CC BY
131INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
BIOLOGIYA VA TIBBIYOTDAGI BA'ZI MATEMATIK MODELLAR HAQIDA
Mamurov Boboxon Jo'raevich
Buxoro davlat universiteti dotsenti Bozorova Dilfuza Shavkat qizi
Buxoro davlat universiteti magistri https://doi.org/10.5281/zenodo.7392199
Annotatsiya. Bu maqolada biologiya va tibbiyotdagi ba zi matematik modellar qaraladi. Modellar orqali biologiya va tibbiyotning masalalari differentsial tenglamalarga va chiziqli bolmagan operatorlarga (jumladan, kvadratik stoxactik operatorlarga) olib kelinadi. Mazkur modellardan differentsal tenglamalar va kvadratik stoxactik operatorlar nazariyasidan o 'qiladigan maruzalarda ularning tadbiqlari sifatida ham foydalanish mumkin.
Kalit so^zlar: Ekologik tizim, populyatsiya, model, differensial tenglama, simpleks, irsiyat koeffitsenti.
О НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ В БИОЛОГИИ И МЕДИЦИНЕ
Аннотация. В данной стате рассматриваются некоторые математические модели в биологии и медицине. С помощю моделей задачи биологии и медицины сводятся к дифференциалным уравнениям и нелинейным операторам (в том числе к квадратичным стохастическим операторам). Эти модели могут быт исползованы в качестве их приложений в лекциях по теории дифференциалных уравнений и квадратичных стохастических операторов.
Ключевые слова: Экологическая система, популяция, модел, дифференциальное уравнение, симплекс, коеффициент наследственности.
ABOUT SOME MATHEMATICAL MODELS IN BIOLOGY AND MEDICINE
Abstract. This article reviews some mathematical models in biology and medicine. Through of these models, the problems of biology and medicine are brought to differential equations and nonlinear operators (including quadratic stochastic operators). These models can also be used as their applications in the theory of differential equations and quadratic stochastic operators.
Keywords: Ecological system, population, model, differential equation, simplex, heredity coefficient.
KIRISH
Hozirgi vaqtda butun jahon bo'ylab matematika fanining biologiya faniga qo'llash dolzarb masalalardan biri hisoblanib kelmoqda. Shu munosabat bilan mazkur yo'nalishda bir qator ilmiy izlanishlar olib borilmoqda. Bunga o'zbek va xorijlik olimlarning hissalari katta. Yuqorida keltirilganlarni inobatga olgan holda mazkur maqolada mualliflar tomonidan biologiya va tibbiyotdagi ba'zi matematik modellar tahlil qilingan. Asosan matematik modellashtirishlar orqali biologiya va tibbiyotning masalalari xususiy hosilali yoki oddiy differensial tenglamalar yoki chiziqli bo'lmagan operatorlarni (jumladan, kvadratik stoxactik operatorlarga) o'rganishga olib kelinadi. Maqolada, keltirilgan modellardan (turli biologik jarayonlarning matematik modellari nazarda tutilmoqda) bakalavriyat talabalari va magistrlarga differensal tenglamalar va kvadratik stoxactik operatorlar nazariyasidan o'qiladigan ma'ruzalarda, xususan biologik va tibbiyot masalalarini tadbiqlari sifatida ham foydalanish mumkin.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
ASOSIY QISM
Oddiy yirtqich-o'lja modeli
Oddiy ekologik tizimning yirtqich - o'lja munosabatlarini modellashtirish muammosi matematik biologiyada (ekologiyada) chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalar tizimini qo'llash bilan boshlanadi.
Yopiq ekologik tizimda (ya'ni tizimga yoki undan tashqariga migratsiyaga yo'l qo'yilmaydi) hayvonlarning faqat ikki turi mavjud bo'lsin: yirtqich va o'lja. Ular oddiy oziq -ovqat zanjirini hosil qiladi, bu yerda yirtqich turlari, o'lja turlarini ovlaydi, o'ljani esa o'simliklar boqadi.
O'lja-yirtqich sikllari
Ikki populyatsiyaning kattaligini ikkita chiziqli bo'lmagan birinchi tartibli differensial tenglamalarning oddiy tizimi bilan tavsiflanishi mumkin.
x(t) o'lja turlarining populyatsiyasini, y(t) esa yirtqich turlarning populyatsiyasini bildirsin. U holda
x = ax — axy y = —by + ßxy
(1)
tenglama orinli bo'ladi, bu yerda a, b,a,ß - manfiy bo'lmagan o'zgarmaslar.
