CC BY
0KVADRATIK STOXASTIK OPERATORLARGA OLIB KELINADIGAN BA'ZI MODELLAR HAQIDA
Mamatsharifova Fotima Akramjon qizi
O'zbekiston Milliy universiteti https://doi.org/10.5281/zenodo.13894785
Annotatsiya. Kvadratik va kubik operatorlar ko'pgina biologikfizik va ximik jarayonlarning matematik modeli bo'ladi. Tezisda shunday jarayonlarga misollar qaralgan.
Kalit so'zlar: populyatsiya, evolyutsion operator, panmiks va autsom populyatsiyalar
Genlarning statistik ta'siri o'zaro chatishtiriladigan bir xil turga tegishli organizmlarning etarlicha katta jamoalarida namoyon bo'ladi. Bunday jamaolar populyatsiya deyiladi.
Aniqlik uchun populyatsiyani biz ikki jinsli deb faraz qilamiz. /={Oi, O, . .
., On} - ayol tiplar to'plami va M={Mi, M2, . . ., Mv} - erkak tiplar to'plami bo''lsin. n+ v soniga populyatsiyaning o'lchami deyiladi.
Populyatsiyaning holati deb, mos ravishda J va M lardagi x=( xi, X2, . . . , xn ) va y= (yi, y2, . . . , yv) ehtimollik taqsimotlari juftliliga aytiladi. Bunda xi >0,
£m=1 xi =1; yi >0, yk =1.
Populyatsiya evolyutsiyasini tasodifiy jarayon sifatida ham qarash mumkin.
Yuqoridagilardan ko'rinadiki, berilgan populyatsiyaning holatlar fazosi (n-1) o'lchovli Sn-1 va (v -1) o'lchovli Sy-1 sumplekslarning Dekart ko'paytmasi S=
S"-1 x Sv-1 bo'lar ekan.
Populyatsiyaning tiplarga bo'lish differentsiatsiya deyiladi.
Biz tiplar to'plamini chekli deb hisoblaymiz. Bunga oddiy misol junsiy differentsatsiyadir. Ikki jinsli populyatsiyada har qanday differentsiatsiya jinsiy differentsiatsiya mos bo'lishi , ya'ni barcha bir tipdagi organizmlar bitta jinsga tegishli bo'lishi kerak. Shunday qilib, erkak va ayol tiplar haqida gapirish mumkin.
Ta'rif. Populyatsiya differentsiatsiyasi irsy(nasledsitvennoy) deyiladi, agar F avloddagi ixtiyoriy z=(x,y) holat uchun chatishtirsh natijasida paydo bo'ladigan F' avlodning z = (x, y) holati aniqlangan bo'lsa.
z = Vz (z£ S ) (1)
tenglama bilan aniqlanuvchi V: S ^ S akslantirishga populyatsiyaning evalyutsiya(evalyutsion) operator, (1) tenglamaga evalyutsiy (evalyutsion) tenglamasi deyiladi.
Koordinatalar ko'rinishida u quyidagi tenglamalar sistemasi ko'rinishini oladi: Xi=fi(X1, X2, . . . , xn ; y1, y2, . . . , yv) (1< i < n) , yk =gk(x1, X2, . . . , xn; y1, y2, . . . , yv) (1 < k < v ). Bu tenglamalar sistemasiga evalyutsion tenglamalar sistemasi deyiladi.
V evolyutsion operatorning qo'zg'almas nuqtasi deb, populyatsiyaning muvozanat holatga (Vz=z) aytiladi.
Brauerning mashhur topologik teoremasiga ko'ra bunday nuqtalar mavjud va bunday nuqtalar to'plami kompakt bo'ladi. Agar populyatsiyaning barcha holatlari muvozanat holatlari bo'lsalar, populyatsiya aynan muvozonatli deyiladi. Bunday populyatsiyaning evolyutsion
operatori birlik operator bo'ladi, ya'ni V=l. Tenglama ixtiyoriy z° boshlang'ich hoi at da ^)t=o z(i+1)= V(z(t)) (t=0, 1, 2, . . .) (2)
traektoriyani bir qiymatli aniqlaydi. z(t) holat, F0 boshlanzich avlod z(0) holatda
bo'lganda, t-avlod Ft da payda bo'ladi, ya'ni z(t) =Vt z(0) (t=0, 1, 2, . . .).
