (T - t)Pl

J ЛЗ/2(*)’ h3/2(t)

Пусть выполняется условие

h(t) Є C([0,T]), h(0) = 0, h(t) > 0 при t Є (0,T]. (6)

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

hm(t)D^p+1u + (—1)p+1Au + c(x, t)u = f (x, t) (7)

и такую, что для нее выполняются условия (2)-(4).

Утверждение 1. Пусть p > 1, выполняются условие (6) и условия

c(x,t) Є C2(Q), (—1 )p+1c(x,t) < 0, (—1)Р+1Дc(x,t) > 0 при (x,t) Є Q;

h(t) Є L2([0,T]), fi(x,t) Є L2(0, T; W 1(fi)).

Тогда для решения u(x, t) краевой задачи (7), (2)-(4) выполняется оценка

(D2p+1u)2 + (ADpuУ + у—(Ди)2 + ^(ДиЯі)5

i=1

dxdt < Mo

(8)

(9)

(10)

с постоянной Mo, определяющейся лишь функциями f(x, t) и h(t), а также числом T и областью О.

Доказательство. Прежде всего заметим, что вследствие условия (6) уравнение (7) не вырождается. Если функция f (x, t) является элементом пространства L2(0,T; W 2(О)) (это действительно так), то из результатов работ [1-5] ( см. также [9]) следует, что для решения u(x,t) выполняются включения

A u(x,t) Є L2(0,T; W 2Ф)), D2tp+1u(x,t) Є L2(0,T; W 2(q)).

Пусть A — число из промежутка (T, +ro). Умножим уравнение (7) вначале

і (A-t)Au і (A-t)A2u тл-

на функцию ^, затем на функцию — v h ^—. Интегрируя полученные

равенства по цилиндру Q, применяя формулу интегрирования по частям, используя краевые условия (2)—(4), а также условия (8) и (9), нетрудно получить, что для решения u(x,t) краевой задачи (7), (2)—(4) выполняется оценка

(АЩи)2 + — (Ли)2 + — ^(AuXi)2

dxdt < Mi

(11)

с постоянной Mi, определяющейся лишь функциями f (x, t) и h(t), а также числом T.

D2p+1u

На следующем шаге умножим уравнение (7) на функцию ^ ^ и проинтегрируем по цилиндру Q. Получим равенство

D

2Р+К,

dxdt = (—1)р f -—D2p+1uAudxdt J hm Q

— [ -—Dip+1uudxdt + [ -J—DfP+1ud,xd,t.

J hm * J hm *

Оценим первое слагаемое правой части данного равенства с помощью неравенства Гельдера и представления

t

D^Au(x, t) = J Dp+1A u(x,T) dr, k = 0,...,p — 1.

(13)

0

Пусть вначале p > 1. Имеем

T

/ TtJflif D?*'uAudx']dt

0 о

<

<

- / Ot)(/(D*P+1“)2<b) dt

0 о о

T 1/2 ( * \ 1/2

J h (t) (/ (^*Р+1и)2 / J (AuT)2 dx drj dt

0 о \0 о /

T ti/2 / Г 4 1/2 ( } } c \ 1/2

(D2p+1u)2 dxj \ T (Au^)2 dxd^dr \ dt

i/2

hm(t)

0о

\0 0 о

<

<

i/2

x2 A"' Ar- ' dt

T

0

0о

<

<

tPl

hm(t)

Dt2p+1u)2 dx

1/2

J J(AuT)2 dx dr

1/2

dt.

ч0 Q

Если же в уравнении (1) выполняется p = 1, то нужно в данной цепочке ограничиться лишь первыми двумя неравенствами.

Аналогичные рассуждения при дополнительном использовании неравенства

У2 dx < Д(Au)2 dx, (»>

Q Q

нетрудно провести и для второго слагаемого правой части равенства (12).

Используя далее неравенство Юнга, получим, что для решений u(x, t) краевой задачи (7), (2)-(4) выполняется оценка

/ (AD2tp+1u)2 dxdt < M2

Q

(15)

с постоянной M2, определяющейся лишь функциями f (x, t) и h(t), а также числом T и областью О.

Оценки (11) и (15) и дают требуемую оценку (10).

Утверждение доказано.

Будем обозначать через um(x,t) решение краевой задачи (7), (2)-(4) при фиксированном т. Положим wmk(x, t) — um(x, t) — uk(x, t).

Утверждение 2. Пусть p > 1 и выполняются условия (6), (8) и (9). Тогда справедливо неравенство

(D

tP+1Wmk)2 + —(A Wmkf

hm

dxdt < M01єк — єт |,

(16)

постоянная M0 в котором определяющется лишь функциями f (x,t) и h(t), а также числом T и областью О.