Agar yirtqichlar bolmasa (y=0 bo'lganda), o'lja populyatsiyasi eksponensial ravishda o'sib ketadi. Oljalar bolmasa (x=0 bo'lganda), yirtqichlar ochlikka duchor bolardi.
IMMUN TIZIMINING PARAZIT-MEZBON MODELI
Mezbon ichidagi parazit dinamikasi jihatidan P — parzit yukining hajmini ifodalaydi, bu jon boshiga o'sadigan stavka r va immunitet tizimining faol tarkibiy qismlari tomonidan iste'mol qilinadi. Quyidagi orinli boladi.
dP
Tt=rP — lf(P), dl
— = elf(P) — Sl
(2)
bu yerda r,e,S - manfiy bo'lmagan o'zgarmaslar.
Immunitet ko'payishi parazitar anti-gen bilan aloqa qilish orqali rag'batlantiriladi e darajasi, va immunitet tizimining faol komponenti S darajasida parchalanadi. Muhim
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
tomonlaridan biri shundaki, (2) kabi model formulalari viruslar va bakteriya kabi mikroparazitlar tomonidan infeksiyalarni eng aniq aks ettiradi.
Infeksiya makroparazitlar tomonidan chaqirilganda mezbon ichida kopaymasa, bu hol dinamikasi aniqroq modellashtiriladi:
dP dl
Tt = eim-SI,
(3)
bu yerda G,e,8 ba'zi bir manfiy bo'lmagan o zgarmaslar. G esa,parametr mezbon parazitarlarining infeksiya bilan kasallanish tezligi.
Mezbon ichidagi dinamika qaysi formuladan foydalanilganiga juda bog'liq, ammo har qanday holatda ham funksional javob tizim dinamikasi uchun kalit hisoblanadi.
Populyatsiyalarning o'zaro ta'sir qiluvchi uchta modeli
Biz modellashtirmoqchi bo'lgan ekotizm uch turdagi oziq zanjiri bo'lib, unda eng past darajadagi o'lja x1, ular x2 — o'rta darajadagi turlar tomonidan o'lja qilinadi, x2 lar esa, o'z navbatida yuqori darajadagi yirtqichlar x3 lar tomonidan o'lja qilinadi. Bunday uch turdagi ekotizimlarga quyidagi misollar kiradi.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Kolmogorov tizimi
Kolmogorov tizimi tomonidan modellashtirilishi mumkin bo'lgan uchta o'zaro ta'sir qiluvchi populyatsiyani ko'rib chiqamiz. Quyidagi tenglamalar sistemasi o'rinli bo'ladi.
dx1
dt dx2
dt dx3
— xifi(xi, X2, X3),
— X2f2(X1,X2,X3) (4)
X2,X3),
dt
Xi(0) > 0,x2(0) > 0,x3(0) > 0,
bu yerda fi(x1,x2,x3),i — 1,2,3. Bunday modellar biologiyada, masalan oziq -ovqat zanjiri modellari sifatida paydo bo'ladi.
Uchta o'zaro ta'sir qiluvchi yirtqich-o'lja populyatsiyalari modellarida qaraiylik.
(4) sistema ham ikki, ham uch tropic darajali sistema sifatida qaraladi.
x1(t) tomonidan tasvirlangan populyatsiya har doim o'lja bo'ladi, populyatsiya raqobatchilar yoki yirtqichlar bo'lmagan taqdirda ko'payadi. x3(t) har doim tizim ichida faqat oziqlanuvchi yirtqich bo'ladi.
Tarif. p(t) populyatsiya uchun p(0) > 0 va liminfp(t)>0 bo'lsa, populyatsiya
davomiy(bardavom) deyiladi. Agar populyatsiyaning har bir komponenti davomiy bo'lsa, tizim davomiy deyiladi.
Epidemik modellar
S(t) — infektsiyalanushga moyillar soni, I (t) — populyatsiyadagi kasallanganlar soni va R(t)- populyatsiyadan chiqarib tashlanganlar soni (sog'ayganlar, o'lganlar, shifoxonaga yotqizilgan yoki infeksiya joyidan olib chiqilganlar soni) bo'lsin.
Agar aholining umumiy soni N bo'lsa,
S(t) + I(t) + R(t) — N — const
SIS modeli: ushbu modellarda yuqtirgan odam tuzaladi va bizning modelimiz yl(t) tezlikda yana sezgir bo'ladi va
dS
— — —ßSl + yl, (5)
dl
bo'ladi.
