CC BY
7
Н.В. Малаховский
УДК 514.75
Н.В. Малаховский
(Калининградский государственный университет)
КУБИКА, АССОЦИИРОВАННАЯ С ПРЯМЫМИ СИМСОНА ТРЕУГОЛЬНИКА
Методом комплексных чисел в планиметрии [3] исследуется кубика, образованная полюсами прямых Симсона невырожденного треугольника относительно мнимой изотомической коники [1]. Прямые, проходящие через две взаимно сопряженные относительно изотомического преобразования плоскости точки кубики, огибают конику, касающуюся кубики в полюсах прямых Симсона, соответствующих изогонально сопряженным несобственным точкам прямых, параллельных прямым, содержащим стороны треугольника Морлея данного треугольника.
Одной из задач современной геометрии треугольника является нахождение и исследование инвариантных образов (точек, прямых и кривых), порождаемых невырожденным треугольником. Например, если ABC - данный треугольник, а ABC - педальный треугольник точки P, то, рассматривая пересечения QA = BBP n CCP, QB = CCP n AAP,
Qc = AAP n BBP , приходим к выводу, что множество точек плоскости P , для которых треугольник QQQ перспективен треугольнику ABC, состоит из кубики Дарбу, образованной точками, педальные треугольники которых являются чевиа-новыми; описанной окружностью треугольника ABC вместе с бесконечно удаленной прямой. Множеством центров перспективы треугольников QaQbQc и ABC являются, соответ-
85
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ственно, кубика Люка, состоящая из точек, чевиановы треугольники которых являются педальными; кубика, ассоциированная с прямыми Симсона треугольника ABC .
Целью настоящей работы является исследование кубики, ассоциированной с прямыми Симсона треугольника ABC . Отождествим собственные точки расширенной евклидовой плоскости R2 с соответствующими этим точкам комплексными числами. Точки несобственной прямой определим как несобственные точки пучка прямых с центром в начале координат: uz + uz = 0, и Ф 0. Ассоциированной комплексной координатой несобственной точки прямой этого пучка, по определению, назовем предел
lim
f — \ f — \ z и
V z )
V и )
(1)
когда точка M с комплексной координатой z стремится к бесконечности вдоль этой прямой. Примем описанную окружность треугольника ABC за единичную: zz = 1. Тогда комплексные координаты проекций A, Bp, Cp точки P единичной окружности на прямые BC, CA, AB определятся формулами a = 1 (b + c + p - bcp ), b = 1 (c + a + p - cap ), S = 1 (a + b + p - abp) [3]. Точки A, Bp, Cp лежат на одной
прямой, называемой прямой Симсона точки P относительно треугольника ABC . Находя комплексные координаты точек пересечения QA = BBP o CCP, QB = CCP o AAP,
Qc = AAp o BBP, получим параметрическое выражение комплексной координаты z точки M пересечения прямых AQa , BQb , CQc
z_aiP3 + (^12 - 4a2 ) P2 + (б^3 - ) P + 3p3 p2 p + 3^3
86
Н.В. Малаховский
где символами ( = a + b + c, ( = ab + bc + ca, ( = abc обозначены симметрические многочлены чисел a, b, c . Параметрическое уравнение (2) определяет кривую третьего порядка. Таким образом, если точка P описывает единичную окружность, точка Q описывает кубику (2). Если точка P
является несобственной точкой, тогда точки Ap, Bp, CP также являются несобственными точками соответственно прямых BC, CA, AB . В этом случае треугольник ABC будет серединным треугольником для треугольника QAQBQC, центром перспективы которых является точка G пересечения медиан треугольника ABC с комплексной координатой 1 (, являющаяся изолированной особой точкой кубики (2). Множество полюсов прямых Симсона точек P
2z - 2a3pz - p-al+a2p + a3p2 = 0 (3)
описанной окружности треугольника ABC относительно изо-томической коники [1]
(3а2 -( ) z2 + (9 - (( ) zz + + (3( - ( ) z2 + (( ((( - 3) - ) z + (4)
+ (( ((( - 3)-^ ) Z - 1 (( - (22 )(( - ( ) + 9 = 0
также образует кубику (2), называемую кубикой Симсона треугольника ABC [2].