Доказательство. Имеет место равенство 1

-Гі2р+1 ,

Dt wmk +

(-1)P+1A Wrnk_ CWrnk

hm

hm

— (єк єт)

(—1)pAuk

hmhk

cuk f

hmhk hmhk

(17)

Умножим это равенство на функцию Awmk и проинтегрируем по цилиндру Q. Используя неравенство (14), применяя для функции Auk представление (13), далее используя неравенство Гельдера и учитывая условие (9) и оценку (11), получим, что следствием равенства (16) будет оценка

[ -*-(Awmfe)2 dxdt < М3\єк - єт\

J hm

с постоянной М3, определяющейся лишь функциями f (x, t) и h(t), а также числом T и областью О.

На следующем шаге умножим равенство (17) на функцию D^p+1wrnk и проинтегрируем по цилиндру Q. Используя представление (13), оценку (18) и условие (9), нетрудно получить вторую оценку

у (Dt2p+1wmfe)2 dxdt < Мі\єк - єт\ (19)

Q

с постоянной М4, определяющейся лишь функциями f (x, t) и h(t), а также числом T и областью О.

Оценки (18) и (19) и означают справедливость требуемого неравенства.

Утверждение доказано.

Теорема 1. Пусть p > 1 и выполняются условия (6), (8) и (9). Тогда краевая задача I имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству W^2’2p+1(Q).

Доказательство. Пусть um(x,t) — решение краевой задачи (7), (2)-(4) для m = 1, 2,.... Из оценок (11) и (16) следует, что семейство |um(x,t)}^=1 фундаментально в W^’2p+1(Q). Поскольку пространство W^’2p+1(Q) банахово, существует функция u(x, t), принадлежащая тому же пространству и такая, что um(x,t) ^ u(x,t) при m ^ ж сильно в пространстве W^’2p+1(Q). Очевидно, что предельная функция u(x,t) будет решением уравнения (1). Далее, из сильной сходимости последовательности |um(x,t)}^=1 в пространстве W^’2p+1(Q) к функции u(x,t) и выполнения для функций um(x,t) условий (2)-(4) вытекает, что и для функции u(x, t) будут выполняться те же условия. Следовательно, функция u(x, t) и будет требуемым решением краевой задачи I.

Теорема доказана.

Для краевой задачи II справедлива аналогичная теорема существования.

Теорема 2. Пусть p > 1 и выполняются условия (6), (8) и (9). Тогда краевая задача II имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству W^2’2p+1(Q).

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы 1.

Пусть теперь выполняется условие

h(t) Є C([0, T]), h(t) > 0 при t Є [0, T), h(T) = 0. (20)

Теорема 3. Пусть p > 1, выполняются условия (8) и (20), а также условие

h(t) Є L2([0,T]), f1(x,t) Є L2(0,T; W 2(О)).

Тогда краевая задача I имеет решение u(x, t) , принадлежащее пространству W22,2p+1(Q).

Доказательство теоремы 3 проводится также вполне аналогично доказательству теоремы 1.

Обсудим вопрос единственности решений краевых задач I и II. Определим множество V0:

Vo = {«(М) : v(x,t) Є W2’2p+1(Q), №0- Є L2(Q) J. Теорема 4. Пусть p > 1 и выполняются условия

с(х, t) Є C(Q), с(х, t) < 0 при (ж, t) Є Q. h(t) > 0 при t Є [0,T].

Тогда краевая задача I не может иметь в множестве V0 более одного решения.

Доказательство. Пусть u(x,t) — решение краевой задачи I в случае f (x, t) = 0, принадлежащее множеству V0. Имеет место равенство

D.

2р+1

t

u +

(—1)р+1 Аг

h(t)

+ cu

(T — t)u dxdt = 0.

Интегрируя по частям и используя условия теоремы, нетрудно получить, что u(x, t) = 0 в Q, а это и означает требуемое.

Теорема доказана.

Очевидно, что аналогичную теорему единственности можно доказать и для краевой задачи II.

3. Замечания и дополнения

1. Очевидно, что в случае h(t) > 0 при t Є (0, T), h(0) = h(T) = 0 для краевой задачи I также имеет место теорема существования регулярных решений (при выполнении соответствующих условий на функции c(x,t), h(t) и f (x, t)).

2. В уравнении (1) оператор Лапласа можно заменить более общим эллиптическим оператором второго порядка.

3. Условия (6) и (20) означают, что характер вырождения функции h(t) и порядок уравнения (1) по переменной t связаны — порядок нуля у функции h(t) не может быть произвольно большим. Именно поэтому автор и называет изучаемые уравнения «уравнениями со слабым вырождением».

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлов В. П. О первой краевой задаче для одного класса гипоэллиптических уравнений // Мат. сб. 1964. Т. 63, № 2. С. 229-264.

2. Дубинский Ю. А. Об одной абстрактной теореме и ее приложениях к краевым задачам для неклассических уравнений // Мат. сб. 1969. Т. 79, № 1 С. 91-117.

3. Дубинский Ю. А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Мат. сб. 1973. Т. 90, № 1. С. 3-22.

4. Романко В. К. Граничные задачи для одного класса дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 1. С. 117-131.

5. Романко В. К. Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых операторнодифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 2. С. 324-335.