SIR model: bu modellarda, yuqtirilgan odam tuzalib ketadi va yl(t) tezligida yana sezgir bo'lib qoladi, shunda bizning modelimiz quyidagicha bo'ladi.
dS
-t — —ßSI
dl
dR
~dt—Yl
Genetik populyatsiya
Biologik populyatsiyani, ya'ni ko'payish bilan bog'liq yopiq organizmlar jamoasini qaraymiz. Ushbu populyatsiyadagi har bir alohida tur (genotip) 1, ...,m turlaridan biriga tegishli
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
deb faraz qilamiz. pij k — i va j turlardagi shaxslarning ozaro ta siri natijasida k shaxsning hosil bo'lish ehtimolligi bo'lsin. Unga nasl qoldirish koeffitsiyenti deyiladi. Bundan tashqari Pijk > 0, barcha i,j,k lar uchun va
I
Pij.k = !,i,j,k = 1, ...,m.
k=1
Populyatsiya holati vektori (x1,x2, ...xm )- turlarining ehtimilligi, xk populyatsiyadagi k turning ulushi.
Erkin populyatsiya holatida i,j ota-onalaridan, x = (x1,x2, ...xm ) xtxj ehtimollik bilan hosil qilinadi.
Demak, turlarning umumiy ehtimoli l birinchi avlod uchun quyidagicha aniqlanadi
= 1.....-
% k = 1¡
i,j=l
Sm-1 = [xeRm: barcha i lar uchun, x¿ > 0 = 1} - (m— 1)- o'lchovli
simpleksni qaraymiz.
Ta>if. Sm-1 ning ozini- oziga akslantiruvchi V akslantirish kvadratik stoxasistik operator (QSO) deyiladi, agar
m
(Vx)k = I Pij,kXiXj, i,j=1
har qanday x eSm-1 va barcha k = 1, ...,m uchun o rinli bo lsa. Bu yerda
Pij,k = Pji,k > 0 va barcha i, j uchun Yiij=iPij,k = 1.
Shu o'rinda qisqacha genlar haqida ma'lumot berib o'tamiz. Aksariyat hollarda genlar ikkitadan ko'proq allellarga ega bo'lishini kuzatish mumkin. Bunday holatlar ko'p allellik deyiladi. Ko'p allellikka bundan boshqa misol qilib, masalan qon guruhlari allellarini keltirish mumkin bo'ladi. Insondagi 0,A,B,AB qon guruhini I°,IA,IB allellarni o'zaro ta'siri belgilaydi. A va BO larga nisbatan dominant hisoblanadi, A bilan B bir-biriga esa ta'sir etmaydi. Shuni uchun to'rt xil fenotiplar paydo bo'ladi: O = {I°I0} ,A = [IAIA,IA I0}, B = {IBIB,IBI0} hamda AB = {IAIB}. Agar ota-onalar O qon guruhiga ega bo'lishsa, ularni farzandlari ham faqat shu qon guruhiga ega bo'ladi. Agar otasi A qon guruhiga ega bo'lsa, onasi esa qanday qon guruhiga ega bo'lishidan qat'iy nazar farzandi O yoki B qon guruhlariga ega bo'lmaydi. Shularga asosan yuridik jihatdan otalik huquqini tekshirib ko'rish mumkin.
Inson qonidagi rezus omil — Rh o'n birdan ortiq allel genlarini saqlovchi autosoma lokuslarida joylashgan. Shundan 8 tasi fenotipda yaqqol namoyon bo'ladi. Evropaliklarni sakson besh foizi (hindu va osiyoliklarni to'qson sakkiz foizidan ortig'i) rezusga ega, shuni uchun ular rezus-musbatdir (Rh+). Rezusi bo'lmagan qolgan 16% (afrikaliklarni 7%) kishilarni rezus-manfiy (Rh—) hisoblanadi. Statistik bo'lgan bu hisoblar shuni ko'rsatadiki rezus omilining sakkiz variantidan faqat ikkitasi fenotipda namoyon bo'layapti, demak bu lokusda yana boshqa genlar ham mavjud. Bitta lokus orqali aniqlanadigan belgilarni oddiy bo'lgan belgilar, bir nechta lokus orqali aniqlanadigan genlar murakkab bo'lgan belgilar deyiladi.
Genlarni statistik ta'sirlarini organizmni umumiy jamoasida ko'rish (bir xil turga kiruvchi) mumkin. Bunday jamoalarni populyasiya deb ataladi. Biologiyada fanga kiritilganligini bo'yicha ochiq va yopiq populyasiyalar farqlanadi. Ochiq populyasiyada migratsiya qilish
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
imkoni mavjud, ya'ni bu populyasiyaga boshqa populyasiya vakningillari (shu tur populyasiyasi) kirishi yoki chiqishi g'am mumkin. Yopiq populyasiyada migratsiya bo'lishi mumkin emas, bu erda yangi organizm faqat mutatsiya asosida paydo bo'lishi mumkin.