Предложение 1. Кубика Симсона инвариантна относительно изотомического сопряжения плоскости.
Доказательство. Изотомическое сопряжение плоскости
R2, связывающее комплексные координаты p и q прообраза
P и образа Q, определяется формулой
87
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
з( p + q + < pq-<) + (p + q + < pq -<)< + + < (pq + pq - < (p + q) - <1 (p + q) +1 + <<<) = 0.
Для доказательства заметим, что комплексные координаты полюсов прямых Симсона точек P и -P описанной окружности треугольника ABC удовлетворяют уравнению (5).
Известно [2], что прямые Симсона диаметрально противоположных точек P и - P описанной окружности треугольника ABC пересекаются в точке F окружности Эйлера |2z - <7j| = 1 этого треугольника. Точка F имеет комплексную
<P -<3 Т7
координату-г-. Если эта точка описывает окружность
2P
Эйлера, то прямая, проходящая через полюсы прямых Симсона точек P и - P, огибает конику K, дуальную окружности Эйлера. Решая относительно z систему уравнений прямой QpQ-p и производной этого уравнения по параметру p , получим параметрическое уравнение коники K
(4<2 - ) P4 - 2«¡P2 + <3 (<1<2 - б<3 )
z ^^--^-2-, (б)
< P - 6< P + «
являющейся эллипсом с центром в точке Лемуана с комплексной
7 « - 3<
координатой l = 2 ——-, вписанным в треугольник, для
- 9
которого треугольник ABC является серединным.
Предложение 2. Коника K касается кубики Симсона в полюсах прямых Симсона изогонально сопряженных точек бесконечно удаленным точкам прямых, параллельных прямым, содержащим стороны треугольникаМорлея треугольника ABC.
Переобозначим комплексные координаты вершин треугольника ABC , положив их равными, соответственно, a3, b3, c3. Тогда <= a3 + b3 + c3, <= a3b3 + b3c3 + c3a3,
88
Н.В. Малаховский
« = a3b3c3. Решая систему уравнений (2) и (6) относительно
p , получим три решения, удовлетворяющих условию |p| = 1:
Р = «, p2 = а«з, p = ®2«3, где а - любое из двух мнимых
значений Vi . Уравнения прямых, параллельных прямым, содержащим стороны треугольника Морлея треугольника ABC, имеют вид:
z + «I z = 0, z + а« z = 0, z + а2«2 z = 0. (7)
Изогональное сопряжение ^ = f (z) плоскости, порожденное треугольником ABC , комплексные координаты вершин которого равны, соответственно, a3, b3, с3, определяется формулой [4]
-2 _
«3z ~«2z ~ р + « (8)
1 - zz
Деля числитель и знаменатель правой части формулы (8) на
z , переходя к пределу при z ^ да с учетом формул (1) и (7),
находим координаты точек p = «, p2 = а2«, p3 = а« ,
изогонально сопряженных бесконечно удаленным точкам прямых (7).
Рассмотрим вновь прямые Симсона диаметрально противоположных точек P и — P описанной окружности треугольника ABC, пересекающиеся в точке F окружности Эйлера этого треугольника. Кроме этой пары на описанной окружности треугольника ABC существует еще одна точка Q
с комплексной координатой--3, прямая Симсона (3) кото-
Р
рой проходит через F . Точка Q является одной из точек пересечения прямой HF с описанной окружностью треугольника ABC , где H - ортоцентр треугольника ABC с комплексной координатой «.