Agar z(t) traektoriya yaqinlashsa, z(m)= lim z(t), u holda (2) va V operatorning
t^-ro
uzluksizligidan z(m) holat ham muvozanatli bo'ladi.
Traektoriyaning limit nuqtalari to'plamiga uning limit to'plami deyiladi.
Bu to'plam bo'sh emas, agar traektoriyalar yaqinlashsa, bitta nuqtadan iborat bo'ladi.O'rganilgan ko'pgina populyatsion- genetik hollarda traektoriyalar yaqinlashadi. Bu tasdiqni isbotlashda quyidagi lemma muhim olrin tutadi.
Lemma. Agar |(t)} traektoriyaning limit nuqtalar to'plami chekli va barcha limitik holatlar muvozanat holatlari bo'lsalar, traektoriyalar yaqinlashadi.
Teorema. |z(t)} traektoriyaning barcha limitik holatlari muvozanat holati bo'lishi uchun lim d( z(t+1) - z(t)}=0 bo'lishi zarur va etarli (d( , )-masofa).
t^-ro
Populyatsiyaning evolyutsion operatorining ko''rinishida chatishishlar tizimi va tanlash omillari muhim o'rin tutadi.
Chatishish tizimi panmiks deyiladi, agar populyatsiyadan jiftliklar, tipga bog'liqsiz holda tasodifiy tanlansa.
Bu esa, agar populyatsiya (x,y) holatda bo'lsa, u holda Oi ayol tipinung Mk erkak tipi bilan chatishish ehtimolligi xy ga teng bo'ladi. Bunday chatishtirishli populyatsiya panmiksli populyatsiya deyiladi. Biz faqat panmiksli populyatsiyalarni qaraymiz. Ikki jinsli populystsiya uchun evolyutsion tenglamani keltirib chiramiz.
Buning uchun bizga quyidagi ma'lumotlar kerak bo'ladi.
1) Nasl qoldirish koeffitsentlari pi(t),y , pik(m,j).
pik(t\j miqdor Oy (1< j < n) ayol tipning Oi (1< i < n) tipdagi ona va Mk (1< k < v) tipdagi otadan to'g'ilish ehtimolligini bildiradi.
2) Yashab ketish koeffitsentilari (/), Ay(m).
A/f) miqdor Oy ayol tipinung, Ä(im) esa Mi erkak tipning keying ko'payishgacha yashash ehtimolligini aniqlaydi va Ay(f)> 0, Ä(im)> 0.
1 - A(f) va 1-A(zm) lar mos ravishda tiplarning o'lish ehtimolliklari deyiladi.
Faraz qilaylik, (x,y) F avloddagi populyatsiyaning holati bo'lsin.
Keyingi, Favlodda tiplarning paydo bo'lish ehtimolliklari to'la ehtimol formulasiga
asosan:
xj ^-*iM-=ipik{f,)jxiyk,yl ^t,fe=i pik(m,l) xi yk. (3) Favlodning reproduktiv bosqihida Bayes formulasiga asosan
(/) (m) xj' = £r= 14 xi
~x fj)~x7, y l' = -
vpÄ=l1 X(fifWyp- (4)
va (4) lardan quyidagi evolyusion tenglamalar sistemasini olamiz:
xj' = wMfry) x; yk (1< j < n),
yrwimXx,y) Zi,k=l<»ikll x.yfc(1<Z<v)> (5)
(/) = (/) (/) bu yerda o)ik,j ik,j j
(m)= (m)^(m) p X , (jöik.l "ik,l l larga mos ravishda ayol va
erkaklarning moslashuv koeffitsentilari (npncno6jieHHOCTn) deyiladi va
CO fx =yn,v,n W ^ik,j = l (ikf),j xi yk,
W y> ¿>ik,l = 1 a)ik(m,l) xi yk . (6) Bu bichiziqli formalar (x,y) holatda mos ravishda ayol va erkak jinslarning o'rtacha moslashuvchanligi deyiladi.