Ayni davrda bizga migratsiya qilish yoki qilolmaslik muhim bo'lmaydi, balki migrantning kirish yoki chiqish balansi, ya'ni ochiq populyasiyada yopiqlik effekti muhimdir. Effektli yopiq populyasiyani o'rganaylik. Populyasiya yashab turgan joy areal, yashash muhitlari esa (ozuqa, areal, ob-havo xarakteristikalari va hokazo) esa ekologik nisha deyiladi.
Populyasiyalarni faqatgina makon emas, balki vaqtni ham chegaralaydi. Demak, har bir populyasiya ma'lum bir muddatlarda mavjud bo'ladi. Bularga sabab juftlashish orqali kechadigan reproduksiyadir. Juftlashish erkin yoki ma'lum chegaralar asoslarida kiradi. Masalan, odamlar orasida ota-onalar va farzandlar o'rtasida yoki tug'ishgan opa- ukalar orasidagi nikoh mumkin emas.
XULOSA
Yuqorida hamda [1-23] maqolalarda keltirilgan modellardan differentsal tenglamalar va kvadratik stoxactik operatorlar nazariyasidan o qiladigan maruzalarda, ularning tadbiqlari sifatida ham foydalanish mumkin. Bu esa, o tilgan nazariy materialni chuqurroq tushunush imkonini beradi. [24-46] ilmiy izlanishlarda ham biologik jarayonlarning, xususan populyasiya masalalarini matematik modellari qaralgan. Modellarning analitik va sonli echimlari topilgan va tahlil qilingan.
REFERENCES
1. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. Kombinatorika haqidagi dastlabki konikmalarni shakllantirish. "Science and education" scientific jornal, oktober 2021/volume 2, Issue 10,pp 497-505.
2. Мамуров Б.Ж., Жураева H.O.Kombinatorik munosabatlar va ularning geometrik isbotlari haqida. Pedagogik mahorat. 2021, oktyabr. Maxsus son. 20-23-bet.
3. Мамуров Б.Ж., Абдуллаев Ж. Регрессионный анализ как средство изучения зависимости между переменными // European science. 2021.№ 2 (58). С. 7-9.
4. Мамуров Б.Ж, Жураева Н.О. О первом уроке по теории вероятностей. Вестник науки и образования, № 18 (96).Часть 2. Москва, 2020,-37-39 стр
5. Mamurov B, Amrilloyeva К. Tasodifiy hodisa tushunchasi haqida. Scientific progress. №2. 2021, -463-467
6. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. О роли элементов истории математики в преподавании математики. Abstracts of X International Scientific and Practical Conference Liverpool, United Kingdom 27-29 May, 2020. C. 701-702.
7. Мамуров Б.Ж. Неравномерной оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для симметрично зависимых случайных величин. Молодой учёный. 197:11 (2018). С. 3-5.
8. Мамуров Б.Ж., Бобокулова С. Теорема сходимости для последовательности симметрично зависимых случайных величин. Academy. 55:4 (2020). Pp. 13-16.
9. Mamurov B.J., Rozikov U.A. On cubic stochastic operators and processes. Journal of Physics: Conferense Series. 697 (2016), 012017.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
10. Mamurov B.J., Rozikov U.A., Xudayarov S.S. Quadratic stochastic processes of type (07Д). arXiv: 2004.01702. Pp. 1-14. math.D.S
11. Mamurov B.J. A central limit theorem for quadratic chains with finite enotypes. Scientific reports of Bukhara State University. 1:5,2018. Pp. 18-21.
12. Мамуров Б.Ж., Сохибов Д.Б. О неподвижных точек одного квадратичного стохастического оператора. Наука, техника и образование. 2021. №2 (77). Часть 2.Стр.10-15.
13. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. О историзм в процессе обучения математике. Вестник науки и образования. 2020. №17 (95). Часть 2. 70-74 стр.
14. Мамуров Б.Ж. Эволюционные уравнения для конечномерных однородных кубических стохастических процессов. Bulletin of Institute of Mathematics, 2019. №6, рр.35-39.
15. Мамуров Б.Ж. О кубических стохастических процессов. Тезисы докладов межн. конфер. C0DS-2009. С.72.
16. Mamurov B.J., Rozikov U.A. and Xudayarov S.S. Quadratic Stochastic Processes of Type ( Ol iL) Markov Processes Relat.Fields 26, 915-933 (2020).