89
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Прямая, проходящая через полюсы прямых Симсона точек P и - P пересекает кубику Симсона в полюсе прямой Симсона точки - Q . Действительно, используя (2) и составляя
уравнение прямой ZPZ_P, убеждаемся, что эта прямая проходит через точку Z_q , лежащую на кубике Симсона. Касательные к кубике Симсона в полюсах Z и Z прямых Сим-сона точек P и - P пересекаются на кубике в полюсе прямой Симсона точки Q. Если прямая ZPZ_P касается коники K в точке S, тогда точки S и Z_q гармонически сопряжены относительно Zp и Z_p; точка, изотомически сопряженная точке S , является полюсом касательной к окружности Эйлера в точке F .
Обозначим через U, V, W третьи точки пересечения кубики с прямыми, содержащими стороны AB, BC, CA треугольника ABC . Точки U, V, W являются полюсами прямых Симсона соответственно точек - C,-A,-B , диаметрально противоположных вершинам треугольника ABC , относительно мнимой коники (4). Точки U, V, W лежат на одной прямой
2 (<1<2<2 - 3<1 - 2<1<2 ) z +
+2 (<1<2<2 - 3<1 - 2<1<2 ) z - (<1<1 - !) (<1<1 - 9) = 0 и имеют комплексные координаты
<< - 5< - 2c2 (a + b) « - <з - 2a2 (b + c) U = 2 (ab - c2) , V = 2 (bc - a2) ,
= <1<2 - 5<3 - 2b" (c + a) (7)
2(ca - b2) , ( )
90
Н.В. Малаховский
откуда следует, что если треугольник ABC равнобедренный или равносторонний, т. е. когда выполняются одно или все равенства a2 = bc, b2 = ca, c2 = ab , то одна или все точки U, V, W пересечения прямых AB, BC, CA с кубикой Сим-сона являются несобственными точками соответственно прямых AB, BC, CA . В этих случаях треугольник UVW перспективен треугольнику ABC . В случае равностороннего треугольника коника K является описанной окружностью равностороннего треугольника ABC , пробегаемой в противоположном направлении относительно точки P , когда последняя дважды описывает окружность zz = 1. Действительно, учитывая в (4) a = 1, b = C, c = C, получим z = p2 . Неподвижными точками изотомического преобразования плоскости, порожденного невырожденным треугольником ABC , являются точки T, T, T, T с комплексными координатами
т0 = 1 (a + b + c), хх = b + c - a, т2= c + a - b, t3 = a + b - c. Кубика Симсона всегда проходит через одну и только одну неподвижную точку T и имеет в ней изолированную особенность.
Список литературы
1. Малаховский Н.В. Коники, порожденные изогональным и изотомическим преобразованиями плоскости // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2003. Вып. 33. С. 89 - 94.
2. Jean-Pierre Ehrmann, Bernard Gibert. The Simson Cubic // Forum Geometricorum. 2001. Vol. 1. S. 107 - 114.
3. Малаховский Н.В. Метод комплексных чисел в планиметрии. Калининград, 1996.
4. Малаховский Н.В. Об одной геометрической интерпретации аффинной классификации действительных коник // Докл. Междунар. мат. семинара. Калининград, 2002. С. 132 - 137.
91
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
N.V. Malakhovskii CUBIC, ASSOCIATED WITH SIMSON LINES OF TRIANGLE
Using method of complex numbers in planimetry [3] cubic is investigated, formed by poles of Simson lines of a non degenerated triangle relative to the imaginary isotomic conic [1]. It is proved that lines, passing through two mutually isotomic conjugated points of the cubic envelope a conic, which touches the cubic at three points.
УДК 514.75
Г. Матиева
(Ошский государственный университет)
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ОБРАЗА СЕТИ ФРЕНЕ В ЧАСТИЧНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
В области П евклидова пространства Б3 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку XёП проходит одна линия этого семейства. Найдены необходимые и достаточные условия ортогональности образа сети Френе в частичном отображении, порожденном заданным семейством гладких линий.
Пусть область Пс^ отнесена к подвижному ортонор-мированному реперу ^ = (ХД) (i, j, k=1, 2, 3), который является репером Френе для линии ю1 заданного семейства. Деривационные формулы этого репера имеют вид:
dX = ю;е;, de; = ®kek . (1)
92