Agar n= v , <Pi=Mi (1< i < n) bo'lsa, populyatsiya autosom deyiladi. Bu holda nasl qoldirish, yashab ketish, moslashuvchanlik koeffitsentlari jinsga bog'liq bo'lmaydi, ya'ni
pik(f)j ~ PikJ » Aj ~ Aj ' ^ik,j -<*>ikj V-i,k,j <n) .
Jins bilan bog'liq belgilashlarni tashlab yuborsak (5) dan quyidagi tenglamalarni olamiz:
Xj' W(x,y) £¿¿=1 ¿¿Ik, xi yk (1< j < n),
1 V n,v ¿->i,k=l
y/ W(x,y) iOife. Xi yfe (l<y < n), (7)
bu yerda W(x, y) = £nikj=1 MikJ xi yk , (8) unga populyatsiyaning o'rtacha moslashuvchanligi deyiladi. Autsom populyatsiyada ayol va erkak turlarning aniqlanishiga ko'ra pki, =ptkj deb olish qabul qilingan.
(7) ko'rinadiki, autosom populyatsiyaning evolyutsion operatorining obrazi ImV D holatlar fazosining diognalida yotadi: D= {(x,x) : x£ A"-1}. Boshqacha qilib, aytganda, F avlodda (x,y) holat qanday bo'lishidan qa'tiy nazar, navbatdagi avlodda ayol va erkak tiplarning ehtimollari ustma-ust tushadi( x'= y).
Barcha {z} traektoriyalar 1=1 dan boshlab D da yotadi. Autosom populyatsiyaning evolyutsion tenglamalar sistemasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
xj' = — T.W(x) ni,k=l aikj xixk(\<j< n), (9) bu yerda
W(x) = Ynik,j=1 Mik,j xixk . (10) W(x) ga populyatsiyaning o'rtacha moslashuvchanligi, n soniga esa aytosom populyatsiyaning o'lchami deyiladi. Populyatsiya selektiv neytral deyiladi, agar bitta jinsdagi barcha tiplarning yashab ketish koeffitsetlari teng bo'lsa, ya'ni X(f) j ga va Ä(im) l ga bog'liq bo'lmasa.
Selektiv neytral autosom populyatsiyaga ozod populyatsiya deyiladi. X >0 u ketish koeffitsentiga ega ozod populyatsiya uchun
Mik,j = X pik,j , W(x) = £ni,k=1 xi xk £nj=1 X pik,j= X ,
chunki,
£nj=1 pik,j =1. (11)
(9) sistemadan
xj'= £ni,k=1 pik,jxi xk, (1< j < n) (12)
ga kelamiz.
Bulardan ko'rinadiki, ozod populyatsiyaning evolyutsion operatori A"-1 ni o'ziga akslantiruvchi kvadratik akslantirish bo'lar ekan.
[2] da qaralgan statistik mexanikadagi Boltsman modelini ham kvadrat operatorlar yordamida tasvirlanishi mumkinligi [3] ko'rsatilgan. Shu mavzuga oid muammolar, ularni ilg'or pedagogik texnologiyalardan foydalanib o'qitish yo'llari va biologik jarayonlarning matematik modellari (oddiy va xususiy hosilali differenisal tenglamalar) hisoblangan tenglamalarni yechish yo'llari [4-30] ilmiy izlanishlarda ham berilgan.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Любич Ю.И., Математические структуры в популяционной генетике, Наукова думка, Киев, 1983.
2. Jenks R.D. // J. Diff. Eduation. 1969. V.5. №3. Pp 497-514.
3. Т.А. Сарымсаков Т.А., Ганиходжаев Н.Н. // Узб.мат. журнал. 1991. №1. 57-64 стр.
4. Мамуров Б.Ж., Абдуллаев Ж. Регрессионный анализ как средство изучения зависимости между переменными // European science, 2:58 (2021), стр. 7-9.
5. Мамуров Б.Ж, Жураева Н.О. О первом уроке по теории вероятностей. Вестник науки и образования, 96:18-2 (2020), стр. 37-39.
6. Mamurov B, Amrilloyeva К. Tasodifiy hodisa tushunchasi haqida. Scientific progress, №2, 2021, p.463-467.