17. Мамуров Б.Ж. О решения эволюционных уравнений для кубических стохастических процессов. Сборник материалов международной конференции КРОМШ -2019. 305-307 стр.
18. Мамуров Б.Ж.,Шарирова М. Об одном квадратичном стохастическом операторе в S2. "Scientific Progress". Int.sientoific-Pract.conf.Tashkent.2021,March 15. Стр.121-122.
19. Мамуров Б.Ж.,Шарирова М. Об одном квадратичном стохастическом операторе в S2. Тезисы рес.науч.конф."Сарымсаковские чтения", Тошкент-2021.стр.100-101.
20. Mamurov B.Zh. The convex combinations of quadratic operators on S2. Abstracts of theVII inter.conf.Modern prob.of applied mat.inf.tex.Al-Khwar.21.pp,87.
21. Mamurov B.J. Inter faol usullarni qo llab kombinatorika elementlariga doir masalalar yechish. "Science and education" scientific jornal,januvry 22. volume 3, Issue 1.
22. Мамуров Б.Ж., Абдуллаев Ж. Анализ факторов, влияющих на экспортную деятельность предприятий-экспортеров в Бухарской области Республики Узбекистан. "Science and education" scientific journal, march 2022, volume 3, Issue 3.
23. Мамуров Б.Ж., Жураева Н.О. Метод траектории при доказательстве некоторых биномиальных тождеств. Образавание и науке XXI веке. №25,2022.
24. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики, № 53:2 (2021), с. 7-10.
25. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Математические модели и законы в биологии // Scientific progress, 2:2 (2021), р.870-879.
26. Расулов Х.Р. О некоторых символах математического анализа // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), p.66-77.
27. Расулов Х.Р. О понятие асимптотического разложения и ее некоторые применения // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), pp.77-88.
28. Xaydar R. Rasulov. On the solvability of a boundary value problem for a quasilinear equation of mixed type with two degeneration lines // Journal of Physics: Conference Series 2070 012002 (2021), pp.1-11.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
29. Rasulov X.R. Sayfullayeva Sh.Sh. Buzilish chizig'iga ega bo'lgan elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo'yiladigan chegaraviy masalalar haqida // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), р.46-54.
30. Rasulov, R. X. R. (2022). Иккита перпендикуляр бузилиш чизигига эга булган аралаш типдаги тенглама учун чегаравий масала хакида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 22(22).
31. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Ikkita buzilish chizig'iga ega elliptik tenglama uchun chegaraviy masalaning yechimi haqida // Models and methods for increasing the efficiency of innovative research, Germany, 10 (2022), p. 184-186.
32. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Ikkita buzilish chizig'iga ega giperbolik tipdagi tenglama uchun Koshi masalasi haqida // «Zamonaviy ta'lim tizimini rivojlantirish va unga qaratilgan kreativ g'oyalar, takliflar va yechimlar», 35-sonli Respublika ilmiy-amaliy on-line konferensiyasi, 2022, 192-195 b.
33. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. (2022) Ikkita buzilish chizig'iga ega kvazichiziqli elliptic tenglama uchun chegaraviy masala haqida // Central Asian Academic Journal Of Scientific Research, 2(5), 544-557 b.
34. Rasulov, R. X. R. (2022). Бузилиш чизигига эга булган квазичизикли аралаш типдаги тенглама учун Трикоми масаласига ухшаш чегаравий масала хакида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
35. Rasulov, X. (2022). Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
36. Rasulov, X. (2022). Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
37. Rasulov, X. (2022). О динамике одной квадратичной динамической системы с непреривным временем. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
38. Rasulov, X. (2022). Об одном краевом задаче для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz).
39. Rasulov, X. (2022). Об одной задаче для вырождающеюся квазилинейного уравнения гиперболического тип. Центр научных публикаций (buxdu.Uz).
40. Rasulov, R. X. R. (2021). Boundary value problem in a domain with deviation from the characteristics for one nonlinear equation of a mixed type. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
41. Rasulov, R. X. R. (2022). Analysis of Some Boundary Value Problems for Mixed-Type Equations with Two Lines of Degeneracy. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
42. Rasulov, R. X. R. (2022). Квази чизикли гиперболик турдаги тенглама учун Коши масаласи. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
43. Rasulov, X. (2021). Краевая задача для одного нелинейного уравнения смешанного типа. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
44. Rasulov Kh.R. (2018). On a continuous time F - quadratic dynamical system // Uzbek Mathematical Journal, №4, pp.126-131.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 8 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
45. Rasulov X.R. (2020). Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration // Uzbek Mathematical Journal, №3, pp.117-125.
46. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, с. 197-199.