6. Fichera G. On a unified theory of noundary-value problems for elliptic-parabolic equations of second order // Boundary problems in differential equations. Madison, WI: Univ. Wisconsin Press, 1960. P. 97-120.

7. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010.

8. Егоров И. Е. О первой краевой задаче для одного неклассического уравнения // Мат. заметки. 1987. Т. 42, № 3. С. 403-411.

9. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

10. Egorov I. E., Fedorov V. E., Tikhonova I. M., Efimova E. S. The Galerkin method for non-clasical equations of mathematical physics // AIP Conf. Proc. 2017. V. 1907. 020011.

11. Кожанов А. И., Мациевская Е. Е. Вырождающиеся параболические уравнения с переменным направлением эволюции // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. С. 718-731.

12. Соболев C. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

13. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

14. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

15. Triebel H. Interpolation theory. Function spaces. Differential operators. Berlin: VEB Deutcher-Verl. Wiss., 1978.

Поступила в редакцию 20 февраля 2021 г.

После доработки 20 февраля 2021 г.

Принята к публикации 26 февраля 2021 г.

Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Коптюга, 4, Новосибирск 630090;

Академия наук Республики Саха (Якутия), пр. Ленина, 33, Якутск 677007 kozhanov@math.nsc.ru

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2021. Том 28, № 1

UDC 517.946

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THIRD-ORDER PSEUDOELLIPTIC EQUATIONS WITH DEGENERATION A. I. Kozhanov

Abstract: We study the solvability of boundary value problems in cylindrical domains

Q = ^ x (0, T), ^ C 0 < T < for differential equations

d2p+1 u

M*) Qt2p+1 + (-1 )p+1Au + c(x,t)u =

where p is a non-negative integer, h(t) is continuous on the segment [0, T] a function such that ^(t) > 0 for t Є (0, T), ^(0) > 0, p(T) > 0, and A is the Laplace operator in spatial variables xi,...,xn. The main feature of the problems under study is that, despite the degeneration, the boundary manifolds are not exempt to the bearing boundary conditions. We proved the existence and uniqueness theorems of the regular solutions, those having all Sobolev generalized derivatives included in the equation. Moreover, we describes some possible enhancements and generalizations of the obtained results.

DOI: 10.25587/SVFU.2021.85.42.003

Keywords: quasi-parabolic equations, degeneration, boundary value problem, regular solution, existence, uniqueness.

REFERENCES

1. Mikhailov V. P., “About the first boundary value problem for one class of hypoelliptic equations [in Russian],” Mat. Sb., 63, No. 2, 229—264 (1964).

2. Dubinskii Yu. A., “About one abstract theorem and its applications to boundary value problems for nonclassical equations [in Russian],” Mat. Sb., 79, No. 1, 91—117 (1969).

3. Dubinskii Yu. A., “About some differential-operator equations of arbitrary order [in Russian],” Mat. Sb., 90, No. 1, 3-22 (1973).

4. Romanko V. K., “Boundary value problems for one class of differential equations [in Russian],” Differents. Uravn., 10, No. 1, 117-131 (1974).

5. Romanko V. K., “Unique solvability of boundary value problems for some operator-differential equations [in Russian],” Differents. Uravn., 13, No. 2, 324-335 (1977).

6. Fichera G., “On a unified theory of boundary-value problems for elliptic-parabolic equations of second order,” Boundary Problems in Differential Equations, Proc. Symp., pp. 97-120, Univ. Wisconsin Press, Madison, WI (1960).

7. Oleinik O. A. and Radkevich E. V., Equations with Nonnegative Characteristic Form [in Russian], Izdat. MGU, Moscow (2010).

8. Egorov I. E., “First boundary problem for a nonclassical equation [in Russian],” Mat. Zametki,

42, No. 3, 403-411 (1987).

9. Egorov I. E. and Fedorov V. E., Non-classical Higher-Order Equations of Mathematical Physics [in Russian], Izdat. VTs SO RAN, Novosibirsk (1995).

10. Egorov I. E., Fedorov V. E., Tikhonova I. M., and Efimova E. S., “The Galerkin Method for Nonclasical Equations of Mathematical Physics,” in: AIP Conf. Proc., 1907, 020011 (2017).

© 2021 A. I. Kozhanov

11. Kozhanov A. I. and Matsievskaya E. E., “Degenerate Parabolic Equations with a Variable Direction of Evolution,” Sib. Electron. Math. Rep., 718-731 (2019).

12. Sobolev S. L., Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1991).

13. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Parabolic Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1967).

14. Ladyzhenskaya O. A. and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Acad. Press, New York; London (1968).

15. Triebel H., Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, VEB Deutcher Verl. Wiss., Berlin (1978).

Submitted February 20, 2021 Revised February 20, 2021 Accepted February 26, 2021

Aleksandr I. Kozhanov Sobolev Institute of Mathematics,

4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia;

Academy of Science of the Republic of Sakha (Yakutia),

33 Lenin Ave., Yakutsk 677007, Russia kozhanov@math.nsc.ru